2025年中考数学三轮复习：平行四边形证明 高频考点归纳练

2025年中考数学三轮复习备考平行四边形证明高频考点归纳练

1.(1)如图1,在正方形ABC。中，点、E,尸分别在ADA3上，连接CE,0P交于点G,

当£＞尸=8时，请判断与CE的位置关系，并写出证明过程；

(2)如图2,点尸为C。的中点，将正方形ABC。沿3尸折叠，点C的对称点为G,连接CG

并延长交AD于点E,交BP于点K,连接DG并延长交A8于点R求证：CE=DF.

2.如图1,菱形ABC。中，点E是对角线AC上一点，连接BE、DE.

图2

⑴求证：BE=DE；

(2)如图2,若/ABC=80。，点P在线段AO上，连接当AAEF是等腰三角形时，请

直接写出4£户的度数.

3.如图，在矩形ABCZ)中，AD=3,OC=10,点E是边A3上一点，EB=9,连接DE,

EC.点M和点尸分别是边BC和线段班上的动点，连接尸

DCDE'C

AEPBAEPB

图1图2

⑴求证：DAEs,EBC；

⑵如图1,若PM=PB+CM,S^PBM=^~,求EP+3M的长；

(3)如图2,将ZME绕点。逆时针旋转，使点E的对应点£在边DC上，点A的对应点A在

线段。尸上，DP交EC于卓、N,若PM=CM,求证：NM//AB.

试卷第2页，共10页

4.如图1,四边形ABCL（中，对角线AC,8。互相垂直平分，过A作AH_LCD于H交。D

于K,延长ZM至跖作NM4H的平分线，交BD于E,交BC于F.

（1）判断四边形A3C。的形状并证明；

（2）如图2,连接0H,判断0〃与AE的数量关系，并说明理由；

（3）补全图形：延长AH,交EC延长线于G,延长胡，交DC延长线于/,探究当CG=及时,

比较后CH和GC的大小关系，并说明理由.

5.如图①.点E为正方形A3CD内一点.ZAEB=90°,将RtA4BE绕点8按顺时针方向

旋转90。，得至（点A的对应点为点C）.延长AE交CE'于点元连接DE.

猜想证明：

（1）试判断四边形的形状.并说明理由；

（2）如图②.若94=让.请猜想线段CP与FE的数量关系并加以证明；

解决问题：

(3)如图①，若AB=15,CF=3,请直接写出。E的长.

(1)如图①，证明：BE=BF.

(2)如图②，若NA£»C=90。，。为AC的中点,G为所的中点，试探究OG与AC的位置关

系，并说明理由.

(3)如图③，若NADC=60。，。为AC的中点,过点E作。C的平行线，并在其上取一点K(

与点r位于直线BC的同侧)，使斯=郎，连接CK,H为CK的中点，试探究线段与

出之间的数量关系，并对结论给予证明.

试卷第4页，共10页

7.已知在正方形ABCD中，AB=6,点耳歹分别在边AD,C。上，S.DE^DF,连接BE,

BD.

(1)如图1,连接AF交8。于点G,若CF=2DF,求证：BG=3DG；

(2)如图2,连接硬，BF,若NEBF=45°,求所的长；

ENDN

(3)如图3,连接BF,过点E作垂足为交于点N,求证：—.

8.(1)如图1,点E是边长为12的正方形纸片ABC。的边所在的射线DA上一动点，将正

方形沿着CE折叠，点。落在点尸处，把纸片展平，射线叱交射线48于点尸.根据以上

操作，求证：AP=EF.

(2)在(1)条件下，若点E是凡D的中点，如图2,延长CP交48于点Q,点。的位置是

否确定？如果确定，求出线段BQ的长度，如果不确定，说明理由；

(3)在(1)条件下，如图3,CE,交于点G,取CG的中点H,连接求的

最小值.

9.四边形A3CD是一张平行四边形纸片，将纸片沿着所折叠，使点8落在直线4。上的点

B'处，点A的对应点为A,EB'和CD相交于点

(D如图1,当平行四边形ABC。是矩形时：

①连接班，求证：四边形E8F?为菱形：

②如图2,若3c=2AB,当点尸与点C重合时，NECB'=；

(2)如图3,当平行四边形A3CO满足NABC=60。，AE=AB=2,且H为C。的中点，求此

时EF的长度.

试卷第6页，共10页

10.如图，正方形ABCD的边长为4,在平面内取一点E（不与点。重合），连接DE,以DE

为边作正方形DEfG（D,E,F,G四点逆时针分布），连接AE,CG.

