2025年人教A版高考数学专项复习：空间直线、平面的平行【八大题型】

专题8.5空间直线、平面的平行【八大题型】

【人教A版(2019)]

A题型梳理

【题型1证明线线平行】.......................................................................3

【题型2直线与平面平行的判定】..............................................................6

【题型3平面与平面平行的判定】..............................................................10

【题型4由线面平行的性质判定线线平行】.....................................................15

【题型5由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】......................................18

【题型6由线面平行求线段长度】.............................................................22

【题型7面面平行性质定理的应用】...........................................................26

【题型8平行问题的综合应用】...............................................................29

A举一反三

【知识点1空间中的平行关系】

i.直线与直线平行

(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：。，4c是三条不同的直线，若。〃6,b//c,则。〃c.

③作用：判断或证明空间中两条直线平行.

(2)空间等角定理

①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在N/03与方中，OA//O'A',OB//O'B',则

或/4。8+/4。'8'=180°.

(1)判定定理

①自然语言

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

②图形语言

a

③符号语言

a，a,&Ua且a//b令a//a.

该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.

(2)性质定理

①自然语言

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

②图形语言

③符号语言

aIIa,aU(3,aC\/3=b=>a//b.

该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.

(3)性质定理的作用

①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线

是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与

已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.

3.平面与平面平行

(1)判定定理

①自然语言

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

②图形语言

③符号语售

aUa,bUa,aCib—P,aH(3,bH[3=>a///3.

该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.

(2)判定定理的推论

①自然语言

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.

②图形语言

③符号语言

aCa,bUa,aC\b=P,a'(Z(3,，U/3,a'Cib'=P',a//a',b//b'aII)3.

(3)性质定理

①自然语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

②图形语言

a/I/3,aC\y=a,(3C\^=b=>aHb.

该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.

(4)两个平面平行的其他性质

①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

【注】

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若ala,a邛,则a//£.

2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若a/勿，pily,则a//y.

3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若ala,61a,则a//6.

4.若a//£,aUa,则a/勿.

【题型1证明线线平行】

【例1】(24-25高一下•全国•课后作业)若乙4OB=2i0Bi，且。4〃。山,。4与。遇i方向相同，则下列

结论正确的是()

A.OB〃O/i且方向相同B.OB"。回,方向可能不同

C.0B与0道1不平行D.。8与0中1不一定平行

【解题思路】依题意画出图形，即可判断.

【解答过程】如图,

Z-AOB—Z-A-yO-[B10A]10\A\,。4与。的方向相同，

但是0B与0B1不平行，

如图，zX0B=Zi4101F1,。4//。141，。4与。p4i的方向相同,

故。8与01%不一定平行，故D正确.

故选：D.

【变式1-1]（24-25高一下•全国•课后作业）如图所示，在长方体NG中，E,尸分别是为。和C/。的中点,

则长方体的各棱中与斯平行的有（）

C.5条D.6条

【解题思路】由瓦厂分别是为。，。。的中点，故斯忸/G，结合正方体的结构特征，即可求解.

【解答过程】由于£,尸分别是SO,C/O的中点，故跖|山/C”

因为与棱为G平行的棱还有3条：AD,BC,AQ],所以共有4条.

故选：B.

【变式1-2］（24-25高一•全国•课后作业）在正方体4BCD—/向。。中，E,尸分别是侧面侧面

的中心，G,〃分别是线段48,5c的中点，则直线即与直线G8的位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.垂直

【解题思路】连接CD„ZC,根据E,尸分别为C。/的中点，由三角形的中位线定理和平行关

系的传递性判断.

【解答过程】如图，

连接40“CD”AC,

因为£,F分别为CD/的中点，

由三角形的中位线定理知MII/C,GHUC,

所以£GG〃.

故选：C.

