导数及其应用-2025高考数学专项复习

专题06导数及其应用

2024年真题研析

一、填空题

1.(2024新高考I卷・13)若曲线y=e'+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(尤+1)+。的切

线，贝I”.

【答案】ln2

【分析】先求出曲线y=e，+尤在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(x+l)+。的切点为

(1,ln(x0+l)+a),求出y',利用公切线斜率相等求出％,表示出切线方程，结合两切线

方程相同即可求解.

【详解】由>=/+工得；/=e*+l,y'|^0=e°+1=2,

故曲线y=e，+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+l；

由y=ln(x+l)+a得y，=£•，

设切线与曲线V=山(x+1)+<7相切的切点为+1)+a),

由两曲线有公切线得了二—二？，解得毛=-<，则切点为+

玉)十12

切线方程为y=21x+j+4+ln；=2x+l+Q—ln2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：In2

一、单选题

1.(2022新高考I卷-7)设。=0.1e°」,6=，c=-ln0.9,贝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】构造函数/(x)=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定。C的大小.

【详解】方法一：构造法

设/(x)=ln(l+无)一元(x>-1),因为，(无)=*--1=一4，

1+X1+X

当xe(-1,0)时，f'(x)>0,当xw(0,+oo)时/(x)<0,

所以函数/«=ln(l+元)一元在(0,+s)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以心</(。)=0,所以吟彳<0,故吟=Tn0.9,即b>c,

1910--1±1

所以/(-而)</(。)=0,所以In仿+而<0,故言口。，所以版

故。<8,

设g(x)=xe'+ln(l-x)(0(尤<1),则g，(无)=(%+1)6工+^^=~+\

令6(x)=e*(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-l),

当0<x〈正-1时，”(x)<。，函数〃(x)=e'(/-l)+l单调递减，

当g-1<X<1时，〃'(无)>0,函数丸(x)=e，(f-l)+l单调递增,

又做)=0,

所以当0<彳<0-1时，/7(x)<0,

所以当0<尤<&-1时，g'(无)>0,函数8。)=b+山(1-刈单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：。=0.1网，b=-^-,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①Ina—ln£>=0.1+ln(l—0.1),

令f(.x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

1-y

贝!If'(x)=i---=--<0,

1—x1—x

故/(%)在(0,0.1]上单调递减，

可得f(0-1)</(0)=0,即Ina—ln〃vO,所以a<b；

②tz-c=O.leOI+ln(l-O.l),

令^(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

则g\x)=xex+ex—-L=(l+x)(lx).T,

v71-x1-x

令k(x)=(\+x)(\-x)ex-\,所以k\x)=(\-jc-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上单调递增，可得Mr)>M0)>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

2.(2023新高考H卷6)已知函数〃x)=ae'-Inx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值

为(),

A.e?B.eC.D.e-2

【答案】C

【分析】根据尸(无)=。1-工20在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

X

【详解】依题可知，-(%)=盘-工2在(1,2)上恒成立，显然a>0,所以xe-L

xa

设g(x)=xeFe(L2),所以g，(x)=(x+l)e，>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g6=e,故eN1,即aN』=eT,即a的最小值为

ae

故选：C.

二、多选题

3.(2022新高考H卷J2)若x,y满足Y+V-盯=1,则()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为(a,blR),由Y+y2一0=1可变形为,

(尤+y『_l=3孙W3［亨］,解得一2<x+y<2,当且仅当x=y=-l时，尤+>=-2,当

且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由V+y2一孙=1可变形为优+力_［=肛4上产，解得1+y2V2,当且仅当

元=了=±1时取等号，所以C正确;

|+(y2=i,设=cos6,^^y=sin°,所以

因为V+V—孙=1变形可得x-2

八1.八2•八…

x=cose+-^=sinB,y=—j=sin6^,因此

521

x2+y2=cos20+—sin2^+-^=rsin^cos^=l+-^=sin2^--cos2^+—

33

71|，2,所以当人》L9时满足等式，但是“'不成

=-+-sin|26»--G

336

立，所以D错误.

故选：BC.

