2025年中考数学高频易错考前冲刺：锐角三角函数（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：锐角三角函数

选择题（共10小题）

1.（2024秋•蜀山区校级期末）如图，在RtzXABC中，ZACB=90",CDLAB,AC=3,AB=5,则cos

NACD的值为（）

2.（2024秋•本溪期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力为

的方向与斜面垂直，摩擦力尸2的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=20°,则摩擦力仍与重力G方向

的夹角度数为（）

A.160°B.120°C.110°D.90°

3.（2024秋•莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动.如图，点A为出发点，途中设置两个检查点

分别为点B和点C,行进路线为A-8-C-A.点2在点A的南偏东25°方向处，点C在点A

的北偏东80°方向，ZABC=45°.则检查点8和C之间的距离为（）

A.（6+6次）千米B.（3+3次）千米

C.（3+百）千米D.4.5千米

4.（2025•浦东新区一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在4X4的网格中，点A、B、

C都在格点上，那么NA4c的正切值是（）

5.（2024秋•永春县期末）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为

当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°,则这枚火箭此时的高度AL为（）km.

8

A.8sin53°B.8cos53°C.---------D.8tan53°

tan53°

6.（2025•金山区一模）已知RtZXABC中，NC=90°,AC=3,A3=5,那么下列各式中，正确的是（）

A.sinB=方B.cosB=FC.cotB=FD.tanB=

7.（2024秋•碑林区期末）周末许老师参加骑行爬山活动,他沿着坡度为1；百的山坡上坡骑行前进了1800m,

则许老师所在的位置升高了（）

「1000V3

A.900/7/B.1000/HC.600V3mD.----------m

3

8.（2024秋•浦桥区校级期末）将的边长都扩大为原来的3倍，则cosA的值（

A.变大B.不变C.变小D.无法判断

9.（2024秋•瀛桥区校级期末）如图，△ABC的顶点在正方形网格的交点上，则tanC的值为（）

11V2

A.1B.-C.一D.一

322

4

10.(2024秋•揭阳期末)在中，ZC=90°,sinA=则cosA=()

5343

A.一B.-C.一D.-

3554

填空题（共5小题）

11.（2024秋•雁塔区校级期末）如图，一个山坡的坡度i=l.,V3,则坡角a的度数为.

12.（2024秋•梁溪区校级期末）如图，ZiABC中，ZC=90°，AC=4,BC=3,则sinA的值

为

13.（2024秋•盐湖区校级期末）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学

家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若每个直角三

角形的两条直角边长分别为5,12,直角三角形的较小的锐角为a,则sina的值是

14.（2025•浦东新区一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i

15.（2025•嘉定区一模）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB=6m,坡面AC

4

的坡度i=l：二，则至少需要红地毯_________m.

A

三.解答题（共5小题）

16.（2024秋•漂阳市期末）在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数

值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究.

（1）初步尝试：

我们知道：tan60°=,tan30°=；

发现结论：tana2tan^a（填或"="）；

（2）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,求toi/ABC的值；

1

研究思路：小明想构造包含5N4BC的直角三角形：于是延长CB至。，使得DB=AB,连接A。，所以

11

得到即转化为求的正切值，那么；

（3）在△ABC中，NA为锐角，tanA=ZB=2ZA,AB=2^13.求的值.

17.（2024秋•本溪期末）如图1,是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如

图2,是其侧面示意图，OCLMN,A3可绕点。旋转，。是的中点，测得AB=16厘米.

（1）正常放置时，ZAOC=30°,求此时点A到OC的距离；

（2）如图3,AB绕点。逆时针旋转到481的位置，此时/4OC=53°,求点A在竖直方向上升的高

度（结果精确0.1厘米）.（参考数据：sin53°心0.80,cos53°七0.60,度=1.73）

18.（2024秋•拱墅区期末）图1是某种笔记本电脑支架.如图2,其底座A8放置在水平桌面上，通过调

节点C,点。处的角度，控制托盘所的位置.电脑机身和屏幕分别用线段EG,GH表示，CD=16cm,

EG=GH=21cm,ED=5cm.

（1）若NACD=60°,ZCDG=9Q°.

①为使屏幕与桌面保持垂直，求NEG/I的度数.

②求点X到桌面的最大距离（不计材料的厚度）.

（2）在（1）的情况下，保持/COG=90°,并逐渐减小/AC。的度数.圆圆同学说：“点G到桌面的

距离越来越小.”点点同学说：“点G到桌面的距离先变大，后变小.”你认为谁的说法正确，说明理由.

