北京市房山区2024-2025学年高二年级上册期中考试 数学试题（含解析）

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研(一)

局一数学

本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在

试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共50分)

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.在平面直角坐标系宜打中，设点'(T4),则线段.的中点坐标为()

A.(1,1)B.(-2,3)C.(2,2)D.(2,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可.

【详解】由题可知中点的坐标为

故选：A

2.在空间直角坐标系。-az中，点P(l,2,1)关于坐标平面xOz的对称点为()

A.(-1,2,1)B.(1,2,-1)C.(1,-2,1)D.(-1,2,-1)

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴、坐标平面对称点的特征求解即得.

【详解】依题意，点「(1,2,1)关于坐标平面xOz的对称点为

故选：C

3.已知向量Z=(1,0,2),S=(x,l,l),如果£_LB，则x的值为()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案.

【详解】由题意知向量2=(1,0,2),S=(x,l,l),ZJJ,

则a.6=0，故1xx+0x1+2x1=0,.,.x=—2,

故选：B

4.直线x++2=0的倾斜角是（）

A.30°B,60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角.

【详解】x+V3_y+2=0=,

设其倾斜角为戊，则tana=-y±，又0°Ka<180°，

3

®a=150°，即倾斜角为150°，

故选：D

5.已知直线x+ay—2=0与直线4：2ax+（a+l）>+2=0平行，则。的值为（）

1191

A.1B.----C.----或1D.一

222

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算即得.

【详解】由直线4：x+a_y-2=0与直线，2：2ax+（a+l）_y+2=0平行，

得生=小。2,解得。=1,

1a-2

所以。的值为1.

故选：A

6.如图，在平行六面体48CD—4片。。1中，益二，AD=b^五彳=），/。与相交于点。.则而=

ILL

A.a+b+cB-a+b-c

]-1r一

C—aH—b+cD.—a+—b-c

.2222

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的几何体，利用空间向量基本定理及空间向量线性运算求解即得.

【详解】在平行六面体48CD-481G3中，NC与8。相交于点。，则。为AD的中点,

A^O=AO-A^=^(AB+AD)-A^=-^b-c.

故选：D

7.已知直线/的方向向量为何，平面a的法向量为贝『'记i=0"是"///a”的（）

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D,必要不充分条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.

【详解】若三i=0,贝1J///a或/ua,故充分性不成立,

若///<2,则7""=0,故必要性成立,

所以“蓝.n=0"是“///tz”的必要不充分条件，

故选：D.

8.已知圆C：（x—3『+（y—4）2=1和两点/（一加,0）,（加>0）,若圆。上存在点尸，使得

ZAPB=90°,则m的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由直角三角形性质得|。P|=3^同=加，要求加的最小值即求圆。上点2到原点。的最小距离,

从而得解.

【详解】显然|45|=2加，因为/4P5=90°，所以|。尸|=；|48|=加，

所以要求m的最小值即求圆C上点P到原点0的最小距离，

因为=所以10Hmm=|0C|—r=5—1=4,即/"的最小值为4.

9.已知直线/：ax+by=1,圆。1：x2+y2=1,圆Q：(x-a)2+(y-b)2=1,a,6eR.则下列说法

错误的是()

A,若圆心Q在圆01内，则圆心。1在圆。2内

B.若圆心a在圆a内，则直线/与圆a相离

c.若直线/与圆。相切，则直线/与圆&相切

D,若直线/与圆a相切，则圆心Q在直线/上

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出圆心的半径，结合点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系逐I判断即可.

【详解】圆。1：必+「=1的圆心。］(0,0),半径外=1,圆Q：(x-a)?+(y—b)2=1的圆心。2(。力)，

半径4=1,

22

对于A,圆心Q在圆0］内，则0<。2+〃<1，|0x021=V«+b<1>圆心。i在圆Q内，A正确;

1

对于B,圆心0在圆°i内，则0</+b2<i，点0到直线/的距离［=>1,直线/与圆&相

yla2+b2

禺，B正确;

1,I。一+6TI_c

对于CD,直线/与圆&相切，则j.+7="点0到直线/的距离

耳+7—'

圆心打在直线/上，直线/与圆。2相交，C错误，D正确.

故选：C

10.在正方体45co—Z/CQi中，CM=xCD+yCCx,其中xe[0,l],ye[0,1].给出下列三个结论:

①所有满足条件的点M构成的图形为正方形（含内部）；

7T

②当x=l时，CM与4。所成角的最小值为一；

3

③当了=；时，存在点使得用c，G〃.