4.（2023新高考H卷J1）若函数/（x）=alnx+g+5（aw0）既有极大值也有极小值，则

().

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【分析】求出函数f（x）的导数/'（x）,由已知可得/（无）在（0,—）上有两个变号零点，转化

为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数/（x）="lnx+2+W的定义域为（0,+«0,求导得

XX

b2c_ax2-bx-2c

f'M=-

X

因为函数了⑺既有极大值也有极小值，则函数/'（X）在（0,+S）上有两个变号零点，而

a力0,

因此方程Q%2一法一2c=0有两个不等的正根%,九2，

A=Z?2+Sac>0

b

于是玉+九2=—>。，即有。2+8QC>0,ab>0,ac<0显然/Av。，即拉?<0,A错

a9

2c八

玉4=----->0

a

误，BCD正确.

故选：BCD

三、填空题

5.（2022新高考I卷［5）若曲线y=（x+〃）e”有两条过坐标原点的切线，则〃的取值范围

是.

【答案】(F,y)u(o,y)

【分析】设出切点横坐标看,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到

关于％的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】y=(x+a)e*,=(x+1+a)ex,

设切点为(5,%),则为=(%+。)物，切线斜率左=小+l+a)e否,

切线方程为：y-伉+a)e-=(%+l+a)e"x-%),

••,切线过原点，.••-6+a)e&=(%+l+a)占(―飞),

整理得：X；+ax0—a=0,

;切线有两条，〃+4。>0,解得a<-4或a>0,

Aa的取值范围是(fT)U(O，y),

故答案为：(-0°,T)U(0,+co)

6.(2022新高考H卷J4)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【分析】分x>0和x<0两种情况，当无>0时设切点为(飞,山毛)，求出函数的导函数，即

可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出看,即可求出切线

方程，当x<0时同理可得；

【详解】［方法一］:化为分段函数，分段求

分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x0,ln/),求出函数、导函数，即可求出切

线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出看,即可求出切线方程，当

x<0时同理可得；

解：因为y=ln|x|,

当尤>0时y=lnx,设切点为(5,In5),由，=工，所以*/=’，所以切线方程为

xxo

j-lnx0=—(x-x0),

又切线过坐标原点，所以Tnxo='(_x。)，解得尤°=e,所以切线方程为y-l=4x-e),

xoe

即y=L；

e

当x<0时y=ln(-x),设切点为(4皿-菁))，由y'=L所以=所以切线方程

X再

而

又切线过坐标原点，所以Tn(一%)=工(一%)，解得西=-e,所以切线方程为

x\

y—l=—(x+e),即,=—x•故答案为：y=-x；y=­x

-eeee

［方法二］:根据函数的对称性，数形结合

1

当x>0时y=lnx,设切点为(5，山也)'由广丁所以义气工，所以切线方程为

j-lnx0=—(x-x0),

又切线过坐标原点，所以一比无。=!(-%),解得%=e,所以切线方程为>-l=4x-e),

e

口即口y=-1x；

e

因为y=ln|x|是偶函数，图象为：

歹八

y

n:

二一9

所以当x<0时的切线，只需找到y=!X关于y轴的对称直线y=-‘X即可.

ee

［方法三］:

因为>=比国，

1-1

当尤>。时y=ln无，设切点为(〜，足〜)，由上7所以山。二,所以切线方程为

y-lnx=-(x-x),

0%0

又切线过坐标原点，所以Tnx°='(-%),解得x0=e,所以切线方程为y-l=」(x-e),

即y=L；

e

当x<0时y=ln（-x）,设切点为（小山（-玉）），由y'=L所以四『=工，所以切线方程

X再

不

又切线过坐标原点，所以7n（一玉）=工（一%），解得占=-e,所以切线方程为

X1

^-1=—（x+e）,即y=--x；

-ee

故答案为：y=-x-y=--x.

ee

必备知识速记

一、导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)r（x）=o

/(X)=xa(aeQ)/'(x)=axa~x

f(x)=ax(a>0,a^V)f\x)=axIn«

f(x)=log%(a>0,aw1)fw=.