19.（2025•浦东新区一模）如图，在Rt"8C中，ZACB=90°,AB=10,cos8=1.点。是边A2的中

点，过点。作的垂线，与边BC相交于点E.

（1）求线段CE的长；

（2）求sin/BOE的值.

A

20.（2025•浦东新区一模）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地.某校实践小组利用所学

知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量.下面是两个

方案的示意图及测量数据.

DCB(CB

方案一:测量距际D,仰角Q,仰角艮方案二：测量高鹭D,仰角氏仰角区

测量项目CDaP

方案一10m12°11.5°

方案二1.3m12°11.7°

任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰的高度（结果保留1位小数）.参考数据见下表：

三角比角度sincostancot

12°0.2080.9780.2134.705

11.5°0.1990.9800.2044.915

11.7°0.2030.9790.2074.829

任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米.请你用一句话简单说明你求出的

高度与48米不一致的原因：

2025年中考数学高频易错考前冲刺：锐角三角函数

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案BCCDDAABBB

一.选择题（共10小题）

1.（2024秋•蜀山区校级期末）如图，在中，ZACB=90°,CD±ABfAC=3,AB=5,则cos

ZACD的值为（）

434

A.-B.-C.一D.-

5543

【考点】锐角三角函数的定义；余角和补角；勾股定理.

【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力.

【答案】B

【分析】利用勾股定理求得的长度，然后根据同角的余角相等求得再利用锐角三角

函数定义的定义即可求得答案.

【解答】解：：在RtZkABC中，90°，AC=3,AB=5,

：.BC=V52-32=4,ZACD+ZBCD^90°，

'：CD±AB,

：.ZB+ZBCD=90°,

NACD=NB,

cosZ.ACD=cosZB=骼=

故选：B.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义，余角和补角，勾股定理，结合已知条件求得BC的长度及/AC。

是解题的关键.

2.（2024秋•本溪期末）一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力为

的方向与斜面垂直，摩擦力尸2的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=20°,则摩擦力尸2与重力G方向

的夹角度数为（)

A.160°B.120°C.110°D.90°

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据平行线的性质得到N3=90°,根据三角形的内角和定理得到Na+Nl=90°求得/2=

Zl=90°-20°=70°,根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】解：如图，

由题意可得：

Z3=90°,

,重力G的方向竖直向下，

Za+Zl=90°,

.•.Z2=Z1=9O°-20°=70°,

:摩擦力F1的方向与斜面平行，

.•.Zp+Z2=180",

.•.Zp=180°-Z2=180°-70°=110°,

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，正确进行计算是解题关键.

3.（2024秋•莱阳市期末）某校组织一次定向越野拉练活动.如图，点A为出发点，途中设置两个检查点

分别为点8和点C,行进路线为A-B-C-A.点8在点A的南偏东25°方向3/kni处，点C在点A

的北偏东80°方向，ZABC=45°.则检查点B和C之间的距离为（）

A.（6+6百）千米B.（3+3百）千米

C.（3+百）千米D.4.5千米

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题；勾股定理的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】C

【分析】过A点作于H点，如图，根据方向角的定义和平角的定义可计算出/BAC=75°,

再计算出/C4H=30°,接着在反中利用等腰直角三角形的性质计算出AH=B8=3切z,然后在

RtAAC//中利用/C4H=30°计算出CH=43km,最后计算BH+CH即可.

【解答】解：过A点作于H点，如图，

:点8在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，

.\ZBAC=180°-80°-25°=75°,

VZABC=90°,NAHB=9Q°,

：.ZBAH=45°,

：.ZCAH=ZBAC-ZBAH=J5°-45°=30°,

在中，VZB=45°,

：.AH=BH=5AB=苧x3V2=3（km）,

在RtZXAC”中，VZCAff=30°,

CH=^AH=~x3=V3（fow）,

；.BC=BH+CH=(3+V3)km.

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意

理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等

或一个角的余角等知识转化为所需要的角，然后运用解直角三角形解决问题.

4.（2025•浦东新区一模）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在4X4的网格中，点A、B、

C都在格点上，那么NA4c的正切值是（）

1

D.-

2

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据所给网格，连接BC得出与AC垂直，再结合正切的定义即可解决问题.

贝ijBCLAC.

令小正方形网格的边长为

则由勾股定理得,

BC=yja2+(2a)2=V5a；

AC=J(2a)2+(4a)2=2层a.

在RtAABC中,

tan/2AC=翳急J

故选：D.

【点评】本题主要考查了解直角三角形，通过连接3c构造出直角三角形及熟知正切的定义是解题的关

键.

5.（2024秋•永春县期末）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点工水平距离为8历〃,

当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°,则这枚火箭此时的高度AL为（）km.

