二次函数相似三角形存在性问题-2025年中考数学几何模型专练

二次函数相似三角形存在性问题

模型原理

1.要素分析

①相似三角形存在性问题的关键在于先找到一组等角，有时明显，有时隐蔽.

比较明显的如存在公共角、对顶角、双直角等；比较隐蔽的如需要通过计算说理或通过构造等角.

②若相似的三角形中有一个确定的三角形，可以先对其边、角作研究，定边求定长，定角求定比，然后再寻找

目标三角形.d

注：定边定长：确定的边，其长度确定，必可求；

定角定比：确定的角，其三角函数值确定，必可求./

2相似处理乙

此处根据题目条件灵活选择：

①导边处理：以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程；

如图.在^ABC和仆DEF中,若已确定/A=ND,则要使△ABC与ADEF相似，需要分两种情形讨论：

察=器或篝=器，再依次列方程求解•此法通用性更强，普适性更广，往往是首选.

②导角处理：使另两个内角分两类对应相等；

ABCfflADEF中，若已确定NA=ND,则要使△人：6(2与4DEF相似，需要分两种情形讨论:/B=NE,

或/B=/F,再导角分析处理.

此法最后常转化为角的存在性问题.

真题精炼

1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=~2x+6的图象与X轴交于点A，与y轴交于点B,抛物线y

=-x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC回光轴于点C,交AB于点E.

⑴求这条抛物线所对应的函数表达式；

⑵是否存在点D,使△BDE和AACE相似?若存在，请求出点D坐标，若不存在，请说明理由；

2抛物线Ci：y=，-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边).交y轴于点C.

⑴直接写出A,B,C三点的坐标.

⑵如图⑴，作直线%=t(0<t<4),分别交x轴，线段BC，抛物线(G于D,E,F三点，连接CF.若ABDE

与△CEF相似,求t的值.

3综合与探究如图，抛物线y=-x2+bx+c上的点A,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛物线与x轴负半轴交

于点B,点M为y轴负半轴上一点，且(OM=2,连接AC,CM.

⑴求点M的坐标及抛物线的解析式；

⑵点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP，当S»AC=SMCM时，求点P的坐标；

(3)点D是线段BC(包含点B,C)上的动点，过点D作x轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线CM于点N,若

以点Q,N,C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；

4如图，已知抛物线y=-x2+bx+cc经过A(0,3)和BQ>-£)两点，直线AB与x轴相交于点C,

P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PDLx轴交AB于点D.

(1)求该抛物线的表达式；

⑵若PE〃x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；

⑶若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标.

5如图，抛物线y=a/+"+2与x轴交于A,B两点，且。2=20B,与y轴交于点C,连接BC,抛物线

对称轴为直线x=l，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE1。4于点E,与AC交于点F，设点D的横

(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标.

(3)抛物线上是否存在点D，使得以点0,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在，求出m的值；若不

存在，请说明理由.

1如图，二次函数y^x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作z轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物

线过点C(1,O),且顶点为D,连接AC、BC、BD、CD.

⑴填空:b=.

⑵点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1,直线PC交直线BD于点Q若/CQD=ZACB,求点P的坐标.

【答案】(D-4

(2)(3,0)或(|，一§.

【解析】⑴；抛物线过点0(1,0),

...将C(l,0)代入y=x123+bx+3得0=l+b+3,

解得b=-4,

故答案为：-4.

(2)由(1)可得抛物线解析式为y=/—4x+3,

当x=0时,y=3,

；.A的坐标为(0,3),

当y=3时得33=%2-4%+3,

解得xi=0如=4,

.♦.点B的坐标为(4,3),

y=%2-4%+3=%-22—1,

顶点D的坐标为(2,-1),

设BD与z轴的交点为M作CHLAB于H,DGXCM于G,

1

tanZACH=tanZOAC=-

3

根据勾股定理可得BC=3V2,CD=V2,BD=2层

.BD=y/BC2+CD2,

•••乙BCD=90°,

••・tanZ.CBD=

3

・•・ZACH=ZCBM,

ZHCB=ZBCM=45°,

，ZACH+ZHCB=ZCBM+ZMCB.

gpZACB=ZCMD.

