甘肃省岷县某中学2024-2025学年高一年级下册第一次月考（4月）数学试题（解析）

2025年春季高一年级第一次月考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：湘教版必修第二册第1章，第2章2.1.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1sin66°cos360-sin24°cos54°=（）

A.--B.OC.4D.也

222

【答案】C

【解析】

【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案.

【详解1sin660cos36°-sin24°cos540=cos240cos360-sin240sin360=cos60°=—.

2

故选：C

2.已知点4（1,3）,8（4,—1）,则与向量通的方向相反的单位向量是（）

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量坐标运算可得A豆和|福|,由此可知所求向量为一

【详解】•.•丽=（3,T）,.•/丽|=5,

AB34}

,与向量彳月的方向相反的单位向量为一|^司=［一二，二J.

故选：A

3.已知空间向量且通=3+2反比=一5@+6反也=7万—2瓦则一定共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量加法求出*，丽，利用共线向量定理逐一判断即可.

【详解】解：对于A选项，~BD^~BC+CD=-5a+6b+la-2b^2a+4b=2AB,所以A,3,0三点共

线，A正确；

（—Sn=]

对于B选项，设而豆心,则M+2B=〃（一5万+65）,即1无解，B错误；

\7[6〃=2

/一、f7m=—5

对于C选项，设配=机电，则一5日+6Z?=加（7万—2Z?）,即〈，，无解，C错误；

\）\-2rn-6

对于D选项，AC^AB+BC=a+2b-5a+6b=-4a+8b>设衣=〃①，

即-4日+8人=〃7万—2人，即<,无解，D错误.

''[-2n=8

故选：A

4.已知A3两地相距5km,且C两地相距10km，若测得NABC=120。，则AC两地间的距离为

（）

A.5kmB.^-kmC.5s[5kmD.Sy/ikm

【答案】D

【解析】

【分析】由余弦定理直接求解即可.

【详解】由余弦定理得，|AC「=|A3「+|3C「—2|/叫MacosNABC,

即|AC|2=52+IO?—2x5x10x=175,则\AC\=5a.

故选：D.

3

5.已知。是第二象限角且sin。=y,2sin/?-cos/?=0,则tan（a—分）的值为（）

2

A.1B.-1C.-2D.——

11

【答案】c

【解析】

【分析】依题意，求出cosa,tane,再根据2sin/7—cos/7=。求出tan，，再利用两角差的正切公式求得

答案.

3I-----------4

【详解】因为&是第二象限角且sina=二，所以costz=-Vl-sin2«=-j,

einaA1

则tana=-------=——，因为2sin/?-cos/?=0,所以tan/,

cosa42

3_1

tana-tan/?

所以an（a一4）

1+tanortan/?

故选：C.

6.已知向量25满足,+闸一25）,且石二（1/），则向=（）

A.@B.2C.占D.3

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得7=275,片=2,又归+q=26,可得了+2£石+片=20,可求

【详解】因为£“£一2可，所以词123）=0,所以f_22石=（）,所以/=2£石，

又因为卜+4=2百,所以/+2£石+片=20,又B=（l，l），所以或=1+1=2，

所以27+2=20,所以7=9,所以同=3.

故选：D.

7.已知VABC的三条边长分别为a,b,c,且（a+3：伍+c）:（a+c）=12:13:15,则此三角形的最大

角与最小角之和为（）

712兀3兀5兀

A-B.—C.—D.—

3346

【答案】B

【解析】

7T

【分析】根据题意由边长比例关系可求得〃=7左1=5左,。=8太再由余弦定理可得A=—,即可得出结论.

3

a+b-12k

【详解】根据题意不妨设（b+c=13左，k>Q；解得〃=7左乃=5左,。=8匕

a+c=15k

所以可得此三角形的最大角与最小角分别为/C和NB；

由余弦定理可得COSA="+L—"一=坐=工,又Ae（O,7l）,

2bc80k22'7

可得A=—；

3

所以。+5=兀一A=@.

3

故选：B

8.已知0为VA3C的外接圆圆心，OA=2,ZBAC=45°,则荏.交的最大值为（）

A.2B.4C.72D.2&

【答案】B

【解析】

【分析】利用圆的性质，得到NHOC=90。，将血.诙转换为"4cos（砒玄），进而求出最大值.