flx\na

f(x)=exr(x)=e*

f{x}=\nxf'M=-

X

/(x)=sinxfr(x)=cosx

/(x)=cosx/'(x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则："（X）士g（尤）］=/'（x）±g'（x）；

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；

（3）函数商的求导法则：g（x）*O,则［四］=『'（x）g（x）「「（x）g'（x）

g（x）g（%）

3、复合函数求导数

复合函数y=/[g（x）]的导数和函数y=/（〃），a=g（尤）的导数间关系为”=yuux：

4、切线问题

（1）在点的切线方程

切线方程〉-/'（无0）=—（%）0-尤0）的计算：函数y=/（x）在点，/■（%））处的切线方程为

%=/(%)

y-fCx0)=f'(x0)(x-x0),抓住关键

k=f'(x0)

（2）过点的切线方程

设切点为尸（X。，％）,则斜率左=/（%），过切点的切线方程为：y-y0=f'（x0Xx-x0）,

又因为切线方程过点A（〃z,“），所以〃-%=尸（无0）（加-/）然后解出毛的值.（X。有几个

值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

二、单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/（x）在某个区间内可导，如果（（x）＞0,则y=/（x）

为增函数；如果—（无）＜0,则y=/（x）为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若/（x）在某个区间上单调递增，则在该区间上有（（x）N0恒成立（但不恒等于0）；反

之，要满足（（x）＞0,才能得出了（无）在某个区间上单调递增；

②若/（无）在某个区间上单调递减，则在该区间上有（（x）＜0恒成立（但不恒等于0）；反

之，要满足（（x）＜0,才能得出了（无）在某个区间上单调递减.

三、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区

间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：

已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与无轴位置关系

图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，

则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函

数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正

负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意

是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：

已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关

系）；

（5）导数图像定区间；

四、极值与最值

1、函数的极值

函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有/（x）＜/（x0）,则称/（x0）是函

数的一个极大值，记作y极大值=/（%）.如果对X。附近的所有点都有/'（x）,/5）,则称

/（尤。）是函数的一个极小值，记作y极小值=/（x（））.极大值与极小值统称为极值，称/为极

值点.

求可导函数/（尤）极值的一般步骤

（1）先确定函数/（X）的定义域；

（2）求导数尸（x）；

（3）求方程-（无）=0的根；

（4）检验尸在方程（（x）=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右

侧附近为负，那么函数y=/（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右

侧附近为正，那么函数＞=/（X）在这个根处取得极小值.

注：①可导函数/（》）在点七处取得极值的充要条件是：尤。是导函数的变号零点，即

/（无。）=0,且在与左侧与右侧，f'（x）的符号导号.

②;(无。)=0是尤。为极值点的既不充分也不必要条件，如/(幻=/，尸(0)=0,但%=0不

是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数〃x)=W，在极小值点％=0是不可

导的，于是有如下结论：尤。为可导函数/(x)的极值点=>/'(%)=0;但八尤o)=O/x。为

/(x)的极值点.

2、函数的最值

函数y=/(X)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数“X)最小值为极小

值与靠近极大值的端点之间的最小者.

2

导函数为/(x)=ax+bx+c=a(x-x,)(x-x2)(m<xl<x2<n)

(1)当。>0时，最大值是/(占)与/(〃)中的最大者；最小值是/'。2)与/'(雨中的最小

者.

(2)当a<0时，最大值是/(%)与/(m)中的最大者；最小值是/(xj与/(〃)中的最小

者.

一般地，设y=/(x)是定义在［〃?，网上的函数，y=/(x)在O,")内有导数，求函数

y=f(x)在阿，"］上的最大值与最小值可分为两步进行：

C1)求y=f(x)在(形,")内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y=/(x)的各极值与/'(加)和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为

最小值.

【导数及其应用常用结论】

1、恒成立和有解问题

(1)若函数〃尤)在区间。上存在最小值"XL和最大值/(XL/则

不等式在区间。上恒成立o而°>a；

不等式之。在区间D上恒成立="x"。'a■

不等式〃尤)<6在区间。上恒成立o〃尤)惭<b-,

不等式V6在区间。上恒成立o〃x)1mx4匕；

(2)若函数〃尤)在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(犯”)，则

不等式或/'(x)2a)在区间D上恒成立ga.

