北京市房山区2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷（解析版）

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（一）

八年级数学

本试卷共6页，满分100分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，

在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.3的算术平方根是（）

A.土超B.73C.-V3D,9

【答案】B

【解析】

【分析】根据算术平方根的定义直接得出即可.

S'=3

【详解】V-

••.3的算术平方根是有

故选:B

【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，如果一个非负数1的平方等于r,那么这个非负数、，叫做a

的算术平方根.

2.若分式二三有意义，则x的取值范围是（）

A.xr2B.x>2C.x=2D.x<2

【答案】A

【解析】

【详解】解：要使分式有意义，则分母不能为0,那么片2邦，则灯2,

故选择A.

3.下列说法正确的是（）

A.带根号的数一定是无理数B.-49的平方根是一7

C.6是3的立方根D.8的立方根是土?

【答案】C

【解析】

【分析】根据无理数，平方根，立方根的定义解答即可.

本题考查了无理数，平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】解：A.带根号的数不一定是无理数，错误，不符合题意；

B.-49没有平方根，错误，不符合题意；

C.1回是3的立方根，正确，符合题意；

D.8的立方根是2,错误，不符合题意；

故选：C.

4.下列各式从左到右的变形正确的是（）

a+ma炉+jo-b.

7------=T-------a+b-r=a7=-1

A.b+mbB,a+oc.aD,-a+b

【答案】D

【解析】

【分析】根据分式的基本性质，变形计算解答即可.

本题考查了分式的性质，分式的化简，熟练掌握性质和化简是解题的关键.

a+m_a

【详解】解：A.：+巾一彳是错误的，不符合题意；

cr+ir

----------a+p

B.。+：是错误的，不符合题意；

C.。"是错误的，不符合题意；

a-ba-b.

---------=-------------=-1

D.~a+b一（。一，1，正确，符合题意，

故选：D.

5.下列各式中，最简二次根式是（）

A,石B,C.D.6

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查最简二次根式的概率，掌握最简二次根式的概念是解题的关键：（1）被开方数不含分

母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.

【详解】解：A、4；=二被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、、笈二二上被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

C、亚是最简二次根式，符合题意；

E=正

D、V-3被开方数含有分母，，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：C.

6.下列各式中，与坏是同类二次根式的是（）

A.MB.而C.屈D,对

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的化简、同类二次根式的定义，熟练掌握以上知识点是解题关键.根据同类

二次根式的定义“化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”逐项判断即可求解.

【详解】解：邪:3,>/17-2^3,而二4二

四个数中，只有无与行是同类二次根式，

故选：B.

7.在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A,B两种文创产品，其中A种文创产品的单价

比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量

的1.5倍，求A种文创产品的单价.若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为()

1200,410001200…1000

------X]5=-------------*15=-------

A.xv+5B.xV-5

12001000,412001000,4

----=----xl5----=----xl5

C.XV-5D.XA+5

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键.设A种文创产品的单价为x元，则

12001000一

(5i--------5

8种文创产品的单价为'v+-元，根据题意，得、、+5,解方程即可.

【详解】解:设A种文创产品的单价为尤元，则B种文创产品的单价为‘'I"元，

12001000…

----=----xl5

根据题意，得1、+5

故选：D.

8.如图，数轴上A,2两点所对应的实数分别是一兀，1.若线段08=工超，则点C所表示的实数是

()

<,，P1

--it0I~~

A.兀+1B.-2nc.1D.-2n-2

【答案】c

【解析】

【分析】设点C表示的数为〃3根据数轴上A,B两点所对应的实数分别是一兀，1,贝|

Q=1-(F=1+"，CB=i,根据线段=2陋得】一*=?(1+”1,计算即可.

本题考查了数轴上的点表示数，两点间的距离，解方程，熟练掌握解方程，两点间的距离公式是解题的关

键.

【详解】解：设点C表示的数为"2,根据数轴上42两点所对应的实数分别是一兀，1,则

.45=lr-m=l+〃，CB=1根据线段=得】一'=”】+叫

解得i=-l-Jr.

故选：C.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.若在实数范围内有意义，则实数'的取值范围是.

【答案】戈23

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次根式有意义

的条件是解题的关键.

由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解.

【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：320,

解得：

故答案为：工二V.

X-1

10.当*=时，分式'■的值为0.

【答案】1

【解析】

【详解】由题意得

%-1=0

-0

1=1时，分式的值为0.

故答案为1

11.计算:.

【答案】5

【解析】

尸7..0)

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关

键.

先将被开方数化为5’，然后按照二次根式的性质化简即可.

【详解】解：=收=5,

故答案为：5.

3X3y

12.计算：.

3x

【答案】y

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可.

3『y3x

【详解】解：VV.V2,

3%

故答案为：J’.

13.学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图:

图中①代表的运算步骤为，②代表的运算步骤为.

