2025年上海高考数学二轮复习：小题限时卷03（原卷版+解析）

小题限时卷03（A组+B组+C组）

（模式：12+4满分：72分限时：50分钟）

0---------------A组•巩固提升-----------*

一、填空题

1.已知集合4={尤|尤2-6彳+5<0},3={0,1,2},则AAB=

2.与1920。终边相同的角中，最小的正角是

3.己知圆的方程为/+/一4、一％=0的面积为无，贝1|加=.

4.已知a,AeR,方程V-办+5=0一个虚根为1+历，则。+网=.

5.已知Iog4〃+21oga2=2,贝.

—x+2（x>0）

6.设函数/（X）=；，若/（。）=4,则实数。的值为—.

—（x<0）

7.已知一组成对数据（18,24）,（13,34）,（10,38）,（-1，皿）的回归方程为y=-2尤+59.5,则该组数据的相关系数r=

（精确到0.001）.

8.班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结

果有种.（结果用具体数字表示）

9.已知正三棱柱ABC-A耳G中，42=9=4,点。、£分别为棱A4、4片的中点.则三棱锥E-8OG

的体积为

10.近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金

为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的30%作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本a万元

（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低

于1500万元，则每年的运营成本应不高于万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：IB4=2.8561）

11.已知过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸的直线与C交于A,3两点，线段A3的中点为M（%,%）,

且|AB|=2%+1.若点尸在抛物线C上，动点。在直线无+y+2=0上，贝UIPQI的最小值为

12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点片、鸟、鸟、打以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,

设集合。={4,多弓4},点尸e。，过尸作直线)，使得不在。上的“”的点分布在(的两侧.用2(%)和

2(。)分别表示。一侧和另一侧的“”的点到"的距离之和.若过尸的直线。中有且只有一条满足

2心)=。2(/，则。中所有这样的尸为

A

二、单选题

13.已知。为正数,则“。>3”是“罐>产的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率

分布直方图.则下列结论错误的是()

A.估计数学成绩的众数为75B.a=0.05

C.估计数学成绩的75百分位数约为85D.估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50

15.在正方体A3CD-A4G2中，以下说法正确的是()

A.若E为。2的中点，贝”〃〃平面AEC

B.若E为DA的中点，则平面AEG

C.若E为£2的中点，则AELBR

D.若E为CA的中点，则

16.若存在实常数上和匕，使得函数/(元)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：履+6和

G(x)V丘+6恒成立，则称此直线丫=依+6为歹(x)和G(x)的“隔离直线”，己知函数

f(x)=x2(xeR),g(.x)=—(x<0),/i(.x)=2elnx(^>0)>有下列两个命题：

命题a：/(x)和〃(x)之间存在唯一的“隔离直线"y=2氐-e；

命题夕：和g(x)之间存在“隔离直线”，且6的最小值为-1.

则下列说法正确的是()

A.命题。、命题夕都是真命题B.命题。为真命题，命题夕是假命题

C.命题。为假命题，命题£是真命题D.命题。、命题夕都是假命题

<>-----------B组•能力强化----------♦>

一、填空题

1.集合A=(T1),3=Z,则AW.

2.复数z=2+i,贝U2=.

3.不等式吟W3的解集为.

x-i

4.已知问=问=1,若(2々询以，则向量Z与B的夹角的余弦值为.

5.已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，且尸(2<X42.5)=0.3,则P(X>2.5)=.

6.已知a:2*+log2xV2,/?:x<机，若a是月的充分条件，则实数优的取值范围是.

7.某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得。分，全区共4000

人参加调研，该题的答题正确率是60%,则该次调研中全区同学该题得分的方差为.

8.若x=e是函数y=(x-a)lnx的驻点，则实数。的值为.

9.已知1幽、1地、*3、1峪、1班是从大到小连续的正整数，且(哈4『<则-lgr5,则占的最小值为.

10.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的

花盆是种植鲜花的常见容器,它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底面直径分别为30cm和26cm,

下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆

台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

11.已知抛物线y=©2(a>0),在>轴正半轴上存在一点尸，使过尸的任意直线交抛物线于“、N,都有

日除+意为定值，则点尸的坐标为.

