北京市某中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）

2024北京二十中初二（上）期中

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共loo分，考试用时loo分

钟.考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回.祝各位考生考试顺利！

第I卷

一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共16分，每小题2分）

1.汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产

生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征.下面的小

篆体字是轴对称图形的是（）

成第也胭

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要查了轴对称图形.根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，

这个图形成为轴对称图形”，即可求解.

【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B.是轴对称图形，故本选项符合题意；

C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选B.

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.2,3,6B.4,4,8C.4,7,11D.5,8,12

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能

够组成三角形.根据三角形的三边关系进行分析判断.

【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A、2+3=5<6,不能组成三角形；

B、4+4=8,不能组成三角形；

c、4+7=11,不能组成三角形；

D、5+8=13>12,能够组成三角形.

故选：D.

3.下列计算正确的是（）

3

C（-4广=4疗D./，'=0

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查的是同底数幕的乘除法则及幕的乘方与积的乘方法则，根据同底数幕的乘除法则及暴的

乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A、〃P=加'，原计算错误，不符合题意；

B、（叫=/，原计算错误，不符合题意；

C、T加）=4吟正确，符合题意；

D、，/♦加'=1,原计算错误，不符合题意.

故选：C.

4.已知图中的两个三角形全等，则一1等于（）

A.50°B,58°c.60。D,72°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出N1=NE,

乙4=ND=50°,ZF=ZC=72°,进而根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：如图所示，

和人力RF全等,AC=DF=b,DE=AB=a,

Z1=Z5,4=NO=50。，ZF=ZC=72°,

Zl=180°-ZD-ZF=58°,

故选：B.

5.如果一个正多边形的内角和等于720。，那么该正多边形的一个外角等于（）

A.45°B,60°c,72°D,90°

【答案】B

【解析】

【分析】根据内角和求出边数，再根据外角和为360°,进行计算即可.

【详解】解：设正多边形的边数为〃，

由题意，得（1冈80。=720。,

解得："=6,

正多边形的一个外角=360°+6=60°,

故选：B.

【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和.熟练掌握正多边形内角和的计算方法和外角和为360。是

解题的关键.

6.若=则a的值为（）

A.±6B.±3C.6D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是平方根的含义，平方差公式的应用，本题先把方程化为=36,再利用平方根的

含义解方程即可.

【详解】解：•.•（"l）（aT）=35,

.-.a2-1=35,即a?=36,

:.a=±6；

故选A

7.如图，在AH8C中，AB=AC,NC=70°,。为3c边中点，则NC4D等于（）

A.15-B,20°c,25°D,30°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质可得也）180,再

根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握等腰三角形三线合一是解此题的关键.

【详解】解：；函=月。，。为3c边的中点，

:.AD1BC,

ZADC=90°,

NC+HD=90。，

vZC=70°,

=90°-70°=20°,

故选：B.

8.如图，BN为/M8C的平分线，尸为上一点，且尸。_LBC于点。，ZAPC+ZABC=180°,给出下

列结论：①/MAP=NBCP；②PA=PC；@AB+BC^2.BD；④四边形BAPC的面积是△尸2。面积的2

倍，其中结论正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【解析】

【分析】过点尸作垂足为点K.证明RtZXBPK之RtZYBPD,4PAK沿APCD,利用全等三角形

的性质即可解决问题.

【详解】解：过点尸作PKLAB,垂足为点K.

•••PK1A8,PDLBC,ZABP=^CBP,

；.PK=PD,

在R3BPK和Rt^BPD中,

'BP=BP

'PK=PD

L，

.-.Rt^BPK=RtABPD(HL),

；.BK=BD,

•■•ZAPC+ZABC=180°,且ZABC+NKPD=18O°,

:/KPD=AAPC,

:&PK=<PD,故①正确，

在APAK和APCJD中，

'乙AKP="DC

<PK=PD

ZAPK=ACPD

■.APAK=APCD(ASA),

■■.AK=CD,PA=PC,故②正确，

：.BK-AB=BC-BD,

：.BD-AB=BC-BD,

：.AB+BC^1BD,故③正确，

:RtABPK三RtABPD,APAK=APCD(ASA),

:・SABPK=SABPD,SAAPK=SXPDC,

■­■S四边形ABCP=S四边形KBOP=2SAPBD.故④正确.