则所有正确结论的序号为（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】对于①，由平面向量基本定理可得解；建立空间直角坐标系，对于②先判断M在线段。A上，可

设四（0,0,加）,（加用加表示向量夹角余弦值，结合不等式的性质判断即可；对于③，当时，

可得加求得麻的值，即可判断不可能垂直.

【详解】如图所示：

对于①，因为。1/=xCZ)+yCG，xe[0,l],je[0,l],

由平面向量基本定理可得点尸在正方形。CGA内，故①正确;

对于②，当x=l时，CM=CD+yCCl,即由—而=y西，DM=yCCx,

所以加在线段上,

如图以。4。。,。3分别为工，以2轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则。(0,0,0),4(1,0,1),。(0/,0),设屈(0,0,加),(加6[0』]),

则n4；=(l,0,l),CA7=(0,-l,m),

函.函

所以卜os(西,由)=ImV21

HRA/2xV1+w221+m2

因为加£[0,1],则卜osZ>4，CA/|£0,g

所以当加=1时，即点M与A重合时，

JT

CN与4。所成角的最小值为一，故②正确；

3

对于③，由于用(1,1,1),G(0,1,1),

则配=(—1,0,—1),而(0,1,0),西=(0,0,1),

当y=1•时，O/=xCD+1cC；=x(0,-l,0)+1(0,0,l)=(0,-x,^-

0,一,一；

使得③错误.

故选：A

【点睛】方法点睛：利用空间向量法解决不定点问题.

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.己知点2(—2/)，5(1,-5),则直线的斜率.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式计算即得.

【详解】由点2（—2/），5（1,-5）,得直线的斜率左相=三二=一2.

1一（一2）

故答案为：-2

12.在空间直角坐标系。—中z中，己知点/（0,2,1）,5（0,0,1）,C（l,2,0）,则忸4=_____；点/到直

线BC的距离为.

【答案】①.V6②.宜I##2G

33

【解析】

【分析】求出向量就，瓦1的坐标，再利用向量模的坐标表示及空间点到直线的距离公式计算得解.

【详解】由点8（0,0,1）,C（l,2,0）,得瑟=（1,2,—1），所以|直|=m+22+（_1）2=〃；

由/（0,2,1）,得方=（0,2,0）,所以点/到直线3c的距离为

故答案为：娓;2回

3

13.已知点4（0,0）,5（0,2）,C（3,-l）,。（4,2）在同一个圆上，则这个圆的方程为.

【答案】x23*10+y2-4x-2y=0

【解析】

【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案.

【详解】设圆的方程为xZ+V+Dx+4+pnO,OZ+E?—/〉。），

F=0

将点2（0,0）,5（0,2）,C（3,—1）代入得4+2E+/=0,

10+3D-E+F=0

D=-4

解得<E=-2,满足D2+E2-4F>0>则必+/-4x-2y=0,

F=0

将。（4,2）代入%2+/-4x-2j=0也适合,

故所求圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,

故答案为：x2+y2-4x-2y=0

14.过点(1,1)且与原点的距离最大的直线I的方程为.

【答案】x+y-2=0

【解析】

【分析】设点(1/)为4确定所求直线为过点且与直线ON垂直的直线，求出斜率，即可得答案.

【详解】设点(1』)为4

则过点(1,1)且与原点的距离最大的直线/为过点(1』)且与直线垂直的直线，

而OA斜率为1,故所求直线斜率为-1,

则所求直线方程为J—1=—(x—1),即x+y—2=0,

故答案为：x+y-2=0

15.已知正方体4BCD-m=4彳，为钝角，则实数丸的一个可能的取值为.

【答案】-(答案不唯一，-<2<1)

23

【解析】

【分析】设瓦0=x,CxM=t,正方体的棱长为1,在△卸⑷中，利用余弦定理求出Y<1，在“。眼

中，再利用余弦定理即可求解.

【详解】设@M=x,CxM=t,正方体的棱长为1,则HD=及，

在△370。中，BM=DM，由余弦定理得cos/8M)=----------=--

2x2x2

由/⑻为钝角，得J2-1<0,贝！显然M与4G都不重合，即0<2<1，

x

在ABGM中，8G=0,COSNBC[M=g，由余弦定理得=2+〃—2-JLdg，

于是2+/—2-JL八逅<1，即3/—4G/+3<0，解得由</〈百，

33

而c/=G,则:<x<i,所以实数2的取值范围是;<2<1,取彳=；.

