2025年中考数学总复习《圆的切线证明及相关的计算》专项测试卷（附答案）

2025年中考数学总复习《圆的切线证明及相关的计算》专项

测试卷(附答案)

学校:姓名：班级：考号：

1.如图，在。。中，直径AO与弦交于点尸，AC=BC，过点C作CELBD,与的

延长线交于点E.

⑴求证：CE是。。的切线；

(2)若AB=6,AC=3jH5,求CP的长.

2.如图，在RtZXABC中，2B90?,AE平分-54C交BC于点E,。为AC上一点，经过

A,E的0。分别交AB,AC于点D,F,连接OD交AE于点

(1)求证：BC是0。的切线：

⑵若CF=2,EC=4,求。。的半径;

(3)若AE=EC,。。的半径为2,求阴影部分面积.

3.如图，48是0。的直径，射线BC交0。于点。，E是劣弧A。上一点，且8E平分/CBA,

过点£作瓦工8。于点尸，延长EE交54的延长线于点G.

⑴求证：GB是。。的切线；

⑵若03=4,EF=243,求8。的长；

⑶若/EOG=60。，在(2)的基础上，求图中阴影部分的面积.

4.如图，AB是O。的直径，点C是圆上的一点，8,40于点0,AD交。。于点足连

接AC,若AC平分2D4B,过点尸作FUIAB于点G交AC于点H.

⑴求证：C。是0。的切线；

PH

(2)延长A3和。C交于点E,若AE=4BE,求不的值.

5.如图，AABC内接于。。，43是。。的直径，E为48上一点，BE=BC,延长CE交AD

于点。，AD^AC.

DK

⑴求证：是0。的切线;

(2)若tanNACE=；,0E=3,求2C的长.

6.如图，QO为VA3C的外接圆，为。。的直径，54平分NC3/，AD±BF,垂足为

D.

⑴求证：AD为。。的切线;

⑵若AD=2,BD=1,求。。的半径.

7.如图，点。，E,尸分别在VA5C的边AC,AB,BC上，。。是△£7心的外接圆，AE

为。。的直径，EF=DF,S.ZEFB=ZFED.

⑴求证：BC是。。的切线；

(2)求证：EF2=AECD；

(3)当A£=15,sin/尸Z)E=无时，求BE的长.

5

8.如图，AB是。。的直径，点2E均在。。上，/口4。=2/%见，点C在的延长线

上，ZC^ZABD,连接BE.

⑴求证：CE是。。的切线；

(2)若BF=2,£F=A/TT，求。。半径的长.

9.已知48是。。的直径，点“是的中点，弦交半径Q4于点T.

(D如图1,点尸是54延长线上一点，若PN=PT,求证：PN是。。的切线;

(2)如图2,连接3N,若黑=(，求tan/3的值.

10.如图，点C在以48为直径的。。上，。。的半径为3,tanB=1,CD平分/ACS交。。

于点。，交AB于点E,过点。作FD〃AB交C。的延长线于点尺

⑴求证：。尸为。。的切线；

(2)若直线C/与。。交于点G,连接DG,求近的面积.

11.如图，已知AB是0。的直径，弦CE与AB交于点/，延长CE至点D,连接AE,AC,

BE,BD,且NEAC=2NEBD+ND.

(1)求证：为。。的切线;

⑵若DE=EF,AC=2£F=1+V3,CF=2,求。。的半径长.

12.如图，A8是半圆。的直径，点。是弦AC延长线上一点，连接8。，BC,ND=ZABC.

⑴求证：5D是半圆。的切线；

⑵若ZB4c=30。，BC=5,则AC的长.

13.如图，AB为。。的直径，点尸在。。上，OF±AB,点。在EF的延长线上，点C在。。

上且DC=OE,直径AB与。C的延长线相交于点尸，AC与。尸相交于点E.

(2)若tan/A=§,DF=4,求AC的长.

14.如图，等腰RtAABC内接于。。，点。是线段。8上异于。，2的一点.连接C。并延

长交。。于点E，点尸在43的延长线上，PD=PE.