图1备用图

（1）如图1,当点E在正方形ABCD的内部时，求证：AE=CG；

⑵在（1）的条件下，当点E运动到与AE,G三点共线时，若DE=2,求AE的长;

（3）当点E在平面内运动时，若DE=2,请直接写出△说的面积的取值范围.

11.实践操作矩形纸片ABC。中，AB=6,AD=4,现将纸片折叠，点A的对应点记为点

P,折痕为"N（点N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平.

初步思考（1）如图1,当点N在上，点M和点尸在DC上，AP与MN交于点、O.求

证：四边形AMPN为菱形；

继续探究（2）如图2,在（1）的条件下，当点尸与点C重合时，求4〃的长；

拓展延伸（3）如图3,当点N和点8重合，点M在AD上运动时（点M不与点A重合），

作/CBP的平分线，与的延长线交于点Q.求出点。到C。的距离，并直接写出在点M

运动过程中，点。到直线AD的最大距离.

图1

12.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于。点,,是，3AC的外角平分线，CF

平分工ACB,交BD于点G.

图2

⑵求证：FG=V2CG;

(3)如图2,连接。尸，若正方形ABCD的边长为2,求的长.

试卷第8页，共10页

13.在正方形ABC。和正方形A£FG中，E为3C上一动点(不与3、C重合)，G在C。延

长线上，

(1汝口图1,判断DG与BE的数量关系，并说明理由.

⑵如图2连接EG、BD交于点P,连接CP,判断AE与CP的数量关系，并说明理由.

⑶如图3连接EG、BD交于点P,连接CV,若点E在运动的过程中，当CP平分/ECF时,

过点尸做P”_LEC于点H,直接写出P”与EC的数量关系.

14.如图①，四边形ABC。为正方形，E为对角线AC上一点，连接。E,BE.

图①图②图③

(1)求证：BE=DE；

⑵如图2,过点E作EFLDE,交边BC于点、F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.

①求证：矩形。EFG是正方形；

②若正方形A3。的边长为9,CG=3及,求正方形DEEG的边长；

(3)若正方形A58的边长为4&,连接CG,如图③，直接写出CE+CG的值.

15.菱形ABCD中，点E为C。边上一动点，射线AE与BC的延长线交于点尸，连接。尸,

射线BE与。尸交于点G.

⑴如图1,E为CD中点，ZAEB=ZBCD.

①求证：BE~=CEBC；

②若AB=6,求线段EG的长；

(2)如图2,点a在边AD上，若/EBH=NBCD=60。,BE=4EG=2,求线段AH的长.

试卷第10页，共10页

《2025年中考数学三轮复习备考平行四边形证明高频考点归纳练》参考答案

1.(1)DFLCE,证明见解析；(2)见解析

【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，平

行四边形的判定与性质等知识,灵活运用全等三角形的性质处理边角关系是解答本题的关键.

(1)运用印，证明RtZMF^RtCDE,^ZECD=ZFDA,由NEDA+NFE»C=90°得

/ECD+/CDF=90。,可得/DGC=90。，从而得DF_LCE；

(2)由折叠得3尸垂直平分CG,K为CG的中点，乙BKC=90。，运用ASA证明BCP咨ECD,

得BP=CE,再运用三角形中位线定理得出得出四边形PBDF是平行四边形，

可得BP=DF,从而得出CEnD尸.

【详解】解：(1)DF±CE,

证明：••,四边形ABC。是正方形，

AD=。，/A=ZADC=90°,

在RtADF和RtVDCE中，

[AD=DC

[DF^CE'

ARtD4F丝RtCDE'(HL),

ZADF=ZDCE,

ZADC=90°,

/.ZADF+ZFDC=90°,

：.NDCE+NFDC=90。,

：.NDGC=180°-(ZDCE+ZEDC)=180°-90°=90°,

：.DFLCE-

(2)•.,将.3PC沿3尸折叠，得到.BPG,

点C与点G关于直线3P对称，

BP±CG,GK=CK,

•••K为CG的中点，

:四边形ABC。是正方形，

/.BC=CD,AB//CD,ZBCP=ZADC=90°,

ZPBC=ZECD=90°-Z.BCE,

答案第1页，共35页

在3cp和AECP中，

"NPBC=ZECD

<BC=CD,

ZBCP=ZCDE

一BCP^AECD(ASA),

：.BP=CE；

：K为CG的中点，尸为CO的中点，

二PK为▲CDG的中位线，

PK//DG,即3尸〃。F,

又AB〃CD,

四边形BPDF是平行四边形，

/.BP=DF,

'：BP=CE,

：.DF=CE.

