甘肃省平凉市某中学2024-2025学年高二年级下册4月月考数学试题（解析）

平凉一中2024-2025学年度第二学期阶段性考试试题（卷）

局一数学

时间：120分钟总分：150分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知向量屋（区2，1），工（2，-1，1）,若（片山J则（）

,79

A.—B.4C.—D.5

22

【答案】A

【解析】

【分析】先求根―“，再由（m—〃>〃=0解方程即可求得.

【详解】由机—,可得加一〃=（。一2,3,0）,

又由（力-〃）_!_〃，则得（加一〃）•〃=（）,

即2（a—2）—3=0,解得a=万.

故选：A.

2.已知A3,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M,A,民C共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OC

-11111

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23333

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得.

【详解】平面ABC外的任一点。，点KA,民C共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,且

x+y+z-1,

对于A,由3/=O/+OB+O（j,得1+1+1=3片1,点M,A,3,C不共面，A不；

对于B,由=204-03—OC，得2+（-1）+（-1）=0/1,点加,4瓦。不共面，B不是；

对于C,由。M=。4+工。3+工。。，得1+工+工W1,点〃,A,3,C不共面，C不是；

2323

对于D,由0M=』。4+工。5+工。。，得工+,+,=1,点M,A,民C共面，D是.

333333

故选：D

3.已知函数八％)的导函数为了'(%),且“X)=2矿《J+sinx,

B.C.

~22

【答案】D

【解析】

7T

【分析】对函数表达式同时求导并令X=：,解方程即可求得结果.

【详解】由/(X)=2矿D+sinX可得/'(X)=2/'［巳)+cosx,

令一可得/02吧+c吟即/符岑

故选：D

f(x］

4.对函数y=/(x),若数列｛%｝满足玉+1=%—赤j,则称卜｝为牛顿数列.若函数/(x)=%2,

数列｛七｝为牛顿数列，且%=2,an=log2xn,则/=()

A.20B.-35C.30D,-55

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求得x,+i=gx“，得到｛七｝是等比数列，求得,再得出4=2-〃结合等

差数列求和即可.

【详解】因为"％)=X2,所以/'(x)=2x,则X"M=x”—方\=玉一寸=］当，

又因为%=2,且xn〉0,所以｛%｝是首项为%=2,公比q=＜的等比数列，

…，…g2』咱二一〃，

则

故选：B.

5.进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫

物资.已知A地距离上海500km,设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h~110km/h.

已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度vkm/h的立方成

正比，比例系数为b,固定部分为。元.若人=’,a=1。4,为了使全程运输成本最低，车队速度丫应为

200

()

A.80km/hB.90km/hC.100km/hD.110km/h

【答案】C

【解析】

【分析】设运输成本为y元，依题意可得了=U。4+上迎，利用导数求出函数的单调性，即可得

1200)v

到函数的极小值点，从而得解；

【详解】解：设运输成本为y元，依题意可得斗迎=,2+侬2四，

I200)v2v

贝I」5000000_5v3-5000000_5(v3-106)_5(v-102)(v2+102v+104)

、＞="一~

所以当v=l()2时y'=0,当60Wv<100时y<0,当ioo<v〈no时y'〉o,

即函数在(60,100)上单调递减，在(100,110)上单调递增，所以当V=100时取得极小值即最小值,

所以v=100km/h时全程运输成本最低；

故选：C

6.在四面体。45c中，04=。，OB=b，OC=c，G为VABC的重心，P在OG上，且OP=」PG,

2

则4尸=(

21,181•1.

A.——a+—b+—cB.-a——b——c

999999

81『1-21,1.

C.——a+—b+—cD.-a——b——c

999999

【答案】C

【解析】

【分析】延长BG交AC于点。，根据向量的线性运算法则，结合重心的性质将AP表示为QAO5OC

的线性形式即可.

【详解】延长BG交AC于点。，则点。为AC的中点，

因为OP=LpG,所以。尸=1(9G,

23

所以AP=OP—OA=g(9G—0A=g(05+3G)—0A,

所以APMLOB+'XZBD—OAMLOB+ZIOD—OBJ—QA,

33339、'

所以AP=!O3+2XUOA+OC)—OA=LO3+LOC—§OA,

992、>999

因为OA=a，OB=b，OC=c，

Q11

所以AP=——a+—b+—c,

999

故选：C.

