导数常考小题突破：切线单调性极值最值与不等式【原卷】

【导数常考小题题型归纳】【真题+模拟精选】

［题型梳理I

【题型1:在某点出的切线方程】

1.明确切线的定义：切线是指一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。对于函数y=/（x）,在点（%,为）处

的切线，是当割线的两个端点无限趋近于该点时，割线的极限位置所确定的直线。

2.求切线斜率：根据导数的几何意义，函数y=/（x）在点x=x0处的导数/■'（%）就是曲线y=/（x）在点

（%,/（%））处切线的斜率上。所以，首先需要对函数/（%）求导，然后将x=/代入导函数/'（X）中，得到

切线的斜率左=/'（%）。

3.确定切点坐标：已知要求切线方程的点为（不，%），其中为=/（小）。这个点既在曲线上，也在切线上。

4.使用点斜式求切线方程：点斜式方程为y-%=左（%-%）,将求得的斜率左=/'（%）和切点坐标（为,%）

代入点斜式方程，即可得到曲线y=/（%）在点（%,%）处的切线方程y-/（毛）=f\x0）（x-x0）。

【例题1】（2024•全国甲卷・高考真题）设函数“X）X,则曲线y=〃x）在点（0,1）处的切线与两

坐标轴所围成的三角形的面积为（）

【例题2】（2023•全国甲卷•高考真题）曲线y=工在点1,：处的切线方程为（）

e-e-e3e

A.y=—xB.y=­xD.y=—x+——

4224

-1

【例题3】（2021•全国甲卷・高考真题）曲线丫=上;在点（T-3）处的切线方程为

相似练习

【相似题1］（2019.天津.高考真题）曲线y=cosx-捺在点（0,1）处的切线方程为

【相似题2】（2019•全国I卷・高考真题）曲线丁=3（/+刈^在点（0,0）处的切线方程为

【相似题3］（2015•新课标II•高考真题）已知曲线y=x+ln尤在点（1,1）处的切线与曲线，=加+（〃+2）尤+1相

切，则a=.

【题型2：过某点的切线方程或未知切点的切线问题】

1.判断该点是否在曲线上

把该点的坐标代入曲线方程，如果等式成立，则该点在曲线上；否则，该点不在曲线上。

2.当点在曲线上时

设切点坐标为（%,%）,因为点（%,%）在曲线上，所以%=/（%）。

对函数y=/（x）求导，得到导函数/'（X）。

根据导数的几何意义，曲线在点（％,%）处的切线斜率k=f\x0）..

由点斜式可得切线方程为y—=/（x0）（x-x0）o

3.当点不在曲线上时

设切点坐标为（芯,/），则%=）（%）。

对函数y=/（x）求导，得到导函数/（X）,那么切线斜率左=/'（西）。

由点斜式写出切线方程y-yx=f'（xJCx—西）。

因为切线过已知点（小，%），将其代入切线方程可得%=/（xJUo-^）

又因为%=/（药），所以得到关于花的方程，解这个方程求出演的值。

将占的值代入％=/（石）和%=/'（%）,再利用点斜式即可写出切线方程。

I"21

【例题1】（2007•全国•高考真题）已知曲线丫=L一31nx的一条切线的斜率为:，则切点的横坐标为（）

42

A.3B.2C.1D.；

【例题2】（2022•新高考全国H卷•高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程

为,.

【例题3】（2020•全国I卷・高考真题）曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程

为.

相似练习

【相似题1］（2004•湖南.高考真题）经过点P（—1,2）且与曲线y=3尤2—4x+2在点处的切线平行的直

线的方程是.

【相似题2］（2019•江苏・高考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的

切线经过点（e,l）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是—.