2.(1)见详解

(2)80。或65。或50。

【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握

相关性质内容是解题的关键.

(I)根据菱形的性质得AD=AB,然后证明至△ZME,即可作答.

(2)根据菱形的性质得3C〃AD,NBAE=NDAE,ZBAE=ZDAE=50°,然后结合等腰

三角形的性质，进行逐个作图，且根据三角形内角和性质列式计算，即可作答.

【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形，

AZBAE=ZDAE,AD=AB,

"：AE=AE,

，△RAE9/\F>AE,

：.BE=DE；

(2)解：：四边形ABC。是菱形，

BC//AD,ZBAE=ZDAE,

,：ZABC=80°,

ZBAD=180°-80°=100°,

答案第2页，共35页

ZBAE=ZDAE=50°

V是等腰三角形,

ZAEF=180°—50°-50°=80°；

ZAEF=ZDAC=5Q°；

综上：当△AEF是等腰三角形时，的度数为80。或65。或50。.

3.(1)见解析;

⑵？;

答案第3页，共35页

(3)见解析.

【分析】（1）在矩形ABCD中，AD=3,DC=10,EB=9,得出3c=3,AE=1,即可

得——=——，结合ZA=ZB=90°,即可证明DAEs,EBC.

AEBC

(2)如图，设CM=x,，则则BM=3—x,EP=9—y,在咫中，

勾股定理得出关系式孙=)3x,由工厕=与得：y(3-x)=?,两式相结合得出

//22

13

x+y=y,即可求解EP+8M=12-x-y.

(3)证明△ZMP丝△CBE,得出AP=3E=9,即可得尸3=1,根据PM?=(3—冏/丫+a，

求出产M=g,得出需=1，由DC〃尸E得△DCVSAP£N,得出第=器=1,

再证明△CWMs^xcEB,可得NCNM=NCEB,即可证明.

【详解】(1)证明：如图，在矩形ABC。中，AD=3,DC=10,EB=9,

：.BC=3,AE=1f

AD

~AEBC

ZA=ZB=90°,

:」DAEsEBC.

(2)解：如图，设CM=x,BP=y,则尸加=尤+，

贝U&W=3—x,EP=9—y,

在用PBM中，（x+y）2=（3-x）2+y2,

.,.孙=£-3X,

,・q15

*^APBM2

.\!y（3-x）=y

/.3y—xy=15,

.ar92J：

..3y-1--3xI=15,

3x+3y=学,

13

..x+y=—,

2

:.EP+BM=9-y+3-x=12-x-y=n-^-=^-.

答案第4页，共35页

(3)证明：ZADE=ZADEr,ZADE=ZAPD,

,\ZADE=ZAPD,

•・•.DAE^EBC

：.,ZADE=ZBEC,

:.ZBEC=ZAPD,

9：ZDAP=ZCBE=9Q°fAD=BC,

：..DAP^^CBE(AAS)f

则APuBE：y

.\PB=AE=1,

PM=CM,

.\PM2=(3-PM)2+12,

.CM=5

…BM

■:DC//PE,

・•・DCNs&PEN,

,CN=DC=10一5

「EN~PE?

.CM=CN

,.BM—EN，

.CN二CM

•.CE-CB'

又ZNCM=/ECB,

.-.△CWS&JEB,

:.ZCNM=ZCEB,

:.NM//AB.

【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形

的性质，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点.

4.(1)四边形ABCD是菱形，证明见解析

(2)AE=yfiOH，理由见解析

答案第5页，共35页

（3）当NC4/f=22.5。时，y/2CH=GC;当NC4H>22.5。时，丘CH<GC;当NC4H<22.5。

时，y/2CH>GC

【分析】本题考查菱形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角

形的判定与性质、

（1）利用菱形的判定可得结论；

（2）先利用菱形的性质45=8,Q4=OC,根据直角三角形斜边中线性质得至U

OH^OA^OC,利用垂直定义和等腰三角形的性质推导出NZM"=90。-2/C4H,根据角

平分线的定义和角的运算得到ZAOE=45°,进而得到AAOE是等腰直角三角形即可得出结

论；

【详解】（1）解：四边形河。是菱形，证明如下：

「四边形ABC。中，对角线AC,8。互相垂直平分，

.•・四边形ASCZ）是菱形；

（2）解：AE=y[2OH.