12.已知等差数列A:q,%若存在有穷等比数列氏伪，阳…，〉,其中4=1,公比为知满足

bk_,<ak_x<bk,其中尢=2,3,则称数列8为数列A的长度为N的“等比伴随数列”.数列A的通项公式为

%=〃，数列3为数列A的长度为N的“等比伴随数列”，则N的最大值为.

二、单选题

13.已知直线/和平面a,则“/垂直于a内的两条直线”是“/_La”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

a

14.若2sina=l+cosa,贝！Jtan—的值为()

2

A.2B.1C.0D.0或2

15.假定生男生女是等可能的，设事件A：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件8：一个家庭中最多有一个

女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是().

A.①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B相互独立

B.①中事件A与事件B不相互独立、②中的事件A与事件B相互独立

C.①中事件A与事件B相互独立、②中的事件A与事件B不相互独立

D.①中事件A与事件3不相互独立、②中的事件A与事件3不相互独立

16.如图，将线段AB,C。用一条连续不间断的曲线y=/(x)连接在一起，需满足要求：曲线y=/(x)经过

点、B,C,并且在点8,C处的切线分别为直线AB,CD,那么下列说法正确的是()

*口HE-f--A-rr,i>SillOX+COSbX,J_

命题甲：存在曲线>=-----------+c(a,6,ceRx)满足要求

命题乙：若曲线y=/(x)和y=上(x)满足要求，则对任意实数尢〃，当X+〃=1时，曲线y=A/j(x)+〃力(x)

满足要求

A.甲命题正确，乙命题正确B.甲命题错误，乙命题正确

C.甲命题正确，乙命题错误D.甲命题错误，乙命题错误

0----------------C组•高分突破------------♦>

一、填空题

--1

1.设A=<x|y=%4>,5={y|y=2*},则4口3=.

2.在复平面上，已知复数4和Z2的对应点关于直线y=x对称，且满足ZA=4i,贝l]|zj=.

3.函数y=[],xe[1,+oo)的值域是.

4.己知直线乙：彳+(1+根)丫+加一2=0与直线4：机x+2y+8=。平行，则加=.

5.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间(单位：min),连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的

茎叶图，则这组数据的第60百分位数是.

427

5458

70

96

6.在四面体尸-A8C中，若底面4BC的一个法向量为为=（14,0）,且方=（2,2,-1）,则顶点尸到底面A3C

的距离为.

7.设随机变量X服从二项分布X~8（〃,；）,若随机变量X的方差D[X]=（，则P（x=2）=

8.若函数y=^sinx+cosx的图像向右平移。个单位后是一个奇函数的图像，则正数。的最小值为,

2

9.设巴、瑞是双曲线尤2一二=i的两个焦点，尸是双曲线上的一点，且3|尸7"=4|尸乙|,则APf；工的周

长.

10.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台。，已知射线AB,AC为湿地两边夹

角为:的公路（长度均超过4千米），在两条公路43,AC上分别设立游客接送点E,尸，且==

千米，若要求观景台。与两接送点所成角NEE不与NA4c互补且观景台。在E尸的右侧，并在观景台。与

接送点E,尸之间建造两条观光线路DE与D尸，则观光线路之和最长是（千米）.

nvc,x<0

11.已知函数/（尤）=e，，若函数网力="力+/（-力的零点一共有3个，则实数机的取值为_______

一,x>0

12.已知有穷数列｛%｝共加项（租>3）,数列｛为｝中任意连续三项4，，吗+2«=1，2,3一・），满足如下条件:

（1）至少有两项相等；

（2）6+4+i>ai+2，a,+ai+2>aM,aM+ai+2>4.恒成立；

（3）以令，4+i,%+2为边长的三角形两两均不全等.

若e｛l,2,3,4,5｝（刀=1,2,…，m）,则加的最大值为

二、单选题

13.设a,6cR,则“〃+匕>0”是“a>0且b>0"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.设A,B为随机事件，尸为事件出现的概率.下列阴影部分中能够表示P（，n8）的是（）

A.B.

C.D.

15.图1是边长为1的正六边形ABCDEF,将其沿直线尸。折叠成如图2的空间图形AE'F'-3'D'C',若

3

A'E'=-,则几何体AE'V—3'D'C'的体积为（）

2

AR573「3代nV3

A.---D.----------U.---U.

