2025年中考数学复习：解答题之平面直角坐标系综合（含解析）

2025年中考数学解答题系列：平面直角坐标系综合

1.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为A(0,-2),3(2,3),C(0,l).

⑴画出三角形ABC；

(2)若三角形A与G是由三角形ABC平移后得到的，且耳的坐标是(-2,4),请你画出三角形A4G，

并写出点4与点G的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，点A3的坐标分别是(-2,0),(4,0),现同时将点48向上平移2个

单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A8的对应点C,D.连接AC,CD,DB.

(1)点C的坐标为，点。的坐标为,四边形ABDC的面积为

(2)在x轴上是否存在一点E,使得三角形。EC的面积是三角形诲面积的2倍？若存在，请求出点E

的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，。是原点，四边形。钻C是边长为5的正方形，点A,C分别在x轴，

y轴正半轴上，P为边。4上任意一点(不与点。，A重合)，连接CP,过点尸作PMLCP,交AB

于点。，且尸河=CP,过点〃作MN/Q4,交80于点N,连接N£>,BM,设OP=a.

(1)求点M的坐标：(用含。的代数式表示)

(2)试判断线段的长是否随点尸位置的变化而变化，并说明理由.

4.如图所示，在平面直角坐标系中，点C的坐标是(-U).

⑴直接写出点A、8的坐标；

(2)将三角形ABC先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形A'B'C',在坐标系

中画出三角形AB'C',并写出A、B\C'三点的坐标；

⑶点P(a,。)是三角形ABC内的一点，当三角形ABC平移到三角形A'B'C'后，若点尸的对应点P,

则点P'的坐标为.

5.在平面直角坐标系xOy中，点尸的坐标为(%,%),点。的坐标为(%,%),且玉片马，切片丫2，若

P,。为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,。的“相关矩

形”，如图为点尸，。的“相关矩形”示意图.

卜歹

66-6

5-5-5-

4-；_______Q4-4-

3-3-3-

2p2-2

11-1

।।।।।।ii।i।।111111A1i11ii111111A

-6-5-4-3-2-1^.123456X-6-5-4-3-2-1^_123456X-6-5-4-3-2-1^_123456X

--7-

--3-

--4-

--4-

--O-

图①备用图备用图

⑴已知点A的坐标为(-LO),

①若点B的坐标为(3,2),点A,B的“相关矩形”的面积是」

②点C在直线y=-2x+2上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求点C的坐标.

⑵已知点"的坐标为(m,-5),若在二次函数y=/-2x-3图象上存在点N,使得点M,N的“相关矩

形”为正方形，求相的取值范围.

6.综合与实践

【问题背景】

在平面直角坐标系中，点A坐标为(0,租)，点8坐标为(",0),点C坐标为(G"?).

(1)求VABC的面积.

【解决问题】

(2)若〃z=3,n=-2,c=-4,求四边形AOBC的面积.

【深入探究】

(3)在(2)的条件下，过03中点“作直线MN〃y轴交A3于点N,求点N的坐标.

【拓展延伸】

(4)在(2)的条件下，点尸的坐标为在x轴上是否存在点M,使三角形的面积等于

四边形O尸54面积的3倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，平行四边形0WC在平面直角坐标系中，A（4,o）、c（l,3）.

⑴求B点的坐标;

⑵若尸是线段A3上的动点，问/P「蓑R:黑/PDA是否为定值？若是,求出其值；若不是，求其范围.

s+s

⑶若尸是线段A3上的动点,卡—叱是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围.

3四边形OABC

8.如图1,平面直角坐标系中，直线交x轴于点A（a,O）,交y轴于点80,6）,且|。-4"7^二！=0

⑴求。、6的值并写出A、8两点的坐标；

（2）点C在x轴上，三角形03c的面积是三角形01B面积的一半，求点C的坐标；

⑶如图2,点C（-2,0）在x轴负半轴，CD//AB,交y轴于点。，直接写出点。的坐标.

9.在平面直角坐标系中,点A、B、C坐标分别为（T0）、（4,0）、（0,2）,连接AC、BC.

⑴如图1,求证：BC=2AC；

（2）如图1,求证：ACLBC-,

（3）如图2,点G在C4延长线上，连接BG,尸是上一点，过点尸作8G的垂线交》轴于点。，D

点坐标（0,7）,垂足为E,当DE=3E+3G时，求下点坐标.

