高二《椭圆》易错培优竞赛试题-2024-2025学年高二数学竞赛能力培优练原卷版

2025新高考高二椭圆易错培优竞赛试题

【专题目录】

专题一：名校椭圆易错题精选

专题二：名校椭圆培优题精选

专题三：椭圆全国高中数学联赛强基计划精选试题

【精选练习】

专题一：名校椭圆易错题精选

22

1.已知椭圆C:?+方=1（0<6<2）的左焦点为EM是c上的动点，点N（o,⑹，若现四+悭目的最大值

为6,则C的离心率为（）

2.已知椭圆C：5+丁=1的左、右焦点分别为%F2,直线y=x-〃7（—2<相<2）与C交于A,B两点,

若的面积是△耳AB面积的2倍，则加=（）

22

3.已知椭圆C：5+与=1（4>6>0）的左、右焦点分别为耳，F2,尸为C上一点，且满足|尸胤=3|尸典.

ab

若线段尸月的中垂线过原点0,则椭圆C的离心率为（）

22

4.如图，己知椭圆「:三+==1伍>6>0）的右焦点为尸，若过原点。的直线/与椭圆交于两点，直

ab

线MF与椭圆厂交于另一点尸，若NF工MP,|Ay|=4|PF|,则椭圆「的离心率为（）

V5272

5.已知椭圆C:二■+力=1（。>6>0）的离心率为交，左，右焦点分别为耳工，过F?的直线交C于A,3两

ab2

点.若则)

A.2B.3C.4D.5

6.（多选题）己知耳、F?是椭圆C：+y2=i（a>i）的左、右焦点，点Q五用在C上，"是C上的动

点，MNLy轴，垂足为N,且尸为肱V的中点，贝|（）

14

A./耳又工的最大值为120°B.版+］的最小值为9

C.点尸的轨迹方程为f+V=iD.|尸。|的最小值为萼-1

7.（多选题）已知椭圆C:总+:=1的左、右焦点分别为片，鸟，P为椭圆上任意一点.下列结论正确的是

（）

A.|朋的最大值为9B.cosNf；P八的最大值为g

C.|居,朋|+及T%=10D.椭圆C上存在点尸，使得西•%=4

8.（多选题）已知椭圆（3：；+丁=1的左、右焦点分别是£，B，过坐标原点。的直线/与椭圆C交于尸、

。两点.则下列说法正确的是（）

A.椭圆的短轴长为2

B.三角形尸。鸟面积的最大值是1

C.月A•改的取值范围为［T,2］

D.以椭圆的长轴为直径的圆与以线段P4为直径的圆内切

9.（多选题）如图，曲线C是由炉+丁=1（*<0）,\+,2=1@20）的图形组合成的，过P（0,2）作曲线C的

切线尸AP8,切点分别为A8,且点A在丁轴左边，贝。（）

A.“PA建

B.直线AB与x轴平行

C.当M在C上时，的最大值为3

D.当点（%,%）在C上时，xoyo<^

r2v2

io.已知椭圆「：7r+3=1,尸为r的右焦点，尸为第一象限内椭圆上的一点，过点尸作「的切线，与x、y

43

轴分别交于A,3两点，若丽・丽=-3，则点尸的坐标为.

22

11.已知椭圆C:>q=l（0<f<4",为为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上只存在4个点尸使得何也为

直角三角形，则实数，的取值范围是

22

12.已知点M是椭圆C:1+3=1（°>6>0）上的一点，耳,月分别是C的左、右焦点，且/£加入=60°,

ab

点N在N不明的平分线上，。为原点，ONIIMF、,\ON\=b,则C的离心率为.

13.已知一个离心率为长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为片，鸟，在椭圆上存在一点P,使得

/单科=60。，设/耳工的内切圆半径为『，则厂的值为.

14.已知椭圆C:工+上=1,圆4:/+;/_31->+2=0,P,。分别为椭圆C和圆A上的点，F（-2,O）,则

1612

|PQ|+|P目的最小值为.