不等式(或(x)46)在区间D上恒成立一加Wb.

(3)若函数在区间。上存在最小值〃x)/和最大值〃尤)1111K,即则对

不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间D上有解"a<"力1mx；

不等式a<f(x)在区间D上有解oa</(^)_；

不等式a>/(x)在区间。上有解04>“尤)神；

不等式a2/(x)在区间。上有解1nhi；

(4)若函数f(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(叫”)，则对不等式有解问

题有以下结论：

不等式a<(或aW在区间D上有解u>a<n

不等式b>/(x)(或b>/(尤))在区间D上有解oZ>>机

(5)对于任意的玉e[a,6],总存在々©加，n],使得

/(%)4g(%)O/(演)皿<g(%Lx；

(6)对于任意的玉耳名国，总存在a],使得

f(x1)>g(x2)<=>f(xI)n.n>g(x2)m.n；

(7)若存在玉£[a,b],对于任意的冗2w[m,n],使得

/a)4g(々)o/(%Lwg㈤.；

(8)若存在再E[〃，b],对于任意的/<m,n],使得

/(xj>^(x2)<^/(%,)_>g(x2)max;

(9)对于任意的占e[a,b],x2e[m,〃]使得“尤JWgQ?)o〃占)1raxVg(尤?)1nj”；

(10)对于任意的占e[a,可，x2e[m,可使得/(%)2g(%)="%)1nto2；

(11)若存在6],总存在％2w[m,n],使得“xj4gR)o"西心<g(x?)11rax

(12)若存在工芦,，可，总存在%€皿n],使得)&)2g(%)o/(再)，2g(%)1nto.

名校模拟探源

一、单选题

1.(2024•河北保定三模)曲线〃尤)=e*-3x在点(0,〃0))处的切线与两坐标轴所围成的

三角形的面积为()

A.—B.—C.-D.—

8643

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.

【详解】由〃x）=e'—3x,得/，（力口,则苗0）=1,/（0）=-2,

所以曲线/（x）=e'-3x在点（0,/（0））处的切线方程为y=-2x+1.

令y=o,得x=（,令尤=0,得y=i,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为gxgxl=j

故选：C

2.（2024・陕西西安・三模）已知函数已则〃尤）在点（5,”5））处

2J1%—+<x>L

的切线方程为（）

A.4x—y-28=0B.4x+y—12=0C.x—4^—12=0D.x+4y-22=0

【答案】B

【分析】根据分段函数结合导函数求出了'（5）,再根据点斜式得出直线方程.

【详解】当xe（O,2］时，r（x）=2x-3,

当x44,6］时，/（x）=2/（x-2）=4/（x—4）,贝！|/。）=4/。一4）,

所以〃5）=4〃1）=-8,回⑸=4/"）=Y.

则所求的切线方程为k（-8）=T（x-5）,即4x+y-12=0.

故选：B.

3.（2024.河北保定•三模）已知二次函数、=依（尤-力（6工0且bwl）的图象与曲线

y=lnx交于点P,与x轴交于点A（异于点O）,若曲线y=lnx在点尸处的切线为/,且/

与A尸垂直，则。的值为（）

A.--B.-1C.一册D.-2

e

【答案】B

【分析】利用导数求解直线1的斜率，即可根据垂直关系得先*PA=-1,结合

\nt=at（t-b）,即可求解.

【详解】易知4（40）,设尸&3）,

联立y=lnx与y=ax{x—b)Inx=ax(x-b),故Inf=〃/«—£?),

由y=ln尤得y'=’，所以号=［，矶=当，

xtt-b

因为/_LPA,所以勺•左M=Jn：、=-1,即lnr=TQ->）,

又ln%=R«—Z?）,所以〃=一1.

故选：B.

4.（2024・贵州六盘水•三模）已知曲线y=d—31nx的一条切线方程为丁=一犬+根，则实数

m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

3

【分析】根据切线的斜率的几何意义可知-r=-1,求出切点，代入切线即可求

出加.