(1)求证：PE是0。的切线;

PB

⑵若如3。以求证的值.

15.如图，在VABC中，AB=AC,。为A8上一点，以02为半径的。。与AC相切于点。.交

BC于点,E,过E点作防LAC,垂足为

⑴求证：£F是。。的切线；

⑵若CF=2,AD=3,求£)E的长.

16.如图，在VA5C中，AB=AC,以45为直径的。。与BC相交于点。，DEJ.AC,垂

足为E,平分/ABC.

(1)求证：是0。的切线；

AG1

(2)若弦MN垂直于A8,垂足为G,—=MN=y/3,求。。的半径;

AB4

(3)当NB4c=36。时，证明：KBFsKAB.

17.如图，AB是。。的直径，CD在。。上，且BC=CD,过点C作CELAD,交AD的

延长线于点E,交A3的延长线于点足

(1)求证：是。。的切线；

(2)若AB=6,AE=4.8,求CP的长;

⑶若AB=4ED,求cosZABC的值.

18.如图，BE是。。的直径，A,。是。。上的两点,延长砥至点C,连接AC,N£AC=NABC.

⑴求证：C4是。。的切线；

3

(2)tanD=-,BC=10,求。。的半径.

19.如图，0。是的外接圆,AD为直径，点C是劣弧9的中点，连接AC,CD,

过点C作CB交A£＞的延长线于点B，使得ZBCD=ADAC.

(1)求证：2C为。。的切线;

(2)求证：CD2=CFAC;

3

(3)若。。的半径。4=5,sinB=-,求CP的长度.

20.如图，在VABC中，AB=AC,以AC为直径的0。与线段BC交于点。，过点。作

DEJ.AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点P.

(1)求证：直线尸E是。。的切线;

(2)若sinP=；,AC=4,

①判断VABC的形状；

②连接AD,求AD的长.

参考答案

1.(1)证明见解析

⑵

【分析】(1)连接。氏OC,先判断出OC垂直平分AB,再根据圆周角定理可得?ABD90?,

根据平行线的判定可得CE〃AB，从而可得CE_LOC,然后根据圆的切线的判定即可得证；

(2)连接O8,OC,延长CO,交48于点尸，先利用勾股定理可得CP的长，再设。。的半

径为r(r>0),则。B=OC=r,AO=2r,OF=9—r,利用勾股定理可得『的值，从而可得

OCAD的长，利用勾股定理可得5。的长，然后证出ACOPSABQP,利用相似三角形的性

质求解即可得.

【详解】(1)证明：如图，连接。氏。C,

•AC=BC，

AC=BC,

又=

二OC垂直平分AB,

，/A£＞是。。的直径，

：.?ABD90?,即AB_L8£),

,/CE1BD,

：.CE//AB,

：.CE^OC,

又•:OC是。。的半径，

CE是。。的切线.

(2)解：如图，连接OB,OC,延长CO,交AB于点尸,

CE

由（1）已得：CP垂直平分48,

/.BF=—AB=—x6=3,CF_LAB,

22

VAC=BC<AC=3y/iO,

：.BC=AC=3y/10,

CF=VfiC2-5F2=9，

设。。的半径为r（r>0）,则。B=OC=r,AD=2r,

OF=CF-OC=9-r,

在RtABOF中，OF?+BF?=OB?,即（9-）+32=/,

解得r=5,

OC=5,AT）=2x5=10,

A£＞是。。的直径，

：.?ABD90?,即ABJLBD,

BD=y/AD2-AB2=8，

又＜CFLAB,AB工BD,

：.CF//BD,

：.ACOPSRDP,

.CPPC5

••蕨一茄—W'

Q

BP=-CP,

又；CP+BP=BC=3厢,

：.CP+|CP=3A/10,

CP=—x3Vio=—Vio.

1313

【点睛】本题考查了圆的切线的判定、弧与弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性

质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解

题关键.

2.⑴见解析

⑵3

（3）26一全

【分析】（1）连接0E,根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出

NOEC=90。即可；

（2）由勾股定理可得出答案.

