2025年中考数学复习难题之四边形

2025年中考数学复习难题速递之四边形（2025年4月）

选择题（共10小题）

1.（2025春•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABC。中，点E、点厂是边上两点，满足AE=

AB,AF^AC,延长BE、CF交于点、G,连接AG,设/2GC=a,则NCAG的大小用含a的代数式表

示为（）

A.aB.90°-aC.30°+尚aD.180°-3a

2.（2025春•南京月考）下列说法正确的是（）

A.平行四边形是轴对称图形

B.平行四边形的对角线相等

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

3.（2025•合肥一模）在回ABC。中，对角线AC与BO交于点。，点E在3c上，点尸在CD上，连接AE,

AF,EF.下列结论错误的是（）

CEAD

A.若EF〃BD,则一=一

CFAB

B.若AC_LB。，AE=AF,贝UE尸〃BA

CEAD

C.若一=一,则EF//BD

CFAB

D.若AE_LBC,AFLCD,AE^AF,贝l|E尸〃BD

4.（2025•千山区模拟）如图，在团ABC。中，AC是对角线，当△ABC是等边三角形时，/BAD为（）

5.（2025•永年区模拟）如图，在矩形纸片ABC。中，OC=8,点/是A8边上的一点，点N是。C边上

的中点，佳佳按如下方式作图：

①连接MC,MD；

②取MC,的中点尸，Q

③连接PN,QN.

若四边形MPNQ是矩形，可以推断AD的长度不可能是（）

C.4D.5

6.（2025•朝阳区校级一模）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航

天纪念章.小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为（

C.45°D.105°

7.（2025•湖南模拟）如图，在菱形A8CD中，E,F分别是AC,CO的中点，AB=8,则跖的长为（）

6C.8D.不确定

8.（2025•乌鲁木齐一模）如图，在中，ZACB=9Q°,AC=BC=5.正方形。的边长为4,

它的顶点O,E,G分别在△ABC的边上，则BG的长为（）

A.3B.3V2C.5D.5V2

9.（2025•晋州市模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,4）,PG,力，且0<f<4,

点。在x轴的负半轴上，将线段QP绕点。逆时针旋转90°变为线段。2,以B4,PQ为邻

边作回必C。，射线BC交x轴于点D,8E是点8到y轴的垂线段.则下列结论中：®AC±BQ；②四边

形0D8E是正方形；③AE+CD=O0；④CQ存在最小值，且其最小值是2混；⑤若连接。尸，则f值从

小变大时，/ACQ+NOP。的值先增大再减小，错误的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

10.（2025•金寨县模拟）如图，在正方形ABC。中，M,N分别是A8,AD的中点，CM,8N相交于点E,

AC与BN相交于点F，分别连接AE,DE,则下列结论错误的是（）

B.EA平分产

.EM1EF3

c.—=一D.—=-

CE4BE4

二.填空题（共5小题）

11.（2025•南关区模拟）如图，点E为正方形ABC。对角线AC上一点，连结。E,过点E作EPLOE,

交BC延长线于点R以。E、所为邻边作矩形。跖G,连结CG.给出下列四个结论:

①DE=EF；

②△DAE*DCG；

③AC_LCG；

@2CE+CG=V2CD.

上述结论中，正确结论的序号有

AD

12.（2025春•南京月考）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE1BC于点E,贝UAE的长

13.（2025•碑林区校级二模）菱形的周长为20,对角线AC长为6,CE是边AB上的高线，则线段

CE的长为.

14.（2025•碧江区一模）如图，四边形ABCD是矩形，且对角线AC、8。相交于点O,若/4。8=50°,

则NOC£）=.