816164

16.已知曲线「的对称中心为O,若对于「上的任意一点A,都存在「上两点B,C,使得。为VABC的重

心，则称曲线r为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”.

则（）

A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①②都是假命题D.①②都是真命题

小题限时卷03（A组+B组+C组）

（模式：12+4满分：72分限时：50分钟）

0------A组•巩固提升------------O

一、填空题

1.已知集合A={42-6X+5<0},B={0,l,2},则-08=

【答案】{2}

【分析】根据一元二次不等式求解集合元素，结合交集

【解析】由A=W（x—5）（x-l）<0}={x[l<x<5},则Ac3={2}.

故答案为：{2}.

2.与1920。终边相同的角中，最小的正角是

【答案】120°

【分析】每增加或减少360。的整数倍，终边位置不变，代入即可求解.

【解析】1920°=5x360°+120°,

所以与1920。终边相同的角中，最小的正角为120。.

故答案为：120。.

3.已知圆的方程为尤2+,2-4>-m=0的面积为兀，则机=.

【答案】-3

【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果.

【解析】由—+9-4y-〃2=。得尤2+（y-2）~=〃?+4,圆的半径为」一+4,

由圆的面积为兀得，兀.（+=兀，解得加=—3.

故答案为：-3.

4.已知a,6wR,方程V-办+5=0一个虚根为1+历，则。+网=.

【答案】4

【分析】根据一元二次方程的复数根互为共见复数，再结合韦达定理求解即可.

【解析】因为方程尤2-奴+5=0一个虚根为1+5，

则其另一个虚根为1-历，

l+bi+l-bi=afa=2

所以[（1+历）（1-历）=5'所以简=2'

所以。+网=4.

故答案为：4.

5.已知log44+210gl,2=2,则々=.

【答案】4

【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到（1幅。）2-4叫2。+4=0,解出1吗。=,即可求得答案；另

解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解.

1,2

【解析】由log4a+21og02=2,整理得；log2a+]——=2,

2log2（2

得（logz。）？-41（吆2。+4=0,解得叫2。=2,所以々=2?=4.

11C

另解：由题知log4〃+^-----7=2,则log2〃>0,a>l,

啕4

112[i2-

利用基本不等式可得log4+;-----7------=2>2J—log2d!---------=2,

log〃42log2tz\2log2tz

1।2

当且仅当下暇好历时取等号,解得"=4.

故答案为：4

；兀+2(%>0)

6.设函数/(%)=<若了（4）=4,则实数。的值为

—(x<0)

、x

【答案】4或-I

【分析】通过分段函数以及/（。）=。，即可求解。的值.

；x+2(x>0)

【解析】函数/（x）h

—(x<0)

若/(a)=a，

当avO时，—=aa=-l或a=l(舍),

af

当〃>0时，ga+2=〃，解得。=4,

综上。的值为：4或-1.

故答案为：4或-1.

7.已知一组成对数据（18,24）,（13,34）,（10,38）,（-1,加）的回归方程为丁=-2%+59.5,则该组数据的相关系数r二

（精确到0.001）.

【答案】-0.998

【分析】一组成对数据的平均值&J）一定在回归方程上，可求得加，再利用相关系数厂的计算公式算出即

可.

【解析】由条件可得，

-18+13+10-1-

x=------------------=10,

4

—24+34+38+根96+m

v=--------------------=---------

（x,y）一定在回归方程y=-2%+59.5上，代入解得相=62,

-96+6279

,=丁=2

4

22%,X，=18x24+13x34+10x38-1x62=1192,

1=1

4

J；%,2=182+132+102+(-1)2=594,

1=1

4

£X2=242+342+382+622=7020,

Z=1

1192-4xl0x—

।,2«-0.998

474/79c

(Zxi)((Z嫡-4)J(594-4X100)X(7020-4x(^)2)

z=lz=lV/

故答案为：-0.998

8.班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结

果有种.（结果用具体数字表不）

【答案】81

【分析】由分类计数原理、分步计数原理即可求解.

【解析】每名学生可报一项或两项，所以有C；+C；=3,

所以4名学生共有3x3x3x3=81种.

故答案为：81

9.己知正三棱柱ABC-A与G中，AB=AA=4,点。、E分别为棱AA、A耳的中点.则三棱锥片-2£>&

的体积为.