【详解】如图所示：

因为。为VA3C的外接圆圆心，Q4=2,NBAC=45°,所以NBOC=24AC=90°,

且网=网=函=2,

所以存•历=（砺一次卜觉=瓦•反一次•花=一雨•云=-4cos（弧叫，

故当双，面共线反向时，通.反取到最大值4.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出N3OC=90。，再由数量积的运算律得到

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

7T

9.在VA3C中，A,3,C的对边分别是a,b,c,a=2,A=—,若VA3C有两个解，则》的值可以为（）

6

A.2B.3C.4D.75

【答案】BD

【解析】

【分析】法一：当6sinA<a<Z?时VA3C有两个解，即可求出）的取值范围，即可判断；法二：由正弦定

理得Z，=4sinB,然后利用正弦函数图象分析可得.

JT

【详解】法一：因为〃=2,A=一，

6

当bsinAvavb时VABC有两个解，即bsin—<2<人，解得2Vb<4,

6

故符合题意的有B、D.

abl..

_--------------=——=4b

法二：由正弦定理sinAsinB1，所以sin3=:且Z?>a,

i4

JT511（1

所以一<3<——，即sinBe7,1,作出正弦函数图象如图.

66<2_

1b

因为该三角形有两个解，所以一〈一<1,即2</?<4,故符合题意的有B、D.

24

故选：BD

10.已知a=（costz,sintz）,B=（cos?,sin尸），则正确的选项是（）

A.）和B都是单位向量B.若a=/3,则J//B

C.若否,则a="+：D.（Z+B）_L（G—5）

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据平方关系求出;，/即可判断A,根据共线向量判断B,根据向量数量积的坐标表示及两角

差的余弦公式判断C,根据数量积的运算律判断D.

【详解】对于A：问=而7a+sin2a=1,忖=^/cos2+sin2/?=1,

故〃和B都是单位向量,故A正确;

对于B：若。=/7,则£=石，所以://力，故B正确;

对于C：若％,即a・B=cosacos/?+sinasin/?=cos(a—/?)=0,

JT7T

所以a—尸=5+ATI,左eZ,即(z=/?+5+^71,左eZ,故C错误；

rrrr、r2r2r2,r/一rX(一4.

对于D：因为(za+6x)(za—Z?)=a—b=a—Z?|2=0,所以(a+B)J-(a—5),故D正确.

故选：ABD

11.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子(如图1),打开后形成以。为圆

心的两个扇形(如图2),若NAO3=150°,OA=2OC=2,点E在A3上，ZBOF=120°,点E在

上，OE=xOC+yOD(x,yeR),贝|()

C.当无，而时，x+y=l+y/3D.当诙，函时，x+y=2+s/3

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A、B,利用向量减法的几何意义，结合数量积的定义式，化简怎.砺，根据角的取值范围,

可得答案；

对于C、D,由题意作图，根据几何性质，求得边长，结合向量加法与数乘，可得答案.

【详解】对于A,OEEF^OE(OF-OE)^OEOF-OE2=OE-OF-1^2cosZEOF-l,

因为NEQFe0,^-.所以cosNEQFe——,1,所以2cos/EOF1—1G[—2,1],

即OE,_EFe[—2,1],A正确；B错误;

对于C,如图，当诙，丽时，可判断E跖中点，OF=2OE=2,

则NOEE=NAO/=30°,OA//BF,作EM〃OB,则四边形为平行四边形,

则无=南+无，OM=BE=EF=5所以两=百反，OB^IOD，

所以砺=。而+砺=G区+2砺.所以》+丁=2+岔，C错误，D正确.

故选：AD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知两个单位向量£与石的夹角为60。，则向量£在向量£方向上的投影为

【答案】g

2

【解析】

【分析】运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，向量的投影概念，计算即可得到所求值.

【详解】两个单位向量。和B夹角为60°,

--11

可得力=1X1X—=—,

22

(土-B)•a=万"一1B=1-万=5,

向量万—4在向量1方向上的投影为(1-3).万;2-1,

同12

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查向量数量积的定义和性质，以及向量投影的求法，考查运算能力，属于基础题.