【详解】设切点为（%,%）

因为切线y=-x+：九，

3

所以=2%-r=-1,

3

解得%=1,修=-;（舍去）

代入曲线y=/-31ru得为=1,

所以切点为（U）

代入切线方程可得1=-1+利，解得〃=2.

故选：D.

2

5.（2024・湖南长沙•二模）已知m>0,n>0,直线y=-x+m与曲线y=21nx-n+4

e

相切，则-+-的最小值是（）

mn

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到m+〃=4,利用基本不等式即可求

解.

2

【详解】由于直线y=—x+m与曲线y=21nx-H+4相切，

o22

设切点为（不，%）,且,'=—,所以—=一,

xe/

则切点的横坐标x（）=e，则2+a=2-〃+4,即加+〃=4.

d八八br、r/\（1nm\nm“11、1

又加>0,〃>0,所以+.一+—=2+—+—N2+2j—x—=4,HBnP—+—>1,

\mnJmnvmnmn

当且仅当根=〃=2时取等号，所以工+’的最小值为1.

mn

故选：D

6.（2024.贵州黔东南.二模）己知正实数。，6满足+e、e22+「，则的最大

2b

值为（）

A.0B.!C.1D.-

22

【答案】A

【分析】根据等式关系构造函数/（力=3-片工，由其单调性可得为-2=-6,于是结合基

本不等式可得。一!的最大值.

【详解】由题e2A2_e2H=e-,_eJ构造函数/（"=e'-b，则/（勿-2）=”询,

显然/（X）在R上单调递增，所以24-2=-6,即“=书，

所以o__L===当且仅当a==，6=1时等号成

2b22b2\b）2\b2

立.

所以。-占的最大值为0.

2b

故选：A.

【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数

学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内

在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因

此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多

问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

7.（2024・福建泉州•二模）在等比数列｛叫中，是函数/。）=炉-10x+fln（3x）的两个

极值点，若%%=20%-2，贝"的值为（）

A.-4B.-5C.4D.5

【答案】C

【分析】首先求函数的导数，利用韦达定理求得4%=；>。，并根据等比数列的性质，代

入条件等式，即可求解.

【详解】f'（x）=2x-10+-=2x2~1Qx+r,x>0

XX

所以q,为是方程2/-10彳+/=0的两个实数根，则％>0,%>0,弓%=^>0，

根据等比数列的性质，42a4=a\a5=〃；，且a2a4=2V5%-2

所以;=x—2,即%—4〃+4=0=（〃-2）=0,得/=4.

故选：C

8.（2024•天津和平三模）已知函数〃x）=V^sinoxcosox-gsinQox-]）（oeR,且

®>0）,xeR,若函数/（尤）在区间（。,2兀）上恰有3个极大值点，则。的取值范围为

、门「外（-

A-1319B-319]C•旧13内1J口.后13，互19

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换化简得到“无）=sin12s+「，从而得到

2（DX—G1一,A-COTlH—],根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.

。I。oJ

[详解]/（%）=Gsinscosox--sinf2cox--=-sinleox+—cos2s=sin12G%+工

2\2J2216

XG（0,271）,Icox+££，4。兀+力,

函数〃%）在区间（o,2兀）上恰有3个极大值点，

4,9K.7i13K小/日（1319

1^—<4ftM+-<—,解得叫不，行.

262<1212_

故选：D

9.（2024・辽宁・二模）已知正实数6,记用=11^<]4<7也,则〃的最小值为（）

A.72B.2C.1D.6

【答案】A

【分析】由已知得出结合M2，〒得出2什针，根据基本不等式即

27ab1V1-r-r

7ab

可求解.

【详解】得，M>4a,M>b,M>^=,

>4a+b,BPM>2a+-^b,

因为M2七,所以”2J4j,

yjabM--r^~

7ab

因为2〃+；Z?N2/2〃x；Z?=,当且仅当2〃=；Z?时等号成立，

所以小J"，2而‘2,M2④,当且仅当”=4a,M=6,M=苏，即

y[ab^[ab

a=@,b=应时，等号成立，

4

故选：A.