【答案】473

［分析］根据线线垂直可得C.E1平面ABB.A,得C.E是四面体BDEQ的底面3/汨上的高，接着计算SABDE的

面积及GE长度，再由三棱锥的体积公式计算即可得解.

【解析】由于E为棱A片的中点，且4片片G为等边三角形，故GELA用，

又A4,AC|E,叫「|4用=4,且AA，A4u平面AB4A，

二.£E_L平面ABBlAl,故GE是四面体B£>EC［的底面3DE上的高，

C］E=*X4=2GBG=4也,

qA

=q_qU_v—q—

2ABDE—^ABBIAL\DELABD2ABetE-.

三棱锥E-BDG的体积/-呐=%一皿=gx6x26=4G.

故答案为：4后

10.近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金

为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的30%作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本〃万元

（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低

于1500万元，则每年的运营成本应不高于________万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：1.34=2.8561）

【答案】34.53

1—14〃

【分析】歹!J用歹!J举法可得。〃=600x1.3"—L3〃T〃------1.3。一。=600x1.3〃一丁，即可利用等比数列的求

1—13〃

和公式求解为=600x1.3"—即可列不等式求解.

1-1.3

【解析】记％为第〃年年底扣除运营成本后直播平台的资金，由题意知4+1=L3氏-〃，

所以4=600xl.3-6Z,«2=（600x1.3—々）x1.3—〃=600x1.32-1.3a-a,

%=（600x1.3?-1.3a-x1.3-a=600x1.33-1.32-1.3tz-a,

i_i

以此类推,=600x1.3〃—L3〃Ta-------1.3。一。=600x1.3"...........-a,

〃1-1.3

i-i34

所以包=600x1.3’--------^>1500,解得a<34.53,

1-1.3

即每年的运营成本应不高于34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除运营成本后资金达到1500万

元.

故答案为：34.53

11.已知过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸的直线与C交于A,B两点，线段A3的中点为/（%,%）,

且|A31=2%+1.若点尸在抛物线C上，动点。在直线尤+y+2=0上，则|PQ|的最小值为.

【答案】述《收

44

【分析】利用抛物线的性质，求得抛物线方程，先判断直线x+y+2=0与抛物线的位置关系，然后设与抛

物线C相切且与x+y+2=0平行的直线并求出来，根据两平行线之间的距离公式即可求得结果.

【解析】由题知，设4（丹月）,8（久2，力），

mlM+兀。c

则।2_=尤。，xi+x2=2x0,

又=菁+9+p-2x0+p,

所以p=l,抛物线C方程为y2=2x,

fx+y+2=0

联立<2c，得炉+2%+4=0,无解,

[y=2x

则直线x+y+2=0与抛物线C没有公共点，

设与抛物线C相切且与x+y+2=0平行的直线为x+y+根=0,

x+y+m=0、、

则联立22，得%9?+（z2加一2）x+机2=0,

9I

则（2加一2）-4m2=0,解得机=5,

I2--I厂

则I尸QI的最小值为|2|=述.

4

故答案为:手

12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点£、P]、8、A以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,

设集合。=仍线,斗〃},点尸e。，过尸作直线），使得不在。上的“”的点分布在）的两侧.用口心）和

.若过尸的直线/p中有且只有一条满足

【答案】4、A、A

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示;

则记为的四个点是A(0,3),B(1,0),C(7,1),D(4,4),

线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,

易知EFGH为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为M(x,y),

则应5+而S+流+丽=6,

由此求得M(3,2),即为平行四边形EFGH的对角线交于点鸟,

则符合条件的直线LP一定经过点P2,

且过点G的直线有无数条；

由过点4和己的直线有且仅有1条，

过点骂和P?的直线有且仅有1条,

过点鸟和鸟的直线有且仅有1条，

所以符合条件的点是片、片、居.

故答案为：A、鸟、居.

二、单选题

13.已知。为正数，则“a>3”是“废>“3”的().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，当。>3时，利用指数函数的单调性即可判断，当相>〃时，分类讨论，最后利用

充分条件、必要条件的定义判断作答.

【解析】当a>3时，所以y=优为增函数，所以小>〃3,

当时，当a>l时，则。>3,当0<a<l时，贝i]a<3,此时0<a<1；

所以“a>3”是“废>〃”的充分非必要条件.

故选：A.