15.（2025•浙江模拟）如图，AC是菱形的对角线，N3AC=38°,点K在8C的延长线上，贝叱

16.（2025•花溪区模拟）【问题情境】

如图，四边形ABC。是正方形.过点C在正方形ABC。的外侧作射线CMNZ）CN=a（0°<a<90°）.作

点。关于射线CN的对称点E,线段DE交射线CN于点连接8E交直线CN于点尺

【探究发现】

(1)当0°<aW45°时，NE/W的度数为度；

【猜想论证】

(2)在(1)的条件下，猜想线段EB,FC,FE之间的数量关系，并证明你的猜想;

【拓展应用】

(3)若CF=1,FM=2,求尸2的长.

17.(2025•天镇县模拟)综合与探究

在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动.

实践操作：

如图，在矩形纸片A8CZ)中，AB=8,BC=10.

第一步：如图1,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点F处，得到折痕

CE,然后把纸片展平.

第二步：如图2,再将矩形纸片沿BF折叠，此时点A恰好落在C尸上的点N处，BF,8N分别与CE

交于点G,M,然后展平.

问题解决：

(1)求AE的长.

(2)判断EF,与。之间的数量关系，并说明理由.

拓展应用：

(3)如图3,延长CE,D4相交于点尸，请直接写出的长.

18.(2025•市北区校级一模)如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=6cm,BC=10cm,在BC上取一

点。，使8O=A8=6c加，连接AD,分别过点A,点C,作AE〃8C,CE//AD,交点为E.点P从点A

出发，沿AC方向匀速运动,速度为la〃/s；同时，点。从点B出发,沿BA方向匀速运动，速度为\cm"过

点P作PP〃CE,交AE于点、F,连接PD,DQ.设运动时间为t(s)(0</<6),解答下列问题：

(1)当f为何值时，点PD〃AB?

(2)设五边形的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式；

(3)连接3尸，是否存在某一时刻f,使得尸8垂直平分A。？若存在，求出f的值；若不存在，请说明

理由.

19.(2025•浦口区校级模拟)如图，团ABC。的对角线AC,3。相交于点。、£是BC的中点，连接E。并

延长交于点孔连接AE,CF.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若平分NAEC,求证AB_LAC.

20.(2025春•南京月考)如图，回A8C。的对角线交于点。，点E、F、G、H分别是A。、BC、BO、DO

的中点.

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)当回ABC。满足什么条件时，四边形EGEH是矩形？请说明理由.

2025年中考数学复习难题速递之四边形（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BDBDDAABBD

选择题（共10小题）

1.（2025春•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形A3CZ）中，点E、点厂是边上两点，满足AE=

AB,AF=AC,延长BE、CP交于点G,连接AG,设/BGC=a,则/CAG的大小用含a的代数式表

示为（）

A.aB.90°-aC.30°+^aD.180°-3a

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】B

【分析】过点G作GMLR4延长线于点GKLAC于点K,GNLBC延长线于点N,由四边形ABC。

是平行四边形，得AD〃BC,利用平行和等腰易得N4BE=/C8E,可得GM=GN,设

=NCBE=6,通过等腰三角形性质、三角形内角和及平行可以导角推出NBAC=2a,NFCN=NAFC

=a+0,可得GN=GK,则GK=GM,推出AG平分/CAM,则可求出/G4C=^CAM=90°-a.

【解答】解：如图，过点G作GMJ_BA延长线于点M,GKLAC于点K,GNJ_BC延长线于点N,

:四边形A8C。是平行四边形,

J.AD//BC,

；・NAEB=NCBE,AE=AB,

：./ABE=/AEB,

：.ZABE=/CBE,

:・GM=GN,

设NABE=ZAEB=ZCBE=p,

：.ZBAE=180°-ZAEB-ZABE=18O°-20,ZFEG=P，ZABC=AABE+ZCBE=2p,

■:/BGC=a,

：.ZAFC=ZFEG+ZBGC=a+p,

VAF=AC,

NACF=ZAFC=a+P，

：.ZFAC=ISO°-AAFC-ZACF=180°-2(a+0),

：.ZBAC=ZBAE-ZBAC=180°-20-[1800-2(a+0)]=2a,

：.ZCAM=18Q°-ZBAC=180°-2a,

,:AD〃BC,

：.ZFCN=ZAFC=a+P，

/FCN=ZACF,

:・GN=GK,

:・GK=GM,

・・・AG平分/CAM,

1

ZGAC=^CAM=90°-a,

故选：B.