（3）先利用等腰三角形的性质与角平分线，三角形内角和定理，求出

ZCAE=ZBAE=ZC=3Q°,从而求得NE5=60。，即可由扇形面积公式得

S扇形EOF、。：?］。4再由直角三角形的性质与勾股定理求出CE=2百，从而求得

3603

^^OEC=—OE-CE=—X2X2A/3=2G,即可由S阴影二NOEC-S扇形反犷求解.

【详解】（1）证明：连接。石,

A.

\I•.•AE平分/B4C交BC于点E,

BEC

:.ZBAC=2ZOAEf

ZFOE=2ZOAEf

:.ZFOE=ZBAC,

：.0E//AB,

vZB=90°,

:.OE±BC,

又・・・O£是。。的半径，

.•.5C是。。的切线；

(2)解：由(1)知，5C是。。的切线，

：.OE±BC

：.NOEC=90。

^OE=OF=x,

:.OE2+CE1=OC2,

x2+42=(X+2)2,

解得元=3,

OE=3,

即圆。的半径为3.

(3)解：如图，连接。后，

AE=EC

:.NCAE=/C

,/A石平分NB4C

・・・ZCAE=ZBAE

:.ZCAE=ZBAE=ZC

V?B90?

・・・ZC4E+ZBAE+ZC=90°

・・・ZCAE=ZBAE=ZC=30°

OA=OE

：.ZAEO=ZCAE=30°

：./EOF=ZAEO+ZCAE=60°

.6O71x222

,・扇形E"_360一§»

由(1)知，BC是。。的切线，

:.OEA.BC

：.ZOEC=90°

：.OC=2OE=4

•*-CE=y/0C2-0E2=2百

S△C7£,C=-2OE-CE=-2X2X2A/3=2A/3

,,S阴影=SqEC_S扇形EOF=2』一1万.

【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，勾股定理，扇形面积，三角形面积，等腰三角形

的性质，三角形外角性质，角平分线，三角形内角和定理等知训.熟练掌握切线的判定定理

和勾股定理是解题的关键.

3.(1)证明见解析

⑵4

O

(3)8A/3--TC

【分析】(1)连接OE,如图所示，由角平分线定义得到/1=/2,由圆中半径相等，根据

等腰三角形性质得到/2=/3,再由平行线的判定与性质即可得证；

(2)连接OE,过点。作处于点如图所示，由矩形的判定与性质求出相关线段

长，结合勾股定理求解即可得到答案；

（3）解直角三角形求出£G=EOxtan60o=46，间接表示出不规则图形的面积

S阴影=S^EG-S扇形。的,利用三角形面积公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案.

【详解】（1）证明：连接OE,如图所示：

/.Z1=Z2.

・.・OB=OE,

/.Z2=Z3,

"1=/3,

s.OEHBF,

vEFIBC,

.\OE1GF.

・・・OE是。。的半径，

・•.G尸是。。的切线；

（2）解：连接O石，过点。作于点如图所示:

\-EF.LBC,

:.ZEFM=90°,

二•四边形。瓦N是矩形,

.­.OM=EF=2y]3,

BM=^OB2-OM2=，-仅可=2.

•：OMVBD,

:.BD=2BM=4；

（3）解：•.•ZEOG=60。，OE=4,

EG=EOxtan60°=4石，

s阴影=S4OEG-S扇形“E.X4X46-嗤£=8g-声.

【点睛】本题考查圆综合，涉及角平分线定义、圆的性质、等腰三角形的判定与性质、平行

线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、扇形面积公

式等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键.

4.⑴见解析

（2）—=1

AF2

【分析】（1）如图1，连接OC,根据等腰三角形的性质得到NC4O=NACO,由角平分线

的定义得到ND4c=ZOAC,等量代换得到ADAC=ZACO,根据平行线的判定定理得到

AD//OC,由平行线的性质即可得到结论；

（2）设BE=x,贝UAB=3x,根据平行线的性质得/COE=/DAB,证明AAHFSAACE,

根据相似三角形的性质即可得解.