14.某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率

分布直方图.则下列结论错误的是（）

A.估计数学成绩的众数为75B.a=0.05

C.估计数学成绩的75百分位数约为85D.估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50

【答案】B

【分析】根据众数的概念可得选项A正确；利用长方形面积之和为1可得选项B错误；根据百分位数的概

念可得选项C正确；根据加权平均数的计算方法可得选项D正确.

【解析】估计数学成绩的众数为1—=75（分），A选项正确.

根据题意可得（2a+3a+7a+6a+2a）xl0=l,a=0.005,B选项错误.

:前四组的频率依次为0.1,0.15,0.35,0.3,

,估计数学成绩的75百分位数约为80+”二?六广经=85（分），C选项正确.

..•成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为6:2=3:1,

31

,估计成绩在80分及以上的学生的平均分为二乂85+了><95=87.5,D选项正确.

44

故选：B.

15.在正方体ABCO-AAGA中，以下说法正确的是（）

A.若E为。2的中点，则//平面AEC

B.若E为。A的中点，则平面AEG

C.若E为GA的中点，则AELBR

D.若E为GR的中点，则CE/BQ

【答案】A

【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.根据平面AOG，平面4DG与平面平面AEq不平行

判断；C.利用余弦定理判断；D.取C。的中点凡由CE//RF,，尸nR8=R判断.

【解析】A.如图所示：

aG

连接AC,BD交于点O,则。为8。的中点，所以OE//BR,又30。平面AEC,OEu平面AEC,所

以■82〃平面4石。，故正确；

B.易知3D1平面ADG，平面与平面平面AEQ不平行，所以B2与平面AEG不垂直，故错误；

C.如图所示：

在矩形ABG2中，BD「AE=G,设正方体的棱长为1,在AG，E中，GE=g,GD,=与,砧=；,则

』+1--

3

cosZDfiE=<4=2f-*0,所以NDQEHI则4及BQ不垂直，故错误；

2x^x132

32

D汝口图所示:

取C。的中点尸，易知CE//D\F,又=所以CE8R不平行，故错误；

故选：A

16.若存在实常数％和6,使得函数/。)和G(x)对其公共定义域上的任意实数尤都满足：F(x)2区+6和

G(x)〈区+加恒成立，则称此直线>=丘+6为尸(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数

f(x)=x2(x£R),g(x)=—(x<0),h(x)=2elnx(x>0),有下列两个命题：

x

命题a：/(尤)和/7(x)之间存在唯一的“隔离直线"y=2氐-e；

命题/：/(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且人的最小值为-1.

则下列说法正确的是()

A.命题a、命题£都是真命题B.命题a为真命题，命题夕是假命题

C.命题a为假命题，命题£是真命题D.命题a、命题夕都是假命题

【答案】B

【分析】对命题和从力有公共点(6,e),故隔离直线过该公共点，设为y-e=Mx-《)，结合

二次函数性质对参数分类讨论研究〃x)2依-左加+e(x>0)恒成立得上=2五，则直线为y=2及x-e,再用

导数法证h(x)<2氐-e恒成立即可;

则有《f丫2—+kx小-">。Q对任意"恒成立'

对命题夕：设隔离直线为>=履+6结合二次函数性质对参数分

类讨论即可

【解析】(1)对命题夕:

x2>kx+b

x2-kx-b>0-』

设〃%)，g(x)的隔离直线为丁二丘+人，贝I」1对任意XV。恒成立，即对任思XV。

—<kx+bkx?2+bx-l<0

恒成立，若左>0,记y=%?+bx—i,4=从+4左>0,则二次函数有两个不同零点，记为项,入2,由玉9=-?<。，

k

不妨设石<%2，解不等式)=丘2+公一120可知，XG(-co,jq]U[x2,-Kx)),即与米2十旅一140对任意XV。恒

成立矛盾，故人W0,

若左=0,则6=0符合题意，

若左V。，由一米一620对任意X者B成立，注意至ljy=12一区一人的对称轴为x左<0,从而A1=k2+4Z;工。，

b

2

即人24—4万，所以人<0,又>=丘2+"—1的对称轴为％=——<0,AA2=Z?+^<0,即〃k-4左，・・.