【点评】本题考查角平分线的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,

三角形外角的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键.

2.(2025春•南京月考)下列说法正确的是()

A.平行四边形是轴对称图形

B.平行四边形的对角线相等

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【考点】矩形的判定；轴对称图形；线段垂直平分线的性质；菱形的判定.

【专题】推理能力.

【答案】D

【分析】由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定和轴对称图形的判定分别对各个选项进行判断

即可.

【解答】解：A、平行四边形不是轴对称图形，故A不符合题意；

8、平行四边形的对角线不一定相等，故8不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形可能是矩形，也有可能是等腰梯形，故C不符合题意；

。、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、轴对称图形的判定、平行四边形的判定与性质，掌握矩

形的判定、菱形的判定、轴对称图形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键.

3.（2025•合肥一模）在固48。中，对角线AC与8。交于点。，点E在上，点F在上，连接AE,

AF,EF.下列结论错误的是（）

CEAD

A.若EF〃BD,则一=一

CFAB

B.AC±BD,AE^AF,则所〃

»CEAD

C.若一=一，则EF//BD

CFAB

D.若AFLCD,AE=AF,贝!J

【考点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】平行线分线段成比例结合平行四边形的对边相等，判断A;先证明四边形A3。是菱形，得到

CB=CD,分CE=C尸和CEWCR两种情况，判断8,根据平行线分线段成比例的推论，判断C；先

CECF

证明四边形ABC。是菱形，再证明CE=CR得到丁=丁，判断D

【解答】解：四边形A8C。是平行四边形，如图1：

Q

//

$C

E

：.AD=BCfAB=CD；

CECF

若EF〃BD,贝lj：—=—，

CBCD

tCECBAD

"CF~CD~AB"

故选项A正确，不符合题意；

若则四边形ABC。是菱形；

：.CB=CD,

：.ZACE=ZACF,

当AE■与8C不垂直时，8C上还存在一点E，，使AE，=AF,如图2,

在△ACE和△Ab中,

CE=CF

^LACE=乙4CF,

AC=AC

：.AACE^AACF(SAS),

：.AE=AF,

.CECF

••—,

CBCD

：.EF//BD,

而另一点中也满足AE，=AR但E'b与8。不平行,

・•・斯与瓦)不一定平行，

故8选项错误，符合题意；

ADMEBC

右—=，贝U-=，

CFABCFCD

CECF

•t•—,

CBCD

：.EF//BD,

故。选项正确，不符合题意；

若AE_LBC,AF±CD,AE=AFf贝(J：SABCD=BC・AF=CD・AF,

:・BC=CD,

・•・四边形A5CD是菱形；

VZAEC=ZAFC=90°,

・•・AAEC和△AFC是直角三角形，

在RtAAEC和RtAAFC中，

(AC=AC

\AE=AF9

ARtAAEC^RtAAFC(HL),

：.CE=CF,

.CE_CF

••一,

CBCD

：.EF//BD,

故选项。正确，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成

比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

4.(2025•千山区模拟)如图，在13ABe。中，AC是对角线，当△ABC是等边三角形时，/BAD为()

B

A.30°B.45°C.60°D.120°

【考点】平行四边形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】D

【分析】AABC是等边三角形时，ZB=60°；由平行四边形的对边相互平行知AO〃BC,则由“两直

线平行，同旁内角互补”求得答案.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

：.ZB=60a.

在团ABC。中，'：AD//BC,

：.ZB+ZBAD^180°.

：.ZBAD=\20°.

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和等边三角形的性质，属于基础题.

5.（2025•永年区模拟）如图，在矩形纸片ABC。中，OC=8,点M是边上的一点，点N是。C边上

的中点，佳佳按如下方式作图：

①连接MC,MD；

②取MC,的中点P,。；

③连接PN,QN.