7.已知过点A（a,0）作曲线y=（2—x）ei的切线有且仅有1条，则。的值为（）

A.—2或2B.—1或3C.3D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】设切点为（%,（2-Xo）e&T）,利用导数的几何意义求出切线方程，将点A（a,0）代入切线方程结合

切线有且仅有1条，令判别式为0即可求解.

【详解】设切点为（/，•一/卜为一）,由已知得y'=（l—x）ei,则切线斜率左=（1—%）e为一】，

所以切线方程为y—（2—%）e3=0—%）（%—%）,

因为直线过点A（a,0）,则—（2—%）6*=（1—%卜与Ya—/），

化简得莅-(a+2)X。+a+2=0,

又因为切线有且仅有1条，即△=(a+2)2—4(a+2)=0,解得a=—2或2,

故选：A

8.已知函数/'(尤)=6一1!1^+1无零点，则实数。的取值范围是()

A.a>e-1B.a>e2C.a>eD.a>e2

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数无零点，将其转化为方程。=生土工在(0,+8)上没有实根，研究函数

X

g(x)=电£/(尤>0)的值域，即可求得参数a的取值范围.

【详解】函数/(%)=依-lnx+1无零点，即关于X的方程依—lnx+l=O在(0,+8)上没有实根，

也即方程a=见匚虫在(0,+8)上没有实根.

X

、In%—1.1—(Inx—1)2—Inx

设g(%)=------(x>0),则g'Q)=^~~二——,

XXX

由/(%)>。可得0<%<e2,由g'(%)v0可得

故函数g。)在(0,5)上单调递增，在e2,+00)上单调递减，

1

则％=，时，函数g(x)取得极大值为g(e29)==,

e

当Xf。+,贝-00,当X—+°0,贝Ug(x)-。，

作出函数g(x)=@±二的图象，可得其值域为(-8,3］，故。>!.

二.多选题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量£=(1,1,—1),Z?=(-2,2,1),则下列结论正确的是()

A.(b-lct^/laB.忖=百忖

C.。与b夹角的余弦值为一等D.。，(。+3可

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用空间向量的坐标运算，对于A,结合向量平行的性质，即可求解，对于B,结合向量模公

式，即可求解，对于C,结合向量的夹角公式，即可求解，对于D,结合向量垂直的性质，即可求解.

【详解】因为a=(l,L—1)，=(-2,2,1),

所以匕—2a=(—4,0,3),

-403................

因为丁所以向量0—2a与〃不共线，故选项A不正确；

11—1

因为卜有，恸=3,所以W=6卜故选项B正确；

因为cos(a,b)=2£4=—走，故选项C正确；

'/A39

因为a+3〃=(—5,7,2),所以a«a+3))=—5+7—2=0,即a'(a+3。)，故选项D正确.

故选：BCD.

10.已知函数，(x)=e*+sinx,_f(x)为/(x)的导函数，则()

A.曲线y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程为y=x+1

B.f(x)在区间(0,+8)上单调递增

C.f(x)在区间(-兀,0)上有极小值

D./'(X)在区间(-兀,+8)上有两个零点

【答案】BC

【解析】

【分析】求出函数/'(x),再利用导数几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零

点个数判断D.

【详解】依题意，/(x)=e"+cosx,

对于A,/'(。)=2,/(0)=1,所求切线方程为y=2无+1,A错误；

对于B,当x>0时，/,(%)=ev+cosx>l+cosx>0,/(幻在区间(0,+8)上单调递增，B正确；

对于C,丁=1,丁=(：05%在(-兀,0)上都单调递增，则函数/"(x)在(-兀,0)上单调递增，

尸(―兀)=b—1<0,尸(0)=2,则存在唯一/e(F,0),使得尸(%)=0，

当一兀<x<Xo时，f'(x)<0；当玉)<x<0时，f'(x)>0,因此/(%)在/处取得极小值，C正确；

对于D,由选项C知，/'(X)在(一兀,0)上有唯一零点，又/'(0)=2,

当x>0时，f'(x)-ev+cosx>1+cosx>0,即VxNO,f'(x)>0,

因此/"(x)在区间(-71,+8)上有1零点，D错误.

