2025年中考数学复习难题之因式分解

2025年中考数学复习难题速递之因式分解（2025年4月）

选择题（共10小题）

1.（2025春•南岗区校级月考）已知三角形的三边长〃、b、。满足〃2一就=碇一反，则此三角形的形状为

()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.不等边三角形D.直角三角形

2.（2025•庐江县模拟）若〃=4+。，次?=3,贝IJ-浸什2/廿一的值为（）

A.-48B.-12C.-36D.12

3.（2025•花山区校级一模）如果2是"2-版+2的一个因式，则2〃-匕的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

4.（2024秋•龙口市期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的

A.=(。+。)(a+b)

B.〃2+3〃/?+2Z?2=(a+2Z?)(a+Z?)

C.a2-b2=(a+b)(a-b)

D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)

5.（2025•宿豫区一模）若孙=-3,x-y=5,贝！J的值是(

A.15B.-15C.2D.-8

6.（2025春•双流区校级月考）若x,y满足/+/-孙=1,则（)

A.x+y<V2B.-2C.W+JwiD.x2+y2^l

7.(2024秋•潮阳区期末)已知a=2023x+2022,Z>=2023%+2023,c=2023x+2024,贝!J«2+/?2+c2-ab-ac

-be的值是（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2024秋•东营期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,

x+y,a+b,x2-/,/一廿分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美，现将（/一/）〃2_（/

-?）必因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.我爱美B.桂林游C.我爱桂林D.美我桂林

9.（2024秋•衡山县期末）用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说

明一个多项式的因式分解，正确的是（）

L)

a

图2

A.cr-2〃+1=(a-1)B./+2〃+1=(Q+1)

C.(〃+1)=a+2。+1D.CT-1=(〃+1)(。-1)

10.（2025•科尔沁区校级开学）小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：a

-1,m-n,5,m2+l,a,〃+l,m+n分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将5m

（a2-1）-5n（«2-1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.天空之桥B.中国天眼C.中国天空天眼之桥

二.填空题（共5小题）

11.（2025春•浦口区校级月考）己知a=2025x+2024,6=2025元+2025,c=2025x+2026,贝!I一仍

-ac-bc=

12.（2025•湖南模拟）若/+2x-2=0,则.占假日机二.

13.（2025春•九龙坡区校级月考）对于任意一个四位数切，若它的个位数字不为0,且满足千位数字与个

位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数根为“顺利数”.将“顺利数”机的千位数

字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得初，并记尸（加）=里萨.例如：4512不是“顺利数”,

因为1#0,4-2X5-1；56为是“顺利数”,因为1#0,5-1=6-2,则为(5621)

A、2都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为尤、y,B的千位数字与个位数字分别为“、b

（其中lWy＜尤W9,iWa、b49,尤、y、a、b均为整数）.若尸（A）能被8整除，F（A）+F（8）=

5x+15y+15a-Ub+ab,则尸（B）所有可能的值的和为.

14.（2025春•九龙坡区校级月考）对于任意一个四位正整数若M各个数位上的数字都不为0,且千

位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，那么称这个四位数为“等和数”.例如：6172,因为6+2

=1+7,所以6172是“等和数”.将一个“等和数”/的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数

字对调后得到一个新的四位数字Ml,记/（M）=书普/列如：F（6172）=%督丑=8.设“等和数”

M=丽，则尸(M)=(用含。，1的代数式表示)；若S是一个“等和数”，且满足S-

2F(S)能被11整除，则满足条件的所有S中，S的最小值是.

15.(2025•郑州一模)分解因式/一°=；若0是整数，则a一定能被整数上整

除，整数上的最大值是.

三.解答题(共5小题)

16.(2025春•沛县月考)已知2/2和2”是两个连续的偶数，它们的平方差一定是4的倍数吗？为什么？

17.(2025春•市南区校级月考)(1)如图1,是一个长和宽分别为偌，〃的长方形纸片，如果它的长和宽

分别增加a,b,所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为(优+a)(〃+b)

(2)①如图3,是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个

大正方形的面积，得到的等式为(a+6+c)2=；

②己知a+b+c=15,/+必+°2=77,利用①中所得到的等式，求代数式油+介+收的值.

(3)如图4,是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表

示这个大正方体的体积，求当a+b=6,而=4时，代数式/+/的值.

