2025中考数学热点题型专练：四边形中的证明与计算问题（原卷版+解析）

专题09四边形中的证明与计算问题

目录

热点题型归纳..............................................................................................1

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算....................................................I

题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算..........................................................5

题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算.........................................................10

题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算.......................................................14

中考练场.................................................................................................19

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算

0俏题型综述_________________________________________

以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块的核心内容之一，它依托平行四边形独特的

性质，综合考查学生对几何知识的理解与运用，常与三角形等知识融合，在中考数学中分值占比约5%-8%»

1.考查重点：重点考查对平行四边形性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）的熟练运用，以及基于这

些性质进行几何证明和边角计算，同时考查能否结合其他几何图形知识解决综合问题。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是平行四边形；利用平行四边形性质证明线段相等、角相等或直线平行；已

知平行四边形部分边角条件，计算其他边角的大小；在平行四边形与三角形等组合图形中，进行边角关系的推理与计

算。

3.高频考点：考点集中在平行四边形的判定定理（如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、

两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形）的应用，平行四边形性质在证明和计算中的运用，以及

平行四边形与三角形全等、相似等知识的综合考查。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够依据已知条件合理选择平行四边形的判定与性质进行证明和计

算；拥有良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出平行四边形及相关几何关系；掌握扎实的几何运算能力，准确求

解边角数值。

5.易错点：易错点在于判定平行四边形时条件使用不充分或错误；在运用平行四边形性质时，对边、角、对角线关系

混淆；在综合图形中，不能有效整合平行四边形与其他图形的性质，导致证明和计算出错；计算过程中粗心大意，出

现数值计算错误。

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02解题攻略

【提分秘籍】

工一平行而直形的匣质;

①边的性质：两组对边分别平行且相等。

②角的性质：对角相等，邻角互补。

③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。

④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180。与原图形重合。

⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。

2.平行四边形的判定：

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

符号语言：；AB〃DC,AB=DC,...四边行ABCD是平行四边形

②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。

符号语言：•••AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,四边行ABCD是平行四边形.

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

符号语言：,.•/ABC=NADC,ZDAB=ZDCB,二四边行ABCD是平行四边形

④对角线相互平行的四边形是平行四边形。

符号语言：：OA=OC,OB=OD,...四边行ABCD是平行四边形

【典例分析】

例1.（2024•山东济宁・中考真题）如图，四边形48co的对角线/C,5。相交于点O,CM=OC,请补充一个条件

使四边形ABCD是平行四边形.

AD

例2.（2024•四川巴中•中考真题）如图，口4BCD的对角线/C、AD相交于点O,点E是的中点，AC=4.若口4BCD

的周长为12,贝UACOE的周长为（）

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C.6D.8

例3.（2024•浙江・中考真题）如图，在口/BCD中，AC,助相交于点。，AC=2,=273.过点“作/E_LBC的垂

线交BC于点E,记BE长为x,5c长为八当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A.x+yB.x-yC.孙D.x2+y2

例4.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图，平行四边形/BCD中，AE、CF分别是/B/D,的平分线，且£、

厂分别在边BC,4D上.

（1）求证：四边形/ECF是平行四边形；

⑵若乙40c=60°,DF=2AF=2,求AGZ）下的面积.

例5.（2024•山东青岛•中考真题）如图，在四边形48C。中，对角线NC与AD相交于点。，NABD=NCDB,BEYAC

于点£,DFJ.AC于■点F,且BE=DF.

（1）求证：四边形N8C。是平行四边形;

Q）若AB=BO,当//2E等于多少度时，四边形/5CD是矩形？请说明理由，并直接写出此时-示的值.

【变式演练】

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1.（2025•浙江温州•模拟预测）如图，在口/BCD中，E是8C边上一点，AB=AE,AD=DE,若/8=70。，则/CDE

的度数为.

