安徽省合肥市某中学2024-2025学年 下学期八年级期中数学试卷（含答案）

2024〜2025学年度下学期八年级期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列各式中是二次根式的是（）

A.V5B.我D.C

2.己知。，△是一元二次方程/+2x-l=0的两根，则+1的值是（

A.B.2C.D.12

I2

3.下列各组数中，是勾股数的是（)

A.2,3,4B.1,2,V5C.1.5,2,2.5D.5,12,13

4.下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.Vs4-V2=2

C.=-2D.（2厨=6

5.已知。，b,。为△48。的三边长，在下列条件中不能判定△48。是直角三角形的是

()

A.ZA+ZB=ZCB.a=6fb=8,c=10

C.a2+b2=c2D.乙4:/5:/C=3:4:5

6.如图，在平面直角坐标系中，ZUBC的顶点4（-L0）,8（2,2）,。（0,-2）均在正方形网

格的格点上，则△N8C在ZC边上的高为（）

V13D.逑

Vr/•-----

25

7.“读万卷书,行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人

均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字.设该校七至九年级人均

阅读量年均增长率为x,则可列方程为（）

试卷第1页，共4页

A.50(1+x)2=80B.50(1+x%)2=80

C.50（1+2x）2=80D.50+50（l+x）+50（l+x）2=80

8.实数6在数轴上对应的点的位置如图所示，计算值-|2a+6|的结果为（）

——1-----------------1--------J►

a0b

A.2b-aB.2b+aC.3a-2bD.a+b

9.已知加〃是关于％的一元二次方程Y—3x-1=0的两个实数根，则代数式

6加-2/+加〃+3的值是（）

A.0B.1C.2D.3

10.如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形用G”（赵爽弦图），连接

AC,交EF、G"分别于点〃，N,连接7W,已知=且S正方形舒⑺=25,则图

D.10

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11.若代数式伤口+—1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________.

x-1

12.已知一元二次方程/+4工-1=0的两根分别为加，“，贝!的值是.

13.已知一个多边形的每个内角都相等，其内角和为2340。，则这个多边形每个外角的度数

是°.

14.对于实数6,我们定义符号max{a,6}的意义为:当a＞方时,max[a,b}=a；当aWb

时，max{a,b}=b,如tnax{l,-2}=1,则方程max{x,x+2}=x?-4的解为.

15.我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明,

相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角

试卷第2页，共4页

形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,

直角三角形的两条直角边长分别为加、小贝卜"〃=

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

16.计算：V24-V3-（V5）2+V32.

17.解方程：x（x+3）—4（x+3）=0.

四、（本大题共6小题，满分39分）

18.如图，在△/BC中，AB=AC,ZBAC=90°,BE是N/8C的角平分线，CD工BE交BE

的延长线与点

（2）连接40,若48=4,BC=40，S^BDC=^,求三角形的面积.

19.已知左为实数，关于x的方程为--b=3住+3）.

（1）请证明不论左取何值，这个方程总有两个根；

⑵若方程的两个根分别记为多，x2,且满足才+君=9,求左值.

20.某市一楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策

出台后，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以

每平方米4050元的均价开盘销售.

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套200平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以

供选择：①打9.5折销售；②不打折，送2年物业管理费，物业管理费为每平方米每月5元,

请问哪种方案更优惠？

21.已知点/，N把线段分割成/M,MN和BN,若以NM,MN,3N为边的三角

试卷第3页，共4页

形是一个直角三角形，则称点M、N是线段A8的勾股分割点，如图，点M、N是线段

的勾股分割点.

AMNA

IIII

⑴当/M=3,儿W=4时，求BN的长；

Q）当AM=4ia，MN=®时,求3N的长.

22.新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”

(1)如图1,已知四边形48c。是垂美四边形.若AB=c,BC=d,CD=a,DA=b,探究a,b,

c,d的数量关系.

(2)如图2,在长方形/BCD中，AB=6,尸是边40上一点，S.AP=2PD,CP±BD,求4D

的长

23.如图，在中，点E,尸分别在8c边上，OE与4尸相交于点G,

DE=AF,ZAED=/AFB.

(1)探索四边形/BCD是何种特殊平行四边形，并说明理由;

⑵若N/ED=60。，AE=6,BF=2,求48的值.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如

y/a(a>0)的式子叫二次根式.

根据二次根式的定义逐个判断即可.

【详解】解：A.右是二次根式，故本选项符合题意；

B.我的根指数是3,不是2,不是二次根式，故本选项不符合题意；

C.当x<0时，4不是二次根式，故本选项不符合题意；

D.C的被开方数-7<0不是二次根式，故本选项不符合题意.

故选：A.

2.B

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键,

由于b是一元二次方程/+2》一1=0的两根，可得到a+6=-2,ab=-l,代入即可得

到答案.

