第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 专项复习

第2章一元一次不等式与一元一次不等式组

导图导学.

知识盘点团

知识点01:不等式

1.不等式：用符号（或"W”），“>”（或"2”），W连接的式子叫做不等式.

易错指导：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集.

解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x>“，等；另一种是用数轴表示，如

下图所示：

x>axNaxW。

—!A-1"AJ__►]~~►

aaaa

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式.

2.不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

用式子表示：如果a>b,那么a土c>b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

db

用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或一>—）.

CC

不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

nh

用式子表不：如果a>b,cVO,那么acVbc（或一<一）.

CC

知识点02:一元一次不等式

1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是L这样

的不等式叫做一元一次不等式.

易错指导：ax+b>0或ax+b<O（aWO）叫做一元一次不等式的标准形式.

2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

易错指导：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定

方向，三是定空实.

3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

(1)审：认真审题，分清已知量、未知量；

(2)设：设出适当的未知数；

(3)找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”

“超过”等关键词的含义；

(4)歹U：根据题中的不等关系，列出不等式；

(5)解：解出所列的不等式的解集；

(6)答：检验是否符合题意，写出答案.

易错指导：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不

小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.

知识点03:一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

易错指导：

(1)不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

(2)解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

(3)一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用

数轴可以直观地表示不等式组的解集.

(4)一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实

际意义确定问题的答案.

知识点04:一次函数与一元一次方程、一元一次不等式(组)

函数问题

方程(组)、不等式问题

从“数”的角度看从“形”的角度看

求关于X、y的一元一次确定直线y=ax+人与％轴

X为何值时，函数y=ax+Z?的

方程ar+Z?=0(〃W0)(即直线V=0)交点的横坐

值为0?

的解标.

求关于％、y的二元一次

%为何值时，函数丁=。俨+伪与

[*y=Q]x+b],确定直线与直线

方程组4的

[y=a2x+b2.

函数y=。2%+伪的值相等？=a2x+b2的交点的坐标.

解.

求关于X的一元一次不等确定直线y=ax+b在x轴

工为何值时，函数y=ax+Z?的

式ax+Z>>0（4W0）的（即直线V=0）上方部分的

值大于0?

解集所有点的横坐标的范围.

高频核心专题训练|0

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2021春•武侯区校级期中）静怡准备用70元在文具店买48两种笔记本共7本，4种笔记本每

本10元，6种笔记本每本8元，如果至少要买4本4种笔记本，请问静怡购买的方案有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

解：设静怡准备买/种笔记本x本，则购买8种笔记本（7-x）本，

根据题意可知，10x+8（7-x）W70,7-x>0,

解得,x<7,

；.4Wx<7,

可取4,5,6,

...共三有种方案.

故选：B.

2.（2分）（2022春•思明区校级期末）已知a<6,下列不等式成立的是（）

A.a+2<MlB.-3a>-2bC.m-a>m-bD.an!<brS

解：/、不等式的两边都减1,不等号的方向不变，故4错误；

以不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，8选项没有乘以同一个负数，故8错误；

C、Va<b,

/.-a>-b

*.m-a>m-b,故。正确；

D、•・,方20,a<b

:.aii&b乱故〃错误;

故选：C.

3.（2分）（2022春•增城区期末）如图，已知：函数p=3x+6和尸ax-3的图象交于点尸（-2,-5）,则

根据图象可得不等式3x+b>ax-3的解集是（）

A.x>-5B.x>-2C.x>-3D.x<-2

解：・・・函数/=3户6和尸”-3的图象交于点尸（-2,-5）,

则根据图象可得不等式、x+b>ax-3的解集是x>-2,

故选：B.

4.（2分）（2020•南京二模）若不等式组有解，则左的取值范围是（）

A.k<2B.42C.k<lD.lWk<2

解：因为不等式组有解，k<2.

故选：A.