8

A.8sin53°B.8cos53°C.---------D.8tan53°

tan53°

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据题意可得：AL±LR,然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.

【解答】解：由题意得：ALLLR,

在RtZ\ALR中，LR=8km,ZARL=53°,

.'.AL—LRttan53°=8tan53°(km),

这枚火箭此时的高度AL为8tan53°km,

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

6.（2025•金山区一模）已知RtAABC+-ZC=90°,AC=3,AB=5,那么下列各式中，正确的是（）

A.sinB=FB.cosB—FC.cotB—FD.tanB--F

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】A

【分析】利用勾股定理求得的长度，然后利用锐角三角函数定义的定义逐项判断即可.

【解答】解：:Rt△4中,ZC=90°,AC=3,AB=5,

:.BC=7s2—32=4,

sinB==I，则A符合题意；

cosB=器=.,则B不符合题意；

8历=第=孑则C不符合题意；

tanB==p则。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键.

7.（2024秋•碑林区期末）周末许老师参加骑行爬山活动,他沿着坡度为1；百的山坡上坡骑行前进了1800m,

则许老师所在的位置升高了（）

「IOOOVS

A.900/raB.lOOO/zzC.600V3mD.----------m

3

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

【分析】根据坡度与坡角的关系求出坡角，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可.

【解答】解：设斜坡的坡角为a,

:坡度为1：V3,

..1V3

..tana=%=3，

.*.a=30°,

1

许老师所在的位置上升的高度为：-xl800=900（m）,

故选：A.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确理解坡度与坡角的关系是解题的关键.

8.（2024秋•濡桥区校级期末）将RtZXABC的边长都扩大为原来的3倍，则cosA的值（）

A.变大B.不变C.变小D.无法判断

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；模型思想.

【答案】B

【分析】利用相似变换可判断NA没有发生变化，则根据余弦的定义得到NA的余弦值不变.

【解答】解：•••「△ABC的边长都扩大为原来的3倍，

ZA没有发生变化，

cosA的值不变.

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解余弦的定义是解决问题的关键.

9.（2024秋•淹桥区校级期末）如图，AABC的顶点在正方形网格的交点上，贝hanC的值为（）

V2

D.—

2

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】在Rt^ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

；.tanC=而=］可，

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

4

-

10.(2024秋•揭阳期末)在RtZXABC中，ZC=90°5则cosA=()

【考点】同角三角函数的关系.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】根据题意设BC=Ax,48=5x,根据勾股定理求出AC,最后根据锐角三角函数的定义进行计

算即可.

【解答】解：由条件可知s加4=器=3

设5C=4x,AB=5xf

AC=7AB2-BC2=7（5%）2-（4x）2=3x,

.AAC3x3

••郎4=丽=我=引

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

H.（2024秋•雁塔区校级期末）如图，一个山坡的坡度i=l；V3,则坡角a的度数为30°.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】30°.

【分析】根据坡度=坡角的正切值计算即可.

【解答】解：根据坡度=坡角的正切值计算如下：

由题意得tana=1.-V3=拳

Na=30°

故答案为：30°.

【点评】本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，掌握坡度=坡角的正切值是解题关键.

3

12.（2024秋•梁溪区校级期末）如图，ZkABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,则sinA的值为-

-5'

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理.

【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力.

3

【答案】

【分析】利用勾股定理求得的长，然后根据正弦的定义即可求得答案.

【解答】解：:△ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,

：.AB^M32+42=5,

..BC_3

••sinA==耳,

,—,3

故r答案为：

【点评】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键.

13.（2024秋•盐湖区校级期末）如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学

家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若每个直角三

角形的两条直角边长分别为5,12,直角三角形的较小的锐角为a,则sina的值是_三_.

【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的证明.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】竟

【分析】根据“弦图”已知数据求得每个直角三角形的斜边长为13,进而根据正弦的定义，即可求解.

【解答】解：在直角三角形中，两条直角边长分别为5,12,

由勾股定理得：斜边长为，52+122=13,

..•直角三角形的较小的锐角为a,

・・・边长为5所对的直角三角形的锐角，

・

•••SLTIC_C—5]3，

故答案为：言.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角形函

数的定义.

14.（2025•浦东新区一模）沿一斜坡向上走2米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度/•=1：V3.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】1：V3.

【分析】由勾股定理可得此人行走的水平距离，进而根据坡度是坡面的铅直高度力和水平宽度/的比解

答.

【解答】解：由勾股定理得此人行走的水平距离为VFR=V3,

，那么这个斜坡的坡度i=l：V3.

故答案为：1：V3.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解答本题的关键.