2.（2025•河南焦作•一模）如图，在口4BCZ）中，44=80。，点£是CD边上一点，且此平分N4BE,若/CB£=20。,

BE=a,EC=b,则口4BCD的周长为（）

A.5a-bB.4a+2bC.3a+36D.6a-3b

3.（2024贵州•模拟预测）如图，在四边形N3C。中，NC与3。相交于点O,且/。=C。，点£在AD上，满足/E〃CD.

⑴判断四边形ZEC。的形状，并证明；

Q）若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形4ECD的面积.

4.（2024・广东揭阳•一模）如图，在四边形48CD中，ZA=ZC=9Q°,AD=CD,点E,尸分别是AS,上的点,

连接。E,DF,EF,且/4DE=/CDE.

（2）若。£=2/E=4,DE||BC,求8C的长.

5.（2025•河北沧州•模拟预测）已知在V/8C中，N8=/C,点。在BC上，以AD、NE为腰作等腰三角形NOE,且

/ADE=/ABC.连接CE,过£作E"〃8C交C4延长线于M,连接9.

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ME

（1）求证：ABAD四八CAE；

（2）求四边形处。石的形状，并加以证明.

题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述_________________________________________

以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块中对特殊平行四边形深入研究的重要内容，依托矩

形特有的性质，综合考查学生对几何知识的掌握与运用能力，常与三角形等知识融合，在中考数学中分值占比约5%-8%o

I.考查重点：重点考查对矩形性质（四个角是直角、对角线相等且互相平分）的透彻理解与灵活运用，基于这些性质

开展几何证明，以及结合勾股定理、相似三角形等知识进行边角的精确计算，并关注与其他几何图形性质的关联运用。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是矩形；利用矩形性质证明线段相等、角相等、直线垂直；已知矩形的边长、

对角线等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、面积等边角及图形相关数值；在矩形与三角形、其他四边形构成的

复杂图形中，推导并计算复杂的边角关系。

3.高频考点：考点集中在矩形判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、三

个角是直角的四边形是矩形）的准确应用，矩形性质在证明和计算中的运用，以及矩形与直角三角形（由矩形内角为

直角产生）、等腰三角形（对角线相等产生）相关知识的综合考查，例如运用勾股定理求边长、借助相似三角形求线段

比例。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选用矩形的判定和性质进行严密证明；拥有

良好的图形分析能力，从复杂图形中识别出矩形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知识在矩形边角计算中的应用。

5.易错点：易错点在于判定矩形时条件使用错误或不完整，比如仅依据对角线相等就判定四边形是矩形；在运用矩形

性质时，混淆对角线与边、角之间的关系，致使证明出错；在计算边角时，因对矩形中特殊三角形（直角三角形、等

腰三角形）的性质理解不深，运用勾股定理、相似三角形知识出现偏差；在综合图形中，不能有效整合矩形与其他图

形性质，导致思路中断。

02解题攻略

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【提分秘籍】

：施肥的11届；

①具有平行四边形的一切性质。

I

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的

I对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

I2.矩形的判定：

I

（1）直接判定：

I

有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

I

（2）利用平行四边形判定：

I

①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

【典例分析】

例1.（2024・四川巴中•中考真题）如图，矩形/BCD的对角线/C与2。交于点。，DEJ.AC于点、E,延长DE与8c交

于点F.若43=3,BC=4,则点尸到3。的距离为.

AK-----#

例2.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，在矩形48CD中，E,尸是边8c上两点，且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE

与4尸相交于点G,连接2G.若48=4,BC=6,贝ljsin/GAF的值为（）

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Vio口3M2

A.D.-------cD.

Tr10-I3

例3.(2024•甘肃兰州•中考真题)如图，在V/BC中，AB=AC,。是BC的中点，CE//AD,AE1AD,EF工AC.

(1)求证：四边形4DCE是矩形；

(2)若8C=4,CE=3,求£尸的长.