5.（2分）（2018春•唐河县期中）如图，已知直线尸ax+b与直线尸x+c的交点的横坐标为1,根据图象

有下列四个结论：①aVO；②c>0；③对于直线尸x+c上任意两点Z（心，%）、BQXB,ye）,若刘〈才庆

则为〉为；④才>1是不等式3x+Z?Vx+c的解集，其中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

解：•・•直线y随x的增大而减小，

/.a<0,①正确；

;•直线y=x+c与y轴交于负半轴，

・・・。<0,②错误；

直线尸x+c中，A=l>0,

随x的增大而增大，

:，XA<XB,则为<处，③错误；

X>1是不等式ax+b<x+c的解集，④正确；

故选：C.

6.（2分）（2020•长安区校级模拟）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）

A.B.c'D-

OOCto

解：由于不等式组有解，贝11,必定有整数解0,

.•博4普OI，

，三个整数解不可能是-2,-1,0.

-1

若三个整数解为-1,0,1,则不等式组，°无解；

1吗<2

24|*a<3

若三个整数解为0,1,2,则，；

-14a<0

一O石

解得得

故选：B.

7.（2分）（2023春•香坊区校级期中）如图，在数轴上表示不等式3万-6>0的解集，正确的是（）

-----1------j）>----1o------►

A.02B.02

C.02D.02

解：3x-6>0,

3或>6,

x>2,

-------1-----------j>>

在数轴上表示为02,

故选：B.

8.（2分）（2023春•新民市期中）已知关于x的不等式组|2i的最小整数解是2,则实数勿的

x-443（x-2）

取值范围是（）

A.-3W%V-2B.3V勿W-2C.3Vzz-2D.3W/W-2

解：解不等式2二生22,得：x>4+以，

2

解不等式x-4W3（x-2）,得：x2l,

•••不等式组的最小整数解是2,

；.1<4+辰2,

解得--2,

故选：B.

9.（2分）（2023春•罗湖区期中）某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜

负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖.小明

所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（）

A.2x+（8-x）N12B.2x+（8-x）W12

C.2x-（8-x）》12D.2x>12

解：由题意，胜一场得2x分，负一场得（8-x）分，

则得不等式：2广（8-x）212,

故答案为：A.

10.（2分）（2018•巴彦淖尔）若关于X,y的方程组的解满足-g，则勿的最小整数解为（）

2

A.-3B.-2C.-1D.0

解:，

①-②得：x-尸3加2,

♦.•关于X,y的方程组的解满足x-y>-l,

2

,3加2〉-旦，

2

解得：m>-―,

6

加的最小整数解为-1,

故选：C.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2023•城中区模拟）如图所示，函数姓=ax+6和yi=|x|的图象相交于（-1,1）,（2,2）两

点.当姓时，x的取值范围是x<-1或x>2

解：：函数y=ax+6和y=|x|的图象相交于（-1,1）,（2,2）两点，

根据图象可以看出，当%>及时，x的取值范围是x>2或x<-1,

故答案为：x<-1或x>2.

12.（2分）（2020春•润州区期末）已知实数x、y满足2x-3y=4,且x>-l,j<2,设A=x-y,则4的

取值范围是1C4W3.

解：：2x-3y=4,

（2x-4）,

3

Vj<2,

.1.I（2x-4）W2,解得蒋5,

3

又-1,

-lVx^5,

k=x-—（2x-4）^+—,

333

当x=-1时，（-1）+A=1；

33

当x=5时，A=—X5+—=3,

33

故答案为：1<Z3.

13.（2分）（2018春•义安区期末）如图，已知一次函数弘=-田6的图象与y轴交于点/（0,6）,y2=kx

-2的图象与x轴交于点6（2,0）,那么使乃〉多成立的自变量x的取值范围是x<4.

解：将点力（0,6）代入一次函数■=-x+b,得0+6=6,

解得6=6,

故函数解析式为%=-x+6；

将点方（2,0）代入现=日-2,得2八2=0,

解得4=1,

故函数解析式为X2=x-2,

解方程组产-X+6,

ly=x-2

解得，

.♦.两函数图象交点坐标为（4,2）,

使%>再成立的自变量x的取值范围是x<4.

故答案为：x<4.