理由：由（1）知四边形ABCD的形状是菱形，

AAD=CD,OA=OC,

ZCAD=ZACD,

,：AHLCD,

：.OH=OA=OC,ZCAH+ZACD=90°,

：.ZC4H+ZG4D=90°,BPZCAH+ZCAH+ZDAH^90°,

：.ZDAH=90°-2ZCAH,

的平分线，交BD于E,

：.ZEAH=|AMAH=1（180°-ADAH）=45°+ZCAH,

ZAEO=ZEAH-ZCAH=45°,

”。后是等腰直角三角形，

AE=y/2OA=>f2OH;

（3）解：当NC4H=22.5。时，亚CH=GC;当NCAH>22.5。时，丘CH<GC;当

NC4H<22.5。时，42CH>GC

如图

答案第6页，共35页

M

A

图2

设/C4H=a,由（2）可得NZMH=90°—2a

•.•四边形ABC。是菱形；

AB//CD

：.NG=90°-ZHCG=90°-2a

'：AHLCD

：.ZHCG=2a

当NHCG=NG时，即90。一2a=2tz,是等腰直角三角形，则CG=0CH

=22.5°

即当NC4H=22.5。时，立CH=GC;

当NG4H>22.5。时，贝U/Gc/HCG

CH<HG

■:CG=y[i，则CG?=2

,:CH?+HG。=2,CH<HG

2CH2<2,即辰H<逝

血CH<GC;

当NG4H<22.5。时，同理可得，6CH>GC.

综上所述，当NC4H=22.5。时，直CH=GC;当NC4H>22.5。时，0C”<GC;当

NC4H<22.5。时，y[2CH>GC.

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以

上知识是解题的关键.

5.（1）正方形，理由见解析；（2）CF=EF,证明见解析；（3）3a

【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质

与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键.

（1）由旋转的性质可得NA£B=NCEZ=90。，BE=BE'，NEBE'=9。°,由正方形的判定

答案第7页，共35页

可证四边形BEFE'是正方形；

(2)过点D作。于H,由等腰三角形的性质可得AH=JAE,DHLAE,由“AAS”

可得△AD"丝△B4E,可得AH=BE=gAE,由旋转的性质可得AE=CE',可得结论；

(3)作/5GLAE于G,根据勾股定理求出CE',再根据勾股定理求出AG,进而求出GE,

根据勾股定理计算。E的长.

【详解】解：(1)四边形3EFE是正方形，理由如下：

由旋转的性质可得ZAEB=NCE3=90。，BE=BE',NEBE'=90。

又,/NBEF=180°-ZAEB=90°

二四边形是矩形

又,：BE=BE,

.,•四边形3EFE'是正方形；

(2)CF=EF,证明如下：

如图②所示，过点D作。垂足为H

ZDAH+ZADH=90°,

VDA=DE,DH1AE,

：.AH=-AE,

2

:四边形A3CD是正方形，

AB=AD,ZDAB=90°,

：.ZDAH+ZBAE^90°,

：.ZBAE=ZADH,

在.AEB和中，

答案第8页，共35页

ZAEB=ZDHA

<NBAE=ZADH,

AB=DA

：.AE哙DH4（AAS）,

：.AH=BE,

由（1）知四边形3EFE'是正方形,

/.BE=E'F,

AH=E'F，

由旋转的性质可得：CE'=AE,

FE'=-CE',

2

CF=FE',

，CF=FE；

（3）如图①所示，作£>G_LAE于G,

,/四边形BEFE'是正方形

，BE=BE'=EF,

在RtCBE'中，由勾股定理得：CE'2+BE'2=BC2,

：.CE'~+{CE'-3^=BC2,

C£=12或CE'=—9（舍去），

；.AE=CE=12,EF'=BE=9,

由（2）可知：AEB空DGA,

：.AG=BE=9,

：.GE=AE-AG=3,

在Rt^OGE中，由勾股定理得：DE=ylDG2+GE2=>/122+32=3A/17.

6.（1）见解析

答案第9页，共35页

(2)GO±AC,见解析

(,3)AH=y/3OH,见解析

【分析】此题属于四边形综合题，考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，

菱形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的

判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

(1)只要证明=即可.

(2)如图②中，结论：GO±AC.证明ABG^CEG(SAS),可得G4=GC,即可解决问题.

(3)如图③中，连接AK,BK,FK.首先证明四边形屏KE是菱形，再证明ABK-CEK(SAS),

推出AK=CK,ZAKB=ZCKB,推出NW?=ZBXE=60。，推出ACK是等边三角形，即可

解决问题.

【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

:.AD//EC,AB//CD,

：.ZE=ZADF,ZEFB=ZEDC,

ED平分工ADC,

:.ZADF=ZEDC,

:.ZE=ZEFB,

：.BE=BF；

(2)解：结论GOLAC,理由如下：

如图②中，连接BG,AG.