若四边形MPNQ是矩形，可以推断AD的长度不可能是（）

【考点】矩形的性质；作图一复杂作图；垂线段最短；三角形中位线定理.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】连接MW,PQ,求解四边形MPNQ是矩形时，MN=PQ=4,再进一步分析即可.

【解答】解：如图，连接NM,PQ,

,：MC,MD,CO的中点分别是P,Q,N,

:.PN、QN是的中位线，

V£)C=8,

：.PQ=;DC=4,PN||DM,QN||CM,

：.四边形MPNQ是平行四边形.

当四边形MPNQ是矩形时，则MN=PQ=4.

：.点M到DC的距离不超过4,即ADW4,

故选：D.

【点评】本题考查的是矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质，垂线段最短的含义是解题的关键.

6.（2025•朝阳区校级一模）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航

天纪念章.小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为（）

A.135°B.75°C.45°D.105°

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【答案】A

【分析】利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用180度减去外角度数即可.

【解答】解：：每个外角为360°4-8=45°,

,每个内角为180。-45°=135°,

故选：A.

【点评】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系.熟练掌握该知识点是关键.

7.（2025•湖南模拟）如图，在菱形ABC。中，E,尸分别是AC,CD的中点，AB=8,则所的长为（）

A.4B.6C.8D.不确定

【考点】菱形的性质；三角形中位线定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】先求解AO=A2=8,再利用三角形的中位线的性质求解即可.

【解答】解：在菱形ABC。中，43=8,

.,.AD=AB=8,

■:E,尸分别是AC,CD的中点，

：.EF=1AD=1x8=4,

所以所的长为4,

故选:A.

【点评】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线定理，关键是菱形性质的熟练掌握.

8.(2025•乌鲁木齐一模)如图，在中，NACB=90°,AC=BC=5.正方形。EFG的边长为代,

它的顶点。，E,G分别在△ABC的边上，则BG的长为()

A.3B.3V2C.5D.5a

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】B

【分析】根据题意得到4B=后。=5&,ZA=ZB=45°,DE=EF=FG=DG=近,乙DEF=

乙EFG=乙FGD=乙EDG=90°,如图所示，过点G作GH±AC于点H,则AH=GH,ZGHD=ZC=

90°,可证△G。”g/XOEC(AAS),得到GH=DC,HD=CB,设AH=GH=DC=a,HD=CB=b,

由题意得到AC=AH+m)+OC=2a+6=5①，在RtZ\C£>E中，CE2+C£)2=DE2,由此得到AH=G8=2,

在RtZkAGH中，由勾股定理即可求解.

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=5,

：.AB=&AC=5V2,NA=48=45°,

:四边形。EFG是正方形，

：.DE=EF=FG=DG=居,乙DEF=AEFG=/.FGD=乙EDG=90°,

如图，过点G作GH_LAC于点"，则AH=G",ZGHD=ZC=90°，

：・NEDC+/GDH=/EDC+/DEC=9U°,

・•.ZGDH=/DEC,

在△GD"和中，

'NGDH=/DEC

'(GHD=ZC，

、GD=DE

：.AGDH^ADEC(A4S),

:.GH=DC,HD=CB,

设AH=GH=DC=a,HD=CB=b,

：.AC=AH+HD+DC=2a+b=5①，

在中，由勾股定理得：CE2+CD1=DE1,

.'.a2+b2=（迷产②，

联立得［2；+）=5^

la2+b2=（佝2②

解得E（负值舍去），

3=1

:.AH=GH=2,

在RtAAGH中，AG=42AH=2&,

：.BG=AB-/1G=5V2-2V2=3V2,

故选：B.

【点评】本题考查了等腰直角三角形，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握等腰

直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键.