18.(2025春•禅城区校级月考)仔细阅读下面的例题，解答问题：

例：已知二次三项式7-有一个因式是x+3,求另一个因式以及根的值.

解：设另一个因式为x+〃，得，x2-4x+m=(x+3)(尤+w),

贝Ijx2-4x+优=/+(w+3)x+3n,

.fn+3=-4Anxnrn=-7

9km=3n'tm=-21"

另一个因式为x-7,机的值为-21.

仿照以上方法解答问题：

(1)已知二次三项式2/-5x+2上有一个因式是2x+3,求另一个因式以及女的值;

(2)若二次三项式/-5x+6可分解为(x-2)(x+〃)，求4的值；

(3)若二次三项式2/+析-5可分解为(2x-l)(x+5),求〃的值.

19.(2025•永年区模拟)甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数小然后乙根据〃的值计算代数

式七=n3-n的值.

(1)填空：

3

@P2=2-2=1X2X3=；

@P3=33—3=2x3x4=；

③P5=53-5=4x5x6=.

(2)求证：/-〃总能被6整除.

20.(2025春•雁塔区校级月考)阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分

项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如/-2xy+y2-16,我们细心观察就会发现，前三

项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下：?-2打+/

-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4),这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思

想方法解决问题：

已知a,b,c为△ABC的三边，Kc^-b2-ac+bc=0,试判断△ABC的形状，并说明理由.

2025年中考数学复习难题速递之因式分解（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案AABBABDCBA

选择题（共10小题）

1.（2025春•南岗区校级月考）已知三角形的三边长a、b、c满足J-ab=ac-be,则此三角形的形状为

（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.不等边三角形D.直角三角形

【考点】因式分解的应用.

【专题】应用题；应用意识.

【答案】A

【分析】根据题意，将已知的式子进行因式分解，即aQ-6）-c（a-b）=0,得（a-c）（a-b）

=0,据此可得。=。或“=从因此三角形的形状为等腰三角形.

【解答】解：因为a2-ab=ac-be,

所以〃（q-Z?）=c（a-/?）,

即a（a-Z?）-c（a-b）=0,

得（a-c）（a-b）=0,

所以a-c=0或a-b=0,

a--c或i

答：三角形的形状为等腰三角形.

故选：A.

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将已知式子进行因式分解.

2.（2025•庐江县模拟）若a=4+b,ab=3,贝！J-1出?/必一的值为（）

A.-48B.-12C.-36D.12

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】A

【分析】对上面式子进行因式分解得-ab（a-6）2,因为。6=3,a=4+b,可得a-6=4,把a6=3,

a-b=4,代入，即可求的答案.

【解答】解：：a=4+b,

.".a-6=4,

-cPb+lcrb2-abi=-ab（a2-2ab+b2）=-ab（a-b）2

把a-b=4,ab=3代入-ab（a-b）2=-3X16=-48,

故选：A.

【点评】本题主要考查了因式分解在代数式求值中的应用.通过对多项式进行因式分解，将其转化为含

有已知条件的形式，再代入求值，这种方法在代数运算中较为常用.关键在于熟练掌握因式分解的方法

（如提取公因式、运用公式法等）以及对已知条件的合理变形和运用.它能有效锻炼学生的代数变形能

力和整体代入的数学思想.

3.（2025•花山区校级一模）如果x-2是办2_灰+2的一个因式，则2a-b的值是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【考点】因式分解的意义.

【专题】整式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据题意可知x=2是方程a?-云+2=0的一个根，然后代入解题即可.

【解答】解：由条件可知当x=2时，ax2-bx+2=4a-26+2=0,

解得：2a-b=-1,

故选：B.

【点评】本题考查因式分解，熟练掌握该知识点是关键.

4.（2024秋•龙口市期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的

等式，此等式是（）

abb

bba

A.cT+2ab+b2=(a+b)(a+6)

B.cr+3ab+2b2—(a+2b)(a+b)

C.a2-b2—(a+b)(a-b)

D.2d+3ab+b-=(2a+b)(.a+b)

【考点】因式分解的应用；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；因式

分解的意义.

【专题】因式分解；几何直观；推理能力.

【答案】B

【分析】用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案.