10.如图1,在平面直角坐标系中，。为原点，是等腰直角三角形，?B90?,点4（42,0）,

点B在第一象限，长方形OCDE的顶点E（-3,0）,C（0,1.2）,点。在第二象限.

（1）点。的坐标为；长方形OCDE的面积为；

⑵将长方形OCDE沿x轴向右平移，得到长方形，点。，C,D,E的对应点分别为O',C,加,

£.长方形O'C'D'E'与重叠部分的面积为S.

小王同学猜想：当点以恰好落在08边上时（如图2）S最大；

小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角△OAB的中央位置（如图3）,即O'E'的中点与。4的

中点恰好重合时S最大.

请你探究一下这两种位置中，哪一种位置的S比较大，并说明理由（提示：设54与长方形的边力C'、

C'。分别交于M、N两点，可令图2中的MC'=a）

11.用一条直线分割一个三角形，如果能分割出一个等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一

3c=3.

（填“是”或“不是”）.

（2）如图2,点尸是边AC上一个动点，当直线是VABC的等腰分割线时，求尸C的长度.

（3）如图3,若将VA3C放置在如图所示的平面直角坐标系中，点。是边上的一点，如果直线CQ是

VABC的等腰分割线，则点。的坐标为一.（直接写出答案）.

12.如图1,在平面直角坐标系中，A(-3,0),ZOBC=60°,3c与>轴正半轴交于点C,且BC=4.

(1)B点的坐标是

(2)如图2,点尸从点A出发，沿射线方向运动，同时点。在边BC上从点B向点C运动，在运动

过程中：

①若点尸的速度为每秒2个单位长度，点。的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当△PQ8

是直角三角形时，求才的值；

②若点尸、。的运动路程分别是。，b,当△PQB是等腰三角形时，求出。与6满足的数量关系.

《2025年中考数学解答题系列：平面直角坐标系综合》参考答案

1.（1）画图见解析

（2）画图见解析，4（Y,T），6（Y，2）

【分析】（1）根据点A、B、C的坐标描出各点，再相连即可；

（2）根据用的坐标可知三角形ABC先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形

A4G，据此可画出图形，再根据图形写出点A与点G的坐标即可；

本题考查了坐标与图形，图形的平移，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】（1）解：如图所示，三角形A8C即为所求；

（2）解：如图所示，三角形A耳G即为所求，由图可得，G（T,2）.

2.(1)(0,2),(6,2),12

⑵在x轴上存在一点E（l,0）或（7,0）,使得三角形OEC的面积是三角形DEB面积的2倍，

【分析】（1）根据平移的性质解答即可求解；

（2）设点E的坐标为（x,0）,则3E=|x-4|,可得2xgx|x-4|x2=6,解方程求出x即可求解;

本题考查了点平移，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键.

【详解】（1）解：由平移得，点C的坐标为（0,2）,点。的坐标为（6,2）,

AB=4-(-2)=6,

/.四边形ABDC的面积=6x2=12,

故答案为：(0,2),(6,2),12；

(2)解：在x轴上存在一点E(l,0)或(7,0),使得三角形DEC的面积是三角形加面积的2倍，理

由如下：

设点E的坐标为(无,0),则骸=归-4|,

•/CD=AB=6,

SDEC=-X6X2=6,

:三角形DEC的面积是三角形DEB面积的2倍，

2x—x

2

/.|x—4|=3,

解得尤=1或%=7,

•••点E的坐标为(1,0)或(7,0).

3.(1)(。+5,a)

(2)线段的长不随点尸位置的变化而变化，为定值5,理由见详解

【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形

的性质与判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用.

(1)作旌_Lx轴于E,则NAffiP=90。，先证出NPME=NCPO,再证明得出

ME=PO=a,EP=OC=5,求出OE,即可得出点M的坐标；

(2)连接AAf,AB与MN交于点、F,先证明四边形AEMF是正方形，得出NAME=45。=N3Q4,

AM//OB,再证出四边形O4WN是平行四边形，即可得出MN=Q4=5.