①Q在CD上方时：

若NCQD=NACB,则Q与M点重合，

y=x2—4x+3中，令y=0,解得：x=l或3,

..•抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),

即此时P的坐标为(3,0),

②Q在CD下方时：

过点Q作QKLz轴过点O作CL1QM于点L,过点A作ANXBC于点N,

可得：AB=4,BC=3®AC=V10,

设ON=x，贝（JBN=3a—x,

在小ABC中，AC2-CN2=AB2-BN2,

即VTO—%2=42—（3A/2—%）解得：x=VX

•••cosZ-ACN=—=—

AC5;

设直线BD的表达式为:y=mx+n,将B,D代入得：

{3=4m+ri-1=2m+几解得：{zn=2九=—5,

直线BD的表达式为y=2m-5,

令y=0,贝％?，即点

设点Q坐标为（82。-5）,

3［（

QK=S-2a,CM=-,QM=a--）+（2a-5）2.

乙、'乙'

'：ZACB=ZCMD,ZACB=ZCQD,

NCMD=NCQD,即CQ=CM=|,

coszCQD=cos^ACB=^=—,

yCQ5

cr3A/5八八〃3A/53V5

y10y55

在4CQM在•KQ=RM•CL,

艮|.KQ=誓.手，解得：KQ.

■■-CK=dCQ2-KQ2=春

设直线CQ表达式为:y=sx+t,将点C和点Q代入,

4

0=s+ts=--

｛一=4+t解得g43

510t=~

则CQ表达式”-打+李联立:

：y=-ix+i解得｛2%

y=/一©+3

'58'

即点P坐标为—)------

39.

5_8

综上：点P的坐标为（3,0）或

【标注】【知识点】二次函数与动点问题

2如图，二次函数y=-/+2mx+2m+l（m是常数，且m>0）的图象与z轴交于A,B两点（点A在点B的

左侧），与y轴交于点o，顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,与X轴交于点F,连接AC,BD.

⑴求A,B,C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）,并求NOBC的度数.

⑵若NACONCBD,求m的值.

⑶若在第四象限内二次函数y=-z2+2mx+2m+l（m是常数，且m>0）的图象上，始终存在一点P,使得N

ACP=75。请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.

【答案】(1)A(-l,0),B(2m+l,0),C(0,2m+l),45°

(2)m=l.

(3)0<m<等.

【解析】(1)当Q时,—X2+2mx+2m+1=0,

解方程，得Xi=1/2=2m+l,

・・,点A在点B的左侧，且m>0,

.•.A(-l,0),B(2m+l,0),

当x=0时,y=2m+l,

.,.C(0,2m+l),

・・・OB=OC=2m+l,

•••乙BOC=90°,

■:ZOBC=45°.

⑵如图1中，连接AE.

:y=­x2+2mx+2m+1=—(%—m)2+(m+l)2,

・・・D(m,(m+l)2),F(m,0),

DF=(m+l)2,OF=m,BF=m+1,

•・•A,B关于对称轴对称，

JAE=BE.

・•・乙EAB=Z.OBC=45°,

・•・ZAEC=90°,

•・•ZACO=ZOBD,ZOCB=ZOBC,

•••NACO+NOCB=NCBD+NOBC,即NACE=NDBF,

VEF/7OC.

」4EBEBF入nlDF,.

・••tan乙4cB=——=—=—=tanZ-DBF=——=m+1,

OECEOFBF

m+1.

・•・--=m+1,

m

Am=l或-1,

*.*m>0,

m=1.

⑶如图，设PC交x轴于点Q.