故答案为：一

2

16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、

思维方法等之中.已知一条曲线C的方程为(|x|-l)2+(|j|-l)2=8,给出下面四个结论：

①曲线C上两点间距离的最大值为6也；

②若点P(a,—。)在曲线C内部(不含边界)，则—3<。<3；

③若曲线C与直线>=x+冽有公共点，则—6〈加《6；

④若曲线C与圆必+/=/(井〉0)有公共点，则4WrW3jL

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】作出。的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值判断①；根据直线^=一》与C的交点坐标进

行判断②；根据直线>=x+冽与。相切时m的取值进行判断③；分析临界情况：x2+/=r2(r>0)经过

。与坐标轴的交点、/+/=/化〉0)与。在四个象限相切，由此求解出「的范围判断④.

【详解】当X20/20时，C:(x—ly+O—1)2=8,圆心G(l,l)；

当x20,y<0时，C:(x-l)2+(j+l)2=8,圆心。2(1，-1)；

当x<0,y20时，C:(x+l)2+(v-l)2=8,圆心G(—1,1)；

当x<0,y<0时，C:(X+1)2+(J+1)2=8,圆心Q(T，T)；

当x=0时，j=±(V7+l)；当>=0时，x=±(V7+l)

作出C在平面直角坐标系下的图象如下:

•Q

X

•c2

对于①，C上任意两点距离的最大值为CcJ+2r=万/+2x20=60，①正确;

|（I4-I）2（W-I）2=8解得］x=-3X=3

对于②，点P(a,—a)在直线V=-x上，由+；、或“

J=—xb=3

而点P(a,—a)在曲线。内部(不含边界)，则有—3＜a＜3,②正确;

对于③，当直线＞=x+加与。相切时，如图,

若〉=丫+加与C在第二象限相切时，则G到y=x+7〃的距离等于圆的半径,

|-1-1+w|

则二2收，而加〉0,解得m=6，

V2

若y=x+加与C在第四象限相切时，则。2到了=》+加的距离等于圆的半径,

『一（T）+M

则=2V2,而加＜0,解得加=一6,

V2

结合图象知，曲线C与直线＞=x+"z有公共点时有一6«加(6,③正确;

对于④，如图,

曲线C与坐标轴的交点坐标为(±(J7+1),0),(0,±(J7+1))，

因此当x2+v2=r2(r>0)刚好经过曲线C与坐标轴的交点时，此时入J7+1,

当/+72=/&〉())刚好与。在四个象限内部分都相切时，r=|OQ|+r=372,

因此曲线C与圆/+/二/化〉。)有公共点时jy+ivr43遮，④错误.

故答案为：①②③

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用，难度较大.数形结合是处理本题的

高效方法，通过在图象上对临界位置的分析，得到直线与C相切以及圆与C相切时参数的取值.

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.已知A/BC的三个顶点4(—3,9),5(2,2),C(5,3).

(1)求过点A且与直线5C平行的直线4的方程；

(2)求边的高线所在直线4的方程.

【答案】(1)x-3j+30=0

(2)3x+y=0

【解析】

【分析】(1)求得直线8C的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；

(2)由两直线垂直关系可得所求直线的斜率，代入点斜式方程可得结果.

【小问1详解】

由5(2,2),。。⑼可知噎二三^^，

故所求直线4的方程为y-9=；(x+3),

即x-3y+30=0.

【小问2详解】

易知噎=1,

则所求直线的斜率为-3,

故所求直线/2的方程为歹—9=-3(x+3),

即3x+y=0.

18.已知圆C与x轴相切于点(1,0),并且圆心在直线2x-y=0上.

(1)求圆C的标准方程;

(2)若圆C与直线/：X-了+加=0交于a2两点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一

个作为已知，求比的值.

条件①：圆。被直线/分成两段圆弧，其弧长比为2:1；

条件②：［48|=2五；

条件③：ZACB=90°.

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)(X-1)2+(J-2)2=4

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)由题意求出圆心和半径，即得答案；

(2)根据所选条件，均可以求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出机的值即可.