【答案】①.通分②.约分

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的加减计算，分式加减法法则：异分母相加减，通分使分母相同，分母不

变，分子相加减；同分母相加减，分母不变，分子相加减，结果约分都化为最简分式，据此可得答案.

【详解】解：由分式的运算法则可知：①通分；②约分；

故答案为：通分，约分.

14.比较大小：5-75（用“＞”或“=”或”连接）.

【答案】＜

【解析】

【分析】根据题意，得2相=亚，根据19＜20得而＜0=2不，解答即可.

本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键.

【详解】解：,「♦=技，且

.•7辰6二

故答案为：＜.

15.已知51,=2601,52a=2704,53a=2809,54J«2916.若力为整数,且而＜力+1,则

n的值为.

【答案】53

【解析】

【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据收而＜话可得53＜0^而＜54,据此

可得答案.

【详解】解：•:V2809<0900<0916,

.-.53<72900<54,

...〃为整数，且”立900＜力+1,

.•.”=53,

故答案为：53.

16.如图1,一个500毫升（1毫升=1立方厘米）的瓶子装有高加厘米的饮料，将瓶盖盖好后倒置，如图

2,饮料水面高为〃厘米，则瓶内饮料的体积为.毫升.

500M

【答案】加+。

【解析】

【分析】本题主要考查了列代数式，设图1中瓶子的底面积为S平方厘米，根据图1和图2中空白部分的

500

体积相等得到丁=500-mSsaS,则'.

桁+。，据此可得答案.

【详解】解：设图1中瓶子的底面积为s平方厘米,

由题意得，匕=500-裙=西

m+a,

c500m

mS=--------

瓶内饮料的体积为m+a毫升,

500E

故答案为：加+。.

三、解答题（共68分，第17-18题每题8分；第19-24,27题每题5分；第25题6分；第

26题4分；第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算:

⑴+也

^12x

(2)

【答案】(1)4

(2)o

【解析】

【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合计算：

(1)先计算算术平方公式和立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案；

(2)先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可得到答案.

【小问1详解】

解:而T8+烬

=4-2+2

=4；

【小问2详解】

二+^6xI——，27

解：V-

=2A+J3-3石

=0.

18.计算:

⑴X-.VV-T.

。'+4<1+4a+2

(2)a-aa-1.

【答案】(1)2(2)a

【解析】

【分析】本题主要考查了分式除法计算，分式加法即可:

(1)先把原式变形为'-J'T-J',再根据分式减法计算法则求解即可；

(2)先把第一个分式的分母和分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案.

【小问1详解】

解—•…

【小问2详解】

。'+4。+4a+2

解：a-aa-1

Ifl+2)Ja-1

=..

a(a-1)a+2

_a+2

a

19计算（3+碰/+（短.司

【答案】25-6奔

【解析】

【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可.

本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式的应用是解题的关键.

r、主铲】铲13+1|3-V514-13工-邛।

【详解】解：'

=9-5+18-6〃+3

=25-6#.

x2

——=一+1

20.解方程：.V.

【答案】x=2

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的解法，按照解分式方程的基本步骤求解即可.熟练掌握解分式方程的基本

步骤是解题的关键.

【详解】解：方程两边同时乘以"'一,，得：v--'

解得：L,

检验：当x=2时，W］）w0,

原分式方程的解为T=-.

4x=21

21.解方程：4x-2x+2.

【答案】原方程无解

【解析】

【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方

程，然后检验即可得到答案.

4x1

【详解】解：一4--V+2

去分母得：4'=­)->i-二I,

去括号得：4A=2.\+4-2A+4,

移项得：4A+2I-2A=4+4,

合并同类项得：

系数化为1得：、二二’，

检验，当丁=二时，、一二=0,

、=-是原方程的增根，

原方程无解.

5a3

22.已知7«s-1-0,求代数式fIat：-1~的值.

【答案】】

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出/+去=1,再把小括号内的式子通分，然后把除法变

成乘法后约分化简，最后利用整体代入法计算求解即可.

【详解】va-+3O-1-0,

J+3L7=1,

_aJ-4-5a-3

a-2a1-2a

a-2a(a-2)

Ia+3)(a-3|2)

a-2a-3

=a(a+3)

=+3a

=1.

2x+w_3

23.关于'的分式方程A4-1-、的解是负数，求6的取值范围.

【答案】巾<3,且用工二

【解析】

【分析】先化分式方程为整式方程得到\+加=3（、+11,求得方程的解、=a-3,根据解的属性，方

程的增根两个角度去求解即可.

本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解

题的关键.

【详解】解：：'+1一一，

去分母，得入+加=3（、+】|.

解得I=力_工

2x+m__

..•分式方程、+1-,的解是负数，且方程的增根为、+】=°的解，

.•.巾-女0,且惘工），

解得力＜3,且，”工二

故”；的取值范围力＜3,且防工二

及="

24,已知：公式八+'」其中八上'1,请用"表示心.