例4.(2024•湖北武汉•中考真题)问题背景：如图(1),在矩形48CD中，点£,尸分别是3c的中点，连接3D,

EF,求证：ABCDs^FBE.

问题探究：如图(2),在四边形NBCD中，AD//BC,/BCD=90。，点£是48的中点，点尸在边8C上，AD=2CF,

EF与BD交于点、G,求证：BG=FG.

直接写出F票G的值.

GF

例5.(2024•湖北武汉•中考真题)问题背景：如图(1),在矩形48CD中，点、E,尸分别是的中点，连接8。,

EF,求证：ABCDs^FBE.

问题探究：如图(2),在四边形NBCD中，AD//BC,/BCD=90。，点£是48的中点，点尸在边8C上，AD=2CF,

EF与BD交于■点、G,求证：BG=FG.

FG

问题拓展：如图(3),在“问题探究”的条件下，连接4G,AD=CD,AG=FG,直接写出不二的值.

GF

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VB

图⑴

【变式演练】

1.(2025•内蒙古包头•一模)如图，在矩形/BCD中，40=6,对角线NC与3。交于点O,AE1BD,垂足为点E,

且/E平分/B4O,则的长为()

C.2gD.373

2.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图，平行四边形48。的对角线/C,8。相交于点。，且OC=OD.

(1)证明四边形N8C。为矩形；

⑵若NO4D=30。，BC=6,求△OBC的面积；

(3)点E,尸分别是线段。8,CU上的点，若4E=BF,AB=5,AF=l,BE=3,求3尸的长.

3.(2024・湖北•模拟预测)问题情境

在矩形ABCD中，对角线NC,8。交于点。，AD=AO=5.以08为边作正方形OAEE,OE与DC交于点P,如图

1所示.

E'F'

PC

DP,力C

Q\B'

o\Q

AB

AB

图2图3

(1)求NDAP的大小；

实践探究

(2)将正方形08必绕点。逆时针旋转得到正方形02'尸E',。8'与矩形的边3c交于点。,

①如图2,当。夕，8C时，直接写出NO0P的大小；

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②如图3,当02'与8c不垂直时，连接尸。，试探究N。。尸的大小；

结论运用

（3）在（2）的条件下，若2。=3,求EP的长.

4.（2024・贵州遵义•三模）已知四边形A8CO是矩形，E是48边上的一点，连接CE,点P是EC上一动点（不与

E、。重合），连接尸8,过点尸作尸2,交。C于点尸.

（1）如图（1）,当/。=3,EC=DC=5时，贝!|/£=；

【探究发现】

（2）在（1）的条件下，如图（2）当点P运动到EC的中点时，求尸尸的长.

【拓展提升】

（3）如图（3）当NBCE=45。时，探究线段CF,BC,CP之间的数量关系，并说明理由.

5.（2024・四川雅安・模拟预测）将一长方形纸片。43c放在直角坐标系中，。为原点，点。在x轴上，CM=9,0c=15.

（1）如图1,在CM上取一点E,将△EOC沿EC折叠，使点。落在NB边上的点。，求线段/E.

（2）如图2,在04OC边上选取适当的点F,将△"（?尸沿板折叠，使点。落在48边上的点。，处，过点。，作O'G

垂直于C。于点G,交MF于点、T.

①求证：TG=AM；

②设T（xj）,求y与x满足的等量关系式，并将〉用含x的代数式表示.

⑶在（2）的条件下，当x=6时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点0,使以Q,P为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，请直接写出。点坐标；若不存在，请说明理由.