【变式1-3］（24-25高一•全国•课后作业）如图，在正方体4BCD-公扬的小中，直线Iu平面4tBic1%,

且直线1与直线/J不平行，则下列一定不可能的是（）

A./与40平行B./与40不平行C./与/C平行D./与AD平行

【解题思路】假设/〃4。，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线/与直线4。一定不平

行；当/与4的平行时，选项C正确；当/与当。1平行时，选项D正确.

【解答过程】假设1//4D,则由4D〃BC〃BiCi，知〃

这与直线Z与直线&C1不平行矛盾，

所以直线］与直线4。不平行.

故选：A.

【题型2直线与平面平行的判定】

【例2】（24-25高一•全国•课后作业）已知平行六面体48。。-4/1的。1，则下面四条直线中与平面48忑

平行的是（）

A.DBiB.A1D1C.C1D1D.ArD

【解题思路】作出平行六面体，结合线面平行的判定定理，即可得出结果.

【解答过程】对于A,因为平面4BiC=8i，故A错误；

对于B,假设为小〃平面力BiC,

因为在平行六面体ABCD-4声道1。1中，A^DJ/AD,

又4DC平面4&C,所以4。〃平面显然不成立，故B错误；

对于C,与选项B同理可证的小不满足题意，故C错误；

对于D,在平行六面体438—412母必中，418J/DC且=DC,

所以四边形是平行四边形，则A1£»〃B1C,

又4道，平面ZBiC,BiCu平面力Bj,C,所以力道〃平面4B1C,故D正确.

故选：D.

【变式2-1］（2025高一•全国・专题练习）如图，点/,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则

下列各图中，不满足直线MN〃平面4BC的是（）

【解题思路】对于A,根据MN〃4C结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行

的判断定理即可判断；对于C,根据MN〃8D,结合线面平行的判断定理即可判断；对于D,根据四边形2MN8

是等腰梯形，与MN所在的直线相交，即可判断.

【解答过程】对于A,如下图所示，

易得AC"EFMN"EF,

则MN〃/1C,

又MNC平面ABC/Cu平面

则MN〃平面力BC,故A满足；

E为所在棱的中点，连接E4E&EB,

易得4E=BC.AE//BC,

则四边形48CE为平行四边形，

4BCE四点共面，

又易知MN〃BE,

u平面4BC,

则MN〃平面力BC,故B满足；

对于C,如下图所示,

点。为所在棱的中点，连接04DGDB,

易得四边形为平行四边形，四点共面,

且MN//BD,

又MNC平面u平面48C,

则MN〃平面ABC,故C满足；

对于D,连接4M,BN,

由条件及正方体的性质可知四边形4MNB是等腰梯形,

所以48与MN所在的直线相交，

故不能推出“N与平面ABC不平行，故D不满足，

故选：D.

【变式2-2](23-24高一下•广东茂名•阶段练习)如图，正四棱台力BCD-&B1C1D1中，上底面边长为2vL

下底面边长为4vzE为CCi的中点，侧棱长为3.

(1)证明：4的〃平面BDE；

(2)求该正四棱台的表面积.

【解题思路】(1)利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论；

(2)由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积.

【解答过程】(1)连结4C,交BD于点。，连结。E.

在正四棱台4BC0—中，底面4BCD为正方形，所以。为4C中点,

又为CG的中点,

•••0E||XCi

又。Eu平面BDE,aC*平面BDE,

•••〃平面BDE.

(2)由已知，梯形中，A\B、=2四,AB=4五,221=3,

过41作交48于点M,

22

•••AM=V2,ArM=y/A1A—AM=V7,

所以梯形488遇1的面积为SABBMI=1+AB)-ArM(2五+4伪xV7=3m

•••正四棱台4BCD-A/iCiDi的表面积为：

22

S=SA1B1C1D1+SABCD+4S4BBM1=(2V2)+(4V2)+4x3V14=40+12V14.

