2025年中考数学考点过关练：规律探究题型突破

规律探究题型突破

题型一数式变化类

“2024江苏扬州］1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1』,2,3,5,…，这一列数满足：从第三个

数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为()

A.676B.674C.1348D.1350

2.［2023四川内江］对于正数x,规定/(%)=高，例如〃2)=*=("(0=工=|/(3)=答=

XTXZ十Xo\Z/—2rJ.5jTXZ\oz

S=摄十算f岛)+f(击)+f岛)+…+fG)+fG)+/⑴+f(2)+f⑶+-+f(99)+f(100)+f(101)=

3十

()

A.199B.200C.201D.202

3.［2024河北］“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运

算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132x23,运算结果为3036.图2表示一个三位数与一

个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是()

小方格中的数据是由其

所对的两个数相乘得到♦

的，如:2=lx2Z2

%,,6,,4

3

39,6

1

1

T

Z

O国

-

•20

回

图2

A.“20”左边的数是16

B.“20”右边的“画”表示5

C.运算结果小于6000

D.运算结果可以表示为4100a+1025

4.［2024宁夏］观察下列等式：

第1个：1x2—2=22x0；

第2个：4x3-3=32xl；

第3个：9x4-4=42x2;

第4个：16x5—5=：52x3.

按照以上规律，第n个等式为.

5.［2024四川成都］在综合实践活动中，数学兴趣小组对l~n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数

k进行了探究，发现：当n=2时，只有｛1,2｝一种取法，即k=l;当n=3时，有｛1,3｝和|2,3｝两种取法，即k=2;当n=4时，可得

k=4;........若n=6,则k的值为;若n=24,则k的值为.

6.[2024北京东城区校级模拟]有灰、白各6张卡片，分别写有数字1至6,把它们像扑克牌那样洗过后，如图

排成两行，数字朝下，排列规则如下：

①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；

②灰、白卡片数字相同时，灰卡片放在左边.

将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则写有数字1的白卡片为

标注字母______的卡片，标注字母d的卡片写有数字.

ABCDEF

第一行:■

第二行：■■口■□口

abcdef

题型二图形变化类

7.[2024黑龙江牡丹江]如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形、第1个图有4个三角形,

第2个图有7个三角形、第3个图有10个三角形.....按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）

△

筮△

△△

△△△△能

△△△△△△△

个

第1个第2个

A.2022B.2023

8.[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5

个正方形，第三幅图有14个正方形，—-按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）

□田H

第一姐图第二帆图第三幅图第四幅图

A.90B.91C.92D.93

9.[2024重庆A卷]烷煌是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模

型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种（如图①）有4个氢原子，第2种（如图②）有6个氢原子，第3

种（如图③）有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）

树哪输

①②③④

A.20B.22C.24D.26

10.[2024江苏盐城]发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢?

图1

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，

每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、

列上相邻两籽的间距都为d（n,k均为正整数，n>kN3,d>0）,如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

三llllljjlll...

三^:三7"由中川।…

图2图3图4

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为共铲行，则铲除全部籽的路径总长为_

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为；

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短?请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.

题型三点的坐标变化类

11.[2024江办盐城二模]如图,平面直角坐标系中,△AiA2A3,△A3A&Ag,△A5AgA7,.......都是斜边在x轴

上的等腰直角二角形，点A[(-2,0),A2(-1,-1),A3(0,0),........;i则根据图小规律，点A?025的坐标为()

A.(-1012,0)B.(-1014,0)

C.(-2,l012)D.(1014.0)

12.[2024山东聊城]任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行

上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1-4—2-1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将

点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x,y均为正整数.例如，点(6,

3)经过第1次运算得到点(3,10),经过第2次运算得到点(10,5),以此类推，则点(1,4)经过2024次运算后得到点—

13.[2024黑龙江龙东地区]如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为(3,0),△OAB是等边三

角形，点B坐标是(1,()),△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边(方向为O—M-N—P-O—M-…)

做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，Ai的坐标是(2,0)；第二次滚动后,Ai的对应点记为A2,A2

的坐标是(2,0);第三次滚动后，A2的对应点记为A3,A3的坐标是(3-争J……，如此下去，则A2024的坐标

是

14.[2024黑龙江齐齐哈尔校级模拟]如图，在平面直角坐标系中,有一个RtAOAB,NABO=9()o,NAOB=30。直角

边OB在y轴非负半轴上，点A在第一象限，且OA=1,将RtAOAB绕原点逆时针旋转30。，同时把各边长扩大为原

来的两倍（即（OAi=20A）狷到RtAOAiBi;然后将R30AxB1绕原点O逆时针旋转30。,同时把各边长扩大为原

来的两倍，得到RtAOA2B2；……，依此规律，得到RtACM202482024,.则B2024的坐标为.

突破一规律探究

1.D解析:这列数为1,1,2,3,5,8,13,21.34，…，可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数，第3个

数为偶数，・••2024+3=674……2,即前2024个数中共有674组，且余2个数，，奇数有674x2+2=1350（个）.

方法技巧..

解答规律探究题的一般思路是由特殊到一般，即通过对特殊情况的研究，找出规律，进而推广到一般情形，再

根据一般情形解决问题.

1C解析：/⑴=后=1,

f⑵+呜=2，

/⑶+呜=2，

2X101+2X圭20212204Q

101+1—-+1=-10-2H-10-1+1=—102=2,

101

•••f(击)+f(击)+，(专)+…+fG)+f(J+f⑴+f⑵+F⑶+…+f(99)+f(100)+f(101)=2xl00

+1=201.