DC

B.四边形ABCD是平行四边形，ZADC=90°,

四边形MCO是矩形,

:.ZABC=ZABE=90°,

由(1)可知：BE=BF,

.NEBF=90°,EG=FG,

=/E=45°,NGBF=ZGBE=45°,

答案第10页，共35页

G为EF的中点,

:.BG=GE=GF,

NDCE=9伊,

:.ZE=ZEDC=45°,

；.DC=CE=BA,

ZABG=ZE=45°,AB=EC=DC,BG=EG,

.二ABG丝CEG(SAS),

:.GA=GCf

。为AC的中点，

GO±AC.

(3)解：AH=6OH,理由如下：

如图③中，连接AK,BK,FK.

DC//AB,

图③

:.BF//EK,

QBF=EK,

二•四边形圆旌是平行四边形，

根据(1)可得BF=BE,

••・四边形由KE是菱形，

四边形ABC。是平行四边形，

ZADC=ZABC=60°,ZDCB=ZDAB=120°,

「.NEB尸=120。，

ZKBE=ZKBF=60°,

BF=BE=FK=EK,

KBE,XB尸都是等边三角形，

.\ZABK=ZCEK=60°fZFEB=ZFEK=30°f

;./CDE=/CED=30。,

答案第11页，共35页

:.CD=CE=BA,

BK=EK,

ABK^CEK(SAS),

：.AK=CK,ZAKB=ZCKEf

:.ZAKC=ZBKE=60°,

WACK是等边三角形,

O为AC的中点，H为CK的中点,

:.AK=2OH,AHLCK,

AH=AK-cos300=—AK=y/3OH.

2

7.(1)见解析

(2)1272-12

(3)见解析

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作

辅助线构造相似三角形是解题的关键.

(1)根据正方形的性质证明ADFGsAS4G即可解题;

(2)根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得到£F=2A£=2CF,设CF=AE=m,

EF=2m,可得DE=圆,列方程，进而求出所的长;

FNFH工即

⑶连接跖交即于点〃推导ENHjBFH,即可得到而=而

ENEH+NH

，根据==和砥=8后等量代换即可解题.

西-BH+FH

【详解】(1)证明：是正方形,

:.AB=CDfAB//CD,

.\ZGDF=ZABG,NGFD=NBAG,

DFGsBAG,

BGAB

CF=2DF,

..AB=CD=3DFf

BGAB3。尸

即BG=3DG；

PG-DF-DF

(2)解:ABCD是正方形，DE=DF,

答案第12页，共35页

:.AE=CF,BA=BC,ZA=NC=90°,

RtZ\A£B^RtACFS（HL）

:.BF=BE,

3D是所的垂直平分线,

NEB产=45°,

ZEBD=ZFBD=-ZEBF=22.5°,

2

ZABE=ZCBF=ZABD-ZEBD=22.5°,

如图,

ZA=Z.EMB=90°,ZABE=NMBE=22.5°,BE=BE,

图2

AAffiE（AAS）,

同理可得ACBF/AMBF,

：.CF=AE=EM=FM,

设CP=AE=m,EF=2m,

DF=DE=

近m+m=6

:.m=6近—6

:.EF=2m=12形-12；

(3)解：如图，连接斯交8。于点H,

由（2）可知瓦＞_LEF,BE=BF,

答案第13页，共35页

/.AHEN+AENH=ZNBM+ZBNM=90,

：.ZHEN=ZNBM,

ZEHN=ZBHF=90,

:公ENHs^BFH,

ENEHNHENEH+NH

——二——=——,即nn——=--------,

BFBHFHBFBH+FH

DE=DF,Z.EDB=45,

：.EH=HF=DH,

EN__EH+NH_DH+HN_DN

'1SF~BH+FH~BH+DH-BD'

BF=BE,

ENDN

一薪一访’

8.(1)见详解；(2)点。的位置确定，3。=9；(3)最小值为3旧-3

【分析】(1)如图，设CE,DF交于点G,由轴对称性质可得：CEA.DF,DE^EF,再结

合正方形的性质可证明ADmZ)CE(ASA),从而得出DE=AP,进而问题可求证；

(2)连接E。，由折叠可知EFuDE,由题意可知进而可得AE=EF可证明

Rt一在Q(HL),从而AQ=A尸，设2。=无，贝ijFQ=AQ=12-无，然后根据勾股

定理可建立方程进行求解；

(3)取C。的中点O,再取OC的中点/,连接OG,HI,BI,依次求得OG=；C£>=6,

HI=^OG=3,BI=3A/17,可得BH2BI-HI=3•-3,进而问题可求解.