故选A.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题(共16分)

9.因式分解：X〕'-4.1，=.

【答案】y(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】先提取公因式》再利用平方差公式分解因式即可

【详解】解：xiy-4j=y(X2-4)-y(x-2)(x+2).

故答案为：y(x-2)(x+2).

【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键.

10.如果广-10t+57J是一个完全平方式，那么m的值是.

【答案】25

【解析】

【分析】利用完全平方式的结构特征，即可求出式的值.

【详解】解：..•％2-10犬+〃7是一个完全平方式，

(小

m=-=25.

故答案为：25.

【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键.

11.小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为l'cm和20cm,则这根铁丝

的长为cm.

【答案】50或55

【解析】

【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或20cm,分别求得

三角形的周长，即为铁丝的长.

【详解】•••等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm,

・••当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15+20=50(cm),此时15+15>20,符合三角形的三边关

系；

当第三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20+20=55(cm),此时15+20>20,符合三角形的三边关

系；

故答案为:50或55.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题

的关键.

12.如图，在-工3C中，AB=4,AC=6,/四。和的平分线交于o点，过点。作的

平行线交4H于M点，交于N点，贝的周长为.

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将

周长转换为斯+/0是解本题的关键.利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到

MB=MO,NC=NO,将三角形周长转化为求出即可.

【详解】解：:B。为的平分线，°。为/月。3的平分线，

AABO=ZCBO,LACO=4C。，

乙MOB=LOBC,ZNOC=^BCO,

:ZABO=AMOB,/LNOC=ZACO,

MB=M0,NC=NO,

,MN=MO+NO=MB+NC,

,：AB=A,AC=6,

周长为41/+MV+4V=HM+MB+4V+M?=3+HC=10,

故答案为：io

13.如图，在一月3c中，。是3C上一点，AC=AD=DB,Z.BAC=105°,则N3=

【解析】

【分析】设NAOC=a,然后根据AC=A£)=。"ZBAC=105°,表示出N8和/8AO的度数，最后根

据三角形的内角和定理求出NAOC的度数，进而求得的度数即可.

【详解】解：*：AC=AD=DBf

；・/B=/BAD,ZADC=ZC,

设NADC=a,

a

：.ZB=ZBAD=-,

VZBAC=105°,

a

：.ZDAC=105°-一,

在△A0C中，

VZADC+ZC+ZDAC=180°,

a

.,.2a+105°-?=180°,

解得：a=50°,

a

：.ZB=ZBAD=-=25°,

故答案为：25.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟

练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

14.如图，在P.tZXHSC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,4D是2a40的平分

线.若尸，。分别是加和力。上的动点，则P°+产。的最小值是.

【答案】2.4

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转

化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在圈上取

一点0,使22'=工。，连接尸2'，CQ，2。'，交4?于E,过点c作。于点H,根据等

腰

三角形的性质可证4。是QQ'的垂直平分线，可得尸°=尸°',根据两点之间线段最短可知，PC+PQ

的最小值即为C0的最小值，再根据垂线段最短求解即可.

【详解】解：在国上取一点Q',使月Q'="Q,连接Pae,©。'，QQ'交心于石，过点c作

CH工AB于点H,

c

AELQQ',QE~Q'E

no是Q。'的垂直平分线，

：.PQ=PO',

PC+PQ=PC+PQ\

当c,P,Q'三点共线，且CQ」超时，PC+P0的值最小，即为CH的值，

；s3ACABCH

—1，

L3x4=L5CH

一—，

CH-2A,

PC+W的最小值是）4,

故答案为：2.4.