22_

15.已知AB分别为椭圆c：A+2=l(a>Z7>0)的左、右顶点，ab=6拒,MN均为椭圆C上异于顶点

ab

的点，71为椭圆C上的点，直线经过左焦点可，直线HN经过右焦点鸟(1,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)试问禺+耦是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

16.如图，圆£:(彳+1)2+丁=16,网1,0)是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段M尸的垂直平分线

/和半径相交于点N,当点〃在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

⑵设曲线C与x轴从左到右的交点为点4,3,点尸为曲线C上异于A3的动点，设上4交直线x=-4于点T,

连结2T交曲线C于点Q,直线3尸,8。的斜率分别为kBP,kBQ.

(i)求证：凝1施。为定值;

(ii)证明：直线尸。经过》轴上的定点，并求出该定点的坐标.

17.如图，圆E的圆心为E（-1,O）,半径为4,尸（1,0）是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段尸7的

垂直平分线/和半径ET相交于点N,当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

（2）设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A,B,已知动点M在直线x=4上运动且不在x轴上时，直线

AM,3”分别交曲线C于另外的点P,Q.

①求证：NPBQ为钝角；

②求四边形4尸8。面积的最大值.

22

18.已知椭圆C:，+2=1但>/7>0）的左、右焦点分别是耳（TO）,2^（1,0）,Af为C上任意一点，AMF'FZ

ab

的内切圆半径的最大值为在.

3

⑴求椭圆C的方程.

⑵过点尸（4,0）的直线交C于A8两点，。为x-轴上一点，记△4尸。与VBPQ的面积分别为S^BPQ,

是否存在一点。，使得深丝=霁？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

、4BPQ必

22

19.已知直线x=2经过椭圆。:彳+2=1（。>6>0）的右焦点为足且被椭圆C截得的线段长为2H

ab

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵椭圆C的下顶点为A,P是椭圆C上一动点，直线AP与圆。：V+y2=〃相交于点M（异于点A）,M关

于。的对称点记为N,直线⑷V与椭圆C相交于点。（异于点A）.设直线MN,PQ的斜率分别为匕,网,试

探究当心工。时，3是否为定值，并说明理由.

221

20.已知椭圆Erj+avMK。”>。），尸为E的右焦点,P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，|尸刊=5,

R是直线了=2上一动点，1m1的最小值为1.

⑴求E的方程：

（2）过R作E的两条切线分别交无轴于M,N两点,求ARWN面积的取值范围.

专题二：名校椭圆培优压轴试题精选

22

1.设椭圆C:=+2=1（。>6>0）的左、右焦点分别为4，F2,上顶点为A,直线AK交C于另一点B,^ABF2

ab

的内切圆与明相切于点P,若I忸尸月耳阊，则椭圆C的离心率为（）.