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

OA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

；AC平分

ZDAC^ZOAC,

：.ZDAC=ZACO,

:.AD//OC,

•:CDLAD,

:.OCLCD,

•・•OC是的半径，

・・・8是OO的切线；

(2)解：,：AE=4BE,OA=OB,

设郎=x,贝!jAJ3=3x,

・・・OC=OB=1.5x,

OE=2.5x,

■:OC工CD,

，EC=^OE2-OC2=^(2.5X)2-(1.5X)2=2X,

9：FG1AB,

：.ZAGF=9Q°,

・・・ZAFG+NE4G=90。，

AD//OC,

:./COE=/DAB,

*/NCOS+NE=90。，

・・・ZE=ZAFH,

ZFAH=ZCAE,

:・AAHFS^ACE,

.FHCE

**AF-AE'

..CE_2x_1

・AE-4^-2?

.FH_1

**AF-2・

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定以及等

腰三角形的判定与性质等知识.掌握切线的判定和相似三角形的性质和判定是解本题的关键.

5.(1)证明见解析；

(2)5。=8

【分析】(1)由跖=5C,AD=AC,推出N3£C=NBCE,ZADC=ZACDf再由直径所

对的圆周角为直角推得ZADC+/BEC=90°,最后由对顶角相等即可得证;

(2)由tanZACE=g推得AD=3AE,设AE=x,AC=AD=3x,用x表示出Q4=OB=x+3,

BC=BE=x+6,结合勾股定理可得方程（3X）2+（X+6）2=[2（X+3）T，求解后即可求得5C.

【详解】（1）证明：•.•8E=BC,AD^AC,

:.NBEC=NBCE,ZADC=ZACD,

•.•AB是0。的直径,

ZACB=ZACD+NBCE=90°,

..ZADC+ZBEC=90°,

又ZAED=/BEC,

:.ZADC+ZAED^90°,

即AADE中，ZDAE=180°-ZADC-ZAED=90°,

:.OALAD,

即A£＞是。。的切线.

(2)解：-.-ZADE^ZACE,

/.tanZADE=tanNACE=—,

3

AE1

即——=—,AD=3AE,

AD3

设AE=x,AC=AD=3x,

OB=OA=AE+OE=x+3,

BC=BE=OB+OE=x+3+3=x+6,

♦.•MAABC中，AC2+BC2=AB2,

解得%=2,x2=0（:舍）,

AE=2,BC=2+6=8.

【点睛】本题考查的知识点是等边对等角、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、正切三

角函数、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握直径所对的圆周角

为直角.

6.（1）见解析

（2）0。的半径为2.5.

【分析】本题考查了切线的判定和性质.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接

圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.同时考查了三角函数的知识.

(1)要证AD为。。的切线，连接。4,只证/八4。=90。即可；

(2)根据勾股定理求出48的长，求得cos"BA=更,从而根据三角函数的知识即可得出

5

。。的半径.

【详解】(1)证明：连接。4；

：BC为。。的直径，朋平分NCBF,AD1BF,

二ZADB=ABAC=90°,ZDBA=NCBA,

：.ZBAD=ZOCAf

9：ZOAC=ZOCA,

：./OAC=/BAD,

：.ZDAO=ZDAB+ZBAO=ZBAO+ZOAC=90°,

・・・为。。的切线；

(2)解：AD=2,BD=1,

•'­AB7AD2+BU=也+俨=5

BD1_A/5

cos/DBA=

~AB~~45~~5~

,/ZDBA=NCBA,

BC--一节一5

•.cosZCBA"^"

V

。。的半径为2.5.

7.(1)详见解析

(2)详见解析

(3)5

【分析】本题考查了圆的综合运用，涉及圆的相关性质，切线的判定，并结合相似与三角函

数，熟练掌握圆的性质、相似和三角函数是解题关键.

(1)连接0P交OE于点//,证O尸，3c即可；

(2)连接AF,利用判定；

(3)分别求得AD,CD,最后利用DE〃CB,得点=笔求解.