【详解】⑴解:

如图所示，过点M作ME_Lx轴于E,则/MEP=90。，ME//AB,

ZMPE+ZPME=90°,

四边形Q4BC是正方形，

/.ZPOC=90°,OA=OC=AB=BC=5fZBOA=45°,

PM八CP,

：.^CPM=90°,

\?MPE?CPO90?,

:.ZPME=Z.CPO,

在AMP石和APCO中，

ZMEP=ZPOC=90°

<ZPME=ZCPO,

PM=CP

\一MPE".PCOgS),

\ME=PO=a,EP=OC=59

\OE=a+5,

点M的坐标为(a+5,a)；

(2)解：线段MN的长不随点P位置的变化而变化，为定值5,理由如下:

如图所示，连接AM,A3与脑V交于点尸，

MN//OA,ME//AB,ZME4=90°,

二•四边形A£MF是矩形，

又EP=OC=OA,

\AE=PO=a=MEf

四边形AEMF是正方形，

\1MAE45??BOA,

\AM//OB,

.•.四边形。是平行四边形，

,-.MN=OA=5.

线段MN的长不随点尸位置的变化而变化，为定值5.

4.(l)A(-2,3),3(—3,0)

(2)画图见解析,A(1,1),B,(O,-2),Cf(2,-1)

⑶(a+3,b-2)

【分析】本题考查了作图一平移变换,平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；

(2)先确定平移后的点的坐标，再顺次连接即可得出；

(3)根据坐标的平移方式(左减右加，上加下减)即可确定平移后的坐标.

【详解】(1)解：根据图形，得A(-2,3),5(-3,0)；

(2)解:如图，A8C即为所求，

(3)解：•.•三角形A3C先右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形A'3'C',

.,.点P(a,b)的对应点点P'的坐标为(。+3,6-2)

故答案为:(。+3/-2).

5.(1)①8；②点C的坐标为，,g)或(3,-4)

7一1

(2)机〉a或根＜]

【分析】(1)①首先画出图形，然后根据矩形面积公式求解即可；

②设C«,-2f+2),根据题意分两种情况，然后根据正方形的性质列方程求解即可；

(2)设根据题意得到旧-〃?|="2-2〃+2,然后分两种情况讨论，分别根据判别式

求解即可.

【详解】(1)①如图所示,

杈

6-

5-

4-

।।।।।ci_________111111A

-6-5-4-3-2-10.i23456X

.•.点A,8的“相关矩形”的面积是4x2=8；

②：点C在直线＞=-2元+2上，

.•.设2f+2)

,••点A,C的“相关矩形”为正方形

t-(—1)=-2t+2

解得f

当点C在C2位置时，

:点4C的“相关矩形”为正方形

1)=—(—2/+2)

解得7=3

C(3,T)；

(2)•・,点N在二次函数产——2x—3图象上

・,・设N("—2〃-3)

・・,点M的坐标为(根5),点M,N的“相关矩形”为正方形

|zi-词=〃2_2n_3-(_5)

/.\n-n^=/—2〃+2

当〃之小时，n—m=r^—2n+2

整理得，n2-3n+m+2=0

根据题意得，A=(—3)2—4(m+2)>0

解得；

4

当〃<加时，m—n=n2—2n+2

整理得，n2—n+2—m=0

根据题意得，△=(一1)2一4(2-帆)>。

,7

解得桃〉：；

4

71

综上所述，机的取值范围为相或加<7.

【点睛】此题考查了坐标与图形，一次函数和二次函数的上点的坐标特点，正方形的性质，解题的关

键是正确画出图形表示出点的坐标.

6.(1)||cm|；(2)9；(3)

【分析】本题主要考查了坐标与图形，数量掌握图形面积与点的坐标之间的关系是解题的关键.

(1)根据点的坐标可得AC=H，ACx轴，点8到AC的距离为|M，据此根据三角形面积计算公式

求解即可；

(2)根据(1)所求求出VABC的面积，再求出A、B坐标，进而求出的面积即可得到答案；

(3)先求出OM的长，则可得点N横坐标，根据S*=SAOBN+SAOAN列式求出肋V的长即可得到答

案；

(4)求出SB”的面积，进而得到四边形。尸54面积，则可得到三角形的面积，根据三角形面积

计算公式求出BM的长即可得到答案.

【详解】解：(1):点A坐标为(0,〃。，点C坐标为(G〃?)