A.-B.-C.gD.-

4324

22

2.已知椭圆C：亍+]=1的左、右焦点分别为月，F2,尸是C上异于顶点的一个动点，记与&的内切

圆圆心为M,则点尸与点M的横坐标之比为（）

A.忘B.2C.2A/2D.3

22

3.已知椭圆C:；+/=ig>b>0）的左、右焦点分别为0B，过点K且斜率为M%>0）的直线/与椭圆c

相交于A3两点，若亚=3用，且乙483=90。，则椭圆C的离心率为（）

A-B.C.45-V7D.8-小

4.（多选题）如图，曲线C是一条双纽线，曲线C上的点满足：到点£（-3,0）与玛（3,0）的距离之积为9,

已知点是双纽线C上一点，则下列结论正确的是（）

A.点（3近,0）在曲线C上

B.双纽线C的方程为（丁+力2=9（尤2-力

c.-i<y0<i

D.点。在椭圆支+空=1上，若耳。，居。，则。eC

279

12

5.（多选题）已知曲线E：=+3=l,则下列说法正确的是（）

xy

A.当4=-1时，曲线E关于直线>=一3对称

B.当2=0时，E是两条直线

C.当2=1时，若点P（x,y）是曲线E上的任意一点，则国>1

D.当4=2时，曲线E上的点尸（x,y）到原点距离的最小值为0+1

6.（多选题）历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30°,现有

一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点。距离圆锥顶点河长度为1,则以下关于该截口曲线描述

正确的命题有（）

A.M点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为6

B.点0为该曲线的一个焦点

3

C.该曲线上任意两点之间的最大距离为力

2

D.该曲线的离心率为也

3

7.（多选题）已知曲线C：f+y2一肛=。，点0』）在曲线c上，则下列说法正确的是（）

A.a=l

B.曲线C上任意一点到原点的距离小于或等于近

C.曲线C内部（含边界）有6个整点（横，纵坐标均为整数的点）

口26<<2有

D.--------<x<------.

33

22

8.（多选题）给定椭圆二+5=1值>6>0）上有一动点尸（不在坐标轴上），片,鸟分别是椭圆的左右焦点，

ab

△尸耳鸟的内切圆/与尸片,尸鸟分别切于4,8两点，则（）

A.若1PA1=（。，则椭圆的离心率为:

B.动点/的轨迹是一个椭圆

C.直线有，/工的斜率之积为常数

D.内切圆/的面积无最大值也无最小值

9.设。为坐标原点，椭圆厂:二+与=1（。>万>0）的左顶点和左焦点分别为C、F,A、3为r上关于y轴

对称的两点（点A在第二象限）且AFLx轴，IA尸|=；|OC|,则「的离心率为；已知。、E为F上

关于x轴对称的两点，直线AE,BD交于点P,若椭圆的长轴长为小，则点P的轨迹方程为（结果

含t）.

10.已知平面向量a,5,1满足向=忖=1,a-b=^,H=2,若对于任意的向量。，均有归-司的最小

值为忘日-町,则山-司+扬-。|的取值范围是.

22

11.已知椭圆c：1r+}=1（。>6>0）的左焦点为耳（-2,0）,椭圆上任意一点到目的距离最大值为6.

⑴求椭圆C的方程；

（2）过原点且斜率为左的直线与椭圆C交于M,N两点.

kk

（i）当左力0时，设直线可加，耳N的斜率分别是尤，k2,求证：1为定值；

（ii）过点可作垂直于的直线交于T,交圆0：x2+y2=r2（r>2）-^P,Q两点，记△PMT,4QNT

的面积分别为%S2（SI<S2）,求兴的取值范围.

12.已知椭圆丘4+==1(。>6>0)的离心率为更，A,8分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点,

ab2

图1图2

⑴求椭圆E的方程；

⑵如图1,设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线B4与y轴交于点直线尸C与无轴交于点N,求

证:四边形AOV仪的面积为定值；

(3)如图2,若。是直线/:x=l上一动点，连接A。交椭圆E于点G,连接8。交椭圆E于点”，连接GH.

试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

13.已知0C:f+y2-2x-i5=O,点*TO).在。C上任取一点P,线段P尸的垂直平分线与线段尸C相交

于点R,当点P在圆上运动时，点R的轨迹为曲线

⑴求曲线「的方程；

(2)过点。(4,0)且斜率不为0的直线/与曲线r相交于N两点.

(i)若。为原点，求△MON面积的最大值；

(ii)点A(-2,0),设点。是线段"N上异于的一点，直线QAQM的斜率分别为心片，且《+&=0,

DM\-\NQ

求的值.

DN\-\MQ

14.已知椭圆C:g+4=l(a>"0)的离心率为J,为C上一点.

⑴求C的方程.

⑵过C的右焦点/的直线/与C交于A,B两点，记△043(。为坐标原点)的面积为S,过线段AB的中

点G作直线尤=4的垂线，垂足为N,设直线AN,BN的斜率分别为尢，k2.

(i)求S的取值范围；

S

(ii)求证：尸石为定值.