【详解】(1)证明：如图，设CB,。尸交于点G,

图1

由轴对称性质可得：CE1DF,DE=EF,

：.ZCGD=90°,

Z.DCG+ZCDG=90°,

答案第14页，共35页

四边形ABC。是正方形，

AZADC=ZA=90°,CD=AD,

：.ZADP+ZCDG=90°,

：.ZADP=ZDCEf

・・・_AZ)此_0c石(ASA),

DE=AP,

・•・AP=EF；

(2)解：点。的位置确定，8。=9；理由如下:

如图2,连接£0,

由折叠可知：EF=DE,CF=CD=12,ZEFQ=ZEFC=ZADC=90°,

・・•点E是AO的中点，

・•・AE=DE,

：・AE=EF,

•：ZA=ZEFQ=90°,QE=QE,

：.RtAEQ^RtFEQ(HL),

・・.AQ=FQ,

设5Q=光，贝Ij/Q=AQ=12—%,

在RtZkBCQ中，CQ=CF+FQ=24—x,BQ=x,BC=12,

A(24-X)2-X2=122,

解得：x=9,

・・・BQ=9；

(3)解：取CO的中点0,再取OC的中点/,连接OG,HI,BI,如图3,

答案第15页，共35页

图3

,?ZCGD=90°,

/.OG=-CD=6,

2

:点》是CG的中点，则m是-COG的中位线，

HI=-OG=3,

2

ZBCD=90°,BC=AB=12,CI=-OC=-CD=3,

24

BI=7122+32=3V17，

•/BH>BI-HI=3sfn-3,

...当8、H、/共线时，初的最小值为3j万-3.

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，全等三角

形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形三边的关系等知识，解决问题的关键是作辅助

线，构造三角形的中位线.

9.(1)①见解析；②75°

⑵3行-直

【分析】(1)①根据折叠的性质得到的=4及NB/M=NBAE,AB=A的,易证

ABE"A'B'E(SAS),得到8后=座',44£3=/4£®，，结合=ZA'跖，得到

ZBEF=ZB'EF,由平行线的性质得到NBFE=N3/户，进而得到=,推出

BE=BF,根据折叠的性质得到5F=3'b，即可证明结论；②如图，过点E作EH_L3C于

点、H,连接Aa交助于点O,证明四边形是矩形，设AB=x,则=求出

OA^OH^x,OB=OE=x,证明OE"是等边三角形，推出/。叫=60。，利用三角形内

角和定理结合等腰三角形的性质求出NBEF=ZBFE=1(1800-ZEBF)=75°,再根据四边形

EBFB'为菱形,求出NEFB'=NEFB=75。,即可解答；

答案第16页，共35页

(2)连接破，分别过点A,E作垂足分别为。,尸，证明

ABE"A'B'E(SAS),推出反E,A三点共线，再证明座=所，证明..年是等腰三角形,

求出NABE=NAE3=g(180O-Za4E)=30。，AQ=1,EQ=6BQ=EQ=^3,

BF=BE=2y/3,EP=B进而求出3P=3,FP=2拒-3,利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)①折叠的性质得到钻=AEZBAE=ZBAE,A6=A®,