/•=一▲

【答案】Rf

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的基本性质，先去分母得到G二勺弓，进而得到

（R-QLR\则：-J?-5o

R=4

【详解】解：•••骨弓，

..R〈+R4fG，

・1R-!\\r=-?q

••：,f

rJ=-Ai

25.观察一列数：力，$,亚,J万，

设＞是这列数的第2024个数，且、满足

⑴化简：1X八、

（2）写出第”个数为（用含"的代数式表示）

(3)求出产一2024’的值.

【答案】(1)1+2

(2)新“

(3)3

【解析】

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，实数的运算，分式的混合计算：

(1)先把小括号内式子通分，再根据分式乘法计算法则求解即可；

(2)观察可知，这一列的数的被开方数是序号的平方加1,据此规律求解即可；

(3)根据(1)(2)所求可得T=J2024'+】,则X'=2O24'+1,进而可得尸=『+2=2024,+3,

再代值计算即可得到答案.

【小问1详解】

A3-1

=X3-1+3

3

=-T+2,

【小问2详解】

解：第1个数勺右=加节，

第2个数为6=JF+】,

第3个数为5=巾+1,

第4个数为J行=\/4)+】,

...,

以此类推，可知第"个数为而I,

故答案为：&+1；

【小问3详解】

解：•••丁是这列数的第2024个数，

二由(2)可知T=，二'014'十1,

....V3=20243+1,

...P=TJ+2=2024;F3,

：.P-2024J=2024'+3-20W=3.

26.(1)如图1,把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形乂5°口，则

正方形*:。的边长为

(2)类比以上探究思路，解决如下问题：

如图2,正方形的对角线EG长为3,通过画图写出正方形的边长.

【解析】

【分析】本题主要考查了化简二次根式:

(1)根据正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形MCD的面积，进

而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长；

(2)仿照(1)可得正方形EFGH是由四个腰长为15的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形

EFGH的面积，进而求出其边长即可.

【详解】解：(1)•.•正方形A5CD是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的，

，正方形45CD的面积为2一"，

正方形/CD的边长为,

故答案为：；

(2)解：如图所示，正方形ERGH是由四个腰长为15的等腰直角三角形拼接而成的,

,1339

二.正方形3尸GH的面积为2222,

3更

二.正方形EFGH的边长为Y2

故答案为：

27.阅读下面材料并解决问题:

材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线一和若铁路（和田至若羌）正式开通运营.该铁路沿

线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米.有了这条通往

我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可

直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”.

材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重.为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降

低到原设计速度的6-5%,从和田到若羌比原设计时间多用：小时.

根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度.

【答案】】20km/h

【解析】

【分析】设和若铁路的原设计速度Vs"h,则实际速度为6二',根据题意，得

825825,1

-----------------4-

V625%A8,解方程即可.

本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键.

【详解】解：设和若铁路的原设计速度don，'I:,则实际速度为62「h,

825_825,1

根据题意，得x~628,

解方程，得I=1二°,

经检验，1二是原方程的根.

答：和若铁路的原设计速度是1二“皿，h.

m,]

——H=IX=------

28.给出定义：如果两个实数加，w使得关于'的分式方程、的解是力-力成立，那么我们就

--»=1

把实数处"组成的数对（加称为关于X的分式方程-V的一个“梦想数对”

例如：当”;=3,*=」时，使得关于x的分式方程；的解是成立，所以数对

竺I

'；3二》称为关于r的分式方程；'一的一个“梦想数对”.

（1）在数对①。°）；②（一：3»；③2/

中,（只填号）是关于X1，分式方程X

的“梦想数对”.

（2）若数对（。-'一+°》是关于.1»的分式方程1的一个“梦想数对”求。的值.

巴

（3）若数对〈,+£才："0工±1且＜'工。）是关于丁的分式方程、""的一个“梦想数对”，且关于】’的

方程=°有整数解，直接写出整数c的值.

【答案】（1）①③（2）a=二

（3）（-=-］或。=-3

【解析】

【分析】（1）根据定义，计算判断即可.

。-311

_（2+<J|=1~~~~T7一一1

（2）根据定义，分式方程'的解为'，代入方程求a的值即可.

巴・“=1

（3）根据数对«+£」）匕工士I且cw°）是关于A的分式方程'一的一个“梦想数对”，得关于x

c+d」，11

-----a=1Xc-------=-、

的分式方程的解是c+d-dC,回代方程，得c"+cd-d=l,结合关于F的方程

c-1

4'-，+1=°的解为,（：’，且方程有整数解，解答即可.

本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键.

【小问1详解】

2=1工_】

解：当力=1,门-0时，使得关于x的分式方程三一的解是一一1-。-,-成立，所以数对《L