CDBE

【详解】(1)证明：如图，连接。尸交。石于点”，

,:EF=DF,

,,EF=FD,

.・・OFIDE,

♦：/EFB=/FED,

:.DE//CB,

：.OF±BC,

•・・o/是半径，

BC是。。的切线；

(2)证明：如图，连接AF,

A

,/AE为直径,

：.ZAFE=ZADE=90°,

■:DE//CB,

ZEDF=ZCFD=ZEAF,NBCA=NEDA=90。=ZAFE,

・・・AAFES^FCD,

.DFCD

・・瓦一而‘

•:EF=DF,

・•・EF2=AECD；

9

(3)解：：ZFDE=ZFAEf

sinZFDE=sinNFAE=—,

5

VAE=15,

・・・AO=OE=OF=—

2f

在RSAF石中，inZFAE=—=—

sAE5f

EF=3/=DF,

・••在RtZkNH中，sinZFZ)E=—,FH=—x345=3,

DF55

：.OH=--3=~,

22

,**EF=FD，

：.OFIDE,

：./EDA=ZBCA=ZEDC=ZDHF=90°,

・・・四边形CDHF是矩形，

AFH=CD=3,OF//AC,

：.AEHO^AEDA,

.OHEO_1

・•布一百-5'

・・・AD=2OH=9,

■:DE//CB,

.ADAE

^~CD~~BE9

.9__L5_

••马一BE'

:.BE=5.

8.⑴见解析

⑵口

2

【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的判定定理，熟练掌握以

上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

（1）连接OE,则NBOE=2NBDE,结合题意得出,证明AAADSAOCE,结

合圆周角定理可得NOEC=/AZ）3=90。，即可得证；

⑵连接EB,证明AOBES&EBF，得出生=空，空=号，结合OB=OE,得出EB=EF,

BFBEOEEF

代入数据计算即可得解.

【详解】（1）证明：如图：连接OE,则=

D

：NDAO=2NBDE,

：.ZDAO=ZBOE,

■:NC=ZABD,

；•AABDS^OCE,

；・ZADB=/OEC,

A3是O。的直径，

・•・ZOEC=ZADB=90°,

OE是。。的半径，

CE是的切线；

(2)解：如图，连接EB,

则ZA=ZB£»,

ZA=ZBOE,

:・/BED=/BOE,

■:ZBEF=ZBOE,ZEBF=/OBE,

：.AOBES八EBF,

,EBOBOBEB

•・BF~BE'OE-EF'

OB=OE,

EB=EF,

•BF-2，EF=-\/ll，

.A/1T_OB

..才=而’

.•.OB=2,即0。半径的长为

9.⑴见解析

⑵！

3

【分析】本题考查切线的判定，等边对等角，勾股定理和解直角三角形，作辅助线构造直角

三角形是解题的关键.

(1)连接ON,则可得到尸N=PT,然后根据等边对等角得到/"=NONT,即可得到

ZPTN=ZMTO,证明结论；

(2)作NCLAB,垂足为C,连接ON,设NC=3k,根据勾股定理求出0C=4左，即可得

到3C长，然后根据正切的定义解答即可.

【详解】(1)证明：连接ON,

:点M是AB的中点，

C.MOLAB,

'：PN=PT,

ZPNT^ZPTN,

•；OM=ON,

：.ZM=Z.ONT,

ZPTN=ZMTO,

：.ZONP=ZPNT+Z.ONT=90°,

，PN是。。的切线；

(2)解：作NCLAB,垂足为C,连接ON,

..NC；；3

'OM一5’

设NC=3k,OM=5k,

：.ON=5k,

OC=yJON2-NC2=4k，

BC=9k,

【分析】(1)连接OD,如图，先根据垂径定理，利用")=£>2得到再证明

ODLDF,然后根据切线的判定方法得到结论；

(2)过点C作CHLAB于点H,利用勾股定理求出AC、BC,利用面积法求出C”，证

明ACHCSAOD产，推出三=冷，由此求出。尸、FG,再根据凡客/二？臬。〃可得答案.

OL)Ur5

CO平分NAC3,

:.ZACD=/BCD,

••AD=DB，

ODA.AB,

•/AB//DF.