14.（2分）（2023•洛阳三模）不等式组的所有整数解的和是5

解:，

由①得：x>—,

2

由②得：xW3,

...不等式组的解集为3〈点3,

2

则所有整数解为2,3,之和为2+3=5.

故答案为:5.

15.（2分）（2023春•江北区期中）如果关于x的不等式组［乎）,-I有且只有3个奇数解，且关于y

3x+6>a+4

的方程3尹6a=22-y的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为-3

由3x+6>抖4,得x>a2

3

x+3

•.•关于X的不等式组.有且只有3个奇数解,

3x+6>a+4

,这三个奇数解是1,3,5,

3

解得-lWaV5,

由方程3尹6a=22-y,可得尸丝也,

•.•方程3尹6a=22-y的解为非负整数,

...22-6a,0且22-6a为整数,

解得aW旦且也二阻为整数，

32

-IWaW且且".a为整数,

32

.•.满足条件的整数a的值为-1,1,3,

V-1X1X3=-3,

符合条件的所有整数a的积为-3,

故答案为：-3.

4(x—)<5-2x

16.（2分）（2023春•沙坪坝区校级期中）若关于x的一元一次不等式组，有解，且关于

y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为-4

4(xq)45-2x

解：由一元一次不等式组，得：且K

2

4（x-^）45-2x

•.•一元一次不等式组，有解,

解得：aWl,

解分式方程得：尸一

a+1

•.•分式方程的解是整数，

・•・当a+l=l时，a=0；

当a+l=2时，a=l；

当a+l=4时，­3=3,不符合题意；

当a+l=-1时，a--2；

当3+1=-2时，a=-3；

当a+l=-4时，a—-5,y=l,不符合题意；

・•・符合条件的所有整数a的和为：0+1-2-3=-4.

故答案为：-4.

17.（2分）（2023春•龙泉驿区期中）若整数勿使关于x的不等式组[x-3m<2有解，且使关于入的分式

[x+2m>17

方程T——L=-i有整数解，则整数⑷的值为6.

X2-4x-2——

解：解不等式组得FW3m+2,

[x>-2m+17

:不等式组有解，

・二3研2>-2研17,

解得力>3,

分式方程T———=-1两边同乘(x+2)(x-2),

X2-4X-2

得：mx--2x=-x+4,

•••方程有整数解，在>3,且一^¥±2,

m-2

m—6.

故答案为：6.

18.（2分）（2022春•辛集市期末）一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土

方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的

不等式为3x2300-60.

解：由题意，列出不等关系

x（6-1-2）+602300,

化简得3x2300-60.

19.（2分）（2016春•岱岳区期中）今年三月份甲、乙两个工程队承包了面积1800窟的区域绿化，已知甲队

每天能完成100疡，需绿化费用为0.4万元；乙队每天能完成50疗，需绿化费用为0.25万元，要使这次

的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作10天.

解:设应安排甲队工作y天，根据题意得：

0.4y+180°-l°°yX0.25W8,

50

解得：y210.

即：至少应安排甲队工作10天；

故答案为：10.

20.（2分）（2019春•南岸区校级期末）自2019年起，全国全面启动生活垃圾分类工作.到6月底，某市

部分小区先投入“垃圾分类”工作中：这部分小区平均每个小区有72户业主参加，其中参加户数低于

60户的小区平均每个小区有56户业主参加，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有84户业主参

力口.根据调查发现，若每个小区同时新增10户业主参加，则此时参加户数低于60户的小区平均每个小

区有58户，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有90户业主参加，且该市这部分小区个数不低于

50,且不高于70,则这部分小区有56个.

解：设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区

每个小区增加10户，则设低于60户的会在x户的基础上减少e户，

不低于60户的会在y户的基础上增加e户

即：低于60户有（x-e）个小区，不低于60户的有（j+e）个小区

由题意得：72（Ay）=56x+84y

化简得：4x=3_p®

同时有：58（x-e）+90（j+e）=82（ey）

化简得：3x-y=4e@

由①②解得：x=2.4e,y=3.2e

•1x,y,e都是正整数，且50Wx+Z70

・・・50W5.6eW70

.•・e=10,x=24,尸32

/.x+y=56

故答案为：56.