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题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述_________________________________________

以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何领域中对特殊四边形深入探究的关键内容，借助菱形区

别于一般平行四边形的特殊性质，全面考查学生的几何思维与解题能力，常与其他几何图形知识综合呈现，在中考数

学中分值占比约5%-8%o

1.考查重点：重点考查对菱形特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角）的深度理解与灵活运用，以

此为基础进行各类几何证明，以及结合三角函数等知识进行边角的精准计算，并注重与其他几何图形性质的关联应用。

2.高频题型：高频题型包括证明一个四边形是菱形；利用菱形性质证明线段垂直、角平分线关系、线段相等；已知菱

形的边长、对角线长度等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、边长与高的关系等边角数值；在菱形与三角形、其

他四边形组成的复合图形中，推理并计算复杂的边角关系。

3.高频考点：考点集中在菱形判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、四条边相等的四边形是菱形、对角线互

相垂直的平行四边形是菱形）的准确应用，菱形性质在证明和计算中的运用，以及菱形与直角三角形（因对角线垂直

产生）、等腰三角形（四条边相等）相关知识的综合考查，如利用勾股定理计算边长、三角函数求角度等。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推导能力，能依据已知条件合理选择菱形的判定和性质进行严谨证明；拥有敏

锐的图形观察能力，从复杂图形中提炼出菱形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算技能，特别是涉及勾股定理、

三角函数等知识在菱形边角计算中的应用。

5.易错点：易错点在于判定菱形时错用或漏用条件，如仅依据对角线垂直就判定四边形是菱形；在运用菱形性质时，

混淆对角线与边、角之间的特殊关系，导致证明错误；在计算边角时，因对菱形中特殊三角形（直角三角形、等腰三

角形）的性质把握不准，运用勾股定理、三角函数出错；在综合图形中，无法有效整合菱形与其他图形性质，思路混

乱。

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02解题攻略

【提分秘籍】

「「菱形的桂贰―一……

①具有平行四边形的一切性质。

I

②菱形的四条边都相等。

③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。

④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。

|2.菱形的判定：

I（1）直接判定：

四条边都相等的四边形是菱形。

I

符号语言：VAB=BC=CD=DA,二四边形ABCD是菱形

I

（2）利用平行四边形判定：

I

①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。

②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

【典例分析】

例1.（2024・山东济南・中考真题）如图，在菱形/5CD中，AELCD,垂足为gCFL4D,垂足为尸.

求证：AF=CE.

例2.（2024•江苏宿迁•中考真题）如图，在四边形/BCD中，AD//BC,S.AD=DC=-BC,E是3c的中点.下面

2

是甲、乙两名同学得到的结论：

甲：若连接/E,则四边形/OCE是菱形；

乙：若连接4C,则是直角三角形.

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请选择一名同学的结论给予证明.

例3.(2024・云南・中考真题)如图，在四边形48CD中，点£、F、G、H分别是各边的中点，且AD//BC,

四边形EFGX是矩形.

(1)求证：四边形43C。是菱形；

(2)若矩形的周长为22,四边形/BCD的面积为10,求48的长.

例4.(2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题)如图，在平行四边形48CD中，点尸在边4D上，AB=AF,连接8F,点。为

3尸的中点，/。的延长线交边BC于点£,连接所

⑴求证：四边形是菱形：

⑵若平行四边形/BCD的周长为22,CE=l,ZBAD=120°,求/£的长.

例5.(2024•江苏盐城・中考真题)如图1,E、F、G、〃分别是平行四边形各边的中点，连接"、CE交于点

连接NG、C”交于点N,将四边形/MCN称为平行四边形48C。的“中顶点四边形”.

AN

MC

图1图2图3

(1)求证：中顶点四边形NMCN为平行四边形;

⑵①如图2,连接/C、BD交于■点、O,可得M、N两点都在AD上,当平行四边形ABCD满足时，中顶点四边

形AMCN是菱形;

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②如图3,已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.（保留作图

痕迹，不写作法）

【变式演练】

1.（2025・广东深圳•一模）如图，四边形/BCD为平行四边形，对角线NC的垂直平分线所分别交边AD,BC于点、E,

F,垂足为O.