：.ODLDF,

•・・OD为。0的半径，

・・・。方为。。的切线；

(2)解：如图，过点。作于点”,

〈Ag是直径，的半径为3,

AZACB=90°,AB=6,

***tanB=—,

3

.AC_1

••—―，

BC3

BC=3AC,

在RCABC中，AC"+BC2=AB-,

：.AC2+（3AC）2=62,

9A/10

5

S=-ACBC=-ABCH,

△AORC22，

3V109M

•------------------------X-------------c

••CH=3------="

65

■:FD//AB,

：.?COH?F,

,/?CHO1ODF90?,

:.^CHO^^ODF,

9

即S3,

°D°F-=~

AOF=5,FG=OF-OG=2,

.,.在RtAODF中，DF=JOF2-OD2=752-32=4，

SnnF=-ODlDF,仓电4=6,

i0DF22

FG=OF-OG=2,

•S=212

,•3DGF_5QAODF_5.U5•

【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的

判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问

题.

11.⑴见解析

⑵1+走

2

【分析】(1)由已知结合圆周角定理求得=再证明即可证明结论

成立；

(2)证明NAFC=NC,推出Ab=AC=l+百，再证明△E^s4ACF,推出所=gb=l,

据此求解即可.

【详解】⑴证明：・・・3。=5。，

ZCAF=ZBEF,

:ZBEF=ZEBD+ZD,

ZEAC=ZBAE+ZCAF=2ZEBD+ZD,

ZBAE+ZEBD+ZD=2ZEBD+ZD,

:.ZBAE二NEBD,

丁AB是。。的直径，

・・・ZBEA=90°,

：.ZBAE+ZABE=90°f

：.ZABD=ZEBD+ZABE=90°,

・•・AB±BD,

,**AB是。。的直径，

・・・BD为的切线；

(2)解：VZFBD=90°,DE=EF,

BE=-DF,EF=-DF,

22

，BE=EF,

・•・ZEBF=/EFB,

淞=淞，

・•・NC=/FBE,

•.*Z.EFB=ZAFC,

：.ZAFC=ZC,

••AF=AC=1+,

VZFBE=ZC,ZAFC=ZEFB,

：.△EBFs^ACF,

.BEBF

^~AC~~CF，

,:AC=2EF,

.EFBF

•・而一而-5'

BF=-CF=\,

2

••AB=AF+BF=1+5/3+1=2+\/3，

：.AO=1+—.

2

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角

形的判定和性质.解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

12.⑴见解析

⑵AC=56.

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，勾股定理.

（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得？ABD90?,进而可证得结论；

（2）利用直角三角形的性质，勾股定理即可解答.

【详解】（1）证明：：是半圆。的直径，

ZACB=90°,

•：ZD=AABC,

.•.ZABD=180°-(ZA+ZD)=180o-(ZA+ZAfiC)=90°,

二班)是半圆。的切线；

(2)解：VZACB=90°,NR4c=30°,BC=5,

：.AB=2BC=10,

AC=y/AB2-BC2=5A/3.

13.(1)见解析

(2)AC=

【分析】本题考查切线判定，解直角三角形，勾股定理等.

（1）连接OC,得到/OEC=/DCE,再得到NA=NACO,继而得到NOCD=90。，即可

得到本题答案；

（2）设OE=x,则AO=OC=OJ=3x,利用勾股定理列式（3x+4）?=（3尤）?+（2尤+4丫，再

连接2C,再利用三角函数公式即可得到本题答案.

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

D

（小八，.：DC=DE,

:.ZDEC=ZDCE,

・；/DEC=ZAEO,

:.ZJDCE=ZAEO,

•：OFVAB,

」.NAO石=90°,

:.ZA+ZAEO=90°,

•：OA=OC,

.•.ZA=ZACO,

/.ZDCE+ZACO=90°9

:.ZOCD=90°,

.•.尸c与半圆。相切于点c,

即尸C是。。的切线；

(2)解：：tanNA=g,

._3A/10

..cosNA--------,

10

设O石=%,贝IJAQ=OC=8=3%,

/.EF=2x,OD=OF+DF=+4,

DC=DE=OD—OE=2x+4,

在RtAODC中，OD2=CD2+OC2,

(3x+4)2=(3疗+(2x+4。

解得士=2,x2=0(舍去)

AO=OC=6,

:.AB=12,

连接BC,则ZAC3=90°

…“c八，c3A/1018710

AC=A.BcosNA_12x------=---------.