15.已知P(1,0)为离心率为正的椭圆C：W+¥=l(a>8>0)的右焦点，过点尸(2,。(0</<3作>轴的垂

线与C交于M,N两点(M在第一象限).

(1)求C的方程；

(2)求AACVF的面积的最大值；

⑶若直线网与了轴交于点Q,求证：M,M。,尸四点共圆.

16.已知椭圆c：，+，=l(a>6>0)的离心率为且点0(2,-1)在椭圆C上.

(1)求C的方程；

⑵若动直线x=[F<C<a)与C交于点A,B,耳，区分别为C的左、右顶点，直线A厚2当交于点G,

求证：点G恒在某圆锥曲线上；

⑶已知直线尤=，孙+4与C交于P,。两点，直线DRDQ与直线尤=4分别交于点MN,若平面内存在一点打,

使得四边形的网为平行四边形，求点H的坐标.

17.已知圆O:/+y2=7,动直线/与圆。交于AB两点，且|钻|=2石，点耳(-1,0),乙(1,0)到直线/的

距离分别为4,右，动点P满足|尸4卜4，/耳|=4，记动点尸的轨迹为曲线C.

(1)求曲线c的方程.

⑵记。为圆。上一动点，过点。作曲线c的切线44.

(i)证明：4，，2；

(ii)若。(1,-布)，记4,4与曲线c的切点分别为求AQMN的面积.

2222

18.如图，椭圆和二+工=1(m>〃>o),r2:—+^=1,已知一右顶点为“(2,0),且它们的交点分别为

mnnm

6(1,1),7^(-1,1),^(-1,-1),乙(1,T).

⑴求口与「2的标准方程;

⑵过点A作直线MV,交口于点交「2于点N,设直线AM的斜率为%直线4N的斜率为心，求勺;

(上述各点均不重合)

⑶点2是口上的动点，直线。出交「2于点。2,直线。2乙交口于点。3,直线Q片交r2于点Q，直线Q乙与

直线。出交于点M求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值.(上述各点均不重合)

19.“相对运动的本质是观察者所处的参考系不同，物体产生的运动轨迹不同”，在物理学中研究物体运动时

有很好的运用.比如从正在飞行的飞机上掉落的物体，在地面视角来看，该物体的运动轨迹是抛物线；但是

从飞机的视角来看，该物体是竖直降落的，故可以此为依据，计算物体的降落时间.其实，数学中研究动点

运动轨迹的相关问题时也可以运用“相对运动”的观点.

⑴在平面直角坐标系xOy中，圆O:/+y2=4上有动点P(x,y),已知定点A为(1,0).在研究“/OPA最大值”

问题时，

(i)如果借助两直线的夹角公式tand=23(其中左,融为已知两直线的斜率，上的WTg为两直线的夹

1+k'k2

角，Oe试求出用P点横坐标x表示tan/OR4的函数/(x),并求出其最大值及取得最大值时尸点

的坐标；

(ii)如果运用“相对运动”的观点，视。，尸点位置不变，A点为动点，试分析NOPA何时取得最大值，并给

出其最大值；

(2)在平面直角坐标系xOy中，有一动椭圆r始终保持与X轴正半轴、y轴正半轴相切，己知椭圆r的长轴长

为4,短轴长为2,试求出该椭圆中心点P的轨迹方程.

2222

20.我们把由半椭圆1r+%=1(x20)与半椭圆方+]=l(xV0)合成的曲线称作“果圆"，其中/=廿+°2,

fl>0,6>c>0.如图，点玲、月、F?分别是相应椭圆的焦点，4、&和耳、鸟分别是“果圆”与x轴、y

轴的交点.外

⑴若△入片耳是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

一/\

⑵在⑴条件下，P为半椭圆夕=1(x40)上的任意一点，〃点坐标为(1,0),T四

求Ip闻+1p周最大值以及1PM最小值；

⑶当|AA|>|与可时，求:的取值范围.