【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为6的正方形，3个长为6宽为“的长方形和1个边

长为。的正方形组成，

大长方形的面积为/+3浦+2房，

另外大长方形可以看作一般长为(。+26)宽为(a+6)的长方形组成，

...大长方形的面积为(a+26)(o+Z?),

可以得到一个因式分解的等式为次+3°6+262=(a+26)(a+6),故8正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的

面积.

5.(2025•宿豫区一模)若孙=-3,无-y=5,则孙2_的值是()

A.15B.-15C.2D.-8

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】A

【分析】先把原式提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可.

【解答】解：,孙=-3,尤-y=5,

.".xy2-j?y—xy(y-x)—~xy(x-y)=3X5=15.

故选：A.

【点评】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求

值”是解本题的关键.

6.(2025春•双流区校级月考)若x,y满足/+/-孙=1,贝|()

A.x+y<V2B.尤+y2-2C.W+pWlD.

【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方.

【专题】因式分解；运算能力.

【答案】B

【分析】由（尤-y）220（仅当x=y时，取"=可得W+fNlx〉（七护TNxy；x,y满足彳之+72

2

-xy=l,可得孙=/+/-1,孙=（弋T,进而可计算出x+y和/+/的取值范围.

【解答】解：：（尤-y）2对（仅当x=y时，取"=”），

.*.x2+y2^2xy,

7+2孙+/24孙，

x2+2xy+y2x+y

•*------------=（~^）2*，

qz

,.*x2+y2-xy=l,

2

.••孙=/+y2-1,xy=（计会——

.*.x2+y2^2xy=2Cx^+y2-1）,解得：0WW+/W2,

2

（竽）2?孙=（飞T,即（x+y）2・4,解得：-2Wx+yW2,

综上，符合题意的选项为艮

故选：B.

【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的计算是解本题的关键，综合性较强，难度适

中.

7.（2024秋•潮阳区期末）已知a=2023x+2022,6=2023尤+2023,c=2023%+2024,贝|/+房+°2--“0

-be的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】D

1

【分析】先根据已知条件，求出。-6,。-c和6-c的值，然后把所求代数式写成号［2（a2+b2+c2-

ab-ac-%）］的形式，再利用完全平方公式进行分解因式，然后把a-6,a-c和6-c的值整体代入，

进行计算即可.

【解答】解：：a=2023尤+2022,6=2023x+2023,c=2023x+2024,

：.a-b=(2023^+2022)-(2023x+2023)

2023x+2022-2023%-2023

=-1,

a-c=(2023x+2022)-(2023x+2024)

=2023x+2022-2023%-2024

=-2,

b-c=(2023x+2023)-(2023x+2024)

=2023x+2023-2023x-2024

=-1,

(22+/?2+C2-ab-ac-be

—«[2(a2+b2+c2—ab—ac—be)]

i

—2(2。2+2b2+2c2—2ab—2.etc-2bc)

i

=2【(a?-2ab+Z)2)+(a2-2ac+c2)+(Z?2—2bc+c2)]

i

=][(a—b)2+(a—c)2+(力-c)2]

=1[(-l)2+(-2)2+(-l)2]

=1x(1+4+1)

=3x6

=3,

故选：D.

【点评】本题主要考查了分解因式的应用，解题关键是熟练掌握把多项式进行分解因式.

8.(2024秋•东营期末)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b,x-y,

x+y,a+b,d分别对应下列六个字：林、爱、我、桂、游、美，现将(/-/)(%2

-/)启因式分解，结果呈现的密码信息可能是()

A.我爱美B.桂林游C.我爱桂林D.美我桂林

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】C

【分析】将所给整式利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再与所给的整式与对应的汉字比较,

即可得解.

【解答】解：原式=(?-?)@

=(x+y)(x-j)(a+b)Ca-b),

.•.结果呈现的密码信息可能是：我爱桂林，

故选：C.

【点评】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式和公式法分解因式是解题的关键.

9.(2024秋•衡山县期末)用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说

明一个多项式的因式分解，正确的是()

1

L》

a

1a

图1图2

A.a2-2a+l=(a-1)2B./+2。+1=(a+1)~

C.(ci+1)~=02+2(1+1D.a2-1—(a+1)(a-1)

【考点】因式分解的应用.

【专题】因式分解；运算能力.

【答案】B

【分析】观察图1和图2,根据面积公式列出关系式即可.

【解答】解：根据题意得：/+2°+1=(a+l)2.