15.（2025•嘉定区一模）如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高AB=6m,坡面AC

4

的坡度i=l：则至少需要红地毯14m.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】应用题.

【答案】见试题解答内容

4

【分析】根据坡面AC的坡度求出BC的长度，从而利用平移的知识可得地毯的长度=AB+8C,

继而得出答案.

4

【解答】解：,••42=6"，坡面AC的坡度i=l：

4

BC=6xg=8m,

故可得地毯的长度=AB+BC=6+8=147〃.

故答案为：14.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出8C的长度是解答本题的关键，另外要掌握平

移的运用.

三.解答题(共5小题)

16.(2024秋•漂阳市期末)在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数

值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究.

(1)初步尝试：

-V3

我们知道：tan60°=V3,tan30°=—；

———3—

发现结论：tana#2tan^a(填"="或"W")；

1

(2)如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,求的值；

1

研究思路：小明想构造包含5乙4BC的直角三角形：于是延长至。，使得。连接AD,所以

111

得至此。即转化为求NO的正切值，那么ta舄乙4BC=-；

22—3一

(3)在△A3C中，/A为锐角，tanA=ZB=2ZA,AB=2V13.求S^ABC的值.

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力.

【答案】(1)V3；y；W；

1

(2)—；

3

(3)6.

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值即可得出答案，根据tan60。W2tan30。即可得出答案；

(2)延长CB至D,使得。连接AD,则/。=l/2/ABC,先求出BO=AB=5,则CD=BC+B。

AC11

=9,然后在Rt^AC。中，根据正切函数的定义tanO===可由此可得的值；

(3)过点C作于点。，在D4上截取£)E=DB,连接CE,则CE=C8,再证明

rni

得AE=CE,在RtzMCD中，tanA=^=^,可设CD=a,AD^3a,贝！|DE=3a-AE,DE=DB=3a

-AE,AB=6a-AE=2V13,由此得AE=CE=6a-2VH,DE=2V13-3a,在RtZkCCE中，由勾股

定理可求出a=喈，然后根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积.

【解答】解：（1）根据特殊角的三角函数值得：tan60。=V3,tan30°=空，

Vtan60°#2tan30°,

1

tanaW2tan-^a^

故答案为：V3；f；W；

图1

；・/D=NBAD,

：.ZABC=ZD+ZBAD=2ZD,

1

・•・ZD=^ZABC,

在Rtz^ABC中，AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=Wi4C2+BC2=5,

：.BD=AB=5,

：.CD=BC+BD=4+5=9,

ACQ1

在RtAACD中，tanD=|

.11

・・tan2乙ABC—十

­、、1

故答案为：—；

(3)过点。作CZ)_LA3于点。，在ZM上截取连接CE,如图2所示:

：.CD是线段BE的垂直平分线，

:.CE=CB,

，/B=/CED,

9：ZCED=ZA+ZECA,ZB=2ZA,

：.2ZA=ZA+ZECA.

：.ZA=ZECA,

：.AE=CE,

rni

在RtZWCD中，tanA==f.

...设C£)=a,AD=3a,

：.DE=AD-AE=3a-AE,

:.DE=DB=3a-AE,

AB—AE+DE+BE—AE+3a-AE+3a-AE—6a-AE,

：A8=2V13,

.•.2V13=6a-AE,

：.AE=CE=6a-2V13,

:.DE=3a-AE=3a-(6a-2713)=2V13-3a,

在Rtzxcr陀中，由勾股定理得：C£2=CZ)2+Z)E2,

A(6a-2V12)2=a2+(2V13-3a)2,

整理得：13a2-2V13a=0,

解得：a=嗜，。=0(不合题意，舍去)，

.小—6V13

••CD-—~~，

:.SAABC=%B・CD=Ix2V13x耳卒=6.

【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练

掌握锐角三角函数的定义，灵活运用勾股定理进行运算是解决问题的关键.

17.(2024秋•本溪期末)如图1,是台式桌面化妆镜，由镜面和底座组成，镜面可以绕两固定点转动，如

图2,是其侧面示意图，OCLMN,AB可绕点。旋转，。是的中点，测得43=16厘米.

B

(1)正常放置时，ZAOC=30°,求此时点A到。C的距离；

(2)如图3,绕点。逆时针旋转到481的位置，此时N4OC=53°,求点A在竖直方向上升的高

度(结果精确0.1厘米).(参考数据：sin53°心0.80,cos53°心0.60,度=1.73)

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】(1)4cm；

(2)2.1厘米.