专题三：椭圆全国高中数学联赛强基计划精选试题

22

1.（2024高三下•全国•竞赛）给定椭圆T：5+2-1=。（其中〃＞。＞。）和直线，：＞=日交于点P、Q（其

中尸点的横纵坐标分别满足不＜。，%＞。），点M、N分别为椭圆T的右焦点和右顶点，若直线9平分

线段NQ,且的长度为4,则/+从的值为（）

A.14B.68C.40D.49

2.（2024高三下•全国・竞赛）已知asinx+〃cosx=Ja2+从sin（%+0）（其中tanp=2），在平面直角坐标系xOy

2

中，有一个动点尸（牡〃），且“2=1一给定/：x+y-8=0,作PQ，/,垂足为点Q,则|P0的最大值为

（）

A.472+73B.473+72C.4巫+64A/3+A/6

22

3.（2018高二・全国・竞赛）已知过椭圆斗+3=1（。＞6＞0）的焦点片，耳的两条互相垂直的直线的交点在

ab

椭圆内部（不含边界），则此椭圆离心率的取值范围是（）.

J_V2

A.（0,1）

4.（2016高二•全国・竞赛）已知圆。］的圆心为（2,0）,半径为4,圆。2：/+丁2=r（0＜厂＜2）,动圆〃与圆。1，

圆。2都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为4,02匕＞e?）,贝|2q+3e2的

最小值为（）

A.5+2—B.-C.72D.-

42v8

5.（2012高二.全国・竞赛）已知直线/交椭圆4/+5/=80于/、N两点，椭圆与＞轴的正半轴交于8点，

若ABMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线/的方程是（）.

A.6x-5y-28=0B.6%+5＞-28=0

C.5%+6y—28=0D.5x-6y-28=0

6.（2008高二・全国・竞赛）在VABC中，sinB+sinC=2sinA,已知点3（3,2）,C（7,2）,则凡权的最大值为

（）.

A.4A/3B.873C.4D.8

7.（2009高二•全国•竞赛）以椭圆焦距为直径的圆交椭圆于四点，若这四点与两焦点恰构成正六边形，则椭

圆离心率为（）.

A.@B.72-1C.痒1D.B

22

8.（2007高二•全国・竞赛）已知过原点的所有直线都与椭圆八：2+/-日+2外+/一1=。有两个不同的交点，

那么实数上的取值范围是（）

A.左＞1或左＜一1B.k^±lC.—l＜%＜0或0＜后＜1D.0＜左＜1

9.（2007高二.全国•竞赛）若方程41一"一,尤?+2表示一条非圆的二次曲线，则它表示（）.

-----------------+-------=1

493

A.椭圆B.双曲线

C.焦点为（7,0）的抛物线D.焦点为（6,。）的抛物线

22

10.（2007高二・全国•竞赛）椭圆'+与=1上的任意一点到焦点距离分别为4、d2,焦距为2c.若4、3c、

ab

《成等差数列，则椭圆的离心率为（）.

1Ra「百2

-n---I---D.

4

22

—高三.北京・强基计划）如图，过椭圆的右焦点工作一条直线，交椭圆于4B两点,

则△耳A3的内切圆面积可能是（）

A.1B.2C.3

22

12.（17-18高三・北京・强基计划）如图，过椭圆土+乙=1上一点M作圆f+y2=2的两条切线，过切点的

94

直线与坐标轴于P,。两点，O为坐标原点，则△尸。。面积的最小值为（）

3_

c.-D.前三个答案都不对

13.（17-18高三・北京・强基计划）设实数x,y满足《+丁=1,则|3x+4y-12|的取值范围为（）

4'

A.[0,+oo）B.[12-2而,12+2加

C.[0,12+2V13JD.前三个答案都不对

22

14.（18-19高三・北京・强基计划）已知椭圆二+乙=1上一点P与该椭圆的两个焦点所围成的三角形的内切

2516

圆圆心为/,半径为1,贝力以1=（）

A.6B.2C.75D.以上答案都不对

22

15.（20-21高三・北京・强基计划）已知椭圆土+匕=1的两个焦点分别为片，6,P为椭圆上一点，HPF]