故选：B.

【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

10.(2025•科尔沁区校级开学)小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：a

-1,m-n,5,〃，+],a,a+\,m+n分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将5m

(/-1)-5w(/_1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是()

A.天空之桥B.中国天眼C.中国天空D.天眼之桥

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】A

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可.

【解答】解：原式=(5m-5w)(/_1)

=5(.m-n)(。+1)(ci-1),

结果呈现的密码信息可能是“天空之桥”，

故选：A.

【点评】本题考查了因式分解.熟练掌握因式分解的方法是关键.

—.填空题(共5小题)

11.(2025春•浦口区校级月考)已知a=2025x+2024,b=2025x+2025,c=2025x+2026,贝!J。2+.+。2一”万

-ac-bc=3.

【考点】因式分解的应用.

【专题】应用题；应用意识.

【答案】3.

【分析】根据题意，因为«2+/?2+c2-ab-ac-be—*[(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]；将a-0、b-c>c

-〃代入计算即可.

【解答】解：6Z2+Z?24-C2-ab-ac-be

=2[(a—b)2+(b—c)?+(a—c)2]；

a—2025x+2024,b—2025x+2025,c=2025x+2026,

a-b=(2025x+2024)-(2025x+2025)=-1,

b-c=(2025x+2025)-(2025x+2026)=-1,

c-a=(2025x+2026)-(2025x+2024)=2,

将这些值代入恒等式中：dt2+/?2+c2-ab-ac-be

=][(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]

=1X[(-1)2+(-1)2+22]

=/x6

=3.

因止匕，a2+b2+c2-ab-ac-bc=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是«2+Z?2+c2-ab-ac-be-1[(a-b)2+(/?-

c)2+(a-c)2].

12.(2025•湖南模拟)若/+2x-2=0,贝U¥+2/+4尤+6=^.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】10.

【分析】由/+2彳-2=0,得出d+2x=2,然后将代数式/+2x=2,再整体代入x2(x2+2x)+4x+6,进

一步求得答案即可.

【解答】解：由题意可得：/+2x=2,

原式=/(X2+2X)+4.r+6

—2X2+4X+6

=2(/+2x)+6

=4+6

=10.

故答案为：10.

【点评】此题考查因式分解的实际运用，把X2+2X作为一个整体，将所求代数式变形为/(/+2x)+4X+6

是解决问题的关键.

13.(2025春•九龙坡区校级月考)对于任意一个四位数加，若它的个位数字不为0,且满足千位数字与个

位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数机为“顺利数”.将“顺利数”机的千位数

字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得初，并记?(小)=*L例如：4512不是“顺利数”,

因为1W0,4-2X5-1；5621是“顺利数”，因为1/0,5-1=6-2,则尸(5621)=44.若A、

B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y,8的千位数字与个位数字分别为a、b(其

中iWa、bW9,x、y、a、6均为整数).若F(A)能被8整除，F(A)+F(B)=5x+15y+15a

-12b+ab,则F(B)所有可能的值的和为-22.

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；运算能力.

【答案】44；-22.

【分析】对于F(5621),直接根据新定义求解即可；对于F(B)：先根据题意，得出F(A)=11(x

-y),F(B)=11(a-b),再将尸(A)+F(B)=5尤+15y+15a-12b+ab化简，根据尸(A)能被8整

除，得出x和y的值，最后进行分类讨论，即可求解.

【解答】解：F(5621)=56251265=4生

设A的百位数为相，十位数为小

则A=1000x+100m+1On+y,

，A'=1000y+100〃+1Om+x,

A-A1=1000x+100m+1On+y-(1000y+100〃+1Om+x)

999(x-y)+90(m-n),

TA为“顺利数”,

.*.x-y—m-n,

：.A-A'=1089(x-y),

._10890一y)_、

.・F(i4)—gg-11Q-J7)，

同理可得：F(B)=11(a-b),

：.F(A)+F(B)=5x+15y+15a-Ub^ab,

整理得：6x-26y=4〃-b+ab,

VF(A)能被8整除，x、y均为非0整数,

•»x-y=8,

，x=9,y=L

.*.6X9-26X1=4(7-/?+^,整理得：4。-/?+仍=28,

・•・(a-1)(b+4)=24,

•・・』、bW9,a、。均为整数,

：.0<a~1^8,4V6+4W13

(“-1)(Z?+4)=24=2X12=4X6=6X4=3X8,

•••G；4：L解得忆看此时尸⑻=11QS=-55,

解得CM，此时F⑶=11QS=33,

解得的;(不合题意，舍去)，

＜；：：8解得忆:，此时“8)=11(«-.)=0,

，所有尸(B)的可能值的和为-22,

故答案为：44；-22.