9.（2025•晋州市模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,4）,PG,力，且0</<4,

点。在x轴的负半轴上，OQ>OA,将线段QP绕点。逆时针旋转90°变为线段。2,以出，P。为邻

边作团B4C。，射线8C交无轴于点Q,8E是点8到y轴的垂线段.则下列结论中：®AC±BQ；②四边

形是正方形；③AE+C£)=OQ；④C。存在最小值，且其最小值是2&；⑤若连接。尸，贝心值从

小变大时，NACQ+/OP。的值先增大再减小，错误的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【考点】正方形的判定与性质；坐标与图形变化-旋转；垂线段最短；勾股定理；平行四边形的性质.

【专题】平面直角坐标系；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运

算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】①四边形B4C。是平行四边形，故AC〃PQ.线段QP绕。逆时针旋转90°得QB,则8。，

PQ,因止匕①正确.结论②：设设。(-4,0),P(t,t),过旋转坐标公式求8坐标，结合

BELy轴，证明0D2E四边相等且有直角，得正方形，②正确.③用坐标计算AE、CD、。0长度，化

简后验证AE+CO=OQ,③正确.④求C坐标，得CQ长度表达式，利用距离公式求最小值为2VL④

正确.⑤分析NACQ+/OP。，通过角的转换发现其和为定值，并非先增后减，⑤错误.

【解答】解：①：四边形必是平行四边形，

C.AC//PQ.

:旋转角NPQB=90°,PQ±QB.AC//PQPQLQB,

：.AC±BQ,结论①正确.

②(0,4),OQ=OA=4,

：.Q(-4,0).

又,：P(t,t),0</<4.

设。(-4,0),P(t,t),将。尸绕0逆时针旋转90°,

根据旋转坐标变化规律：横坐标：x=-4-(t-0)=-4-t；

纵坐标：y=0+[r(-4)]z+4,

B(-4-f,f+4).

是8到y轴的垂线段，

：.E(0,什4).00=4(OQ=4),

在y轴上的投影OE=f+4,BE水平长度为|-4-力=4+f(因为f>0),

:BQ旋转,

:.BE=4.

又：/OOB=90°,四边形。。BE四边都为4,且有直角，

是正方形，结论②正确.

③(0,4),E(0,什4),

.,.AE=t+4-4=r.

:四边形OD8E是正方形，00=4,CD=OD-OC.

；.0C=4-t,

CD=4-(4-f)—t.

：.AE+CD=t+(4-=4,

'：OQ=4,

：.AE+CD=OQ,结论③正确.

④设C(尤，y),

是平行四边形，

—>—>

••AP=(1,t-4),QC=(x+4,y),

.*.x+4=Z,y=t-4,即C(/—4,t-4).

JCQ=V(t-4+4)2+(t-4-0)2=72(t-2)2+8,

当r=2时，2G-2)2=0,CQ取得最小值遮=2a.故④正确.

⑤：四边形PACQ是平行四边形，

ZACQ^ZAPQ.

：.ZACQ+ZOPQ=ZAPQ+ZOPQ=ZAPO.

连接OP,A(0,4),P(f,力，tan/AP。由A、P坐标决定，是固定值(几何关系固定)，即NAP。

为定值，

所以NACQ+NOP。的值不变，不是先增大再减小，结论⑤错误.

综上，只有结论⑤错误，错误的有1个.

故选：B.

【点评】本题考查正方形判定与性质，垂线段最短，平行四边形的性质，坐标与图形变化，解题的关键

是掌握相关知识的综合运用.

10.（2025•金寨县模拟）如图，在正方形ABC。中，M,N分别是AB,的中点，CM,BN相交于点E,

AC与相交于点尸，分别连接AE,DE,则下列结论错误的是（）

DC

A.AD=DEB.EA平分

EM1E-F-——3

'CE-4'BE~4

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】如图1,分别延长CO,8N相交于点P.易证AABN%4DPN,贝!JOP=A8=C。，易证

CM,ED为直角△CEP斜边上的中线，得DE=CD=AD,故选项A正确；

如图2,过点A作AG〃BN”与CM的延长线交于点G,易证△AGMg/XBEM,AAGM^ACBM,得

4GBc

—=—=2,则AG=EG,即可得EA平分NMEF,故选项5正确；

GMBM

1EG1

根据AN//BC,得77=—=根据EF//AG,得77-~故选项C正确；

FCBC2CEFC2

证明△CPEs^CAG,即可判断选项。错误.