1612

的平分线与x轴交于点叫,0）,作片交尸片于点人则|P"|等于（）

A.3B.4C.5D.6

16.（19-20高三•湖北武汉・强基计划）已知直线=l2:y=^x,动点尸在椭圆《=1（。>b>o）

上，作PM〃/।交L于点“，作/W/〃2交4于点N.若|PM『+|PN「为定值，则（）

A.ab=2B.ab=3C.a=2bD.a=3b

22

17.⑵-23高二上•福建莆田多选题）已知点P是椭圆一点，外耳为其左、右焦点，且△F“

的面积为3,则下列说法正确的是（）

3

A.尸点到x轴的距离为3B./8尸工>90。

C.△月尸耳的周长为4（忘+1）D.△耳时的内切圆半径为

22

18.（19-20高三・北京・强基计划多选题）已知点ACM）,Q（l,0）,P为椭圆工+工=1上的动点，则IPAI+IPQI

43

的（）

A.最大值为4+粗B.最大值为4+0

C.最小值为4-百D.最小值为4-石

22

19.（2024高二下・四川宜宾.竞赛）已知左、F?是椭圆二+二=1的左、右焦点，尸是椭圆上任意一点，过6

2516

引/耳尸鸟的外角平分线的垂线，垂足为Q,则。与短轴端点的最短距离为.

22

20.（2024高二下.广西.竞赛）已知椭圆=+2T=1（。>6>0）的焦点为片，尸2,M为椭圆上一点，NRMF,=£,

ab3

OM=叵b,则椭圆的离心率为.

3

21.（2024高二下•内蒙古•竞赛）。是原点，椭圆：+:=1,直线/过（1,0）且与椭圆交于A,B两点，贝履至。

面积的最大值为.

22.（2007高二・全国・竞赛）射线。4的方程是丫=白犬（丘0）,射线08的方程是>=-瓜（*20）,长为2方

的动线段MN的端点加在。4上移动，端点N在08上移动，则MN的中点P（x,y）的轨迹方程为.

23.（2010高二•全国•竞赛）一圆形纸片的圆心为点0,点。是圆内异于点0的一个定点，点A是圆周上一

动点，把纸片折叠使点A与点。重合，然后抹平纸片，折痕C。与交于点尸，当点A运动时，点尸的轨

迹是.（只需填曲线的名称）

24.（2010高二•全国・竞赛）直线与x轴交于点人（办0）,与y轴交于点8（0,〃）（加>0,〃>0）,且直线与椭圆

22

二+与=1（”>人>0）相切，则|AB|的最小值为_____.

ab

22c

25.（2011高二・全国・竞赛）若点尸（-3,1）在椭圆=+当=1（〃>6>0）的左准线上，过点尸且斜率为-士的光

ab2

线经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为.

26.（2011高二・全国•竞赛）如图，43是平面。的斜线段，点A为斜足，若点尸在平面a内运动，使得AABP

的面积为定值，则动点尸的轨迹的形状是

r2v2_2

27.（2008局二•全国•竞赛）已知椭圆二+与=1,其禺心率6=不4B是椭圆上两点，/为AB的垂直平分

a'b'3

线，交x轴于点（1,0）,4?的中点为（毛,％）,则与=

28.（2008高二•全国•竞赛）已知圆C:炉+y2至产过+°2y2=力/（0>方>0）的两焦点耳（一60）,8高0）,

且它们有4个交点，其中1个交点为「，若“耳尸2面积为26,椭圆长轴为15,则a+6+c=.

29.（2008高二•全国・竞赛）若7依2+④2=1.>0,〃>0）与2彳+3；-1=（）相交于4、g两点，且在A8线段上

存在一点使西=：（函+砺）（。为原点），倾斜角为g,贝ij'=__________.