故选：BC

1nx,

11.已知函数/(X)=F，则下列说法正确的是()

X

A./(l)</(V2)</(^)

B.方程6,(x)『—7,⑴+1=0恰有4个不等实数根

C.存在实数x使不等式/(x)>gx3-x+1成立

1e

D.若〃x)〈左—=在(0,+8)上恒成立，则实数左〉5

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据导数研究函数/(%)的单调性和最值情况，即可判断ABC；根据恒成立问题，通过分离参数求

最值即可判断D.

【详解】由题意知/•'(■<)=-3、々工>0),

X

令fXx)<0=>x>1(%)>0=>0<x<A/C,

所以函数/(X)在(G,+O0)上单调递减，在(0,J3)上单调递增，

且/⑴=0,x-。时，/(x)f—00,当Xf+00时，/(x)f0,如图，

所以/(无)皿=/(&)=1-

2e

A：因为1〈后〈五，所以/⑴</(JI),

由==Ve<73<2>

得/(2)</(6)，则/(衣</(6)，所以/⑴</(后)</(6)，故A正确;

B：由6|/(幻「—刀/(刈+i=o,得/⑸=1或|/(刈=：,如图，

由图可知，当|/(刈=1时，方程有1个根，当|/(刈=、时，方程有3个根,

所以原方程共有4个实根，故B正确；

C：若命题成立，贝!J/(x)>：彳3—x+1,即不x+1,

11Mx32e3

设F(x)=-x3-x+1,

3

则F\x)=x2-l,^F'(x)<O=^O<x<l,F'(x)>O=>x>l,

所以F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以尸⑺*=网1)=:>3，故命题不成立，故C错误；

32e

11Inx+1

D：因为/(x)(左一一7,故女>/(X)+F=——,

X"XX

又函数在(0,+8)上恒成立，所以上>(电"3ram，

X

'门z\In%+1.—2In%—1

设g(x)=——(X>0),则g(X)=----——，

XX

令g'(x)<0=>x>J,g<x)>0=>0<x<-^,

veve

所以g(%)在(J,+8)上单调递减，在(0,J)上单调递增，

，eyje

故g(X)max=g(7=)=5，即左〉］,故D正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：利用导数证明形如/(£)2g(x)的不等式恒成立的求解策略：

1、构造函数法：令—x)=〃x)—g(x),利用导数求得函数/⑴的单调性与最小值，只需

F(x),20恒成立即可；

\/min

2、参数分离法：转化为。之姒力或aW°(x)恒成立，即。2姒力1mx或。4以力.恒成立，只需利用导

数求得函数。(%)的单调性与最值即可；

3,数形结合法：结合函数y=/(x)的图象在y=g(x)的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.

12.己知a=(2,2,1)力=(1,0,0),则a在b上的投影向量的坐标为.

【答案】(2,0,0)

【解析】

【分析】利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得£在B上的投影向量的坐标.

【详解】已知空间向量。=(2,2,1)和/7=(1,0,0)，

则£在3上的投影向量为

同cos(a,端=同*七

H\a\\b\\b\

=¥匕=干(1,。,。)=(2,0,0).

\b\

故答案为：(2,0,0).

13.如图，在平行六面体ABCD—AUGA中，G为与G的中点，AG=xAB+yAD+zA^,则

x+y+z=；若该六面体的棱长都为2,ZBAD=ZA.AB=ZAtAD=60°,则AG=.

5，—

【答案】①.—##2.5②.47

2

【解析】

12___9

【分析】由空间向量基本定理和已知条件可得AGnAB+iAD+AA；由=AG—结合向量的数量

积运算可得AG.

**.x=l,y=—,z=lfx+y+z——；

v|AG|2=AG2=^AB+1AD+A4j

212-2

=AB+-AD+7Vli+ABAD+2ABA4i+ADA4i

=22+—x22+22+2x2cos60°+2x2x2cos60°+2x2cos60°=17,

4

A|AG|=A/17,即AG=A/I7.

5L

故答案为：一；JF7.

2

14.若曲线G：y=/与曲线。2：＞=小、存在公切线，则。的最大值

4

【答案】飞

e

【解析】

【分析】设公切线与曲线a切与点（4片），与曲线G切与点（无2，或巧），由题意可得

2

2X1=a^==一%,化简可得起*=4々-4,则/(xj),构造函数〃司=生£1,利用导

数求出其最大值即可.