【解答】解：如图1,延长CDBN交于点P,

图1

:四边形ABCD是正方形，

/.CD//AB,CD=AB=AD=BC,/BAN=/CBM=90°,

:./P=NABN,ZBAN^ZPDN,

是A。的中点,

：.AN=DN=1AZ),

AAABN^ADPN(A4S),

：.PD=AB=CD,

・・・M是A8的中点，

：.BM=^AB=|XD=A7V,

■:/NAB=/MBC,AB=BC,

：.AANB^ABMC(SAS),

・•・ZABN=/BCM,

VZABN+ZCBN=9Q°,

：.ZBCM+ZCBN=90°,

:・/CEN=90°,

・・•。为PC的中点，

1

：.DE=・PC=DC,

：.AD=DEf故选项A正确；

如图2,过点A作AG〃8N,与CM的延长线交于点G,

DC

7

G

图2

同理得AAGM之△BEM(A4S),

：.ZG=ZBEM=90°,EM=GM,NGAM=/MBE=/BCM,

：.ZG=ZCBM=90°,

・•・X\GMsXCBM,

•_A_G___B_C__0

GMBM

：.AG=2GM,

；.AG=EG,

・•・AAEG是等腰直角三角形,

AZAEG=45°,

ZAE2V=45°=/AEG,

・・・EA平分NMEF,故选项B正确；

9

：AN//BCf

：.AANFs^CBF,

tAFAN1

••FC-BC-2’

*：EF//AG,

.EGAF1

••CE-FC-2’

EM1

*'•—=故选项C正确；

CE4

9：AG//EF,

:ACFEsACAG,

.EFCF2

"AG~AC~3

'：AG=BE,

EF2

—=一，故选项。错误.

BE3

故选：D.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识,

正确作辅助线构建全等三角形是解本题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•南关区模拟）如图，点E为正方形ABC。对角线AC上一点，连结。E,过点E作

交2C延长线于点凡以。E、所为邻边作矩形。EFG,连结CG.给出下列四个结论：

①DE=EF；

②ADAE沿ADCG；

③AC_LCG；

④2CE+CG=V2CD.

上述结论中，正确结论的序号有①②③.

AD

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】①②③.

【分析】过E作过E作EMLCD于N,如图所示，根据正方形性质得/BCD=90°,ZECN

=45°，推出四边形EMCN是正方形，由矩形性质得EM=EN,ZDEN+ZNEF=NMEF+/NEF=90°,

根据全等三角形的性质得ED=EF,故①正确；推出矩形DEFG是正方形,根据正方形性质得AD=DC,

ZADE+ZEDC^9Q°推出△AOE0ACDG,故②正确；得至ljAE=CG,NZME=NZ)CG=45°,由此

推出CG平分NOCF,故③正确；进而求得AC=AE+CE=CE+CG=鱼。，故④错误.

【解答】解：过E作过E作EN1,CD于N,如图所示，

:四边形ABC。是正方形，

:.NBCD=90°,NECN=45°,

ZEMC=ZENC=ZBCD=90°,

：.NE=NC,

：.四边形EMCN是正方形，

:.EM=EN,

:四边形。EFG是矩形，

NDEN+NNEF=ZMEF+ZNEF=90°,

：.ZDEN=NMEF,

在ADEN和△FEM中,

/DNE=/FME

'EN=EM，

、乙DEN=^LFEM

：.XDENQAFEM(ASA),

：.ED=EF,故①正确；

・・・平行四边形DEFG是正方形，

:・DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,

•・•四边形A3CD是正方形，

：.AD=DC,ZADE+ZEDC=90°,

/ADE=NCDG,

在AAOE■和△CDG中，

AD=CD

Z.ADE=乙CDG,

DE=DG

:.AADE2ACDG(SAS),故②正确；

：.AE=CG,ZDAE^ZDCG=45°,

AZACG=90°,

CGLAC,故③正确；

:.AC=AE+CE=CE+CG=0CD,故④错误；

正确结论的序号有①②③，

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作

出辅助线是解本题的关键.