13.在VABC中，若4=:,则(1—tanB)(l—tanC)的值为.

【答案】2

【解析】

3jr

【分析】利用三角形内角和可求得8+。=三，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.

4

JT3兀

【详解】在三角形A5C中，因为3+。=兀—人=兀——=——，

44

所以(1一tanB)(1-tanC)=l-(tanB+tanC)+tanBtanC

=1-tan(B+C)(1-tanBtanC)+tanBtanC

37r

=1-tan—•(1-tanBtanC)+tanBtanC=2.

故答案为：2.

14.已知四边形中，AB=BC=CD=1,DA=&设△A3£)与△BCD面积分别为S,S2.则

s：+s；的最大值为一.

【答案】《7

【解析】

【分析】根据余弦定理得到cosC=gcosA-1，利用三角形面积公式得到

S：+S；=—/]—[j^cosA—,得到最大值.

【详解】四边形A5CD中，AB=BC=CD=1,DA=G

设AABD与△BCD面积分别为S],S2,

则£-ABADsinA=—sinA，S2=^-CDBCsinC=^sinC.

12222

在△ABD中，利用余弦定理：BD2=AD2+AB2-A，

即BO?=3+1-2^COSA=4-26COSA，

在△BCD中，利用余弦定理：BD2=CD1+CB2-C，

即BD?=I+1-2COSC=2-2COSC.

所以cosC=百cosA-l.

则+=-sin2A+-sin2C=-(l-cos2A)+-(l-cos2C)

7

走时，S：+S；最大值，最大值为J,

当小cosA=—,即cosA

2AX

,、7

故答案为：—

O

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

骤.

15.已知1、夕均为第二象限角，且cos[a—,sin,=*.

(1)求COS&的值；

(2)求tan(o+/7)的值.

【答案】(1)--

5

(2)-1

【解析】

【分析】(1)诱导公式计算得出cose的值；

(2)分别计算tana,tan分的值，通过公式tan(&+")=粤"咽^求得.

1-tana•tanp

【小问1详解】

由诱导公式可知sina=cos(。―二]=且，。为第二象限角，所以cosa=—2叵；

I2J55

【小问2详解】

由第一■问可知tana=—，同理，sin/?=；cos/=—土"°，tan〃=—,

2"10"103

/八\tana+tan£,

所以tan(a+/)=-----------=-1.

1-tan。•tanp

16.已知向量a=(—1,〃2),b=(—2,1)•

(1)若2£+B与B共线，求实数机的值；

(2)若2=(—7,26),S.c=3a+Ab-求实数log/m的值；

(3)若『+求实数机的值.

【答案】(1)|

(2)3

(3)-2

【解析】

【分析】(1)根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于机的方程，即可得答案.

(2)根据题意，由向量的坐标计算公式可得4=2,m=8即可得答案；

(3)利用向量坐标的线性运算求G-瓦石+及坐标，模长坐标公式列方程求参数值；

【小问1详解】

因为2%+B=2(—1,加)+(-2,1)=(―4,2加+1)与B=(―2,1)共线，

所以Txl=—2(2帆+1),所以机=g.

【小问2详解】

因为c=3a+Ab=3(—1,加)+彳(-2,1)=(■—3—2A,3加+4),c=(―7,26),

所以—7=—3—2%26=3m+4,

可得X=2,加=8,log2m=log28=3

【小问3详解】

由题知：a-b=(-l,m)-(-2,l)=(l,m-l),|a+(m-l)2,

a+^=(-l,m)+(-2,l)=(-3,m+l),|a+^|=+(m+l)2=^9+(m+1)2,

-\a-b\=^+b\,

...|a-s|2=|a+s|2,

...1+(7〃—1)2=9+(7〃+l)2,即4机=—8,解得机=—2.

17.已知锐角VABC的内角A&C所对的边分别为a,0,c，满足—cosine=GaAcosC.

(1)求角C；

(2)若C4.而=3，c=币,求VABC的周长.