AC=|c|,ACx轴，

•・,点5坐标为（〃,o）,

・••点5到AC的距离为帆

・・・S同；

(2)当m=3,n=-2,c=T时，A(0,3),B(-2,0),S=6,

・・・O4=3,05=2,

S/Ai£R>Cz=_0A-OB—3,

・・S四边形A08C=^AABC+^/XABO~9;

(3)・・・。3=2,点M是05中点，

sBOP=|OB-|yp|=1x2xl=11

••S四边形0PB4—SAAOB+S/\BOP=4,

三角形画的面积等于四边形OPBA面积的3倍,

S^ABM=12,

：.-BM-OA=n,

2

：.-x3BM=12,

2

BM=8,

”(-2,0),

...加(一8,0)或“(6,0).

NPCB+/POA

⑵是定值,其值为1

NCPO

⑶号一次是定值，其值为9

D四边形O4BC乙

【分析】本题主要考查平行四边形的性质，找到角或面积之间的关系是解题的关键.

(1)由条件可知8点的纵坐标和C点的相同，延长交y轴于点。，可求得8。的长，可求得8点

的横坐标；

(2)过点P作尸E//8C,交OC于点E,则由平行的性质可得出？PCB?POA?CPO,可得出结论；、

(3)设平行四边形。4BC的AB边上的高为。，则可表示出一3CP和一Q4P的面积和，表示出平行四

边形0RC的面积，可找出其关系，得出结论.

【详解】(1)解：

如图1,延长BC交y轴于点。，

四边形。钻c为平行四边形，

BC=OA=4,且C点坐标为(1,3),

:.CD=\,0D=3,

,3点坐标为(5,3)；

(2)解：

BC//OA,

\PE//OA,

\?BCP?CPE,1POA?OPE,\?OPC?CPE?OPE7BCP1POA,

、?PCB仲OA_CPO_1

WPO-CPO~'

、1PCB1POA曰一金甘后口,

'BCP。年值'其值为1；

SBCP=；2P?〃，

(3)解：设平行四边形Q45C的A3边上的高为〃，则SOAP=^AP?h,

c—.4.—Z?

0平行四边形0ABe—•〃，

SBCP+SQAP=2(3P+AP)〃=5AS?/?2s平行四边形OABC，

・・.二二L

qV7

“四边形。4BC口四边形0A5C

C-I-c

\一维是定值，其值为J.

D四边形048c乙

8.(l)a=4,6=2,A(4,0),3(0,2)

⑵(2,0)或(-2,0)

(3)(0-1)

【分析】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参

数构建方程解决问题.

(1)利用非负数的性质求出a,b的值即可解决问题.

(2)设C(〃0).根据5.=；53=2构建方程求出机即可解决问题.

(3)如图2中，连接BC,AD,由CD〃AB,推出5。然=，由此构建方程求出0D即可解决

问题.

【详解】(1)I?：V|«-4|>0,7^2>0,5.|a-4|+^/^2=0,

a=4,b=2,

：.A(4,0),5(0,2)；

(2)解：设C(狈0).

VA(4,0),5(0,2),

.♦.04=4,OB=2,

SOBC=-SAOB=2,

211

m=+2,

；.c的坐标为(2,0)或(—2,0).

(3)解：如图2中，连接BC,AD,

：.CD//AB,

•,S/XABC=S&ABD'

.•.1x（2+4）x2=1（2+OZ））x4,

，OD=1,

：.0（0,-1）.

9.(1)见解析

⑵见解析

⑶(2,1)

【分析】(1)利用勾股定理求出AC=JOA?+OC?=E,BC=4OB。+=2石,即可而得出结论；

(2)由(1)知AC=6BC=2卮求出AB=4—(-1)=5,利用勾股定理逆定理即可证明结论；

(3)过点P作y轴的垂线，垂足为H,设5G与y轴交点为证明，ZX不名区4G(ASA),结合题

意证明3E=EF,求出BC=CG=2&',得至！JCT=AG=AC=6，再证明oCEH-ACO(AAS),推

出OC=HF=2,CH=OA=1,即可得到尸点坐标为(2,1).