【相似题3］（2008•江苏•高考真题）直线y=是曲线y=lnx,x>0的一条切线，则实数少=

【题型3：切线的条数问题】

1.设切点

设切点坐标为（为,%）,其中为=/（/）。因为切线是在切点处与曲线相切的直线，所以设出切点是解题的

关键第一步。

2.求切线方程

对函数y=/（x）求导，得到导函数/'（X）。根据导数的几何意义，曲线在点（毛,光）处的切线斜率

k=f（X。）。

由点斜式可得切线方程为丁一%=/（Xo）（x-%o）。

3.代入已知点

如果是过某已知点（花,％）作曲线的切线，将该点代入切线方程，得到/（%）区-/）。

4.转化为方程求解

将为=/Oo）代入上式，得到关于飞的方程。此时方程的解的个数就是切线条数。一般来说，这个方程可

能是一个超越方程或高次方程，需要通过分析函数的性质来确定解的个数。

5.分析函数性质

构造函数：将关于飞的方程变形为g（x0）=O的形式，构造函数g（x）,

求导分析单调性：对g（x）求导，分析其单调性和极值情况。通过判断函数的单调性和极值与0的关系，

来确定函数g（x）与x轴的交点个数，即方程g（Xo）=O的解的个数，从而得出切线条数。

【例题1】（2021.新高考全国I卷.高考真题）若过点（。力）可以作曲线y=e，的两条切线，则（）

A.eb<aB.e<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

【例题2】（2025•江西新余.模拟预测）过，轴上一点（0⑷可以作函数/（力=三+d一》图像的3条切线，则

。的取值范围是：（）.

【例题3】（2024・山东•模拟预测）若过点（1,附可以作y=（x+l）e'的三条切线，则实数机的取值范围是（）

A.(-4e-2,0)B.(-6e-3,0)C.(一6J,2e)D.(e,2e)

相似练习

【相似题1］（2022•新高考全国I卷•高考真题）若曲线y=（x+a）e'有两条过坐标原点的切线，则。的取值

范围是.

【相似题2］（2425高三下•湖南永州•开学考试）若曲线y=住＜0）与曲线y=e”有三条公切线，贝必的

取值范围是.

【题型4：公切线问题，切线垂直问题】

1.明确两条曲线的方程

设两条曲线分别为y=/(%)和y=g(x),清楚它们的具体表达式，以便后续进行求导等运算。

2.分别求两条曲线的导数

对/(X)求导得f\x),对g(x)求导得g'(x)。导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，所以/'(%)

和g'(x)分别表示两条曲线在任意点处切线的斜率。

3.设公切线与两条曲线的切点

设公切线与曲线y=f(x)的切点为(占,％),与曲线y=g(x)的切点为(X2,y2)。

则％=/(%)，%=8(々)。

4.根据导数几何意义写出公切线方程

，

对于曲线y=/(x),在点(和必)处的切线方程为=/(x1)(x-x1),即

y=/'(石)》+/(石)一为/'(玉)o

对于曲线y=g(x),在点(/，％)处的切线方程为y-y2=g(x2)(x-x2),即

，

y=g(x2)x+g(x2)-x2g,(x2)。

5.利用公切线的条件建立等式

因为是公切线，所以两条切线方程表示的是同一条直线，那么它们的斜率和截距都相等。

可得方程组］/(~)=g(X2),。

(x1)=^(x2)-x2^(x2)

6.分析方程求解及公切线条数

通过解方程组［0%)=g/”)、来确定苞和X,的值。

f(xj-xj(x1)=g(x2)-x2g(x2)

一般情况下，将/(x1)=g'(x2)进行变形，用占表示4(或反之)，代入

/(石)一%/'(%)=8(%2)-々8’(%2)中，得到一个关于X］(或％2)的方程。

然后分析这个方程解的个数：

若方程有唯一解，则公切线有1条。

若方程有两个不同的解，则公切线有2条。

若方程无解，则公切线不存在。

在分析方程解的个数时，可能需要对得到的方程进行进一步的变形和分析，比如构造函数，通过研究

函数的单调性、极值、最值等性质来确定函数零点的个数，即方程解的个数，从而确定公切线条数。

【例题1】（2020•全国HI卷•高考真题）若直线/与曲线产4和尤2+y2=：都相切，贝心的方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x+gC,产｝x+1D.