12.(2025春•南京月考)如图，四边形A8CD是菱形，CD=5,BD=8,AEJ_8c于点E,则AE的长是

24

【考点】菱形的性质；勾股定理.

【专题】推理能力.

【答案】y.

【分析】根据菱形的性质可得BC=C£）=5,BO=DO=4,OA=OC,ACLBD,运用勾股定理可得。C,

AC的长，再根据菱形面积的计算方法S菱粉===即可求解.

【解答】解：•・•四边形A3CD是菱形，CD=5,BD=8,

:・BC=CD=5,50=00=4,OA=OCfAC±BD,

：.ZBOC=90°.

：.0C=yjBC2-B02=V52-42=3,

：.AC=2OC=6,

1

,:S菱形ABCD=BC-AE—qBD-AC—OB-AC,

.'厂OB-AC4x624

•'AE=-B^^—=T-

24

故答案为：—.

【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握勾股定理，菱形的性质是解题的关键.

13.（2025•碑林区校级二模）菱形ABCZ）的周长为20,对角线AC长为6,CE是边AB上的高线，则线段

CE的长为4.8.

【考点】菱形的性质；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】4.8.

【分析】连接8。交AC于点O,由菱形的性质得A8=5,OA=OC=3,OB=OD,AC±BD,再由勾

股定理求出。8=4,则8。=8,然后由菱形面积求出CE的长即可.

【解答】解：如图，连接交AC于点。，

,四边形ABC。是菱形，周长为20,AC=6,

1I

4x20=5,OA=OC=^AC=3,OB=OD,ACLBD,

AZAOB=90°,

OB=yjAB2-0A2=V52-32=4,

：.BD=2OB=S,

〈CE是边AB上的高线，

1

.•.S菱形ABC£）=A8•。石=中C，BD,

1

即5CE=1x6X8,

.•.C£=4.8,

【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.

14.（2025•碧江区一模）如图，四边形ABC。是矩形，且对角线AC、BD相交于点O,若44。2=50°,

则/。CD=65°.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】65°.

【分析】先根据矩形对角线互相平分且相等得到OC=OD,根据对顶角相等得到/COD的度数，再由

等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案.

【解答】解：由条件可知OC=。。，

：.ZOCD=ZODC,

"：ZCOD=ZAOB=50°,

18ZCOg

NOCD=NODC=°°-=65°,

故答案为：65°.

【点评】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键.

15.（2025•浙江模拟）如图，AC是菱形A8CA的对角线，N3AC=38°,点E在3C的延长线上，则/

DCE=104

【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】104.

【分析】由菱形的性质得/8。=/区4。=2/瓦^7=76°,即可解决问题.

【解答】解：：四边形ABC。是菱形，ZBAC=38°,

:./BCD=/BAD=2NBAC=76°,

AZDC£=180°-ZBCD=180°-76°=104°,

故答案为：104.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

三.解答题(共5小题)

16.(2025•花溪区模拟)【问题情境】

如图，四边形A8C。是正方形.过点C在正方形ABC。的外侧作射线CN,/DCN=a(0°<a<90°).作

点。关于射线CN的对称点E,线段。E交射线CN于点M,连接BE交直线CN于点?

【探究发现】

(1)当0°<aW45°时，/EFN的度数为45度；

【猜想论证】

(2)在(1)的条件下，猜想线段尸8,FC,尸£之间的数量关系，并证明你的猜想；

【拓展应用】

(3)若CP=1,FM=2,求网的长.

备用图

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.

【答案】(1)45；

(2)BF=<2CF+EF.证明见解析；

(3)&或3夜.