【详解】⑴解：；(-1,0)、(4,0)、(0,2),

/.OA=1,OB=4,OC=2,

AC=A/0A2+0C2=y/5,BC=^OB2+OC2=2右，

，BC=2AC；

(2)解：由(1)知AC=小,BC=2小,

'：AB="(-1)=5,

AC2+BC-=5+20=25=AB2,

ASC是直角三角形，且NACB=90。，

AC±BC；

(3)解：过点尸作y轴的垂线，垂足为H,设8G与y轴交点为M,

V0(0,7),

，CD=1-2=5,

：.CD=AB,

:DELBG,

：."EG=90°,

・•・NEDM+NDMB=90。,

,/ZABM+ZDMB=90°f

：.ZEDM=ZABM,

由(2)知NAC3=90。，

・•・ZBAG=AABC+AACB=ZABC+900,

,:ZDCF=ZABC+/BOC=ZABC+900,

：./BAG=/DCF,

:・；DCF"二BAGgZ,

；・DF=BG,CF=AG,

•；DE=BE+BG,

:.DE=BE+DF=DF+EF,

・•・BE=EF,

:・/DEB=/DEG=90。,

：.NCBG=45。,

：.N3GC=180。—ZACB—NCBG=45。，

・•・BC=CG=?5

丁AC=亚,

AG=CG-AC=5

CF=AG=AC=B

「ZCFH+ZBCO=ZACM+ZBOC=90°,

・・・/CFH=ZACM,

•・・ZCHF=ZCOA=90°,

.」CFHgqACO(AAS),

OC=HF=2,CH=OA=1,

歹点坐标为(2,1).

【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正

确构造三角形全等时解题的关键.

10.⑴(-3,1.2),3.6

(2)小张同学猜想的位置的S比较大，理由见解析

【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质，解题关键是利用等腰直角三角

形和长方形的性质，通过合理设未知数来计算重叠部分面积并比较大小.

(1)由E(TO),0),C(0,1.2),及四边形A3CD是矩形即可得出答案；

(2)分别求出两种情况的面积，再比较即可，具体减详解.

【详解】⑴解;矶―3,0),0),C(0,1.2),

:.OE=3,OC=1.2,

四边形ABCD是矩形，

:.CD=OE=3,DE=OC=\2,ZD=DCO=DEO=90°,

点D的坐标为(-3,1.2)；长方形OCDE的面积为3x1.2=3.6,

故答案为:(-3,1.2),3.6；

(2)小王同学猜想：当点以恰好落在08边上时(如图2),

是等腰直角三角形，

ABOA=45°=NBA。=45°,

将长方形OCDE沿x轴向右平移,得到长方形O'C'D'E',

CD'//OA,

/BMD'=NBA。=45°,

OWN是等腰直角三角形，

:.MC=C'N=a,

2

.•uC'MN的面积=幺，

2

2

•••长方形O'C'D'E'与钻重叠部分的面积为长方形O'C'D'E'的面积-土；

2

小张同学猜想：当长方形恰好平移到等腰直角AOAB的中央位置(如图3),

止匕时的MC'=C2V=刍，

2

.•.C'MN的面积=」x@xq=£,

2228

22

「•长方形O'C'D'E'与重叠部分的面积为长方形OCDE的面积—幺—二=长方形O'C'D'E'的

88

2

面积-幺，

4

a2a.2

一＜一,

42

二小张同学的方法使得重叠部分的面积更大.

11.⑴是

⑵(7或3

O

⑶［-轲或儒耳或加或加

【分析】(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形；

(2)设CP=x,①当出=网=4-无，根据勾股定理列方程得：32+X2=(4-X)2,解出x即可，②

当CP=C3时；可得CP=3；

(3)分情况进行讨论：先分qACQ是等腰三角形时，分三种情况讨论，当4C=A。时可求出点

当CQ=AQ时，可求出当6=CQ时，Q不在边上，舍去.再分△BCQ是

等腰三角形时，同理分三种情况讨论可出点Q的坐标为［go］或；

【详解】(1)解：/ACB=90。，O为A3中点，

在R3ACB中，==

2

△AOC和一BOC是等腰三角形，

则直线OC是VABC的等腰分割线；

故答案为：是.

(2)解：①当AP=BP时，BC=3,

设CP=x,

①当9=尸3=4—x,

在RtZXBPC中，BC-+PC2=PB2,

32+x2=(4-x)2,

7

解得：x=-,

o

即：CP=73

o

②CP=C8时，CP=BC=3；

7

即CP的长为/或3；

o

(3)解：ZACB=90°,AC=4,BC=3,

:.AB=7AC2+BC2=742+32=5，

S.=-B