当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时NCQA>NCBA,即aQA>45°

•••乙4CQ=75°,

Z.CAO<60°,

・•・2m+1<V3,

/A/3—1

•••m<---,

2

【标注】【知识点】二次函数与角度问题

3如图在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B抛物线y=-x2+bx

+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DCLz轴于点C,交AB于点E.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)是否存在点D，使得△BDE和4AOB相似?若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

【答案】(Dy=-/+x+6(2)点D的坐标为(1,6)或

【解析】【分析】

⑴先求出A、B的坐标，然后代入y=-%2+bx+c,求出b、c的值即可；

⑵由对顶角的性质性质知NAEC=NDEB,若存在△BDE^AACE相似，则有△ACEs△BDE和△ACE^ADBE

两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；

【详解】

⑴解:令y=0,则-2x+6=0,则x=3;令z=0,则y=6；.A(3,0),B(0,6)把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c,得:

2

-9+3b+c=。解得：｛6这条抛物线所对应的函数表达式为：y=-x+x+6;:

⑵解存在点D,使得ABDE和小ACE相似.设点D(t--t2+t+6)则E(t,-2t+6).C(t,O),H(t,6”.EC=-2t+6,AC=3-t,

811=匕口｝1=，2+匕口£=42+31：2\8口£和4ACE相似,NBED=/AEC.^.△ACEs△BDE或△ACEs^DBE①如图1,当4

ACE^ABDE时,/BDE=/ACE=90°

图1

.•.BD〃AC；.D点纵坐标为6，-t2+t+6=6,解得:t=0或t=l；.D(1,6)②如图2,当4ACB^ADBE时,/BDE=/CAE

182

过B作BH±DC于H.乙BHD=90。—=tan^BDE=tan^CAE=—•••—^―=9=2；.—2产+2t=t,解得:t

DHQA—tz+t3

=0(舍去)或(=In&与)综上所述,点D的坐标为(1,6)或Gq)

4抛物线C1：y=/_2x_8交X轴于A,B两点(A在B的左边),交y轴于点C.

(1)直接写出A,B,C三点的坐标.

(2)如图⑴，作直线x=t(0<t<4),分别交z轴线段BC,抛物线Ci于D,E,F三点，连接CF若△BDE与仆CEF相似，求

t的值.

【答案】(1)A(-2,0),B(4,0),C(0,-8).

(2)t的值为2或日

【解析】(I)：.抛物线解析式为y=%2-2%-8,

当y=0时，x2-2x-8=0,,当x=0时,y=-8,

解得:xi=-2,X2=4,

.••A(-2,0),B(4,0),C(0,-8).

(2)VF是直线x=t与抛物线Ci的交点，

.".F(t1t2-2t-8).

①如图，若△BE】Dis△CEiFi,

ZBCFi=ZCBO.

；.OFi//OB

VO(0,-8),

.*.t2-2t-8=-8.

解得,t=0倍去)或t=2.

②如图，若△BE2D3△F2E2c时，过F2作F2T±g轴于点T.

•••Z.BCF2=Z.BD2B2=/-BOC=90°,

乙乙

・•・^OOB+OBC=OCB+ZTCF2=90°,

•••Z-TCF2=/-OBC,

乙

•••Z.CTF2=BOC=90°,

.,.△BCO^ACF2T,

F2T_CT

••co~BO

VB(4,0),C(0,-8),

AOB=4,OC=8,

22

VF2T=t,CT=-8-(t-2t-8)=2t-t.

.t_21—一

-8-4，

解得.t=(y(舍去)或d=|

综上，t的值为2或|

5综合与探究如图抛物线y=-x2+bx+c上的点A,C坐标分别为(0,2),(4,0)抛物线与x轴负半轴交于点B,

点M为y轴负半轴上一点，且OM=2,连接AC,CM.