【详解】解:•:a,6是一元二次方程♦+2x7=0的两根,

■■a+b--2,ab=-\,

ab-a-6+1=ab-(a+b)+l=-1-(-2)+1=-l+2+l=2,

故选：B.

3.D

【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可.熟知满足

/+/=c2的三个正整数，称为勾股数是解题的关键.

【详解】解：A、；22+32342,.•.不能构成勾股数，不符合题意；

B、6不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；

C、152,2.5不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；

D、•••52+122=132,••.能构成勾股数，符合题意.

故选：D.

4.B

【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘方，二次根式的除法等知识点，解

题的关键是熟练掌握各项运算法则.

答案第1页，共12页

利用二次根式的化简，二次根式的乘方，二次根式的除法逐项判断即可.

【详解】解：A.V2+V3,不是同类二次根式，不能进行合并，故该选项错误，不符合题

忌；

B.应+G=2,该选项正确，符合题意；

C.几了="=2,故该选项错误，不符合题意；

D.(2班『=12,故该选项错误，不符合题意；

故选：B.

5.D

【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理.根据三角形内角和定理可得

A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项.

【详解】解：A.-.-ZA+ZB=ZC,且//+Z8+/C=180。，，/。二为。，故△N8C为直角三

角形，故该选项不符合题意；

B.:62+82=10"故△/BC为直角三角形，故该选项不符合题意；

C.■-a2+b2=c2,故为直角三角形，故该选项不符合题意；

D.ZA;ZB;ZC=3:4:5,:.ZC=—；—xl80°=75°,故不能判定△4BC是直角三角形,

3+4+5

故该选项符合题意；

故选：D.

6.B

【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据

勾股定理求出/。=遥，再由三角形的面积即可计算出答案.

【详解】解：〃BC=；X2X2+；X2X2=4,

•••AC=A/12+22=V5，

7v

24BC8875

A△4BC在4C边上的高为

AC

故选B.

7.A

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题的一般形式为a(l+x)2=6,。为起始

答案第2页，共12页

时间的有关数量，6为终止时间的有关数量，由此列方程即可.

【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为X,

则50(l+x)2=80,

故选A.

8.D

【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，正确得出各项符号是解题

关键.直接利用数轴得出〃<0<6,同>例，进而化简得出答案.

【详解】解：由数轴可知，a<0<b,\a\>\b\9

…J/=—af2cl+b<°，

**--\2a+b\,

——u+2Q+b,

=a+b,

故选：D.

9.A

【分析】由加，〃是关于X的一元二次方程/-3》-1=0的两个实数根，可得/〃=-1,

m2-3m-l=0,即"?2一3加=1,再整体代入求解代数式的值即可.

【详解】解：是关于x的一元二次方程一一3》-1=0的两个实数根，

:.mn=-1,m2-3/M-1=0,

m2-3m=1,

6m-2m2+mn+3

=-2-3加)+mn+3

=-2-1+3

=0；

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的含义，根与系数的关系，解决该题型题目时，根据

根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再将代数式变形为只含两根之和与两根之积的形

式是关键.

10.B

答案第3页，共12页

【分析】本题考查了勾股定理的证明.根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设

DH=x,则==,根据勾股定理可得》的平方的值，再根据题意可得

SAFGN~S"EM+S.CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGEVf的面积.

【详解】解：:S正方形WZ)=25,

AB2=25,

则AH=3DH=3x,

x2+9x2=25,

,25

..x=一,

2

根据题意可知：

AE=CG=DH=x,CF=AH=3xf

FE=FG=CF—CG=3x—x=2x,

•c—7c

一"FGN-乙4&CGN

・•・阴影部分的面积之和为：

S梯彩NGFM=；(NG+FM〉FG

=—FEFG

2

故选：B.

11.x>——且Xwl##xW1且％之——

33

【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开

方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键.根据二次根式与分式有意

答案第4页，共12页

义的条件求解即可.

【详解】解：由题意得：3x+l>0,且x—lwO,

解得：xN—§且xwl,

故答案为：且XW1.

12.3

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉此关系是解题的关键；由根与系数

关系得加+〃=-4,加〃=-1,再整体代入即可求值.

【详解】解：由根与系数关系得，"+〃=-4,皿=—1,

mn—m—n

=mn-(m-\-n)

=-1-(-4)

=3；

故答案为：3.

13.24

【分析】设这个多边形是〃边形，它的内角和可以表示成(〃-2>180。，就得到关于"的方程,

求出边数n.然后根据多边形的外角和是360。，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，

这样就能求出多边形的一个外角.

【详解】解：设这个多边形是"边形，

根据题意得：(”-2>180。=2340°,

解得M-15；

那么这个多边形的一个外角是360。勺5=24。，

即这个多边形的一个外角是24°.

故答案为:24.

【点睛】考查了多边形内角与外角的关系.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以

转化为解方程的问题来解决.