15.某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题.小明在参观时认真思索，输入密码

后成功地连接到网络.他输入的密码是—

账号：shuxueleyuan

售[?y=3]=1523

[门口二fj]=531

卜）”+二卜

密码

【答案】2024

【解析】

【分析】本题主要考查单项式除以单项式,熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；由题意可先进行单

项式除以单项式的运算，然后问题可求解.

/..5?304.山302_4

【详解】解：卜），•丁J--AJ一•■J-J-

.•.他输入的密码是2024；

故答案为：2024.

16.我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了（a+协

2,3,4,5,6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个

数1,2,1,恰好对应（a+“『=『+展开式中各项的系数；第五行的五个数i,4,6,4,1,

恰好对应着（°+与4=/+4a%+6aW+4昉+64展开式中各项的系数.

（1）3+3）5展开式中a”的系数为；

（2）（。+为7展开式中各项系数的和为.

【答案】①.5②.二'

【解析】

【分析】此题考查了整式的运算和规律探索，弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键，根据“杨辉

三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可.

【详解】解：（1）根据题意中例子所示，（a+“）展开式中的系数应与第6行的2个数对应，即为

5,

故答案为：5；

（2）当％=1、？、3、4时，

（a+b『展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、...，

由此可知（a+b）展开式的各项系数之和为2”，

（a+与展开式的各项系数之和为北

故答案为：27.

三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7

分）

17.计算：a3a+a6^a\

【答案】2a4

【解析】

【分析】本题考查的是同底数幕的乘法，同底数塞的除法运算，合并同类项，本题先计算同底数幕的乘法

与除法运算，再合并同类项即可.

3.62

【详解】解：aa+a

=a4+a4

=».

18计算：x(x+4.v)f•知

【答案】？一工'

【解析】

【分析】根据整式的混合运算法则即可求解.

【详解】解「("廿―

=『+49-6.n,

=x3-2xi\

【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是

解题的关键.

19.因式分解：、〕，一4v3.

［答案］邛'(x+2j')(x_2y)

【解析】

【分析】此题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键，此题先提公因式，再利用平方差公式分

解因式.

【详解】心'一4甲，3

=邛，，-4.，)

=矶Y+2y)(x-2y)

20.已知-为_］=0,求代数式仁0+1"%-1+J的值.

【答案】29

【解析】

【分析】将=0运用配方法变形为俗一厅二2,再运用平方差公式，完全平方公式将

(2a+l)(2a-l)+(a-5)展开，合并同类项,变形为5。-炉+19,

由此即可求解.

【详解】解：运用配方法变形，-勿-1=0,

,\a2-2a+1-1-1=0,gpa3-2a+l=2,即(。-1尸=2,

..(%+1)(%-1)+(0-5)'=4/一1+，一10。+25=5/-100+乂

•，

.(2a+l)(2a-l)+("5)'=5/-10a+24=5(叱iy+19

.(2a+l)(2a-l)+(a-5r=5(a-l)3+19=5x2+19=29

A(2a+l)(2a-l)+(a-5)的值为29.

【点睛】本题主要考查平方差公式，完全平方公式在整式加减法中应用，掌握整式的加减法法则是解题的

关键.

21.已知：如图，点A、E、F、「在同一条直线上，Z5=ZD,DF=BE,加11'°.

(1)求证：AAD尸\.CBE.

(2)若.=3,求CF的长.

【答案】(1)见解析(2)3

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的证明及性质是解题的关键.

(1)平行线的性质得出乙4=NC,即可根据44s证明结论；

(2)根据全等三角形的性质和等式性质证得愈=C斤，即可求出答案.

【小问1详解】

证明：-：ADBC,

.-.//=zc,

且NB=ND,DF=BE,

.-.^ADF^CBE(AAS);

【小问2详解】

・；3ADF必CBE(已证),

：.AF=CE,

：.AF-EF=CE-EF,

即花=CE,

AE=3,

22.如图,在平面直角坐标系xOy中，4一1，»,3(一1，°),C(T3).