【点评】本题以新定义为背景，考查了整式的运算，因式分解，解题的关键是正确理解题意，明确题目

所给“顺利数”的定义.

14.(2025春•九龙坡区校级月考)对于任意一个四位正整数若M各个数位上的数字都不为0,且千

位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，那么称这个四位数为“等和数”.例如：6172,因为6+2

=1+7,所以6172是“等和数”.将一个“等和数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数

字对调后得到一个新的四位数字Mi,记F(M)=需1.例如：F(6172)=丝制生=8.设“等和数”

M=高而，则/(M)=a+d(用含a,d的代数式表示)；若S是一个“等和数"，且满足S-2尸

(S)能被11整除，则满足条件的所有S中，S的最小值是2198.

【考点】因式分解的应用；列代数式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】a+d,2198.

【分析】根据"等和数”和F(M)的定义即可求得F(M)；S=nmjh=1000n+100:+10/+h且

m+h=n+j,则Si=1000/?+100〃+lQ/+"z,然后求得/(S),再代入S-2尸(S)可得9987”+100〃+lQ/-/?,

根据S-2F(S)能被11整除，进而得到Sm+n-j-h能被11整除；由m+h=n+j可得h=n+j-m,然

后代入化简可得9〃广药；要使S最小，千位的机应尽量最小，从1开始尝试，从而确定小j的值，进

而确定〃、h的值即可解答.

【解答】解：设"等和数"M=abed=1000a+100b+10c+d,Mi=1000i/+100c+10Z?+«,且a+d=

b+c

则F(M)=笔率

_lOOOa+lOOb+lOc+d+lOOOd+lOOc+lOb+a

=1TT1

_1001(a+d)+110(a+d)

=ITTi

llll(a+d)

二~lm

=4+d；

S==lOOChn+100荏+10/+h且机+%=〃4出同理可得：FQS)=h+m,

S-2F(S)=1000m+100n+10/+/z-2(h+m)

=998m+100n+10/-h,

■:S-2F(S)能被11整除，

.998m+100n+10j-h,

11

=90m+9n+j+^-J-\

/.8m+n-j-h能被11整除，

m+fi=n+j,

:・h=n+j-m,

8m+«-j-(n+j-m)=8m+n-j~n-j+m=9m-2j,

要使s最小，千位的"应尽量最小，从1开始尝试：

当m—1时，

若j=0时，9机-4=9X1-2X0=9,不能被11整除；

若j=l时，9/77-2/=9Xl-2X1=7,不能被11整除；

若j=2时，9/77-2/'=9Xl-2X2=5,不能被11整除；

若j=3时，9m-2j=9Xl-2X3=3,不能被11整除；

若j=4时，9m-2/=9Xl-2X4=1,不能被11整除；

若j=5时，9m-2/=9Xl-2X5=-1,不能被11整除;

若j=6时，9m-2/=9Xl-2X6=-3,不能被11整除;

若j=7时,9m-2/=9X1-2X7=-5,不能被11整除;

若j=8时，9m-2j=9Xl-2X8=-7,不能被11整除;

若j=9时，9m-2/=9Xl-2X9=-9,不能被11整除;

当m=2时，

若j=0时，9/77-2j=9X2-2X0=18,不能被11整除；

若j=l时，9m-2/-=9X2-2X1=16,不能被11整除；

若j=2时，9机-4=9X2-2X2=14,不能被11整除；

若j=3时，9/77-27=9X2-2X3=12,不能被11整除;

若j=4时，9m-2/=9X2-2X4=10,不能被11整除；

若j=5时，9m-2j=9X2-2X5=8,不能被11整除；

若j=6时，9m-2/=9X2-2X6=-6,不能被11整除;

若j=7时，9m-2j=9X2-2X7=4,不能被11整除；

若j=8时，9/77-27=9X2-2X8=2,不能被11整除；

若j=9时，9m-2j=9X2-2X9=0,能被11整除；

此时，m=2,j=9；

m+h=n+j,

,'.2+h—n+9,

要使S最小，〃取最小,BPn=l,h=8,

所以S的最小值为2198.