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当SNAC=S44cM时，求点P的坐标；

(3)点D是线段BC(包含点B,C)上的动点，过点D作x轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线CM于点N,若

以点Q,N,C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；

【答案】(l)M(O，-2),y=—刀2+(久+2(2)P(2,5)(3)QI(-|-O),(22(|，5)

【解析】⑴解:：点M在g轴负半轴且OM=2,

；.M(0,-2)将A(0,2),C(4,0)代入y=-x2+bx+c,

/gC=2

彳守—16+4b+c=0

{b-

解c占

..•抛物线的解析式为y=-x2+|x+2

⑵解:过点P作PF±x轴于点F,交线段AC于点E,

设直线AC的解析式为y=kx+m(k^0),

将A(0,2),C(4,0)代入y=kz+m,

得f7n=2

14k+m=O'

解得｛k==2,

・•・直线AC的解析式为：=-|x+2设点P的横坐标为p(0<p<4)贝!]尸(Pi-p2+gp+2)

E(p‘-1+2),

PE=-p?+(p+2—(—]p+2)=—p2+4P(0<p<4)

VSAACM=8,

1r

■■■SAPAC=-PE-OC=-2p2+8p=8,

解得P1=P2=2,

；.P(2,5)

(3)QI(|，5),Q2(_?。),

补充求解过程如下：

•.•在△COM中,4COM=90°,

以点Q,N,C为顶点的三角形与△COM相似，

..•以点Q,N,C为顶点的三角形也是直角三角形,

又•；QD±x轴直线QD交直线CM于点N,

/CNQM0。,即点N不与点O是对应点.

故分为ZCQN=90。和NQCN=90。两种情况讨论

①当乙CQN=90。时，由于QN±x轴，

•••CQLy轴，即CQ在x轴上，

又•••点Q在抛物线上，

...此时点B与点Q重合，作出图形如下：

止匕时NCQN=NOOM=90。,

又：NQCN=NOCM

△CQNs^cOM,即此时符合题意.

令y=-x2++2=0

解得--^,x2=3（舍去）

•••点Q的坐标，也即点B的坐标是Qi

②当NQCN=90。时作图如下：

:QD_Lz轴,NCOM=90。

.,.QD//OM,

/.ZONQ=ZOMC,

ZONQ=ZOMC,ZQCN=ZCOM=90°,

/.△QCNs^cOM,即此时符合题意，

VAQCN^ACOM,

ZCQN=ZOCM,BPZDQC=ZOCM

ZDQC=ZOCM,ZQDC=ZOOM,

.".△QDC^AOOM

•嗡=黑=；2,QD=2。设点Q的横坐标为q,

贝!］（（q，-q2+2）,f）（q，o）,

。7

QD=—q+5q+2,CD=3-q

-q2+(q+2=2(3—q),

解得Qi=Q2=3(舍去),

r7

•••—q2+&q+2=5,

；•点Q的坐标是Q2(|-5)

综上所述:点Q的坐标是Q：(一？0)，Q2(|，5);

【标注】【知识点】二次函数

5如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,3)和B3两点，直线AB与x轴相交于点C,P是直线A

B上方的抛物线上的一个动点，PD±x轴交AB于点D.

(1)求该抛物线的表达式；

⑵若PE//X轴交AB于点E,求PD+PB的最大值；

⑶若以A,P,D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P,点D的坐标.

【答案】(l)y=-%2+2x+3

⑵最大值为答

48

(3)P(2,3),D(2,0)或P(泻)，呜1)

【分析】

(1)直接利用待定系数法，即可求出解析式；

(2)先求出点C的坐标为(2,0),然后证明RtADPE-RtAAOC,设点P的坐标为(恤—-+2爪+3),其中m>0,

则点D的坐标为(加-|爪+3),分别表示出PD和PE,再由二次函数的最值性质，求出答案；

(3)通过题意，可分为两种情况进行分析:当△AOC-AAPD时;当4AOC-ADAP时;分别求出两种情况的点的坐标,

即可得到答案.

⑴解：(1”.•抛物线y=-/+bx+cc经过A

c=3

{-(5)2+:b+c