105

14.⑴见解析

(2)i

【分析】本题主要考查切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理,

熟练掌握切线的性质与判定、垂径定理、等腰三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键.

(1)连接OC,OE,由题意易得/COB=90。，NOED=NOCD,则有/PE£)=/ODC,

然后可得OE，PE,进而问题可求证；

(2)设8=a,则皮)=3OD=3a,则有OE=OB=4a,然后根据勾股定理可得

(PB+3a)2+(4a)2=(PB+4a)2,则有28=修，进而问题可求解.

【详解】(1)证明：连接OC,OE,

QO是等腰RtAABC的外接圆，。为45的中点,

OC=OE,NCOB=90。,

：./OED=/OCD,

・.・PD=PE,

ZPED=ZPDE,

•；NPDE=/ODC,

：.4PED=40DC,

VAC=BC,AO=BO,

：.COLAB,

・・・NQCD+NQDC=90。，

ZOED+/PED=ZOCD+ZODC=90°,

：.OE±PE,

・••尸石是OO的切线；

(2)角军：设=则5D=3QD=3〃，止匕时。石=。3=4〃，

・・・△「(?£是直角三角形，

PE2+OE2=PO2,

•:PE=PD=PB+BD,

・•・(PB+BD》+OE2=(PB+OB)2,

即(尸3+3a)2+(4Q『=(依+4Q)2,

解得

2

.DI7_90_15a

••PE-F3cl-,

22

9a

.PB=3

"PE~I5a~5'

F

15.⑴见解析;

⑵27r.

【分析】⑴根据等边对等角可得：NB=NC、ZB=/OEB,等量代换可得：/OEB=/C,

根据同位角相等两直线平行，可证OE||AC,因为砂_LAC,可得砂，OE,从而可证E尸

是。。的切线；

（2）连接OE,OD,可证四边形OEED是正方形，设。。的半径为L则AC=AB=5+r,

OA=5,利用勾股定理可以求出OD=4,根据弧长公式计算即可.

【详解】（1）证明：如图，连接OE,

•：AB=AC,

:./B=NC,

♦：OE=OB,

:,/B=/OEB,

:./OEB=NC,

:.OE\\AC,

vEFlAC,

:.EF1OE,

又・.・OE是半径，

.•.£F是。。的切线；

(2)解：如图，连接OE,OD,

・・・£F是。。的切线,

:.EFLOE,

「.NO跖=90。，

vEFlAC,

:.ZEFD=9Q°,

•・・AC与。O相切于点。,

:.OD±AC,

/.NODb=90。,

二.四边形OEED是矩形,

・：OE=OD,

二•四边形OEFD是正方形，

:.OE=EF=FD=OD=OB,

设。。的半径为一，

贝UAC=AB=CF+FD+4)=2+r+3=5+r,

OA=AB—OB=5+r—r=5,

在Rt^AOZ)中，ZADO=90°,AZ>=3,OA=5,

:.OD=^O^-AD1=4-

答：品的长为2九

【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定与性质、证明直线是圆的切线、弧长公式.解

决本题的关键是根据正方形的性质求出圆的半径.

16.(1)见解析；

(2)。。的半径为1；

(3)见解析.

【分析】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的

判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

(1)连接O。，先判断出NOD3=/ACB,进而得出OD〃AC,DE人OD,即可得出结论;

(2)连接QW,先求出MG,在RMMGO中,用勾股定理求解，即可得出结论；

(3)由N54c=36。，AB=AC,计算出NCBP,证明即可证明.