【小问1详解】

由题意知圆C的圆心在直线=0上，与x轴相切于点(1,0),

故设圆心为则q=l,则圆心为(1,2),半径为2,

故圆C的标准方程为(x—+(y—2)2=4

【小问2详解】

若选条件①：圆C被直线/分成两段圆弧，其弧长比为2:1；

则NZC3=120°，而|C4|=|CB|=2,故圆心C到直线/的距离为2XCOS60°=1，

|l-2+m|

所以d==i,解得m=42+1或加=-A/2+1；

Vi+T

若选条件②：|46|=2后；

W|G4|=|CS|=2,故圆心C到直线/的距离为，22—(&『=也,

|l-2+m|

所以d=—V2,解得加=3或加=—1

VT+T

若选条件③：ZACB=90°,

而|C4|=|CS|=2,△ZC3是等腰直角三角形，|48|=2近,

|l-2+m|=

故圆心C到直线/的距离为0,所以d=J5,解得加=3或加=—1.

Vi+i

19.如图，棱长为1的正方体A8CD-4BCQ1中，尸是线段上的动点.

(1)当点尸为8G的中点时，求证：2尸//平面4。5；

(2)求点4到平面CQB的距离;

(3)是否存在点尸，使得平面GO5?若存在，求同P的长度；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵坦

3

(3)不存在

【解析】

【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明线面平行即可；

(2)求出平面的法向量，利用空间向量的距离公式计算即可；

(3)根据线面垂直的空间向量证法即可.

【小问1详解】

以。为坐标原点，DA,DC,DDi的方向分别为x，F，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

〃(o,o,i),毛心］,4(1,01)，HU,0)，

则不西=(1,0,1),丽=(1』,0),

------------*f

DA.Wi-0xz——0

设平面的法向量为访=O,y,z）,贝乂,，即《八，

DB-m=O〔x+.y=O

uuuririi

令x=l,则歹二-1/二一1,则玩=（1,一1,一1）,则〃尸•加二万一1+万=0,

UUULLL

则〃尸，加，且直线DXP不在平面AXDB内，故DP//平面AXDB.

【小问2详解】

由（2）知G（0』』），/=（0,1/），丽=。』,0）,

-n=Qy+z=0

设平面CQB的法向量元=（a,瓦C）,,则，即《

n=0x+y=0'

令y=l,则x=—l,z=—l,贝！］万=（一1』,一1）,而£>4=（1，。』），

DAcn

则点4到平面CQB的距离d=

厂一耳一亍

综上，点4到平面QDB的距离为2回.

3

【小问3详解】

假设存在这样的点尸，则设P（x,l,l—x）,其中0<x<l,4（1,01），则乖=（x—1」,—x）,

ULlllIy_11—x

若4月，平面GQB，则40//〃，则——=-=——，无实数解，

故不存在这样的点P使得4P±平面CQB.

20.如图，在三棱柱48C-4Aq中，侧面ZCG4是边长为3的正方形，侧面/8用4为矩形，AB=4,

BC=5,M,D分别为44,BC的中点，且CC]=3CN.

（1）求证：44］，平面48C；

（2）求平面48c与平面408］夹角的余弦值；

（3）判断直线与平面的位置关系，并说明理由.

【答案】（1）证明见解析

⑵幽

41

（3）相交（不垂直），理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面2。片以及平面/3C的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答

案；

（3）利用向量法可判断直线龙W与平面2。四的位置关系.

【小问1详解】

由题意知在三棱柱48C-4AG中，侧面ZCG4是边长为3的正方形，侧面48片4为矩形，

故Z4±AC,AAX±AB,而ZCcA5=aZC,N8u平面/BC,

故幺4，平面/BC；

【小问2详解】

由于ZC=3,Z8=4,BC=5,故802=282+4。2,即1

则两两垂直，以/为坐标原点，ZC,25,441所在直线为x/,z轴建立空间直角坐标系,

则8（0,4,0），4（0,0,3）,男（0,4,3）6（3,0,3）4（3,0,0）,0弓,2,01

则诙=1|,2,0）函=（0,4,3）,

m-AD-0

设平面ADBX的法向量为访=（%,y,z）,则｛___.，

m-AB、=0

-3

—x+2y—0/、

即｛2,令x=4,则成=（4,—3,4）,

4y+3z=0

平面ABC的法向量可取n=（0,0,1）,

n,/_八m-n44A/41

贝!Jcos（m,n）=,,,,=,——==-------，

同同A/16+9+1641

故平面ABC与平面ADB1夹角的余弦值为生史；

41