【详解】设公切线与曲线G切与点(西，龙；)，与曲线C2切与点(々me"),

由y=I?,得了=2x；由y=aex得yf=aex.

r-％优巧-%?

则2石=〃e2=---------,

所以2为=2~%■=>玉=2々-2,所以〃e巧二4々-4,即］=巴%~D.

x2-玉e”2

设心…，则"

由/''(xAOnxvZ；由/''(x)<0=>x>2.

所以函数在(—8,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

4

所以函数/(#</(2)=/.

4

即。的最大值为二.

e

4

故答案为：—r

e

【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的

坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程.

A-i-C

15.VA5C的内角AS。的对边分别为。，仇。，已知asin-------=bsinA.

2

(1)求5；

(2)若VA3C为锐角三角形，b=y/3,求2a—c的取值范围.

TT

【答案】(1)B=-

3

(2)(0,3)

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得sinO=,，从而可求3的值.

22

(2)利用正弦定理及三角变换公式可得2a-c=2/sinA-E,结合A的范围可求其取值范围，从而

可求2a—c的取值范围.

【小问1详解】

因为tzsin=Z?sinA,由正弦定理得sinAsin=sinBsinA,

.Bc.BB..

®sinAcos一=2sin-cos—sinA,

222

在VABC中，0<A<TI,0<B<n,所以sinA>0,0<—<—,贝ijcos^〉。，

222

_/D.B1LL.B7Lr-r-IT-1兀

可r得sinl=一,所以一二"7，所以_B=—.

22263

【小问2详解】

2R=a=c=b=五=2

由正弦定理可得一金了―//一金不一耳一(R为VA3C外接圆的半径),

所以〃=2sinA,c=2sinC,

兀2兀27i

因为5=—,则A+C=——，C=——A,

333

所以2〃一。=4sinA-2sin=3sinA-A/3COSA=2A/3sinfA-

0<A<-

2ITIT

因为VABC为锐角三角形，贝I；,解得<匕

八一2兀，7i62

0<C=----A<—

[32

则A—sin^A——e0,-^-,故2a—ce(0,3).

16.已知函数/(x)=x?-alnx(aGR).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当a=2时，求函数/(%)在区间A,e］上的最大值与最小值.

e

【答案】(1)答案见解析

2

(2)最大值e-2.最小值为1

【解析】

【分析】(1)求出函数/(X)的导数，分类讨论求出其单调性.

(2)把a=2代入，利用(1)的结论求出函数/(%)在指定区间上的最值.

【小问1详解】

函数/(x)=V—。inx的定义域为(0,+8)，求导得f'(x)=2x--,

X

当aW0时，/，(%)>0,函数/(%)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，由/'(x)<0,得0<%<叵；由/'。)>0,得x>叵,

22

则函数/(%)在(0,孚)上单调递减，在(容,+oo)上单调递增，

所以当aWO时，函数/(%)在(0,+S)上单调递增；

当a>0时，函数/(%)在(0,字)上单调递减，在(浮,+oo)上单调递增.

【小问2详解】

当a=2时，由(1)知：函数/(%)=必一21nx在上单调递减，(l,e］上单调递增，

e

因此当X=1时，/(X)取得最小值为/(1)=1；

而/d)=4+2<3,/(e)=e2—2>5,则当％=e时，/(x)取得最大值/(e)=e?—2，

ee

所以函数/(%)在区间d,e］上的最大值为e2-2，最小值为1.

e

17.如图，在所有棱长都为2的三棱柱A3C—A3IG中，点E是棱A&的中点，A用，CE.

(1)求证：平面A.ABB,1_平面ABC；

(2)若=m，点尸满足4G=3AP，求直线CP与AB1所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

10

【解析】

【分析】（1）取A3的中点0,证得四边形是菱形，证得利用线面垂直的判定定

理，证得人与，平面EOC,得到再由OCLAB,证得OCL平面443与，结合面面垂直

的判定定理，即可证得平面AA5与，平面ABC.

（2）以。为原点，建立空间直角坐标系，根据CG=Ba，求得G（、行,1,、回），得到向量则

CP=,再由做=（0,3,也），结合向量的夹角公式，即可求解.

I33）

【小问1详解】

证明：如图所示，取A3的中点。，连接EO,\B,OC,

因为E为A4中点，。为A3中点，所以EO//AB.