（1）求证：四边形/FCE为菱形；

（2）在8C的延长线上取一点G,使CG=OC,连接。G.若尸为3C的中点，且/G=15。，4B=8,求AFOG的面积.

2.（2025・湖南长沙•模拟预测）如图，矩形Z5CZ）的对角线/C与2。相交于点。,CO〃O£,直线CE是线段的垂直

平分线，CE分别交于点尸,G,连接。E.

⑴判断四边形OCDE的形状，并说明理由；

（2）当8=6时，求EG的长.

3.（2025•河南郑州•一模）如图，菱形/3CD的对角线NC,AD相交于点O,E是40的中点，点F，G在NB上，EF1AB,

OG\\EF.

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

⑵若4。=10,EF=4,求OE和8G的长.

4.（2025糊南长沙•一模）如图，在菱形/BCD中，NB=6,ZB=60。，点瓦尸分别是上的动点，满足4E=DF,

连接CE,CF,EF,EF与AC交于点G.

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I)

⑴求NEC尸的度数;

⑵填空：

^AFAE^AFFG^AGAG

①一+—=②----------------=③一+一=

CDACCDEC--------------AEAF

(3)记△4EG的面积为E，A/FG的面积为5，△/£(7的面积为?，ANFC的面积为

0^CF2=3AF-FD,求“■的值；

d3

②试判断姜+2的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.

»3

5.(2025•山东青岛•模拟预测)已知：如图，在菱形/5CD中，AD=10cm,BD=12cm,动点尸从点B出发，沿8。方

向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点。从点。出发，沿ZX4方向匀速运动，速度为Icrn/s,连接尸。，设运动时间为

/(s)(0<?<10).

⑴延长。尸交BC于点E,若四边形/。口是平行四边形，求，的值;

(2)当/为何值时，点尸运动到CA的垂直平分线上？

⑶设四边形尸。的面积为S(cm2),求S与/的函数关系式.

题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算

01题型综述_________________________________________

以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块里对特殊四边形深度探究的关键内容，凭借正方

形集矩形与菱形特性于一身的独特性质，全面考查学生对几何知识的综合运用与逻辑思维，常与三角形、其他四边形

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知识交织，在中考数学中分值占比约4%-8%o

1.考查重点：重点考查对正方形性质（四条边相等、四个角是直角、对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一

组对角）的深度理解与灵活运用，以此为基础展开几何证明，并结合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识进行

边角的精准计算，同时注重与其他几何图形性质的综合运用。

2.高频题型：高频题型有证明一个四边形是正方形；利用正方形性质证明线段相等、垂直、角平分线关系；已知正方

形边长、对角线等部分条件，计算内角大小、对角线夹角、面积、周长等边角及图形相关数值；在正方形与三角形、

其他四边形组成的复杂图形中，推导并计算复杂的边角关系与图形面积。

3.高频考点：考点集中在正方形判定定理（一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形、对角线互相垂直

且相等的平行四边形是正方形、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形）的准确应用，正

方形性质在证明和计算中的运用，以及正方形与等腰直角三角形（由正方形性质产生）、全等三角形、相似三角形相关

知识的综合考查，如运用勾股定理求对角线长度、借助全等三角形证明线段关系。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推导能力，能依据已知条件合理选择正方形的判定和性质进行严谨证明；拥有

敏锐的图形观察能力，从复杂图形中提炼出正方形及其蕴含的特殊几何关系；掌握扎实的运算技能，尤其是勾股定理、

全等与相似三角形知识在正方形边角计算与图形关系推导中的应用。

5.易错点：易错点在于判定正方形时条件使用不充分或错误，如仅依据四条边相等就判定四边形是正方形；在运用正

方形性质时，混淆边、角、对角线之间的特殊关系，导致证明错误；在计算边角时，因对正方形中特殊三角形（等腰

直角三角形）的性质把握不准，运用勾股定理、全等与相似三角形知识出错；在综合图形中，无法有效整合正方形与

其他图形性质，思路混乱。

02解题攻略

【提分秘籍】

门「正为形的I■贰一—

①具有平行四边形的一切性质。

i

②具有矩形与菱形的一切性质。

i

所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正

I方形分成了四个全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组

I对边中点的直线也是对称轴。

I2.正方形的判定：

（1）利用平行四边形判定：

I

一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定）

[（2）利用菱形与矩形判定：

1-------------------------------------------------45-/-1-23---------------------------------------------------