【变式2-3](23-24高一下•江苏南通•阶段练习)如图，四边形4BCD是平行四边形，点尸是平面4BCD外

(2)M是尸C的中点，在。M上取一点G,过G和/尸作平面交平面于"G,求证：AP//HG.

【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理证明即可;

（2）由线面平行的判定定理证明P4〃平面BDM,再由线面平行的性质定理得证.

【解答过程】（1）因为四边形4BCD是平行四边形，所以

又BCC平面PAD,4Du平面PAD,

所以BC〃平面PAD

（2）连接4C,交BD于0,连接M。.

所以。是4C的中点，又因为初是PC的中点，所以M0〃P4

又因为MOu平面BDM,P2C平面BDM,

所以，P4〃平面BDM.

又因为PAu平面H4HG,平面PAHGCl平面8DM=GH,

所以，AP//GH.

【题型3平面与平面平行的判定】

【例3】（24-25高一•全国•课后作业）如图，在正方体EFGH-EiFiGmi中，下列四对截面彼此平行的一对

是（）

A.平面EiFGi与平面EG”iB.平面F”Gi与平面尸1”道

C.平面与平面FHEiD.平面EiHGi与平面E/G

【解题思路】根据面面平行的判定定理进行判断即可.

【解答过程】如图，

对于A：EG||E1G1,E”平面E1FG1，%Giu平面&FGi，

・•・EG〃平面E/Gi，又G/IIHiE,同理可证为E〃平面E^Gi，

又H[ECEG=E,HREGu平面EGHi，

平面£\FGi〃平面EG"。因此A正确；

对于B："Gi,HiGu平面H1HGG1，且HG1与当G相交，又HGiU平面FHGi，HiGu平面%为6,

故平面FHGi与平面Fi"iG不可能平行，因此B不正确；

对于C：平面FiHi”与平面FHEi有公共点H,故平面Fi"iH与平面FHEi不可能平行，因此C不正确；

对于D：平面片EHHi，且E/与相交，又E%u平面E/G,u平面/HGi，

故平面%HGi与平面E"iG不可能平行，因此D不正确；

故选：A.

【变式3-1]（23-24高一下•浙江温州•阶段练习）下列四个正方体中，4B,C为所在棱的中点，D,E,F

为正方体的三个顶点，则能得出平面4BC〃平面DEF的是（）

【解题思路】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平

行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.

【解答过程】对于A选项，若平面ABC〃平面DEF,BCu平面4BC,贝UBC〃平面DEF,

由图可知BC与平面DEF相交，故平面4BC与平面DEF不平行，A不满足条件；

对于B选项，如下图所示，连接NG,

因为4、C分别为PN、PG的中点，贝i]4C〃NG,

在正方体EHDG-MFNP中，FN〃EG且FN=EG,

故四边形EFNG为平行四边形，所以，NG//EF,：.AC//EF,

•••4"平面DEF,EFu平面DEF,〃平面DEF,

同理可证BC〃平面DEF,ACPiBC=C,因此，平面ABC〃平面DEF,B满足条件;

对于C选项，如下图所示：

在正方体PHDG-MNFE中，若平面4BC〃平面DEF,且平面DEF〃平面MNHP,

则平面ABC〃平面MNHP,但这与平面48C与平面MN”P相交矛盾,

因此，平面4BC与平面CEF不平行，C不满足条件；

对于D选项，在正方体PDHG-FNEM中，连接PH、PM、MH,如下图所示：

因为D//〃FM且DH=FM,则四边形DHMF为平行四边形，贝

DFC平面PHM,MHu平面PHM,所以，DF〃平面P”M,

同理可证EF〃平面PHM,,；DFCEF=F,所以，平面DEF〃平面PHM,

若平面ABC〃平面DEF,则平面ABC〃平面PHM,

这与平面48c与平面PHM相交矛盾，故平面48C与平面DEF不平行，D不满足条件.

故选：B.