2k

k4<16b2<-64k,故~4V左<0,同理可得，M<16^2<-64Z?,即-4<6v0,人的最小值为T,故命题夕为

假命题；

(2)对命题a：

注意到函数“X)和/2(x)均经过(正,e),若存在/⑺和无⑺的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔

离直线的斜率上则隔离直线方程y-e=M》-血)，即〉=日-k&+6,

由f(x)>kx—kyfe+e^x>0)恒成立，即无？>kx—k\[s+e,整理得：x2—e—A(x—八)=[+6一%)(x—A/J)>0

对于Vx>0均成立.

若册-k=-册,则上述不等式转化成卜-五『20,显然对于Vx>0恒成立；

若册-kE册,记〃(x)=(x-&)(x+&-。，则该二次函数有两个不同零点且至少一个正零点：

%=册,0=k-五，此时飘幻是开口向上的二次函数，必有无轴以下的部分，即/i(x)20对于Vx>0无法成

立.故左=2正，此时直线y=2&'x-e,

下面证明W2jgx-e,

令G(x)=2册x-ef(x),则G⑺=2加卜一金)，于是当0<x<五时，G'(x)<0,函数单调递减；当x>五

时，G'(x)>0,函数单调递增，故当x=五时，函数取得极小值0,也是最小值，所以G(x)Z0,故

/z(x)<2^-e,所以〃x)和耳龙)存在唯一的隔离直线y=2及x-e,故命题a为真命题.

故选：B

*>----------------B组•能力强化----------♦>

一、填空题

1.集合A=(-M),8=Z,则AH8=.

【答案】{0}

【分析】根据集合的交集运算即可.

【解析】因为集合A=(-M),8=Z,则4。8={0}.

故答案为：{0}.

2.复数z=2+i,贝!12=.

【答案】2-〃7+2

【分析】根据共轨复数的定义，即可求解.

【解析】z=2+i,所以彳=2-i.

故答案为：2-i

3.不等式3W3的解集为________.

x-\

【答案】［-3,1）

【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果.

【解析】由"3W3,得到^2WO,

x—\x—1

等价于卜解得—3WX<1,

所以不等式的解集为卜3,1）.

故答案为：［-3,1）.

4.已知同=阿=1,若（21可耳，则向量Z与B的夹角的余弦值为.

【答案】1/0.5

2

【分析】设向量Z与五的夹角为。，根据向量垂直运算可得答案.

【解析】设向量Z与五的夹角为e（e«o,可），

若贝［］（2Z-石）•方=0,

所以=2口WcosO-W=2cos0-l=0,

可得cos0--.

2

故答案为：■

5.已知随机变量X服从正态分布N（2,〃），且尸（2<X<25）=0.3,则尸（X>2.5）=.

【答案】0.2/1

【分析】根据正态分布的性质计算即可.

【解析】因为正态分布曲线的对称轴为％=2,P（2<X<2.5）+P（X>2.5）=0.5,P（2<X<2.5）=0.3,

所以P（X>2.5）=0.2.

故答案为：02

6.己知a:2'+log2xW2,/7:x<Mi,若a是夕的充分条件，则实数机的取值范围是.

【答案】（Ly）

【分析】通过构造函数/（x）=2x+log2X,xe（0,+<»）,利用了。）的单调性解不等式，再由题意将a是£的充

分条件转化为包含关系，进而求得参数机范围.

X

【解析】/(x)=2+log2X,A：G(0,-Ko),

则f(x)在(0,+8)单调递增，又/(I)=2,

所以2*+log2xV2,即/(x)v/(l),故0<x4l.

贝！Ja:0<xV1.

由题意0<xWl是的充分条件，贝!u(-oo,m),

所以有机>1,故实数%的取值范围是(L+⑹.

故答案为：(1,+℃).

7.某次杨浦区高三质量调研数学试卷中的填空题第八题，答对得5分，答错或不答得。分，全区共4000

人参加调研，该题的答题正确率是60%,则该次调研中全区同学该题得分的方差为.

【答案】6

【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.

【解析】同全区同学中答对的人数为4000x60%=2400人，答错或不答的人数为1600人，

广广一人口工/口八八八十小入、,2400x5+1600x0「八

所以全区同学该题得分的平均数为------......=3分，

4000

则全区同学该题得分的方差为2400^(5-3)2+1600x(0-3)一=6

4000

故答案为：6.