在三棱柱ABC—A与G中，A3=AA=2,则四边形A34A是菱形，

可得AB,1\B,则AB,1EO,

又因为AgLCE,EOCE=E，且石O,"u平面EOC,

所以平面EOC,因为OCu平面EOC,所以OCLA用，

因为VABC是等边三角形，。为AB中点，所以OCLAB,

又平面

ABABt=A,AB,AB,ABXUA^ABB^,

所以OC,平面4A3用，

因为OCu平面ABC,所以平面AAB4，平面ABC.

TV

因为=AB=AAl,所以是等边三角形，所以4OLA5.

ASS

又因为平面AXABBX1平面ABC,平面Ai八平面ABC=AB,

且A。＜=平面AiABBl,所以AQ，平面ABC,

因为由OC,03u平面ABC,所以AOLOC,AO±OB,又因为OCLAB,

以。为原点，OC,08,04所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，0(0,0,0),C(百,0,0),5(0,1,0),A(0,-l,0),A(0,0,73),B](0,2,百)，

设G（x,y,z）,因为CG=B耳，即卜一石,/2）=（0,1,逝）

可得x=y=1,z=,所以G,

则CP=04+(AG

CP-AB[屈

又因为做=（0,3,指），所以cosCP,Ag=

|CP|-|AB'|-io,

直线CP与A片所成角的余弦值为叵.

10

18.已知双曲线C:1—与=1（。〉01〉0）的右顶点人到其渐近线的距离为冬叵.点6（2,1）在。的渐

ab~5

近线上，过8的直线/与C交于P,。两点，直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点.

（1）求C的方程；

（2）若△APQ的面积为哀1,求/的方程;

3

（3）证明：线段MN的中点为定点.

r2

【答案】(1)—-y2=l

4-

(2)x+y—3=0

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由顶点到渐近线距离建立方程解得的值，从而得到曲线方程；

(2)设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角

形面积建立方程得到k的值，从而得到直线方程；

(3)设坐标，然后得到直线40方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到P点坐标,

同理求得Q点坐标.从而得到由向量共线建立等式，从而得到点纵坐标的关系，即可得证.

【小问1详解】

因为C的一条渐近线方程为桁—殁=0,人(。,0),

过8(2,1)得％—a=0,

解得：a=2,b=l,

2

所以C的方程为?—>2=1①.

【小问2详解】

显然直线/的斜率存在，设/的方程为丁=左(%—2)+1②，

①②联立得：［^-kAx1-(ik-^x-^k2+4rk-2=G.

1）△=（25»4[卜”

则有厂广。③,+4左一2）=2—4左>0④,

设尸（石，弘），。（盯％），

_2k-4k②4左2+4A-2

则-=⑤，/々=-j———⑥，

--k--k

44

把⑤⑥代入：民一X|=/（々+代）2-4々==[J肃，

„1I4r,iII11442-442[―

所以S50=-x|AB|x|x-^|=--xlx=-V6,

L2/1—4kJ

得：（左+D（4K—2左+1）=0,解得:左=—1.

满足③④式，则直线/的方程为x+y—3=0.

【小问3详解】

设〃（0，M，N（0,“），不妨设〃Z〉〃.则直线AM:y=—5（x—2）⑦,

联立①⑦得：（^l-m2jjc2+4m2x-4m~-4=0,

4（m2+1

则△=（4〃[2）+4（1-疗）（4m2+4）=16,

2（4+1）—_2m

则与

m2—1，丁0m2—1

2（/+1）—2n

同理:

=2~~i—，%=~~~7

n-1丫n-1

（2（m2+l、（2（/+1、

—2m—2n

而尸3=2--~~QB=2--~~

m2—1n2—1/一八

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又尸，尻。三点共线，则有PB〃QB,

得：根+〃+2=0,

所以的中点为定点（0,—1）.

【点睛】技巧点睛，三角形在直角坐标的面积可以用铅锤高乘水平宽来表示，例如本题中

SAPO=g义IAB|X卜2-xj(氏2-%|表示点P,Q的水平宽).

19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量

的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角

垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6

个球……第〃+1层球数是第n层球数与”+1的和，设各层球数构成一个数列｛«„｝.

(1)求数列｛4｝的通项公式