71

【答案】(1)

3

⑵5+"

【解析】

【分析】（1）由余弦定理即可求解；

（2）由平面向量的数量积运算可得次?=6,根据余弦定理求出〃+。2=]3,从而可求继而可得

VA5C的周长.

【小问1详解】

2

因为_cjsinc=y/3abcosC,

所以由余弦定理可得2a/;cosCsinC=MabcosC.

因为VABC是锐角三角形，所以cosC>0,

所以2sinC=^3，即sinC=，

2

71

所以C=7

3

【小问2详解】

因为64•互=3，所以QbcosC=（ab=3，

所以次?=6.

因为C=J7，C=y,

由余弦定理可得，=/+/一2abeosC=/+/一而=7,

所以/+/=13,

所以（。+人）2=/+/+2QZ?=13+2x6=25,

所以Q+Z?=5，

所以VA5C的周长为a+b+c=5+J7.

—.3—►►__►

18.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E,尸分别为BC,AC上的两点，且AF=]AC,BE=ABC

（0<2<1）,A瓦3尸相交于点p.

（1）求出求的值;

（2）试问：当几何值时，AE±BF?

(3)求证：AE-BF>ABEF-

【答案】（1）V13

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用平面向量基本定理，得到市=；恁-砺，两边平方后即可求得结果；（2）将向量荏

表示为了云=通+2能，进而由尸得到4引丽=0，数量积运算求解即可；（3）分别计算

荏•旃和初•丽的值，证明即可・

【小问1详解】

因为衣=3而，所以丽=/一通=。衣—通,

44

所以|丽f=：衣-通=^\AC[-^AB-AC+\AB\,

I-----\299319

得：\BF\=—X42——X4X4X-+42=13,

I।1622

所以研=而；

【小问2详解】

因为屁=2配，所以通=通+而=诟+彳而，

所以通.而=（荏+/i瑟）[?恁一荏）=；〃.通T通就.就_/i血.近,

__.3131(1

AE-BF^-x4x4x——42+-22x4x4x——2x4x4x——=-10+142,

4242I2)

因为尸，所以衣.丽=0，即—10+142=0,解得;1=2,

7

故当4=』时，AE±BF；

7

【小问3详解】

EF=CF-CE=-1AC-(2-1)BC=-1AC+(1-2)BC,

ABEF=AB--1AC+(l-2)Bcj=-1AB-AC+(l-2)AB-BC,

——x4x4xcos60°+(1-2)X4X4Xcos120°

4

-Ix4x4x1-+(l-2)x4x4x82-10,

因为0W4W1,所以旗•丽―亚•丽=-10+144—(82—10)=6X20,

所以荏•丽丽•丽・

19.如图，设3,0y是平面内相交成60°角的两条数轴，4,1分别是与x轴、y轴正方向同向的单位

向量.若向量OAf=xq+ye2，则把有序实数对(％,y)叫做向量臣0在坐标系。孙中的坐标，记作

OM=(x,y).在此坐标系O孙中，若出=(3,0),丽=(0,2),而=(3,2),E是8P的中点，AF

与OP交于T两点.

(1)求画;

(2)求方的坐标;

(3)若过点尸的直线/分别与无轴、y轴正方向交于M、N两点，求ZOMN的最小值.

【答案】(1)\op\=y/19

⑵…

⑶673

【解析】

【分析】(1)依题意可得历=3录+2£，再根据数量积的运算律计算可得；

(2)依题意可得加=丽+砺，即可得到Q4P6是平行四边形，从而得到△PFTSAQ4T,即可得到

—.2—.

AT=-AF,再根据讨=殖+不了计算可得；

（3）设两=（羽0）,而=（O,y）（x,y>O）,又”,P,N三点共线，设诉=2做（0<2<1）,根据

3—x=—Ax32/、

平面向量线性运算及基本定理得到c,，从而得到x=「再由面积公式

2=Ay1—XZ

及基本不等式计算可得.

【小问1详解】

依题意可得q-e?=同.同cos60o=lxlx；=g

OP=（3,2）=3q+2e2,

I>|2/—►—2—*2—*-->—*21

|（?JP|=^3^+2^J=9,+