3.D解析：设三位数从左到右数字分别为b,c,d,两位数从左到右数字分别为m,n.根据题图2可得dm

=20,dn=5,cn=2,所以m=4n,d:c=5:2,由于b,c,d,m,n者B是一位数，所以~=5{=2,进而可得m=4,n=l,所以"20"

左边的数是8,"20"右边的"目"表示4,排除选项A、B;易得"a"上边的数是4a,则运算结果可以表示为1

000(4a+l)+100a+10x2+5=4100a+1025,选项D正确;当a=2时,运算结果为9225,排除选项C.故

30.(1)|(2)|

解析：（1）在5个空白的方格中随机选一个涂上阴影，阴影部分形成的图案是中心对称图形的概率为|

⑵如图,5个空白方格分别用123,4,5表示.

选D.

4.几2X(n+1)—(71+1)=(71+I)2x(n—1)

解析：第1个：1x2-2=22X0；

第2个：4x3-3=32xl;

第3个：9x4-4=42x2;

第4个：16x5-5=52x3.

按照以上规律，第n个等式为n2x(n+1)

—(n+1)=(n+I)2X(n—1).

5.9;144

解析：当n=2时k=1=(I)；

当n=3时,k=2;

当n=4时,fc=3+l=4=22=图;

当n=5时，有|1,5},{2,5},|3,5},|4,5|,|2,4|,{3,4|六种取法,则k=4+2=6;

当n=6当有{1,6|,亿6},{3,6},{4,6},|5,6|,|2,5|,|3,5|,|4,5|,|3,4|九种取法，则k=5+3+1=9=3?/

依此类推，当n为偶数时，，k=(n-l)+(n-3)+…+5+3+1=管丫，

,当n=24时，k=(y)2=144.

6.B;4

解析：卡片B（即标注字母B的卡片，下同）与卡片c肯定有一张为白1（即写有数字1的白色卡片，下同），

若卡片C为白1,则左边不可能有2张灰卡片，

二白1为标注字母B的卡片，

，灰1为标注字母A的卡片；

二卡片C与卡片c肯定有一张为白2,若卡片c为白2,则卡片a,b只能是灰1,灰2,而卡片A为灰1,矛

盾，

・・卡片C为白2;

卡片F与卡片c肯定有一张为白3,

画树状图如下：

开始

12345

小八A小八

52341534I254I235I234

共有20种等可能的结果，其中阴影部分形成的图案是中心对称图形的结果数为4,

所以阴影部分形成的图案是中心对称图形的概率=^=|.

若卡片F为白3,则卡片D,E只能是灰2,灰3,此时灰2在白2右边，与规则②矛盾,

，卡片c为白3,

二卡片a为黑2,卡片b为黑3;

卡片F与卡片e肯定有一张为白4,

若卡片F为白4,则卡片D,E只能是灰

3,灰4,与卡片b为灰3矛盾，

，卡片e为白4,

，卡片d为灰4.

故答案为B;4.

7.B解析：第1个图中有4个三角形，即4=3xl+l,

第2个图中有7个三角形，即7=3x2+l,M3个图中有10个三角形，即10=3x3+1,

按此规律排列下去，第n个图中有(3n+l)个三角形，

则第674个图中三角形的个数为3x674+1=2023.

8.B解析：第一幅图中正方形的个数为了；

第二幅图中正方形的个数为M+22=5;第三幅图中正方形的个数为12+22+32=14；

第六幅图中正方形的个数为I?+22+32+42+52+62=91.

9.B解析：由题中所给模型图可知，

第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=lx2+2;

第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2x2+2;

第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3x2+2;

第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4x2+2;

所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为2n+2,

当n=10时,2n+2=22.

即第10种化合物的分子结构模型中氯原子的个数为22

10.分析问题方案l:(n-l)d12k12(n-l)dk

方案2:案k-1)dn

方案3：y(2/c-l)nd

解决问题方案3铲籽路径总长最短；比较过程见解析：销售员的操作方法使铲籽路径总长最短，减少了对菠

萝的损耗

解析：分析问题

方案1:根据每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d、

，每行铲的路径长为(n-l)d.

•••每列有k个籽，呈交错规律排列，

，有2k行,即共铲2k行.

，铲除全部籽的路径总长为2(n-l)dk.

方案2:根据每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d,

，每列铲的路径长为(k-l)d,

•:每行有n个籽，呈交错规律排列，

.•有2n列，

，纵向铲除全部籽的路径总长为2(k-l)dn.

方案3:由题图4得斜着铲时路径上每相邻两个点之间的距离为专贮=等.沿着斜着铲籽的路径展开菠萝侧

面，

由每行有n个籽可知，

斜着铲除全部籽所需路径为n条线段，由共有2k行可知每条线段长为中(2k-l)d,

，斜着铲除全部籽的路径总长为f(2/c-l)nd.

解决问题

2(n-l)dk-2(k-l)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)>0,

」•方案1的路径总长大于方案2的路径总长；

2(fc—l)dn—x(2/c—l)dn—[(2——2+dn,

/n>k>3/

*'•(2——2+fNslant(J2—V2)X3—2+=4—>0,

2(k—l)dn—，x(2/c-l)dn>0,

:方案2的路径总长大于方案3的路径总长.

:方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法使铲籽路径总长最短，减少了对菠萝的损耗.

11.B解析:由题图可知.

点A,的坐标为(-2.2).

点A2的坐标为(-2.4).

点人土的坐标为口⑹.

所以点AL的坐标为(-2.2n)(n为正整数)，

当n=506时,

4n=2024,2n=1012,

所以点人2。24的坐标