【变式3-2]（23-24高一下•黑龙江鸡西•期中）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,

点〃、N、。分别是P4BD、PD的中点.求证：平面MNQ〃平面PBC.

P

【解题思路】根据题意结合三角形的中位线定理可得MN//PC,NQ〃PB,则由线面平行的判定定理可

得MN〃平面PBC,NQ〃平面PBC,再利用面面平行的判定定理可证得结论.

【解答过程】因为底面4BCD为平行四边形，N为BD的中点，

所以N为4c的中点，

因为河、0分别是P4、PD的中点.，

所以MN//PC,NQ11PB,

因为MN,NQC平面PBC,PB,PCu平面PBC,

所以MN〃平面PBC,NQ〃平面PBC,

因为MNCNQ=N,MN,NQu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面PBC.

【变式3-3]（23-24高一下•山东临沂•阶段练习）如图，四边形力BCD与四边形力DEF均为平行四边形，M,

N,G分别是ZB,AD,EF的中点.求证：

⑴BE〃平面DMF；

(2)平面BDE〃平面MNG.

【解题思路】(1)连接4E,利用三角形的中位线证明线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可;

(2)证明两个线面平行，然后由面面平行的判定定理证明即可.

【解答过程】(1)如图，连接4E,因为四边形ADEF为平行四边形，则4E必过DF与GN的交点。，

连接M0,则M。为△ABE的中位线，所以BE〃M。，

又BEU平面DMF,MOu平面OMF,

所以BE〃平面DMF.

(2)因为N,G分别为平行四边形ZDEF的边力D,EF的中点，所以DE//NG,

又DEC平面MNG,NGu平面MNG,

所以DE〃平面MNG,

因为“为力B的中点，N为力D的中点，

所以MN为△ABZ)的中位线，

所以BD//MN,

又BDC平面MNG,MNu平面MNG,

所以B。〃平面MNG,

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面〃平面MNG.

【知识点2平行关系的相互转化及综合应用】

1.平行关系的相互转化及综合应用

(1)证明线线平行的常用方法

①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.

②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.

④利用平行线分线段成比例定理.

⑤利用线面平行的性质定理.

⑥利用面面平行的性质定理.

⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.

(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.

②利用直线与平面平行的判定定理：aUa,a//b,bUa,则。〃a.使用定理时，一定要说明“平面外

一条直线与此平面内的一条直线平行"，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明。〃a,则必须在平面a

内找一条直线6,使得。〃6,从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.

③利用面面平行的性质：若平面a〃平面£,直线aUa,则。〃

④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直

线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重

视.

(3)平面与平面平行的判定方法

①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行

于另一个平面，则这两个平面平行.

③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行,

则这两个平面平行.

④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.

⑤利用反证法.

(4)平行关系的相互转化

常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转

化的，如图所示.

【题型4由线面平行的性质判定线线平行】

【例4】(24-25高一下•河南洛阳•阶段练习)如图，四面体4BCD被一平面所截，截面EFHG是一个平行四

边形.求证：CD//GH.

【解题思路】由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质得到线线平行，证明出结论.

【解答过程】••,四边形EFHG为平行四边形，・•.EF〃GH,

又GHu平面BCD,EFC平面BCD,

••.EF〃平面BCD.

而平面4CDC平面BCD=CD,EFu平面4CD,

:.EF//CD,.-.CD//GH.

【变式4-1］（2024高三・全国・专题练习）如图，已知四棱锥P-2BCD的底面是菱形，4B=2,N84D=60。,

___________1

对角线交于点。,。1平面ABC。，平面a是过直线4B的一个平面，与棱PC,PC交于点E,F,且PE=1

4

【解题思路】利用线面平行的判定定理，得到CD〃平面a,再利用线面平行的性质，即可证明结果.