【分析】(1)由题意画出图形；

(2)过点C作。/_LCR交BE于点、H,证明(A4S),得出CH=CEBH=EF,则可

得出结论；

(3)分两种情况，由等腰直角三角形的性质可得出结论.

【解答】解：(1)由题意补全图形如下：

图1

:作点D关于射线CN的对称点E,

：.DC=CE,NDCN=/ECN=cc,

:四边形A8CZ)是正方形，

：.ZBCD^90°,BC=CD,

：.BC=CE,

1

ZCBE=ZCEB=x[180°-(90°+2a)]=45°-a,

:・NEFN=NECN+NCEB=CL+45°-a=45°

故答案为：45；

(2)BF=V2CF+EF.

证明：过点。作交BE于点H,

9：ZEFN=45°,

：.ZCHF=45°,

：.ZBHC=ZEFC=135°,

•；BC=CE,

；.NCBH=NCEF,

.,.△CBH冬MEF(AAS),

：.CH=CF,BH=EF,

：.HF=y[2CF,

：.BF=BH+HF=EF+&CF；

(3)由对称可知NCME=90°,

；FM=2,NEFN=45°,

：.EF=V2FAf=2V2,

当0°<a<45°时，由(2)可知BF=EF+近CF=2m+m=3巫;

当45°Wa<90°时，如图，

同理可得BF=EH=EF-y[2CF=2V2-V2=V2.

综上所述，8尸的长为/或3a.

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等

腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键.

17.(2025•天镇县模拟)综合与探究

在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动.

实践操作：

如图，在矩形纸片ABC。中，AB=8,BC=10.

第一步：如图1,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点F处，得到折痕

CE,然后把纸片展平.

第二步：如图2,再将矩形纸片沿8斤折叠，此时点A恰好落在CF上的点N处，BF,8N分别与CE

交于点G,M,然后展平.

问题解决：

(1)求AE的长.

(2)判断EF,与C。之间的数量关系，并说明理由.

拓展应用:

(3)如图3,延长CE,D4相交于点尸，请直接写出PM的长.

【考点】四边形综合题.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图

形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】(1)5；(2)EF,与CQ之间的数量关系为：EF+MN=CD,理由见解析；(3)PM=5层.

【分析】(1)设4£=无，则BE=8-x,利用矩形的性质和折叠的性质得到CF=CB=10,EF=BE=8

-x,NEFC=NB=90°,再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；

(2)利用折叠的性质得到CG_LBF,BG=GF,BE=EF,ZABF=ZNBF,BA=BN,利用全等三角形

的判定与性质得到EG=GM,再利用矩形的性质和等式的性质解答即可；

(3)连接利用菱形的判定与性质得到■BE=EP=J™=8M=5,FM//AB,利用相似三角形的判定

DAAP

与性质得到二=一，利用勾股定理求得尸石，再利用相似三角形的性质解答即可得出结论.

PFFM

【解答】解：(1)设AE=x,贝!j8E=8-x.

•・•四边形A5CD为矩形，

ZA=ZB=ZC=90°,CD=A3=8,AD=BC=10,

・・,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点F处，

：.CF=CB=10,EF=BE=8-x,ZEFC=ZB=90°,

ZAFE+ZDFC=9Q°,

'：ZDFC-^ZDCF=9Q°,

NAFE=ZDCF.

VZA=Zr>=90°,

：.AAFE^ADCF,

.AE_AF_

••=,

DFCD

•；DF=VCF2-CD2=V102-82=6,

：.AF=AD-DF=4.

.8-x4

••—―,

68

•・x~~5.

：.AE=5；

(2)EF,MN与CD之间的数量关系为：EF+MN=CD,理由：

・・,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点5落在AO边上的点尸处,

・・・CE垂直平分BF,

：.CG±BFfBG=GF,BE=EF.

・・,将矩形纸片沿8尸折叠，此时点A恰好落在上的点N处，

:./ABF=NNBF,BA=BN,

在△BGE和△8GM中