23m

i222

30.（2010高二•全国•竞赛）己知一+—=1（加>0,〃>0）,则当〃加取得最小值时椭圆二+与=1的离心率

mnmn

是.

（5322

31.（2007高二.全国・竞赛）已知尸是椭圆工+匕=1上的一点，点小鸟分别是椭圆的左，右焦

[22J259

点，点。在々P上，且|尸。|=|尸阊，那么点。分有向线段造所成的比是.

22

32.（2007高二・全国・竞赛）实数无、y满足土+匕=1,则炉+/一4%+3的最大值是____.

124

22

33.（2024高三上•全国•竞赛）设。为坐标原点，椭圆%+与=1（。>6>0）的左、右顶点分别为A，4,点

cib

P为椭圆上一点，直线尸4的斜率为;，P。的斜率为2,则%的斜率为.

34.（2023高二・全国・竞赛）平面直角坐标系xOy中，已知圆。与尤轴、,轴均相切，圆心在椭圆

22

「:,+方=l（a>6>0）内，且。与「有唯一的公共点（8,9）.则「的焦距为.

35.（2022高三.浙江金华.竞赛）在平面直角坐标系中，已知直线丁=%（%+1）（%>0）与椭圆]+y2=i在第二

象限交于点A,交，轴于点8.设点C（l,0）,若|AB|=|AC|,则％的值为.

36.（23-24高三下.全国・强基计划）在平面直角坐标系内，M（x,j）——+^-<1>,A（2,l）,若的面

201）o

积不超过3,则满足条件的整点M个数为

22

37.（2024高一下.海南海口.竞赛）已知椭圆二+2=1（。>6>0）的上顶点A与左顶点B的距离为历，离

ab

心率为：，P（t,0）（TWf<-L）为x轴上一点.

（1）求椭圆方程；

（2）连接AP交椭圆于点C,过C点作x轴的垂线，交椭圆另一个点。，求S"BD的取值范围.

38.（2024高二下•吉林・竞赛）已知椭圆G的中心为坐标原点。，焦点在坐标轴上.圆g的圆心为坐标原

点0,过点A（-2,0）且倾斜角为30。的直线与圆C相切.

⑴求圆G的方程；

⑵过圆C2上任意一点P（x0,%乂%・%♦（））作圆C2的切线，与椭圆G交于A5两点，均有

ZAOB=9ff成立.判断椭圆G是否过定点？说明理由.

39.（2010高二・全国・竞赛）已知椭圆=+口=1（m>0,">0）,过原点且倾斜角为。和万<彳］的

mn\J

两条直线分别交椭圆于A、C和8、。四点.

⑴用。、机、〃表示四边形ABCD的面积S；

（2）若心、〃为定值，当。<04?时，求S的最大值.

40.（2007高二・全国•竞赛）已知椭圆上+;/=1的短轴上端点为p,过点P作椭圆互相垂直的两弦尸M,PN.

3

连接试求点P在儿W上的射影。的轨迹方程.

41.（2013高二・全国•竞赛）已知A、B是椭圆10f+y2=5上两动点，。为原点，定点E0,o）,向量次，砺

在向量匠方向上的投影分别为优，“，且）•而=-9m〃，动点P满足屈=函+丽.

⑴求点P的轨迹G的方程；

（2）记点C（0,-3）,0（0,3）,求证：无论动点。在轨迹G上如何运动，|匕|"+|"恒为一个常数.

QCQD-OQ

42.（2024图三下•上海•竞赛）在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆「:丁=1,A,8是椭圆的左、右顶

4

点，点C是椭圆「内（包括边界）的一个动点.若动点尸满足题.无=0,求|。尸|的最大值.

43.（2013高二・全国•竞赛）在直线/：x-y+9=0上任取一点尸，过点尸以椭圆三+亡=1的焦点为焦点作

123

椭圆，当点P在何处时，所作椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程.

44.（2011高二・全国•竞赛）在VA3C中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，成等差数列，且62c,

B（-l,0）,C（l,0）.

（1）求顶点A的轨迹E的方程；