【分析】(1)作4DL0C于点。，根据已知易得：。4=。2=8。〃，然后在RtZkA。。中，利用锐角三角

函数求出AD=AOsmZAOC的长；

(2)作4E_LOC于点E,根据在RtZ\AiOE中，可求OE=OArcos/AiOE=4.8cm然后在RtZ\AO。

中，。。=。4•cos乙4OC=4旧si,即可解答.

【解答】解：(1)作AOJ_OC于点。，

由题意可得：

1

OA=OB=a48=8cm.

在RtZXAOO中，ZAZ)O=90°,ZAOC=30°,

•SITIZ-AOC—40,

1

.*.AD=AOsinZ-AOC=8X3=4cm.

(2)作4E_LOC于点E,

ZAiEO=90°.

B

■cosZ-A^OE=o.,

XVOA=OAi,

OE=OAi,cosZAiOE^8X0.6—4.8cm.

在RtAAOZ)中，

'/cosZ-AOD=

OD=OA-cosZ-AOC=8x5=4v5cm,

：.DE=OD—OE=4A/3-4.8~2.1cm.

答：点A在竖直方向上升的高度约为2.1厘米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

18.(2024秋•拱墅区期末)图1是某种笔记本电脑支架.如图2,其底座48放置在水平桌面上，通过调

节点C,点。处的角度，控制托盘EF的位置.电脑机身和屏幕分别用线段EG,GH表示，CD=16cm,

EG—GH—21cm,ED—5cm.

(1)若NAC£)=60°,ZCDG=90°.

①为使屏幕与桌面保持垂直，求/EG8的度数.

②求点H到桌面的最大距离(不计材料的厚度).

(2)在(1)的情况下，保持/CZ)G=90°,并逐渐减小NACD的度数.圆圆同学说：“点G到桌面的

距离越来越小.”点点同学说：“点G到桌面的距离先变大，后变小.”你认为谁的说法正确，说明理由.

【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用.

【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】（1）①/EGH=120。；

②点X到桌面的最大距离为（29+8-）cm；

（2）点点同学说得对，理由见解答部分.

【分析】（1）①易得C£）E=90°,ZBMG=90°,根据四边形的外角和是360°可得/EGH的度数；

②作OVLGM于点N,DHLAB于点H,分别求得GN和。”的长，再加上HG的长度，即为点”到

桌面的最大距离；

（2）判断出点G到桌面的距离的表示方法，取几个特殊值代入可得点G到桌面的距离，即可判断哪位

同学的说法正确.

【解答】解：（1）①延长HG交于点则/8WG=90°,

图2

,：ZCDG^9Q°,

：.CDE=90°,

:四边形的外角和为360°,ZACD=60°,

：.ZEGH=360°-90°-90°-60°=120°；

②作DN±GM于点N,DH±AB于点H

H

图2

：.NDNG=90°,NDHC=90°,

VZACD=60°,CD^16cm,

DH—CD,sin60°=8旧(cm),

\'EG—21cm,ED—5cm,

：.DG=21-5=16(cm),

VZEGH=120°,

:./DGN=60°,

GN—16Xcos60°=8(cm),

"：GH=2\cm,

.•.点X到桌面的最大距离为：21+8+8/=(29+8V3)cm,

答：点H到桌面的最大距离为(29+8百)cm；

(2)点点同学的说法正确.理由如下：

设NACZ)=a,则/QGH=180°-a,

：.ZDGN=a,

.•.点G到桌面的距离为：GN+DH^16Xcosa+16Xsina,

当NACZ)=60°时，点G到桌面的距离为(8+8V3)cm,

当NACZ)=45°时，点G到桌面的距离为：16Xcos45°+16Xsin45°=16V2(cm),

当NAC£)=30°时，点G到桌面的距离为：16Xcos30°+16Xsin30°=(8V3+8)cm,

V8+8V3<16A/2,

...点G到桌面的距离先变大，后变小.

•••点点同学说得对.

【点评】本题考查解直角三角形的应用.把所求的线段合理分割，整理到直角三角形中，是解决本题的

关键.

4

-

19.(2025•浦东新区一模)如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,5点。是边48的中

点，过点。作C。的垂线，与边BC相交于点E.

(1)求线段CE的长;

(2)求sin/BDE的值.

A

【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】⑴章

7

(2)—.

25

【分析】(1)由勾股定理求出8C,再根据斜边上的中线求出A。，ZDCB=ZB,由余弦定理求出CE；

(2)作EfUAB交于尸，在直角三角形中由勾股定理列出关于8尸的关系式，从而求出NBOE的正

弦值.

4

【解答】解：(1)-：ZACB=90°,AB=10,cosB=

.BC4

••=一,

AB