8.若x=e是函数y=(x-a)lnx的驻点，则实数。的值为.

【答案】2e

【分析】根据驻点的定义可得/e)=l-2+l=0,解得。=2e,验证即可.

e

【解析】由题意知，f(x)=\nx--+l(x>0),

x

因为x=e是函数/(x)的驻点，所以尸(e)=l，+l=0,

e

解得a=2e.

Op

当a=2e时，1(九)=m尤+1,

X

当0<x<e时，r(x)<0,函数/(%)单调递减，

当工〉e时，/(%)>0,函数/(%)单调递增，

所以元二e是函数/(%)的驻点.

综上，a=2e.

故答案为：2e.

9.已知1幽、1地、*3、1峪、1班是从大到小连续的正整数，且(哈J<则J酩，则占的最小值为.

【答案】100000

【分析】令Igw=3根据给定信息列出不等式，求出％的范围即可得解.

【解析】设lg*3=%，％eN*,依题意，Ig.^=k+l,\gx^=k-\,\gx5=k-2,k>3,

,3

由(物4)<lgX[-lgx5,得(左-1)2((左+2)(左-2),解得上>],因此左23,

则1gxi25,%1>100000,所以X1的最小值为100000.

故答案为：100000

10.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并拍照留念.图中的

花盆是种植鲜花的常见容器,它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底面直径分别为30cm和26cm,

下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆

台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

【答案】5717

【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式/=+(4-々y结合条件即得.

【解析】设上面圆台的母线长为4,上面半径为4=15cm,下半圆半径为4=13cm,高为"=8cm,

2

根据圆台的母线长公式/=Jh+(r「rj,带入数值计算得到Z1=何+(15-13)2=^68=2屈cm；

设下面圆台的母线长为k，上面半径为4=12cm,下半圆半径为〃=9cm,

由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到—=工尸，带入数值计算得到

(^^(12-9)x2717^

24-芍15-13

所以该花盆上、下两部分母线长的总和为2g+3J万=5而cm.

故答案为：5A/17

11.已知抛物线,=©2(”>0),在y轴正半轴上存在一点尸，使过尸的任意直线交抛物线于“、N,都有

高+看为定值，则点尸的坐标为.

【答案】/

【分析】设直线的解析式为丫=履+机，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距

离公式，化简整理，即可得到点P的坐标.

【解析】设尸(0M).

设直线的解析式为>=无+”，

联立y=数2(4>0)得到：=kx+m,ax2-m=kx>

k

整理，得'ax^—kx—rn=O?则玉+x?——x^x—

a92a

设M（再,axf）,N（/,ax；）,

则I=玉2+（力-渥）2=（1+左2WW=X；+（m_）2=（1+左2卜；

.111%;+%;

一|MP|2+|NP1―]+/X龙;X；,

1（玉+工2）-2%JX2

1+Vx片考，

\+k2m2

111?

即存在机=五时'丽+丽=4。'

即存在尸［。，），使得康+意为定值〃

故答案为：m

12.已知等差数列A:q,%…,。“，…，若存在有穷等比数列B:瓦与，…，与，其中4=1,公比为4,满足

bk_\MauMbk，其中尢=2,3,...,N,则称数列8为数列A的长度为N的“等比伴随数列”.数列A的通项公式为

an=n,数列3为数列A的长度为N的“等比伴随数列”，则N的最大值为.

【答案】6

【分析】设出长度为N的“等比伴随数列”的公比，利用定义建立不等式，变形不等式转化为不等式恒成立

问题，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理求解即得.

【解析】设长度为N的“等比伴随数歹！T的公比为4,

则对任意正整数左，当女=2,3,…,N时，都有4-WayV4成立，

即qf<k-l<q2对2〈左4N恒成立,

当人=2时，有421；当左=3时，q<2<q2,即0VqV2；

当先“时，有：）4mgW也,二D恒成立,即当14时,w-l）1nd）

k-1k-2Lk]」max—1k2'

令山）=嗜儿"），求导得八M笔

则函数/（X）在［4,+8）上单调递减，即当上24时，［半ln3

〔max

K-1V

令g(尤)=蚂津(%>4),求导得,()一一一皿1)l-ln(D,

—g")一(—2)2-(x-2)2

则函数g(x)在［4,+