【点睛】关键点睛：当。>6>0,c>d>0时，有ac>bd；^M>2a+\b^M>-^,两式

2lab

相乘，进而得出最小值.

10.（2024•新疆喀什三模）已知a=ln（sinl.O2）,b=^^,c=lnl.O2,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】c

【分析】由正弦函数、对数函数性质易得。<0<c,构造“x）=ln（l+x）--^,x>0,利

用导数判断单调性，再判断大小关系即可得C<b,即可得结果.

【详解】因为y=sinx在/母内单调递增，

贝!|0=51口0<51111.02<51111=1,BPsin1.02G（0,1）,

又因为y=lnx在（0,+e）内单调递增，

贝(|a=ln(sinl.02)<lnl=0,c=lnl.02>lnl=0,可得〃<c；

令x=0.02,贝!Jb=,C=ln(l+x),

构建〃》)=111(1+了)一7|=,*>。，

贝！If(x\___'2jl+x_(Jl+x-1)，„,

f⑴一kIT；--2(l+xg

可知“X)在(0,+8)上递减,则/(0.02)</(0)=0,即c</；

综上所述：a<c<b,

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据C-8构建〃x)=ln(l+x)-7芸,x>0,利

用导数判断其单调性，进而可得c〈人

11.(2024•安徽合肥•三模)已知函数“X)在R上可导，其导函数为广(x),若满足：

(x-l)[f,(x)-/(x)]>0,/(2-x)=/(x)e2-2\则下列判断正确的是()

A./(l)>e/(O)B.八2)>e2〃0)

C.〃3)>e3〃0)D./(4)<e4/(0)

【答案】C

【分析】根据题意令/(力=/学，利用导数及题干所给条件求得网尤)的单调性，利用函

数的对称性，可得尸⑴</(0)=/(2)<P(3)<R(4),对其进行比较即可判断各选项.

【详解】令尸(耳=迫，贝！I-(x)=*'(x)；e"(x)='⑴一>⑴,

函数fM满足(龙一1)[/'(X)-/(刈>0,

当x>l时尸(x)>0,尸(幻在[L")上单调递增，

当x<1时尸(x)<0,尸(x)在上单调递减，

eex

即函数F(x)的图象关于尤=1对称，从而F(l)<F(0)=F(2)</⑶<F(4),

对于A,F(1)<F(O),等〈要，/(l)<ef(O),A错误；

ee

对于B,F(0)=F(2),户=率，f(2)=e2/(0),B错误；

ee

对于c,F(3)>F(0),半>芈，/(3)>e3/(0),C正确；

ee

对于D,F(4)>F(0),坐>型，/(4)>e4/(0),D错误.

ee

故选：c

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造函数尸(司=与，利用导数法研究函数的

单调性，结合函数的对称性即可.

二、多选题

12.(2024.河北衡水三模)已知函数/(%)=丁-的2,x=2是函数,⑴的一个极值点，则

下列说法正确的是()

A.m=3B.函数/>(X)在区间(-1,2)上单调递减

C.过点(1,-2)能作两条不同直线与y=/(x)相切D.函数y=f"(x)]+2有5个零点

【答案】AD

【分析】求得了'(》)=3尤2-2,但，根据/(2)=0,可判定A正确；由/'(x)=3x(x-2),利

用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点(1,-2)且与函数y=/(x)

相切的切点为(毛,%),求得切线方程，列出方程求得.%的值，可判定C错误；令

f(x)=r,作出函数的图象，得到-1<乙<0</2</3,进而的函数零点的个数，可判定以D

正确.