【例题2］（2024・广东江苏•高考真题）若曲线y=e*+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=ln（x+l）+a的切线,

则〃=.

【例题3】（2021•新高考全国n卷•高考真题）已知函数/•（》）=卜-1|,%<0,%>0，函数“X）的图象在点

玉））和点3（%，/（々））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于两点，则取值范围是

相似练

【相似题1］（2025•河南驻马店•模拟预测）已知曲线y=d-x+2的切线与曲线y=ln（x+l）-。也相切，若

该切线过原点，则。=.

【相似题2】（2025•辽宁沈阳・模拟预测）若曲线y=ln2尤在点尸（占,州）处的切线与曲线y=e"相切于点

/、1

Q（w，%），则1^+%=-

【相似题3］（2025・浙江•一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两

条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合,则称两条曲线相切.设两抛物线y=/+。与丁=#x相切,

则a=.

【题型5：求函数的单调性与参数范围】

1.导数求函数单调性

。知识讲解：对于函数y=f(x),在某区间内，若f\x)>0,函数单调递增；若f\x)<0,

函数单调递减。导数为零的点是驻点，驻点对单调性判断有重要意义。

。解题思路

i.对函数/(X)求导得尸(X)。

ii.令/''(x)=o.求驻点。

iii.依据驻点划分定义域区间，判断各区间/'(%)正负。

iv.根据尸(x)正负确定函数在各区间单调性。

2.已知单调性求参数范围

。知识讲解：已知函数单调性求参数范围，是将其转化为导数对应的不等式恒成立问题，

再求解参数范围。

。解题思路

若函数在区间/单调递增，则/'(x)»0在区间/恒成立；若单调递减，则/'(x)<0在区间/恒成立。

ii.把尸(x)之0(或/(x)<0)转化为含参数不等式。

iii.通过分离参数、构造函数等方法解不等式，得出参数取值范围。

【例题1】(2023•新课标II卷•高考真题)已知函数"x)=ae、-Inx在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值

为(),

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【例题2】(2019•北京・高考真题)设函数无)=ex+ae-尤(。为常数).若/(尤)为奇函数，则斫:

若/(x)是R上的增函数，则。的取值范围是.

【例题3](2023•全国乙卷.高考真题)设。<0,1),若函数〃为=优+(1+。)，在(0,+“)上单调递增，则a

的取值范围是.

相似练习一

【相似题1］（2014•大纲版・高考真题）若函数/（x）=cos2x+asinx在区间G，g）内是减函数，则实数。的取

62

值范围是.

【相似题2］（2025•湖北鄂州•一模）己知函数小）=（/+1取_"在［0,+8）上单调递减，则。的取值范围

为.

【相似题3］（2025•山西•一模）设。>0,若函数〃x）=xlnx-x2+x在区间（a,y）上单调，贝的取值范

围是•

【题型6：函数的极值与最值】

1.导数求函数极值

。知识讲解：函数极值点处导数为0（但导数为0的点不一定是极值点）。若在点与左侧

f\x）>0,右侧/（x）<0,则%为极大值点；反之,左侧尸（x）<0.右侧（（x）>0.

%0为极小值点。

。解题思路

i.对函数/（X）求导得了'（X）。

ii.令/''（x）=0,求解得到可能的极值点。

iii.以这些点划分区间，判断各区间广（％）正负，确定是极大值点还是极小值点,

进而求出极值。

2.导数求函数最值

。知识讲解：函数在闭区间$［a,b］$上的最值，可能在端点处取得，也可能在极值点处取得。

。解题思路

i.按求极值步骤求出函数在开区间（a,。）内的极值。

ii.计算函数在区间端点/（a）与f（b）的值。

in.比较极值与端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值。

【例题1】（2022.全国乙卷•高考真题）函数/（X）=COSx+（x+1）sinx+1在区间［0,2TT］的最小值、最大值分别

为（）

兀兀c3兀兀―兀兀一—3兀兀一

A.——，一B.------,一C.——+2D.------+2

22222222

b

【例题2】（2022•全国甲卷・高考真题）当％=1时，函数/（x）=〃ln%+—取得最大值—2,则八2）=（）

X

A.-1B.——C.1D.1

2

【例题3】（2021•全国乙卷・高考真题）设若4为函数/（尤）=〃（4一。）2（%-人）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a2

相似练习

【相似题1］多选题（2023•新课标II卷.高考真题）若函数/（x）=alnx+2+三既有极大值也有极小

XX

值，则().