【详解】(1)证明：如图:

连接OD,

OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC,

•:DE，AC,

・・・DE八OD,

•・,OD是。。的半径,

・•・是。。的切线;

(2)解：连接OM,

MN1AB,

：.NOGM=90。

〈AB是直径，MN=y/3,

:・MG=NG=叵,

2

..AG_1

*AB

.AG_1

••=一，

GB3

AG^OG=-OM,

2

在如AMGO中，

OG2+MG2=OM2,

OM=1,

即0。的半径为1;

VZBAC=36°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=72°

,/BF平分/ABC,

：.ZABF=ZCBF=36°,

■:NCBF=ZBAC,ZC=ZC,

；•NCBFsAC4B.

17.(1)见解析；

(2)4；

(3)1.

【分析】(1)证明OC〃AE,即可证明跖是。。的切线；

(2)证明AFCOSAFEA得翼=手，求出。斤=5,然后利用勾股定理求解即可；

AEAF

(3)证明△CDEs^ABC得02=丝，可得=进而可求出COS/A3C=GG=L.

DEBC2AB2

【详解】(1)证明：如图，连接OCAC,

•:BC=CD,

：•BC=CD，

：.ZOAC=ZEAC.

•:OC=OA,

.\ZOCA=ZOAC,

：.ZOCA=ZEAC,

：.OC//AE,

VCE1AD,

:.CELOC,

又OC是半径,

「.£F是。。的切线;

(2)VOC//AE,

：.AFCO^FEA

OCOF口口3OF

——=——,即一=------,

AEAF4.8OF+3

解得O/=5.

在RtAOCF中，CF=yj0F2-OC2=752-32=4；

(3)・.・£F是O。的切线,

二.NOC尸=90。，

・・・CE，AD,AB是直径,

:.ZE=ZACB=9Q°,

・・・ZEDC+ZADC=180°,ZABC+ZADC=180°,

:./EDC=ZABC,

:.ACDES^ABC

CDAB

~DE~~BC

AB=4ED,CD=BC,

BCAB

二ABBC，

BC=-AB

29

cosAABC=

AB2

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，院内接四边形的性质，相似三角

形的判定与性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解

答本题的关键.

18.(1)见解析

【分析】(1)连接。4,根据等边对等角可得4=N2=N3,由圆周角定理得

ZBAE=Z2+ZOAE=90°,则等量代换N3+NQ4E=90。，即可求证;

3AF3ACCF

(2)由圆周角定理可得tanO=tan5===F，再证明△C4Es/^CBA,则==不=1；,

5AB510AC

1Q1Q32

求得AC=6,CE=—,那么55=5C—C£=10—《=即可求解半径.

【详解】(1)证明：连接，4,

D

9：OA=OB

：.Z1=Z2,

N1=N3,

・・・/2=/3,

旗是的直径，

・・・ZBAE=Z2+AOAE=90°,

AZ3+ZOAE=90°,

AZOAC=90°,即Q4LAC,

,/Q4是半径，

・・・C4是的切线；

(2)解：如图：

:淞=淞，

・•・//=〃，

,?ZBAE=90°

3AF

：.tmD=tmB=-=——

5AB

•/Z1=Z3,ZC=ZC,

・•・ACAE^ACBA,

.AEACCE

**AB-BC-AC

.3ACCE

••厂五一二‘

1Q

AAC=6,CE=《,

io及

・•・BE=BC-CE=10——=——，

55

.•.OE=g,即。。的半径为

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定

理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

19.⑴见解析

(2)见解析

(3)CF=V5

【分析】(1)连接OC,可得NC4O=/OC4=/BCD,进而由NACO+NOCD=90。得

ZBCD+ZOCD^90°,即可求证；

(2)由C为劣弧ED的中点可得/E4c=4MC=/EDC,即得AACDSWCF,进而根据

相似三角形的性质即可求证；

(3)过点尸作尸GJ_AD于点G,可证小〃BC,即得N£ZM=N3,得到

3._________

sinZEDA=sinBj,进而由三角函数得AE=6,即由勾股定理得)=/血_二岁=8，

又根据角平分线的性质可得EF