①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

【典例分析】

例1.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）如图，边长为2的正方形/3CD的对角线/C与BD相交于点O.E是BC边

上一点，尸是上一点，连接。£,£尸.若A£>£户与ADEC关于直线。E对称，则△8EF的周长是（）

C.4-272D.6

例2.（2024•山东东营・中考真题）如图，在正方形/3CA中，/C与2。交于点。,〃为NB延长线上的一点，且BH=BD,

连接。H,分别交/C,BC于点、E,F,连接则下列结论：①空=3；②tan/〃=V5-l；③BE平分NCBD；

BF2

④2aB2=DEDH.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3.（2024•江苏徐州•中考真题）已知：如图，四边形NBC。为正方形，点E在8。的延长线上，连接E4EC.

（1）求证：AEAB%ECB；

⑵若N/EC=45。，求证：DC=DE.

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例4.(2024・四川南充・中考真题)如图，正方形45CD边长为6cm,点E为对角线4C上一点，CE=2AE,点、P在AB

边上以lcm/s的速度由点4向点5运动，同时点。在边上以2cm/s的速度由点。向点5运动，设运动时间为，秒

(0<Z<3).

(1)求证：“EPs小CEQ.

(2)当△项边是直角三角形时，求，的值.

(3)连接“。，当tan/N0£=g时，求△/石。的面积.

例5.(2024・海南・中考真题)正方形/BCD中，点£是边8c上的动点(不与点8、C重合)，Zl=Z2,AE=EF,AF

交CD于点X,bG,8c交BC延长线于点G.

(1)如图1,求证：“BE知EGF；

⑵如图2,尸于点P,交4D于点

①求证：点尸在/N8C的平分线上；

②当三7=加时，猜想N尸与用的数量关系，并证明;

DH

③作HNLAE于息N,连接JW、HE,当ACV〃族时，若NB=6,求BE的值.

【变式演练】

1.(2024・安徽蚌埠•模拟预测)已知正方形/3CD中，E为CD垂直平分线上一点，E,F关于直线8。对称，BF

和ED相交于点G,求证：

(V)AELBF；

(2)AG//BD.

2.(2024•福建龙岩•模拟预测)如图，点£为正方形/BCD对角线NC上一点，连接。£,过点£作EFLDE,交射线

3c于点R以。瓦所为邻边作矩形DEFG,连接CG.

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⑴求证：矩形。EFG是正方形；

4E

(2)若/COG=30。，求行的值.

EC

3.(2023•吉林松原•模拟预测)已知正方形/BCD边长为1,对角线/C,3。相交于点。，过点。作射线OEOF,分

(1)如图1,当OE_L4D时，求证：四边形/EO尸是正方形；

⑵如图2,将射线OE,。厂绕着点O进行旋转.

①在旋转过程中，判断线段与。尸的数量关系，并给出证明；

②四边形。以尸的面积为二

(3)如图3,在四边形尸。跖V中，PQ=PN,ZQPN=ZQMN=90°,连接若尸"=9,请直接写出四边形尸0AW的

面积.

4.(2024・四川南充・模拟预测)如图1,正方形/BCD中，对角线NC与2。相交于点。，在线段上任取一点尸(端

点除外)，连接P。、PB.将线段。尸绕点尸逆时针旋转，使点D落在A4的延长线上的点。处.