A.bc>QB.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

【相似题2］（2022•全国乙卷•高考真题）已知犬二项和分另U是函数/（%）=2a"—eX2（。＞0且awl）的

极小值点和极大值点.若石＜%，则〃的取值范围是.

【相似题3］（2021.新高考全国I卷.高考真题）函数〃x）=|2x-l|-21nx的最小值为.

【题型7：三次函数的性质】

■:!

1.表达式：三次函数的一般形式为丁=。必+6/+0才+〃(。。0)。

2.单调性

当。>0时，函数先递减后递增再递减，或先递增后递减再递增。

当。<0时，函数先递增后递减再递增，或先递减后递增再递减。

其单调性可通过求导来确定，对丁=0?+6/+“+〃求导得了=3。/+25%+。，根据导数的正负来

判断函数的单调性。

3.极值：三次函数可能有两个极值点，也可能没有极值点。令丁'=3以2+2法+。=0,根据判别式

A=(2b)~—4x3ac=4(/—3«c)来判断：

当A>0时，函数有两个不同的极值点。

当AVO时，函数无极值点。

bb

4.对称性：三次函数的图像是中心对称图形，其对称中心的横坐标为％=———，将％=———代入函数可得

3a3a

到对称中心的纵坐标。

5.零点个数

当。>0时，若函数的极大值大于0且极小值小于0,则函数有三个不同的零点；若极大值等于0或极

小值等于0,则函数有两个零点；若极大值小于0或极小值大于0,则函数有一个零点。

当a<0时，情况与a>0时类似，只是极大值与极小值的大小关系相反。

6.渐近线：三次函数没有渐近线。

7.值域：当a>0时，值域为(一°°,+00)；当a<0时，值域也为(一°°,+00)

b

8.拐点：三次函数的二阶导数y"=6依+26,令y"=。，解得x=———,所以三次函数

3a

hh

、=0?+6/+5+〃的拐点为(———,/(———)),这也是函数的对称中心。在拐点处，函数的凹凸性发生

3a3a

改变。

例题8

【例题1】多选题(2024•广东江苏•高考真题)设函数f(无)=(X-1)2(X-4),则()

A.尤=3是/Xx)的极小值点B.当0<x<l时，/(x)</(x2)

C.当1cx<2时，-4</(2x-l)<0D.当一1(尤<0时，/(2-x)>f{x}

【例题2】多选题(2022•新高考全国I卷•高考真题)已知函数/(》)=尤3-x+l,则()

A./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

【例题3】多选题(2025•河北石家庄•一模)函数/(x)=(x+l)(x2-x+a)(«eR)，则下列说法正确的是()

A.当。=一2时，/(元)的极小值为0

B.若/(%)有3个零点4,%，W，则xl+x2+x3=0

C.若g(x)=/(x)+。,则g(x)为奇函数

D.当—2<a<0时，/(x)在区间(-8,-1)上单调递增

相似练习

【相似题1］多选题(2025•辽宁鞍山•二模)已知函数/(力=丁+加+乐+c满足〃0)=0,"1)=1,则()

A.a+b=c

B.对于任意a>0,/(无)有三个零点

C.对于任意a<0,/(尤)有两个极值点

D.存在a>0,使得点。，/⑴)为曲线y=〃x)对称中心

【相似题2］多选题(2025•江西宜春•模拟预测)已知函数/(x)=J-3--10x,下列说法正确的是()