三.解答题（共7小题，满分60分）

21.（8分）（2023•衡水三模）（1）已知a=-l,求代数式々一•且二2的值;

a-4&

（2）解不等式组，并把其解集表示在数轴上.

-3-2-10123456

解：⑴々_.忙1

a2-42

______2a_____,a-2

（a+2）（a-2）a

=2

初，

当a=-l时，原式=—--=2；

-1+2

（2）解不等式①得：-1,

解不等式②得：x<4,

.••不等式组的解集是-lWx<4,

在数轴上表示不等式组的解集为:

_J——I_X_I——I——I——I__i_I——L^

-3-2-10123456.

22.（8分）（2023春•青羊区校级期中）如图，在直角坐标系中，直线I1：y卷x+1与x轴交于4与直线

12：/=-丸+口交于B春n），直线心分别与x轴、y轴交于C、D,连接被

（1）直接根据图象写出关于x的不等式旦x+m〉2x+l的解集；

42

（2）求出加、〃的值；

（3）求出△/物的面积.

解：（1）：-3x+加

42

(2)•.•直线尸工X+1经过6(&,72),

25

.・.77一=—1X—8+,I1一=—9.

255

•.•直线尸-旦科”经过方(旦，9),

455

・9--3y8I

545

%=3；

(3)由(2)得直线4的解析式为y=-Sx+3,

4

令x=0,则y=2x+l=l,

2

:.H(-2,0),

令x=0,则0=-旦l+3,

4

y-3,

：.D(0,3),

；.△/初的面积=入4切的面积+AW的面积=2X(3-1)X2+AX(3-1)xA=12

2255

23.（8分）（2023春•即墨区期中）某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满100元就可享受打折优

惠.期中考试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买3支钢笔和若干本笔记本.已知每支钢笔10

元，每本笔记本4元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？

解：设小韦买x本笔记本才能享受打折优惠，

依题意得：10X3+4^100,

解得:.

为整数，

••.X的最小值为18.

答：小韦至少买18本笔记本才能享受打折优惠.

24.(8分)(2023春•朝阳区校级期中)根据学习一次函数的经验，对函数y=|x-3|的图象和性质进行研

究，探究过程如下，请补充完整.

(1)自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值：

X・・・-10123456・・・

y・・・43210m23・・・

其中，m=1

(2)在所给的平面直角坐标系中，已经根据表格信息画出了部分图象，请你描出以上表中以其他各

对对应值为坐标的点，补全函数图象;

(3)观察以上函数图象发现，

当x<3时，y随x的增大而减小；当x23时，y随x的增大而增大；

(4)结合图象进一步探究，

①不等式Ix-3|N2的解集是xWl或x25；

②若关于x的方程|x-3|=2x+6的解是负数，则6的取值范围为b>3

解：(1)0=|4-3|=1,

故答案为：1;

(2)如图：

(3)当xN3时，y随x的增大而增大，

故答案为：增大；

(4)①由图象得：不等式|x-3|N2的解集是：/W1或x25,

故答案为：xWl或xN5；

②由题意得：x<0,

.,.原方程可化为：3-x=2廿6,

解得：x=l-—b,

3

由题意得：1-—b<0,

3

解得：6>3,故答案为：b>3.

25.（8分）（2023春•小店区校级月考）某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条的

定价为50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：

方案一：购买一套服装赠送一条领带；

方案二：服装和领带均按定价的九折出售.

某商店老板现要到服装厂采购服装30套，领带x（x230）条,请根据x的不同情况，帮助商店老板选

择最省钱的方案.

解：按优惠方案（1）购买，应付款：300X30+（x-30）X50=50^+7500（:元），

按优惠方案（2）购买，应付款：（300X30+50x）X90%=45JT+8100（元），

设了=（50x+7500）-（45x+8100）=5x-600（元），

当y<0时，即（30Wx<120且为整数）时.选方案（1）比方案（2）更省钱，

当y=0时，即x=120时.选两个方案一样省钱，

当y>0时，即（x>120且为整数）