【解答过程】证明：四棱锥P-48CD的底面是菱形，AB//CD,

又力Bu平面a,CDC平面a,贝〃平面a,

又平面aC平面PCD=EF,CDu平面PCD,

所以EF〃CD

【变式4-2］（24-25高一下•全国•课堂例题）如图所示，己知P是口4BCD所在平面外一点，M,N分别是4B,PC

的中点，平面PBCC平面PAD=Z,贝ij：

（1/与BC是否平行？说明理由；

（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.

【解题思路】(1)根据线面平行的性质即可求证，

(2)根据线面平行的判定即可求证.

【解答过程】(1)平行，理由如下：

因为四边形4BCD为平行四边形，所以BC〃/1D,

又8”^面P4。，4。u平面PAD,所以BC〃平面PAD.

又平面PBCC平面P2D=Z,BCu平面PBC,所以BC/儿

(2)平行.证明如下：如图所示，

取PD的中点E,连接4E,NE,

故NE"DC,NE=^DC,5LAM//DC,AM=扣C

所以NE〃AM且NE=AM.

所以四边形4MNE是平行四边形，所以MN〃4E.

又ZEu平面PAD,M纺eQ2面P4D,

所以MN〃平面P4D.

【变式4-3](23-24高一下•广东深圳•阶段练习)如图，己知四棱锥S-ABCD中，底面4BCD是平行四边形,

(1)若E为侧棱SC的中点.求证：S4〃平面ED8；

(2)若过的平面与SC交于点尸，求证：EF//DC；

【解题思路】(1)根据三角形中位线可得S4〃E0,即可由线面平行的判定求解,

(2)根据线面平行的性质即可求证.

【解答过程】(1)设力CCBD=。，连接AC,0E,因为4BCD是平行四边形，故4。=0C,

又E为侧棱SC的中点，故SA〃E。

又面EDB,EOc^EDB,

故S4〃平面EDB；

(2)由于皿/AB,C£#午面ABE,4Bu平面4BE,

故。C〃平面ABE.

又CDu平面SCD,平面SCDn平面ABE=EF,

故CD〃EF

【题型5由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】

【例5】(23-24高一下•江苏扬州•阶段练习)在四棱锥P-力BCD中，底面4BCD为平行四边形，£为线段力。

上靠近/的三等分点，尸为线段PC上一点，当P4〃平面EBF时，募=()

A.3B.4C.~D.-

34

【解题思路】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.

如图，连接力c交BE于点G,连接FG

因为P4//平面BEF,P4u平面P4C,平面PACn平面BEF=FG^V\PA//FG,

所以葛=第因为4D〃8&E为4。的三等分点，

丝=丝=工丝=工生=工

人」GCBC3'AC4U|PC4'

故选：D.

【变式5-1]（23-24高一下•江苏无锡・期中）如图，在三棱锥P—4BC中，点。，E分别为棱心，3c的中点.

若点尸在线段NC上，且满足力。II平面尸ER则会的值为（）

P

A.1B.2C.~D.-

【解题思路】连接CD,交PE于点G,连接尸G,由线面平行性质证明力DIIFG,再利用重心性质求解即可.

【解答过程】如图，连接CO,交PE于点、G,连接尸G,

B

因为401平面PER4。＜=平面/。。，^-^ADCn^PEF=FG,所以力D||FG,

因为点。，E分别为棱P8,BC的中点，所以G是aPBC的重心，所以黑=岩=].

rC（JCZ

故选：c.

【变式5-2]（23-24高一下•浙江•期中）如图所求，四棱锥P—ABCD,底面4BCD为平行四边形，F为P4的

中点，E为PB中点.

p

(1)求证：PC〃平面BFD；

(2)已知M点在PC上满足EC〃平面BFM,求丽的值.

【解题思路】(1)连结4C交BD于。，连结。F,通过证明尸C〃。尸，可证PC〃平面BFD；

(2)如图连结FM交4D延长线于G,连结BG交CD于N,连结EF,FN,PG,EN.