A./(x)有3个零点

B./(无)的图象关于点(1,-24)对称

C./(x)既有极大值又有极小值

D.经过点(-2,0)且与/(x)的图象相切的直线有2条

【相似题3］多选题(2425高三下・甘肃白银•开学考试)已知函数/(力=-双3+3/+1,则下列命题中正确

的是()

A.0是的极小值点

B.当一1<0<0时，/(a-l)</(fl)

C.若a=1,贝U4-2022)+/(-2023)+f(2024)+“2025)=12

D.若存在极大值点心且/(为)=/(々)，其中x产尤2，则%+2%=。

【题型8：函数的零点问题】

1.求函数的导数：对给定的函数/（X）求导，得到广（口。通过导数来分析函数的单调性、极值等性质。

2.分析函数单调性：根据r（x）的正负性确定函数y（x）的单调区间。令r（x）>。，解得的区间为函数的

单调递增区间；令/''（；0<0,解得的区间为函数的单调递减区间。

3.确定函数的极值点和极值：令/（x）=0,求出函数的极值点。将极值点代入/（无）中得到对应的极值。

这些极值对于判断函数零点的个数非常关键。

4.分析函数的端点值或极限值：计算函数在区间端点处的值，或者考虑当x趋近于正无穷、负无穷时函数

的极限值。结合函数的单调性和极值，来确定函数与工轴的交点情况。

5.根据零点存在定理判断零点个数：如果函数在某区间两端点的值异号，即那么在区间

（。,。）内至少存在一个零点。再结合函数的单调性和极值情况，进一步确定零点的具体个数。

【例题1】（2023•全国乙卷•高考真题）函数〃x）=d+依+2存在3个零点，贝心的取值范围是（）

A.(-«),-2)B.(-8,-3)C.(T,T)D.(-3,0)

【例题2】（2015・新课标1・高考真题）设函数〃尤）=，（2尤-1）-仆+°,其中。<1,若存在唯一的整数尤。,

使得了（不）<。，则”的取值范围是（）

【例题3]（2025高三・全国・专题练习）已知函数〃x）=x|x-4-Inx有两个零点,则实数”的取值范围为（）

A.（-<»,1）B.（l,+oo）C.（-<»,1]D.[1,+co）

相似练习

【相似题1]（2024.广东.一模）函数〃x）=lnx与函数g（x）=md+；有两个不同的交点，则小的取值范围

是（）

A.D.

【相似题2】(2025•广东汕头•模拟预测)已知函数了⑺^叫一十广设8⑺少⑸一依+即若函数

\~x+1,X>1,

g(尤)仅有一个零点，则实数。的取值范围是.

【相似题3](2025•江西九江•二模)己知函数〃尤)=6出+1)+/-1恰好有3个零点，则实数。的取值范

围是.