故答案为:a+d,2198.

【点评】本题主要考查了数的整除性、新定义运算等知识点，理解“等和数”的定义并利用代数式的值

进行相关分类讨论是解题的关键.

15.(2025•郑州一模)分解因式a3-a=a(q+l)(。-1)；若a是整数，则a3-a一定能被整数k

整除，整数左的最大值是6.

【考点】因式分解的应用.

【专题】计算题；运算能力.

【答案】a(o+l)(a-1),6.

【分析】首先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可.

【解答］解：_a—a-1)—a(a+1)(a-1),

若。是整数，

则a-1,a,a+1是三个连续的整数，

.,.a(a+1)(G-1)能被土1,±2,±3,±6整除，

•••最大的整数是6.

故答案为:a(a+1)Ca~1X6.

【点评】主要考查了分解因式的实际运用，注意两个连续整数中必有一个是偶数.

三.解答题(共5小题)

16.(2025春•沛县月考)已知2〃+2和2〃是两个连续的偶数，它们的平方差一定是4的倍数吗？为什么？

【考点】因式分解的应用.

【专题】整式；推理能力；应用意识.

【答案】是，证明过程见解析.

【分析】本题需要判断两个连续偶数2n+2和2n的平方差是否为4的倍数.可先根据平方差公式次

-b2=(a+b)(a-b)对(2«+2)2-(2«)2进行化简，再分析化简结果与4的倍数关系.

【解答】解：根据平方差公式/-必=(a+匕)(a-b),对于(2〃+2)2-(2n)2,其中a=2〃+2,b=

In,

(2w+2)2-(2w)2=(2w+2+2w)(2n+2-2n)=(4n+2)X2=8w+4=4(2n+l),

•.%是整数，

.\2n+l也是整数,

A4(2n+l)是4的倍数.

，两个连续偶数2〃+2和2〃的平方差一定是4的倍数.

【点评】本题主要考查平方差公式的应用以及倍数的判断.通过运用平方差公式将两个连续偶数的平方

差进行化简，再结合整数的性质来判断是否为4的倍数，很好地考查了学生对公式的掌握和代数变形能

力.解题关键在于准确运用平方差公式进行化简，同时理解倍数的概念以及整数运算的性质.

17.(2025春•市南区校级月考)(1)如图1,是一个长和宽分别为机，〃的长方形纸片，如果它的长和宽

分别增加a,b,所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为6"+a)(〃+6)

=mn+mb+na+ab；

(2)①如图3,是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+6+c的大正方形，用不同的方法表示这个

大正方形的面积，得到的等式为(a+6+c)2="2+62+02+2(ab+bc+ac)；

②已知a+6+c=15,aW+c2=77,利用①中所得到的等式，求代数式漏+bc+ac的值.

(3)如图4,是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表

示这个大正方体的体积，求当a+b=6,成=4时，代数式/+/的值.

【考点】因式分解的应用；认识立体图形；几何体的表面积；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背

景；完全平方式.

【专题】整式；运算能力.

【答案】(1)mn+mb+na+ab-,(2)①次+启+02+2(ab+bc+ac)；②ab+bc+ac=74；(3)184.

【分析】(1)由图形面积的两种不同表示方法可得等式；

(2)①由图形面积的两种不同表示方法可得等式；

②由等式利用代入法即可求解；

(3)由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解.

【解答】解：(1)大长方形的面积为(优+a)(w+6),

也可表示为四个长方形的面积根小mb,na,出?的和,

(m+«)(〃+Z?)=mn+mb+na+ab,

故答案为：mn+mb+na+ab；

(2)①如图3,是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为〃+A+c的大正方形,

(图3)

用不同的方法表示这个大正方形的面积，

得至U的等式为(a+b+c)2=〃2+庐+。2+2(ab+bc+ac)；

故答案为：a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

②由条件可知152=77+2(ab+bc+ac),

ab+bc+ac=74；

(3)如图4,是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为〃+8的大正方体,

(图4)

整体上大正方形的体积为(。+6)3,

3223

组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为a+3ab+3ab+bf

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

.9.a3+b3

=(a+b)3-301b-3ab2

=(a+b)3-3ab(〃+b)

=256-3X4X6

=184.