VA

夕5

4一

3一

L2一

-

"1

-

H—I•I

2345A

^X

（1）在图中作出△C关于y轴的对称图形'4；

（2）如果要使以点A、B、D（不与点c重合）为顶点的三角形与&43C全等，直接写出所有符合条件

的点D的坐标.

【答案】（1）见解析（2）点。坐标为（Y：）、（:3）、O

【解析】

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；

（2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点。的坐标.

【小问1详解】

解：一4片。1如图所示

【小问2详解】

点D坐标为（7-＞、

如图，满足条件的点。有三个,

【点睛】本题考查了作图一轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判

定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键.

23.数学课上，王老师布置如下任务：

如图，已知45°,点8是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C,使

下面是小路设计的尺规作图过程.

作法：①作线段A2的垂直平分线/,直线/交射线AN于点£＞；

②以点B为圆心，2。长为半径作弧，交射线AN于另一点C,则点C即为所求.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：连接2。，BC,

V直线I为线段AB的垂直平分线，

：.DA^,（）（填推理的依据）

，ZA=ZABD,

：./BDC=ZA+ZABD^2ZA.

；BC=BD,

:.NACB=N______,（）（填推理的依据）

ZACB=2ZA.

【答案】（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC-,等边对等角.

【解析】

【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可.

（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可.

【详解】解：（1）根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；

（2）解：证明：连接8。，BC,

:直线/为线段的垂直平分线，

：.DA=DB,（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）（填推理的依据）

，ZA=ZABD,

：.ZBDC=ZA+ZABD^2ZA.

;BC=BD,

/ACB=/BDC,（等边对等角）（填推理的依据）

ZACB^2ZA.

【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等

边对等角的性质，是解决该题的关键.

24.已知：在RtZUBC中，乙4C3=90°,乙4=30°,边的垂直平分线分别交40于点n交AB于

点E.

（1）求证：DE=DC；

（2）连接EC,若知=6,求AEBC的周长.

【答案】（1）见解析（2）9

【解析】

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出43c=60°,根据线段垂直平分线的性质得到也）=£）8,

求出乙4=乙450=30°,再根据角平分线的性质得到DE=DC.

（2）判定AEBC是等边三角形，即可求出周长.

【小问1详解】

证明：•在中，乙4cB=90°,乙4=30°,

•­•ZABC=60°9

•.•DE是48边的垂直平分线，

:.AD=DB,

.­.ZZ=ZABD=30°,

.•.ZC5D=60°-30°=30°

BD平分/ABC,

DEIAB,AC±BC,

,；*,DE=DC.，

【小问2详解】

解：..,在Rt3ABC中，乙4C8=90°,乙4=30°,AB=6,

•••£应是43边的垂直平分线,

BE=^-AB=3

2,

:.BC=BE,

•.•ZASC=60°,

AEEC是等边三角形，

.•.△ESC的周长为9.

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的

内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键.

25.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长

为6的正方形，C种纸片是长为。、宽为6的长方形，并用A种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张

拼成如图2的大正方形.

（2）若要拼出一个面积为（8+瓦”力+»）的矩形，则需要A号卡片6张，8号卡片.张，C号

卡片张;

（3）正方形/1ECD,加心如图3摆放，边长分别为X,若=BE=2,求图中两个阴

影三角形面积和.

［答案］(1)(a+b)+2ab+b2

(2)2,7(3)8

【解析】

【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图

形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键.

（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解；

（2）先计算（"+»）（%+泌），再根据面积不变结合乘法的结果可得答案；

（3）根据图形得到、-了=。6=8£=2,,利用完全平方公式分别求得、丁和'即可求解.