【题型9：构建函数比较大小】

1.观察式子特征，构造函数

分析结构相似性：观察待比较大小的两个式子，寻找它们结构上的相似之处，以此为依据构造函数。

例如，若两个式子都形如了(X)与g(x),且/(X)和g(x)中X的次数、运算关系有规律，可尝试构造

h(x)=f(<x)-g(x)•比如比较产与x+1的大小，可构造丸(x)=H—x—1。

考虑常见函数模型：联系常见函数及其导数性质，如指数函数y=e"(y'=e，)、对数函数y=lnx

(y=-,x>0幕函数y=x"(y'=nxn-l)等。若式子中出现xlnx,可构造y=xlnx,其导数

X

y=lnx+lo

2.对构造函数求导

运用求导公式和法则：准确运用求导公式(X")'=〃X"T、(靖)'=蜻、(lnx)'=工等，以及求导的四

X

则运算法则(M土V)'="土，，(MV)-UV+UV.(2)'=(VWO)对构造函数求导。例如，对

vv

丸(x)="—x—1求导，根据上述公式和法则可得〃'(x)=。

3.分析导数性质，确定函数单调性

判断导数正负：根据给定的X的取值范围，分析导数/i(x)的正负情况。例如在丸(x)=e“-x-1中，

当尤>0时，ex>1>所以无'(x)=e*-1〉0：当x<0时，0<e“<1，则”(x)=e*-1<0。

确定函数单调性：由导数正负确定函数单调性。当〃(x)〉0时，函数/z(x)在对应区间单调递增；当

"(x)<0时，函数/z(x)在对应区间单调递减。所以/i(x)="—x—1在(―8,0)上单调递减，在(0,+8)上

单调递增。

4.利用函数单调性比较大小

找到对应自变量值：确定所比较大小的两个数在构造函数定义域内对应的自变量占，x2o例如要比较

与0.5+1的大小，此时占=0.5。

依据单调性判断：根据函数单调性，若不<々且函数在区间（芯，％2）单调递增，则/2（七）</2（>2）；若函

数单调递减，则以为）>/?（%）。对于/©）="—x—1,因为在（0,+8）单调递增，0.5>0,

/z（0）=e°-0-1=0,所以/z（0.5）=e"5—0.5—1>0,即e°5>0.5+l0

【例题1】

3111

（2022•全国甲卷・高考真题）已知二力=cos—,c=4sin—,则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【例题2】（2022•新高考全国I卷•高考真题）设。=0.1e°」,6=g,c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【例题3】(2025•山西临汾•二模)设。=lnO.9,Z?=-g,c=e°-9,贝|()

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

相似练习

【相似题1］（2025•云南•一模）设a=L6=华，c=里，则“，b,c的大小关系为（）

e23

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【相似题2](2025•海南•模拟预测)若ln(〃+l)=0.2,ln(2A)=-ln3,e，=1.2,则()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【相似题3］（2024・甘肃・模拟预测）设曰=1.1,b=sina,c=e01,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【题型10：不等式的恒成立问题】

1.变量分离

将不等式中的参数与变量分离，使不等式一边只含有参数，另一边只含有变量及其函数形式。例如对

e'l

于不等式内+1>，(尤>0)恒成立，可变形为。〉勺(%>0)o这样就把问题转化为求右边函数在给

x

定区间上的最值问题。

2.构造函数

e'1

根据分离变量后的式子，构造一个新的函数。如上述例子中构造函数(尤>0)。构造函数

x

时要注意函数的定义域，需与原不等式中变量的取值范围一致。

3.求导分析函数单调性

对构造的函数/(%)求导，得到广(%)。利用求导公式和法则准确计算导数。例如对于/(x)=《L根

据除法求导法则(与=""丁,a=e1，"=6工，v=*，u=1，可得/f(x)=e"*，")=Of,

VVXX

接着分析尸(x)在定义域内的正负性。通过对广(九)进一步分析(如再求导判断其单调性等)，确定了(x)

的单调区间。例如设g(x)=(x—l)e*+l,对g(x)求导得g，(x)=x/,当x>0时，g'(x)>0,g(x)在

(0,+8)单调递增，g(x)>g(O)=O,即/(x)>0,所以在(0,+8)单调递增。

4.求函数最值

根据函数单调性，求出函数在给定区间上的最值。若函数在区间单调递增，则最小值在区间左端点取

x\

得(若左端点取不到，则求极限值)；若单调递减，则最大值在区间左端点取得。如/(%)=勺P在(。,+8)单

X

调递增，lim—=1(利用等价无穷小或洛必达法则)，所以

%-o+x

5.确定参数范围

Al

因为原不等式恒成立，所以参数大于函数的最大值或者小于函数的最小值。如由。〉勺e(x>0)恒

x

er1

成立，且/(x)=L〉l,可得aNl。若分离变量后是参数小于函数形式，则参数小于函数的最小值。

x

若分离变量不可行，则考虑第二种思路：

1.构造函数

直接将不等式移项，构造函数g(x),使g(x)之0(或g(x)WO)恒成立。例如对于不等式6工之ax+1

恒成立，构造g(x)=ex-«x-lo

2.求导分析

对