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进

行数形结合来分析.

18.(2025春•禅城区校级月考)仔细阅读下面的例题，解答问题：

例：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是1+3,求另一个因式以及m的值.

解：设另一个因式为x+几，得，X2-4x+m=(x+3)(x+n),

则/-4%+加=/+(〃+3)%+3小

：.{n+3=-4,解得

tm=3nIm=—21

...另一个因式为x-7,m的值为-21.

仿照以上方法解答问题：

(1)已知二次三项式2/-5X+24有一个因式是2x+3,求另一个因式以及上的值；

(2)若二次三项式7-5尤+6可分解为(尤-2)(x+a),求a的值；

(3)若二次三项式2?+汝-5可分解为(2x-1)(尤+5),求。的值.

【考点】因式分解的意义；因式分解-十字相乘法等.

【专题】运算能力.

【答案】(1)x-4,-6；

(2)a--3；

(3)6=9.

【分析】(1)设另一个因式为x+f,得2f-5x+2A=(2X+3)(x+t)=2：+⑵+3)无+3f,可知2f+3

5,2k=3t,继而求出f和左的值及另一个因式.

(2)将(x-2)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；

(3)(2x-1)(x+5)展开，可得出一次项的系数，继而即可求出6的值.

【解答】解：(1)设另一个因式为x+f,

贝！］2?-5无+2左=(2x+3)(x+t)=2/+(2t+3)x+3t>

,(2t+3=-5

=3t'

解得K=一，

Ik=-6

.,・另一个因式为％-4,%的值为-6；

(2),.,%2_5%+6可分解为(x-2)(%+〃),

:・/-5x+6=(x-2)(x+a)=f+(〃-2)x-2a,

.U•a-2=-5,

解得a=-3；

(3)•二次三项式2/+加-5可分解为(2x-1)(尤+5),

：.2^+bx-5=(2x-1)(x+5)=2蝗+9无-5,

：.b=9.

【点评】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.

19.(2025•永年区模拟)甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数%然后乙根据〃的值计算代数

式R=n3-n的值.

(1)填空：

①22=23-2=1X2X3=6；

②P3=33—3=2x3x4=24；

③=53-5=4x5x6=120.

(2)求证：总能被6整除.

【考点】因式分解的应用；代数式求值.

【专题】整式；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)通过代入具体数值(〃=2,3,5),计算左右两边的值即可；

(2)利用因式分解/-w=(n-1)n(”+1),根据连续整数性质问题即可得证.

【解答】解：(1)①「2=23—2=1x2x3=6；

②23=33-3=2x3x4=24；

③「5=53—5=4x5x6=120.

故答案为：6,24,120.

32

(2)证明：Pn—n—n-n(n—1)=n(n—l)(n+1),

•••〃是正整数，三个数其中至少存在一个偶数，能被2整除，一个能被3整除的数，

：.n(n-1)(n+1)能被6整除.

即/-”总能被6整除.

【点评】本题考查了本题主要考查代数式求值、因式分解以及连续整数的性质.解题关键在于理解连续

整数性质.

20.(2025春•雁塔区校级月考)阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分

项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如/-2孙+y2-i6,我们细心观察就会发现，前三

项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下：/-2口+F

-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-j-4),这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思

想方法解决问题：

已知mb,c为AABC的三边，且/-廿一农+6c=0,试判断△ABC的形状，并说明理由.

【考点】因式分解的应用；三角形三边关系；等腰三角形的判定.

【专题】整式；运算能力.

【答案】AABC是等腰三角形，证明见解析.

【分析】把/-庐-ac+6c=。化为(a-6)(a+b-c)=0,再进一步解答即可.

【解答】解：△ABC是等腰三角形.理由如下：

由条件可知(a+b)(<7-b)-c(a-b)—0,

(a-b)Ca+b-c)=0.

由条件可知a-b=0,即6=a,

.'.△ABC是等腰三角形.

【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，等腰三角形的定义，合理分组是

解题的关键.

考点卡片

1.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为。时，则其中的每一项都必须等于①

2.列代数式

（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式.

（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义.如

“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分.②分清数量关系.要正确列

代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，

先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起

来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，

数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称

什么时不加括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”简写作“；，或

者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分