由EC〃平面可得N为8中点，后通过证明及V//ED〃8G,可得△FMD〜△GMP,继而可得答案.

【解答过程】(1)证明：连结4C交BD于0,连结。F,

因在△P4C中，尸为PA中点，。为AC中点，贝UPC〃尸O.

又PCC平面BFD,FOu平面BFD,故PC〃平面BFD；

(2)如图连结尸M交AD延长线于G,连结BG交CD于N,

连结EF,FN,PG,EN.

因EF〃CN,贝IJE,F,N,C四点共面.

又EC〃平面BFM,平面BFMCI平面EFNC=FN,

则EC〃FN,四边形EFNC为平行四边形，可得EF=CN=：CD0N为CD中点.

则△BCN三△GDN,N为BG中点.

即EN为中位线，则瓦V//PG,EN=|PG.

又EF=DN,EF//DN,则四边形EECW为平行四边形，EN//FD.

从而FD!IPG,△FMD-△GMP端=器=券=2.

【变式5-3］（24-25高三上•黑龙江牡丹江•期末）如图，在正方体力BCD-48停1。1中，E,F,G分别是AB,"i

（1）证明:EG〃平面01&C；

（2）棱CD上是否存在点T,使277/平面JEF?若存在，求出防的值；若不存在，请说明理由.

【解题思路】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得EG〃%Di，根据线面平行的判定可证

得结论；

（2）假设存在点T,延长交于H,连接EH交DC于K,根据三角形中位线性质可确定KC=%>C,利用

线面平行的性质可证得四边形4TKE为平行四边形，由此可确定。7=；0C.

【解答过程】（1）连接BC,BiDi，CDi，

••・E,G分别为2B/D中点，：.EG//BD,

■■BB1//DD1,BB1=DD1,二四边形8皿当为平行四边形，：.BD//B1D1,

••EG]]B、D\,平面u平面D1B1C,

•••EG〃平面D/iC

（2）假设在棱CD上存在点7,使得477/平面BiEF,

延长交于H,连接EH交DC于K,

•♦•CC//BB1，F为CCi中点，为中点,

■■■CD//AB,.-.KC//AB,KC=^EB=^DC,

,••477/平面&EF,ATu平面4BCD,平面8向C平面ABCD=EK,

・•.477/EK,又TK〃/IE,四边形4TKE为平行四边形，：.TK=AE=^DC,

；.DT=KC=：DC；

r）T1

.•.当林=；时，AT//平面BiEF.

UL,4-

【题型6由线面平行求线段长度】

【例6】（24-25高一•全国•课后作业）已知正方体A。的棱长为1,点P是平面44山道的中心，点Q是平面

&&的。1的对角线Bi%上一点，且PQ||平面A41&8,则线段PQ的长为（）

C.V2D.李

【解题思路】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解.

【解答过程】连接4小，ABlt贝必小过点P.如图所示

”QII平面4418$,平面/8必n平面44$18=481，P、(=平面/81。1，

・・・PQ11/81，-D1P=PA,

■■PQ=%Bi=|x“2+12=当

故选：B.

【变式6-1](24-25高三上•湖南湘潭•开学考试)已知直三棱柱力BC-&&C1的侧棱和底面边长均为

1,M,N分别是棱BC,A1B1上的点，且CM=2B]N=2,当MN//平面44传道时，A的值为

()

A-Q

A.4力n.-3L.12Dr・)-3

【解题思路】过N作NP〃&Ci交&Ci于尸，利用线面平行的性质可得MN〃CP,进而可得四边形MNPC为

平行四边形，NP=1-=X=CM,即得.

【解答过程】过N作NP〃BiQ交&Ci于P,连接CP,

因为MC”B\Ci，：.NP“MC,故N,P,M,C共面，

因为MN〃平面44件停，平面MNPCCI平面441cle=CP,MNu平面MNPC,

所以MN〃CP,又NP〃MC,

.•.四边形MNPC为平行四边形，

又CM=2BiN=4,

.-.NP=1-9=4=CM,

所以4=*

故选：B.