(2)如图2,作于点作PN~AD于点、N,作尸£_LZO交NB于点E,作£F_LO8于点尸，请你写出幺。与。尸

的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,将(1)中正方形ABC。换成菱形4BCD,且/4BC=60。，其他条件不变，试探究/。与。尸的数量关系，

并说明理由.

5.(2024・江苏盐城•三模)【教材呈现】

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（1）如图1,在正方形48cA中，E是8c上的一点，经过旋转后得到△4DF,

①旋转中心是点;旋转角最少是度.

②爱动脑筋的小明，在CD边上取点G,连接/G、EG,使得NGNE=45。，他发现：GE=2E+DG,他的发现正确吗？

请你判断并说明理由.

【结论应用】

（2）①图1中，若正方形N3C。的边长为。，则ACEG的周长为（用含有。的式子表示）.

②如图2,在四边形/BCD中，AD\\BC{BC>AD),£)5=90°,BC=AB=12,£是48的中点，且4DCE=45。，则

的长=.

【类比迁移】

（3）如图3,在菱形/BCD中，NBAD=6Q°,在线段上选一点P（不与点4。重合），沿8P折叠，得到,

在线段。上取点。，沿8。折叠，使得点C与点“重合，连接4C,分别交线段BP、8。于点G、H,若AG=6,CH=4,

求的长.

03中考练场

一、填空题

1.（2025・黑龙江哈尔滨•一模）如图，在正方形4BCD中，BC=3,延长BC至点E,使CE=2,。E平分N/OC交NE于

点尸，则线段。尸的长为.

2.（2025•重庆大渡口•模拟预测）如图，在矩形48c。中，点£在/。边上，点尸在3C边上，旦BF=DE,连接£尸交

对角线于点。，BD=5,CD=3,连接CE,若CE=CF,则防长为.

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3.（2025・四川•模拟预测）如图，在菱形4BCD中，/8=60。，E,X分别为N8,8C的中点，G,尸分别为线段

CE的中点.若线段的长为8。，则尸G的长为.

4.（2025•山西朔州•一模）如图，边长为2的正方形/BCD的对角线相交于点O,W为。4上的一点，ON=1,连接编.将

8河绕点M逆时针旋转90。，得到线段点N在边CD上，过点N作NPL/C,则DN的长为

二、解答题

5.（2025•重庆大渡口•模拟预测）如图，在口48c。中，对角线NC与8。相交于点O,ZCAB=ZACB,过点8作

交NC于点E.

（1）求证：AABOS^BEO；

（2）若N8=10,NC=16,求OE的长.

6.（2025•湖北•模拟预测）如图，在口48co中，点厂在边40上，AB=AF,连接8尸，。为8尸的中点，的延长

线交边BC于点E,连接EF.求证：四边形43跖是菱形.

7.（2025•辽宁沈阳•模拟预测）如图，在平行四边形/BCD中，AB=AD,E,9是对角线AD上的点，且BE=DF,

连接NE,CF,AF,CE.求证：四边形NFCE是菱形.

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AD

B

8.（2025・云南•模拟预测）如图，在口4BCD中，对角线/C,5。相交于点。，ADLBD,£是的中点，过点E作

EF//BD,交BC于点、F.

（1）求证：四边形OEEB是矩形；

⑵若4D=8,DC=U,求四边形OEE8的面积.

9.（2025•贵州•模拟预测）如图，在口48co中，对角线/C,8。相交于点O,作/胡。和/BCD的平分线，分别交5D

于点G,H,延长/G交8c于点£,延长S交AD于点尸.

（2）已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），判断四边形/ECF的形状，并证明.条件①：BD平分NCDF；

条件②：ZBAE=2ZEAC.

10.（2025•黑龙江哈尔滨•一模）已知四边形N8C。中，8C=C。.连接AD,过点C作的垂线交NB于点E,连接。E.

（1）如图1,若DCUBE,求证：四边形8CDE是菱形；

（2）如图2,连接/C,设8D,4C相交于点R若DE垂直平分线段/C,请直接写出图中与NDEC相等的角（/DEC除

外）.