【小问1详解】

解：由图2知，大正方形的面积为（°+切，又可以为a）+：;ab+/,

.(a+3)'=a，+2ab+b2

【小问2详解】

..12a+»)(%+2。)

=6片+4ab+3m+2b2

=6/+7ab+2b2,

要拼出一个面积为(2a+b"“+B)的矩形，则需要A号卡片6张，B号卡片2张，C号卡片7张；

【小问3详解】

由题知：v-r=DG=B£=2)/+丁'=34,

则卜一@=4=?+/-%，，则加=30,

:

...(X+=r+y+=34+30=64；

=8(负值舍去)，

—x2v+—x(x-v)=v+—xx2=V+T=8

图中阴影部分面积为：2”2'''2'.

26.利用整式的乘法运算法则推导得出：(ax+5)(cx+d)=ac'+m"+A)"+b”.我们知道因式分解

是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得+(ad+bc)x+〃=(ax+bMcx+d).通过观

察可

把广+"1看作以X为未知数，八b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次

三项式的二项式系数ac与常数项6d分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为

“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1,这种分解的方法称为十字相乘法.例如，将二次三项式

+1h+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2,则

2.X2+11.X+12=(X+4)(2J+3)

axd-H：xb=bc1x3+2x4=l1

图I图2

根据阅读材料解决下列问题：

(1)用十字相乘法分解因式：/+6i-27；

(2)用十字相乘法分解因式：6A3-7.V-3.

⑶结合本题知识，分解因式：2°&+丁)+7(x+j，)-6.

【答案】⑴(X-3"+9)

⑵(2x-3it3x+11

⑶(4x+4r+3l|5x+5r-2)

【解析】

【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用.

(1)利用十字相乘法进行求解即可;

(2)利用十字相乘法进行求解即可;

(3)先分组，再利用十字相乘法进行求解即可.

【小问1详解】

解：.X3+6.T-27

=(.X-3)(J+9)

■,，

X

lx9+lx(—3)=6.

【小问2详解】

解：6x3-7x-3

X

2xl+3x(—3)=-7.

【小问3详解】

20(x+y)3+7(x+y)-6

=[4(.r+y)+3][5(x+y)-2]

=(4：xx+4y+3)(5x+5v-2)

4*(-2)+5*3=7

27.如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP,NACP=&(0°<^<60°),点A关于射线CP的对称点为

点D,BD交CP于点E,连接AD,AE.

(1)依题意补全图形;

(2)求NDBC的大小(用含”的代数式表示)；

(3)直接写出NAEB的度数;

(4)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析；(2)a；(3)60°；(4)30=2月E+CE；证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据对称性即可补全图形；

(2)连接CD,根据对称性得到乙4CE=NZ)CE=a,从而得到乙SCD=600+2a,再根据

8。=2。=0。即可求解；

(3)根据对称性可得/a4c=AEDC==/DBC,再根据角度的八字模型即可得到NAEB=/RCB,

故可求解；

(4)在破上截取后尸=瓦4,连接AR得到AAEF是等边三角形，根据AABC是等边三角形得到，

Z5AF=ZCAE,进而证明"4%△CAE,得到BP=CE,再根据对称性得到AE=DE,故可得到

BD=BF+FE+ED=CE^2AE.

•.•线段AC和QC关于射线CP的对称，

.-.AC^DC,ZACE=£DCE=a.

KABC是等边三角形，

...AC=BC,ZACB=60°,

.-.BC=DC,4CZ)=60。+2a.

乙DBC=ABDC=^[180°-(60°+2a)]=60°-a

(3)根据对称性可得/及4c=AEDC=60°-a=NDBC

■：AEAC+ZAEB=ADBC+ZACB

，NAEB=/RCE=60。

(4)结论：BD=2AE+CE.

在班上截取EF=£4,连接AE

p

・•.△AET7是等边三角形，

.-.AF=AE,ZFAE=600_

•・•△ABC是等边三角形，

.-.AB=AC,ABAC=6Q°.

...ABAC-NFAC=AFAE-AFAC.

...^BAF=ACAE.

在ABAF和ACAE中

AB=AC

，Z.BAF=£CAE