【变式6-2](23-24高一下•新疆省直辖县级单位•阶段练习)如图，在正方体ABC。-&B1C1D1中,

AB=2,尸为的中点，点E为CD的动点.若EF〃平面ABiC,求线段EF的长度.

【解题思路】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可.

【解答过程】因为EF〃平面4&C,

EFu平面力BCD,平面4BCDn平面48道=AC,

所以EF〃4C,

又因为尸为的中点，所以E是CD的中点，

\EF\=+BC2=Tx2V2=V2.

【变式6-3](23-24高一下•浙江杭州•期中)如图所示，正方体ABC。—4BCD的棱长为2£F分别为4B田

C'的中点，点G满足/G=4夕B.

(1)若"3,证明：EG〃平面D2C；

(2)连接8D,点M在线段BD上，且满足〃平面EFG.当时，求ZTM长度的取值范围.

【解题思路】(1)连接4B,依题意可得G为的中点，从而得到EG〃4B,再由正方体的性质得到4B//。

C,从而得到EG〃D£,即可得证；

(2)求出2=3和4=1时。M的长度，即可得到D'M的取值范围.

【解答过程】(1)连接4B,

因为E为的中点，当2时秀=

所以G为B所的中点，所以EG〃4B,

又40〃BC且=BC,所以四边形4DCB为平行四边形，

所以故EG"DC,

又EGC平面DSC,D£u平面DSC,所以EG〃平面DSC；

1

(2)当4=5时G为BB，的中点，连接夕。交EF于点H,连接HG,

1，2,

连接4。交8D于点。取BD的中点。连接BO.D'O2,

因为E,尸分别为AEBC的中点，所以EF〃4。,

则H为901的中点，所以HG〃B0i，

又8。2〃£>'。1且8。2=。'。1，所以。28£>'。1为平行四边形，

所以BO"/。。？，故GM//。。，

又Q'M//平面EFG,平面D'DBB'C平面EFG=GH,D'Mu平面

所以DM〃GH,所以M和。2重合，

又BD=-22+22=2V2,此时。M=.22+(V2)2=V6,

D'

当；1=1时G与B点重合，在DB上取点M使得而=那，连接。M,

由前述说明可知H为夕。1的中点，则。归=/Z9,

又BM=：DB,所以D77=BM,y.D'B'//BD,

所以四边形D'HBM为平行四边形，所以

又H8u平面EFG,D'MC平面EFG,所以ZTM//平面EFG,

所以DM=j22+（¥）2=乎，

综上可得当姓卜,1］时，求。M长度的取值范围为殍，闻.

【题型7面面平行性质定理的应用】

【例7】（2024高一下•全国•专题练习）如图，直四棱柱28CD—4/传1。1被平面a所截，截面为CDEF,且

EF=DC,DC=22D=44iE=2.证明：AD//BC.

【解题思路】由面面平行的性质定理可证明EF〃CD,再由平行的传递性即可证明.

【解答过程】在直四棱柱4BCD-41B1C1D1中，平面力BCD〃平面久历的外，

平面力BCDCa=CD,平面AiBiCiDiCla=EF,贝UEF//CD,

而Ci。"/。。且Ci£）i=CD,又EF=CD,因此“（“EF且。必=EF,

则四边形EFQDi是平行四边形，所以&Di〃BiCi，

又A[D]〃AD,BC//&G，所以4D〃BC.

【变式7-1]（2024高三•全国・专题练习）如图，在直三棱柱4BC-4/心中，D£F分别为棱BC,BBi,CQ的

中点.证明：&F〃平面力DE.

【解题思路】根据题意可证MF〃平面4DE,占M〃平面4DE,可得平面4MF〃平面4DE,结合面面平行的

性质分析证明即可得.