.ABE—ABE(SAS),

：.BE=BE,ZAEB=ZA'EB',

由折叠的性质得ZAEF=ZAEF,

/.ZAEF-ZAEB=ZA'EF—A!EB',即NBEF=ZB'EF,

•••使点B落在直线AO上的点？处，平行四边形ABCD是矩形，

AB'BC,

/.ZBFE=NB'EF,

NBEF=NBFE,

：.BE=BF,

由折叠的性质得BF=B'F,

/.BE=BE=B'F=BF,

四边形EfiFB'为菱形；

②如图，过点E作3c于点X,连接AH交能于点。，

•.•四边形ABCD是矩形，

ZBAE=ZABC=NEHB=90°,

，四边形A5HE■是矩形，

：.OB=OE,BE=AH,OA^OH,

设AB=x,贝!EJH-x,

答案第17页，共35页

・・•点厂与点。重合，

BF=2x,

由①知四边形£BEB'为菱形，

BE=BF=2x,

：.BE=AH=2x,

OA=OH=x,OB=OE=x,

：.OE=OH=EH,

・・..O即是等边三角形，

JZOEH=60°,

・•・ZEBF=90°-ZOEH=30°,

ZBEF=ZBFE=1(180°-ZEBF)=75°,

・・•四边形EBEB'为菱形,

：.NEFB'=NEFB=75°,

•••点/与点C重合,

ZECB'=15°；

（2）解：连接3E,分别过点作垂足分别为Q,P,

折叠的性质得至IAE=A'E,NBAE=ZBA'E',AB=A'B',

：.ABE^,-,A'B'E(SAS),

/.BE=BE；ZAEB=ZA'EB',

三点共线，

•••B,E,A三点共线,

由折叠的性质得ZAEF=ZAEF,

：.ZAEF-ZAEB=ZAEF-A'EB',即NBEF=ZB'EF,

V点3落在直线AD上的点E处，四边形AB。是平行四边形,

/.AB'BC,

答案第18页，共35页

/.ZBFE=ZB'EF,

/.ZBEF=ZBFE,

，BE=BF,

:四边形ABC。是平行四边形，/ABC=60。，

AB'BC,

：.ZBAE=120°,

"：AE=AB=2,

A梃是等腰三角形，

ZABE=ZAEB=1(180°-ZBAE)=30°,

AQ±BE,

：.ZAQE=90°,BQ=EQ,

：.AQ=^AE=1,

；•EQ=y]AE2-AQ2=6,

•••BQ=EQ=6

：.BE=BQ+EQ=?.yf3,

：.BF=BE=2y/3,

•/ZEBF=ZABC-ZABE=30°,NEPB=90°,

EP=-BE=^3,

2

BP={BE。-ED?=3，

FP=BF-BP=2y/3-3,

EF=ylEP2+FP2=3V2-V6•

【点睛】本题考查了四边形的综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形

的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰

三角矮星的判定与性质等知识，综合运用以上知识点是解题的关键.

10.(1)证明见解析

(2)714-72

答案第19页，共35页

(3)8-4>/2<SAABF<8+472

【分析】(1)根据正方形的性质得AT)=CD,DE=DG,ZADC=90°=ZEDG,推出

ZADE=NCDG,证明一ADE空CDG(SAS),即可得证；

(2)如图，连接EG、DF,EG交D尸于点、0,可得AE=AO-EO,根据正方形的性质得

DG=DE=2,NEDG=90°,DO=-DF=-EG=OE,NDOE=90°,

22

EO=DO=gEG=gdDE。+DG?=也,DF=EG=2&进一步得

AO=《AD。-DO?=而,可得答案；

(3)如图，连接OF,过点/作于点H,则FHWA尸，得出

SAABF=^ABHF=2HF<2AF,继而得到AD-DFWAFWAD+DF(当点A、F、。共

线时取“=”)，即4-20WA旌4+2夜，分两种情况：当点P在线段AD上时，当点尸在

线段4)的延长线上时，分别求解即可.

【详解】(1)解：：四边形ABC。、四边形OE/G都是正方形，

?.AD=CD,DE=DG,ZADC=90°=ZEDG,

：.ZADC-NEDC=ZEDG-NEDC,即ZADE=ZCDG,

在VADE和CDG中，

AD=CD

-ZADE=NCDG,

DE=DG

：.ADE丝ACDG(SAS),

AE=CG；

(2)如图，连接EG、DF,EG交DF于点、0,

VAE,G三点共线，

AE^AO-EO,

:四边形DEfG是正方形，DE=2,

答案第20页，共35页

：.DG=DE=2,ZEDG=90°,DO=-DF=-EG=OE,ZDOE=90°,

22

/.EO=DO=-EG=-^DE^+DG1=-x722+22=y/2,

222

DF=EG=272，

,/正方形ABCD的边长为4,

AD=4,

AO=^AD2-DO2=^42-（A/2）2=714,

AE=AO-EO=y/U-四,

AE的长为JiW-0；

（3）如图，连接。尸，过点尸作用LAB于点H,

•点E在平面内运动

FH<AF

,/正方形ABCD的边长为4,

:.AB=AD=4,

：.SAABF=^ABHF=^x4HF=2HF<2AF,

由（2）知：DF=2V2,

/.AD-DF<AF<AD+DF（当点A、F、。共线时取“=”）,

即4-2&4AF44+2a，

当点P在线段AD上时，

此时点H与点A重合，且HF—AF=4—2^/2，

S钻/=2H/=2x（4—2&）=8-4行；

当点R在线段AD的延长线上时，

此时点H与点A重合，S.HF=AF=4+2y[2,

：.S.=2板=2x（4+2&）=8+4。

答案第21页，共35页

/.AABF的面积的取值范围为8—4&<SAABFW8+40.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等

知识点.掌握分类讨论及动点的思想解决问题是解题的关键.