【详解】对于A中，由函数/。)=尤3-0«2,可得尸(x)=3/-2wu,

因为x=2是函数〃尤)的一个极值点，可得尸(2)=3x22-27〃x2=。，

解得机=3,经检验适合题意，所以A正确；

对于B中，由/(X)=3x(x-2),令/'(x)=0,解得玉=0或々=2,

当xe(-oo,0)时，f\x)>0；当xe(0,2)时,f'(x)<0；当xe(2,+co)时,f'(x)>0,

故f(x)在区间(y，。)上递增，在区间。2)上递减，在区间(2,—)上递增，所以B错误；

对于C中，设过点(1,-2)且与函数y=/(%)相切的切点为(%0,%),

则该切线方程为〉=(伉)。一1)-2=(3君-6%)。一1)一2,

由于切点(%,%)满足直线方程，贝!I了(％)=(3x；-6%)(与一1)一2=年一34，

整理得2(%-1乂尤;-2%+1)=0,解得%=1,所以只能作一条切线，所以C错误;

对于D中，令/(x)=r,则/⑺=-2的根有三个，如图所示，-1<。<0</2</3，

所以方程Ax)=乙有3个不同根，方程/(x)=和Ax)=6均有1个根,

故>=/"(x)]+2有5个零点，所以D正确.

故选：AD.

13.(2024・重庆•三模)若函数〃x)=alnr-2f+bx既有极小值又有极大值，则()

A.ab<0B.a<0C.b2+16(?>0D.6]<4

【答案】ABC

【分析】根据题意，求得尸⑺jy+a,转化为W+6x+a=o在(o,+⑹上有两

个不同的实数根，根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.

【详解】由函数/("=4垢_2犬+尻，可得-3，_以+=4厂+-+〃,

XX

因为/(%)=加+bx既有极小值又有极大值，

可得方程T%2+〃%+[=0在(0,+8)上有两个不同的实数根,

A=/+16〃>0

b2+16a>0

b

则满足Z>0可得<“0,所以必v0,a<0,Z?2+164Z>0,

a<0

例如：。=-1/=5时，满足上式，此时4<4不成立.

故选：ABC.

14.（2024・山西太原•三模）已知A是函数/⑺=/+3+4根①）的极值点，若

/（%）=/（%）（%79），则下列结论正确的是（）

A.“X）的对称中心为（0,〃）B./（—%）＞/（%）

C.2%+工2=0D.项+/＞0

【答案】AC

【分析】利用〃。+力+/（。-力=2〃，可判断A；令尸⑺=0,解得x,代入

/（-占）-/&）可判断B；利用导数判断出y=/（x）的单调性并求出极值点，结合图像分情

况由/（尤2）=/（工）（不中々）解出巧，可得2%+%=0可判断C；利用C选项，若

士=1,尤2=士衿，得出％+%＜。可判断D.

【详解】对于A,因为/（。+%）+〃。-x）=d+如+〃一J一5十“=2〃，

所以/（%）的对称中心为（0,小，故A正确；

对于B,/'（"=3/+冽，令/（司=0,解得x=±m，

/（一玉）—/（%）=一d+〃一年一叫-n

/（一番）一/（%）=一^一帆+〃一《一mx,-n

故B错误;

对于C,令7•'(x)=0,解得x=±，?，

当x>竹或x<-疗时，y=〃x)是单调递增函数，

当一营〈尤时',=/(无)是单调递减函数'

所以y=〃x)在尤=-疗时有极大值，在彳=柠时有极小值，

如下图，当尤l一次时，若/(%)=/&)(国片々)，贝!I

X-mx

/(l)/(%)=牙+\+〃一只_rnx2_〃=(X]—%2乂,+玉%2+%；+根)=。，

可得片+玉%+考+%=0,即子一样飞+君+机=0,解得马=等",

所以2再+/=°;

X—1WCXX

/(l)/(%)=^+\+〃一£—mX2—〃=(X]—/乂才+\2+%；+根)=0,

可得玉2+考+机=。，即毛++X；+m=0，解得々二_2《3',

所以2再+/=°；

综上所述，2%+马=0,故C正确;

对于D,由C选项可知，若玉=小子_2yJ-3772

3

所以西+尤2=后-言近=-阡值＜0,故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数研究函数的单调性和极值点.

15.(2024•河北•三模)已知函数〃尤)及其导函数尸(力的定义域均为R,记

g(x)=_f(x),若〃3+2x)为偶函数，g(l+x)为奇函数,则下列结论正确的是()

A.g(x)的图象关于直线x=l对称.B.g(x)的图象关于点(3,0)对称.

2