【解答过程】如图,取比3的中点M,连接

因为M尸刀,E都是所在棱的中点，则MF〃BiC,DE/ZB^C,

所以MF//DE,且MFC平面4DE,DEu平面4DE,所以MF//平面4DE.

因为M,。分别是/J和BC的中点，则MD=B1B,

可得MD〃/Mi，MD=44i，可知四边形A&MD是平行四边形，贝必。〃41”，

且41MU平面AOE,ADu平面4DE,所以ajW〃平面ADE,

且力iMCiMF=M,&MMFu平面4MF,

所以平面41MF〃平面4DE,

又因为4/u平面&MF,

所以&F〃平面4DE.

【变式7-2]（23-24高一下•广东佛山•阶段练习）如图，在六面体4BCDEF中，DE//CF,四边形4BCD是平

行四边形，DE=2CF.

(1)证明：平面ADE〃平面BCF.

(2)若G是棱BC的中点，证明：AE//FG.

【解题思路】(1)根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得.

(2)证明EF,4G的延长线与DC的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得.

【解答过程】(1)由口力BCD,得BC〃AD,而ZDu平面AED,BCC平面平面4ED,则BC〃平面力ED,

由DE//CF,CFC平面力ED,DEu平面4ED,得CF//平面AED,

又BCnCF=C,BC,CFu平面BCF,所以平面力DE〃平面BCF.

(2)延长EF/G与DC的延长线分别交于点。1,。2，

由OE〃CF,DE=2CF,^CO1=CD,由G是棱BC的中点，^CO2=CD,

因此点。1，。2重合，记为。，显然平面AOEn平面4ED=4E,平面力OEC平面BCF=FG,

由(1)知,平面4DE〃平面BCF,所以4E//FG.

【变式7-3](23-24高一下•黑龙江牡丹江•期中)已知四棱锥P—4BCD,底面4BCD为矩形，E,F,G分别

⑴平面EFG〃平面P4B；

（2）4P〃平面EFG.

【解题思路】（1）由线面平行的判定定理分别证明EF〃面P4B,EG〃平面P4B,进而由面面平行的判定定

理即可得证；

（2）由面面平行的性质即可得证.

【解答过程】（1）证明：因为E,F,G分别是PC,PD,BC的中点，所以EF”CD,EG"PB,

又因为底面4BCD为矩形，所以所以

5LEF<tnPAB,ABu平面P4B,

所以EF〃面248.

又因为EGU平面u平面P4B,

所以EG〃平面P4B.

因为EFCEG=E,EF,EGu平面EFG,

所以平面EFG〃平面P4B.

（2）证明：因为APu平面P4B,平面EFG〃平面P4B,

所以4P〃平面EFG.

【题型8平行问题的综合应用】

【例8】（2024•四川遂宁•模拟预测）在正方体A8CD-48停1。1中，下列结论正确的是（）

①ADJ/BCi；

②平面〃平面8。的；

③力。1〃。的；

④力小〃平面BDQ.

A.①②④B,①②③C.②③④D.①③④

【解题思路】根据正方体的性质、线面平行的判定定理及面面平行的判定定理证明即可.

【解答过程】因为4B〃GDi，XB=C1£>1,所以四边形ZDiCiB为平行四边形，故4小〃80,故①正确；

易证ABJ/DCr，8Du平面BDQ,当。母平面所以/%//平面同理可得4B"/

平面BDCi，

nB1D1=Bi，ZBLDiu平面281小，故平面^^小〃平面8。的，故②正确；

由正方体2BC0-2/传1。1易知，力/与DC1异面，故③错误；

因为力D//BQ,力D仔平面BDQ,BCiU平面BDCi，所以2%〃平面BDC。故④正确.

故选：A.

【变式8-1］（2024•新疆•一■模）如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi中，设=黑=氏2,则下列说

法错误的是（）

A.BDJ/GH

B.BD与EF异面

C.EH〃平面4BCD