1324

11.(1)证明见解析；(2)AM=y；(3)y

【分析】(1)由折叠得到AO=PO,跖证明AON之11PoM(ASA),则=

而AN〃尸继而得到四边形AWPN是平行四边形，由MV,A尸即可证明菱形；

(2)设菱形AMPN的边长为x,则初=◎/=x,DM=6-x,然后对运用勾

股定理建立方程求解；

(3)①过点。作QGJ.BC,交3c的延长线于点G,延长G。交相)的延长线于点打,可

得四边形ABGHQCGH均为矩形，则G〃=M=6,证明RtBPQ^RtBG2(HL),贝ij

BG=BP=6,而3C=AD=4,那么CG=2,故点。到CD的距离等于CG=2,即点。在

GH上运动；

②在DA延长线上截取AT=GQ,连接DT,则ZBAT=ZG=90°,可得.BAT£SGQ(SAS),

再证明.BMT9BM<2(SAS),则MT=〃。，由于ZMBQ=45°,Q在GH上运动，故当点

重合时，QH最大,设Q〃=y,则AT=GQ=6-y,贝|。。=。7=10-y,然后对

R3DHQ运用勾股定理建立方程求解即可.

【详解】(1)证明：当点M,p在。C上，点N在初上时，

由折叠知：MN是心的中垂线，

AO=PO,MNLAP,

•••四边形ABCD是矩形，

ABDC,

：.ZNA0=ZMP0,

又,：ZAON=ZPOM,

：.^AON^.POM(ASA),

；.AN=PM,

'：AN//PM,

.四边形4WPN是平行四边形，

,：MNLAP,

答案第22页，共35页

四边形为菱形；

(2)解：设菱形AMPN的边长为，，则助=的=X，

DM=6-x,

•.•四边形ABCD是矩形,

:.?D90?,

AD2+DM2=AM2>

(3)解：①如图，过点。作QGLBC,交BC的延长线于点G,延长GQ交4)的延长线

于点H,

四边形ABGH,DCGH均为矩形,

•*.GH-AB-6,

由折叠知；ABM，

/.ZBPM=ZA=90°,BP=AB=6,

：.ZG=ZBPQ=90°,

,/BQ为NCBP的角平分线，

：.QP=QG,

；.RtBPQ^RtBG<2（HL）,

：.BG=BP=6,

VBC=A£）=4,

CG=2,

答案第23页，共35页

.,•点。到CD的距离等于CG=2,即点。在GH上运动；

②如图：在加延长线上截取AT=G。，连接£)7,则Z£L4T=NG=90°

RtABPe^RtAfiGg,PBM^ABM

•'-Z1=Z2./3=N4,BA=BP=BG,

Zl+Z2+Z3+Z4=Z4BC=90o,BAT^BGQ(SAS)

.-.Zl+Z4=45°,Z2=Z5,BT=BQ,

.-.Z2+Z3=Z5+Z3=45°,

NTBM=NQBM=45°,

BM=BM,

BMT-2Ag(SAS),

：.MT=MQ,

：NMBQ=45。，。在GH上运动，

当点重合时，QH最大,如图:

设QH=y,则AT=GQ=6_y,

/.DQ=DT=AD+AT=4+6—y=10-y,

V四边形ABGH,DCGH均为矩形，

.-.ZH=90o,DH=CG=2

：.DH2+HQ；=DQ2,

答案第24页，共35页

/.22+/=(10-^)2,

24

解得：y=g,

24

；•点Q到直线AD的最大距离为了.

【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠的性质，菱形的判定，全等三角形

的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，难度较大,解题的关键是熟练掌握各知识点，

正确添加辅助线.

12.(1)ZF=45°

(2)见解析

(3)273

【分析】(1)先证得=可得=即可得出答案；

(2)连接AG.由8D为正方形ABCD的对角线，可得点A和点C关于BD对称，得出G4=GC,

根据等腰三角形性质可得？G4C1GCA,从而求得/4GE=/G4C+/GC4=45°.可证

得/用6=90°，再证明即可；

(3)连接的.由NAFC=45o,/ABL>=45。，可得出A,£B,G四点共圆，可求得

/FAG+/FBG=180°,/BAG=NBFG,再由ZFAG=90°,可得

ZFBD=90°,ZBFG=ZBCF,可得出BF=BC.再求解即可.

【详解】(1)解：,•^EAF=ZF+ZACF,ZEAB=ZABC+ZACB,

又・AF平分/E4B,CF平分NACF,

:.2ZEAF=ZABC+2ZACF,

:.2NF=/ABC,

,-.ZF=45°；

(2)证明：如图1,连接AG.

QAC,8。为正方形ABCD的对角线,

图1

二点A和点C关于即对称，ZACB=45°,

:.GA=GC,