11.（2025•贵州•模拟预测）综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动.将直角/MEN的顶点E放在正方形/BCD的对角线

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ACh(点E不与/、C重合)，其中直角边EN与8c交于点尸，直角边EN与CD交于点G.

(1)发现：如图，当即与3c垂直时，填空：EFEG.（填或“<”）

(2)探究：如图，当即与8c不垂直时，请判断所与EG之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不

变，请给出证明；

⑶拓展：当斯与3c不垂直时，以EF、EG为邻边构造矩形瓦HG,连接C”,请直接写出/8CH的度数.

12.(2025•江苏宿迁・模拟预测)如图是一张矩形纸片N8C。，点M是对角线NC的中点，点E在BC边上.

图2

(1)如图1,将△OCE沿直线OE折叠，使点C落在对角线4C上的点尸处，连接。REF.

①若/EDC=30。，DE=l,求对角线NC的长;

CD

②若MF=CD,求ND4/的度数及此时》的值.

⑵如图2,若CB=3,CD=2,连接3朋、ME,将AMEC沿ME折叠，点C的对应点为点G,当线段GE与线段交

于点H且ABHE为直角三角形时,求此时8E的长.

13.(2025・湖北•一模)问题背景:如图1,在矩形/BC。中，AB=25ZABD=30。，点E是边48的中点，过点£

作交2。于点?

D

(1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的45所绕点3按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论:

cAE

①——二

DF

②直线AE与DF所夹锐角的度数为

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(2)小明同学继续将ABE尸绕点8按顺时针方向旋转，旋转至点D,E,尸在一条直线上如图3所示位置时，求AAEF的

面积；

(3)在△AEF绕点8按顺时针方向旋转一周过程中，记△/£尸的面积为S,直接写出S的取值范围.

14.(2025•山东威海•模拟预测)在平行四边形/BCD中，对角线/C、8。交于点O,P是线段OC上一个动点(不与点。、

点C重合)，过点P分别作4D、CD的平行线，交CD于点、E,交.BC、BD于点、F、G,连接EG.

(1)如图1,如果尸C=2OP,求证：EG//AC；

(2)如图2,如果48c=90。，券=：，且ADGE与APC尸相似，请补全图形，并求器的值；

(3)如图3,如果B4=8G=8C,且射线EG过点A.请补全图形，并求//2C的度数.

15.(2025•山西•一模)综合与实践

问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1,已知平行四边形/BCD,

AB//CD,AD//BC,ZC<90°,将平行四边形/BCD沿过点。的直线折叠，使点。落在NO边上的点£处，折痕与3c

交于点F.

初步探究：

(1)判断四边形CDEb的形状，并说明理由；

图1图2图3

深入探究：如图2,取线段。尸边上的一点。(不含点。，F),过点。作8C边的垂线分别与2c交于点/,J,将

平行四边形/5CD沿直线〃■折叠，使点C落在2C边上的点〃处，使点。落在4D边上的点G处，连接G〃.

(2)若随着点。的运动，G〃与D尸始终保持平行，请求NC的度数；

(3)在(2)的条件下，如图3,若CQ=6,GH与EF交于点M,连接(W,OC,当NMOC=90。时，请直接写出ZD的

值.

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专题09四边形中的证明与计算问题

目录

热点题型归纳..............................................................................................1

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算....................................................1

题型02以矩形为载体的证明、性质应用及边角计算..........................................................5

题型03以菱形为载体的证明、性质应用及边角计算.........................................................10

题型04以正方形为载体的证明、性质应用及边角计算.......................................................14

中考练场.................................................................................................19

题型01以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算

0谓题型综述_________________________________________

以平行四边形为载体的证明、性质应用及边角计算是初中数学几何板块的核心内容之一，它依托平行四边形独特的

性质，综合考查学生对