14.-2或3

【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义

的运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤.根据题目所给新定义，列出方程求解即可.

【详解】解：；x+2>x,max{x,x+2)=x+2=x2-4,

答案第5页，共12页

*'-x2-x-6=0,BP(x-3)(x+2)=0,

解得：玉=3,%2=—2,

故答案为：-2或3.

15.12

【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，/+几2=25,(加)2=1,

进而可得2mn=24.

【详解】解：•・•大正方形的面积是25,

加2+几2=25,

•・•小正方形的面积是1,

(加一〃)2=1,

•••m2-2mn+n2=1,

25-2mn=1,

•••2mn=24,

:.mn=12,

故答案为：12.

16.672-5

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键.

根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可.

【详解】解：V24^3—^A/5j+

=124-3-5+4啦

=2收-5+4及

=6及-5.

17.X]=-3,x2=4

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方

程即可.

【详解】解：•••X(X+3)-4(X+3)=0,

(x-4)(x+3)=0,

答案第6页，共12页

••・x+3=0或尤一4=0,

解得再=-3，x2=4.

18.(1)证明见解析

⑵4

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线

是解本题的关键；

(1)如图，延长A4,CD交于点、H,证明△砌汪△C5D,LABE注LACH,从而可得结

论；

(2)如图，过D作DNLBH于N,结合全等三角形的性质求解ZW,从而可得答案.

【详解】(1)证明：如图，延长R4,CD交于点H,

：,/HBD=/CBD,ZBDH=ZBDC,

BD=BD,

・•・八HBD沿KBD,

HD=CD,

vZBAC=90°,ZBDC=90°,ZAEB=ZCED,

・•./ABE=ZACH,

vAB=AC,ZBAE=ZCAH=90°,

：・LABEdACH,

：,BE=CH,

♦:CH=2CD,

:,BE=2CD；

(2)如图，过D作DN1BH于N,

答案第7页，共12页

H

S4BDC=S^BDH~4V2,BH=BC=46，

X4y/2XDN=4y/2,

2

DN=2,

=；x4x2=4.

19.（1）见解析

Q）k=-3

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解.

【详解】（1）证明：由原方程变形为，-丘-3（左+3）=0,

A=（-我『-4x[-3（左+3）]=左2+12左+36=（后+6『20,

・•・不论k取何值，方程总有两个实数解；

（2）解：・.？，々分别是关于x的方程/-履=3优+3）的两个根,

x+x=k,-3（k+）

l2xrx2=3,

・rx；+君=9,

（）22xx

X]+x2—t2=9,

.•.左2+6（左+3）=9,

得左？+6/+9=0,

解得左=-3.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌

握和运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键.

答案第8页，共12页

20.（1）10%；（2）选方案①更优惠

【分析】（1）设平均每次降价的百分率是x,根据预备每平方米销售价格x

（1-平均每次降价的百分率）2=开盘每平方米销售价格列出方程式并解答即可；

（2）方案①：开盘每平方米销售价格x200x0.95；方案②：开盘每平方米销售价格x100-

两年物业费，比较结果即可解答.

【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x,依题意得

5000（1-%）2=4050

19

解得：网=10%户2=而（不合题意，舍去）

答：平均每次降价的百分率为10%.

（2）方案①的房款是4050x200x0.95=769500（元）

方案②的房款是：4050x200-200x2x12x5=786000（元）

769500<786000

答：选方案①更优惠.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过分析题干正确列出方程式和公式是关键.

21.（1）8N的长为V7或5.

（2）8N的长为。或其.

【分析】本题主要考查了勾股定理以及二次根式的混合运算.

（1）分两种情况：当为最大线段时和当8N为最大线段时，利用勾股定理求解即可.

（2）分两种情况：当上W为最大线段时和当3N为最大线段时，利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：分两种情况：

①当为最大线段时，

•.•点M,N是线段48的勾股分割点，

•••BN=yjMN2-AM2="_32=g

②当为最大线段时，

•.•点M、N是线段48的勾股分割点，

•1•BN=ylMN2+AM2=J42+32=5

综上所述：3N的长为5或5.

答案第9页，共12页

(2)①当MN为最大线段时，

•・•点M,N是线段的勾股分割点，

•••BN=ylMN2-AM2=一(缶『=a

②当瓦V为最大线段时，

•・•点M、N是线段AB的勾股分割点，

・••BN=NMM+AM?=«6aj+(缶/=氐

综上所述：8N的长为。或右a.

22.(l)c2+a2=b2+d2

⑵6后

【分析】本题考查勾股定理，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键.

(1)根据垂美四边形的定义可得NC/5D,再利用勾股定理即可得出结论；

(2)连接PB,先证明四边形3cop是垂美四边形，再利用勾股定理计算即可.

【详解】(1)解：•••四边形是“垂美四边形”，

：.ACJ.BD