第4章 指数函数与对数函数 章末测试（基础）（解析版）

第4章指数函数与对数函数章末测试(基础)

一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)

1.(2022•广东・惠来县)函数>=必+3(5—3x)的定义域是()

\5、r,5、5]r,s'

A.0,—B.1,7C.0,—D.1,—

L3JLL3jL3j

【答案】B

x>0

I，!"]故选：B

【解析】由题设，IgxN。，可得所以函数定义域为

2.(2022・宁夏)下列函数是偶函数且在(0,+8)上单调递增的为()

A./(.X)=X--B./(x)=C.=«D./(x)=lnx

【答案】B

【解析】对于选项A,f(-x)=-x+1=-f(x),/(x)为奇函数，不合题意；

对于选项B,/(-x)=eH=eW=/(x),/(x)为偶函数，且当尤>0时，/(x)=e，为增函数，符合题意;

对于选项C,/(X)的定义域为。内)，f(x)既不是奇函数又不是偶函数；

对于选项D,“幻的定义域为(0,+8),了⑴既不是奇函数又不是偶函数；

故选：B.

3.(2021.全国•高一单元测试)已知&+；=3,则/+二的值是()

A.47B.45C.50D.35

【答案】A

【解析】；=3,2

=a+2+ai=9,即〃+a'=7,♦•(〃+〃1|=a2+a2+2=49，

2=47.故选：A.

4.(2022广西)用二分法求方程logg尤-4=。近似解时，所取的第一个区间可以是()

3x

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)

【答案】B

【解析】令"X)=log8X-；,因为函数y=log8羽y=-1在(。,+。)上都是增函数，

所以函数/(x)=log8X-[在(0，+8)上是增函数，/(l)=-^-<0,/(2)=log82-^=^--1=1>0,

5x3o3oo

所以函数〃尤)=log8X-1在区间(1,2)上有唯一零点，

所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2).故选：B.

3x

5.(2022云南)函数丫=1。82(2'+1)的值域是()

A.[l,+oo)B.(0,1)C.(-oo,0)D.(0,+oo)

【答案】D

【解析】设公2,+1,则y2'+1>1,故log2(2，+l)>0,故>=1。82(2*+1)的值域为(0,+8),故选：D.

112

6.(2022青海)已知a=3§，b=9i,c=5^,则叫b,。的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】c

.,..LL1.2iii.,

LItW1a=y=96<9s=b，c=5^=25§<27§=3)=a，--c<a<b.1.^：C.

7.(2021.江苏)若函数〉=1。82(尤2-公+3々)在[2,+00)上是单调增函数，则a的取值范围是()

A.(-8,4]B.(0,4]

C.(-4,4]D.[4,+<»)

【答案】C

【解析】由题意得，设g(x)=~-依+3a,根据对数函数及复合函数单调性可知：

[£<2

g(x)在2+◎上是单调增函数，且g⑵>0,所以2",所以T<a<4,故选:C.

4+〃>0

r)x1

8.(2022北京)若函数=是奇函数，则使/(X)>3成立的x的取值范围为()

A.(-oo,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+oo)

【答案】C

【解析】=是奇函数，一元)=-/(尤)，即上士=一■,整理可得」±二=1±」，

八'2x-aTx-aa-2xl-a-2'a-2x

2,+1

.-.l-a-2A=a-2x,\a=1,/(x)=----,

2X-1

X

/(x)=^>+^1>3,2'+1=4_9.2整理可得^2*^-<20,;.1<2'<2,解可得0<x<L

2-12-12-12-1

故选：C.

二、多选题(每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分)

9.(2022•黑龙江)下列函数中，能用二分法求函数零点的有().

r2r+1

A./(x)=3-lB./(x)=x-2x+lC./(x)=log4xD./(x)=e-2

【答案】ACD

【解析】ACD选项，在定义域内都是连续且单调递增，能用二分法求函数零点，

B选项，/(X)=X2-2X+1=(X-1)2,/(1)=0,当彳<1时，/(x)>0,当x>l时，/(%)>0,在零点两侧

函数值同号，不能用二分法求零点，故选：ACD.

10.(2021・全国•高一单元测试)若函数y=a"(。>0,"1)在区间［0,1］上的最大值与最小值的差为;，

则实数。的值为().

231

A.2B.-C.-D.3

322

【答案】CD

【解析】当。>1时，y=优在［0,1］上单调递增，

13

此时/(l)_/(0)=Q_qO=〃_］=万，解得：

当Ovavl时，y="在［0,1］上单调递减，

止匕时解得：〃=；，

所以则实数0的值为:或;，

故选：CD.

11.(2022•江苏)已知函数/(x)=|lgx|,则()

A./(x)是偶函数B.7(尤)值域为［。,+8)

C.Ax)在(0,xo)上递增D./(X)有一个零点

【答案】BD

【解析】画出/(尤)=弛尤|的函数图象如下：

6上刎

AK

由图可知，/（尤）既不是奇函数也不是偶函数，故A错误;

F（X）值域为［0,+00）,故B正确；

/（X）在（0,1）单调递减，在（1,+8）单调递增，故c错误;

/（无）有一个零点1，故D正确.

故选：BD.

12.（2022•重庆）已知函数/（%）二一^,下面说法正确的有（）

2"+1

A.了（尤）的图象关于y轴对称

B.7（元）的图象关于原点对称

C./（%）的值域为（-M）

/(%)/(%)<0恒成立

D.Vxpx2eR,且西。马，

玉-x2

【答案】BC

【解析】个）一公的定义域为我关于原点对称,

仆广27一1_(2-,叫2112工

=-/（%）,所以/（%）是奇函数，图象关于原点对称,

2-"+1(才。"1+2”

故选项A不正确，选项B正确；

2X_1?x-I-1-221

/⑴二・二：，二]_二,因为2、>0,所以丁+1>1，所以0<有二<1,

2*+12X+12X+12X+1

_97

-2<—-<0,所以—1<1—可得“%)的值域为(-")，故选项C正确；

2+12X+1

设任意的％1<%2，

22

则/&)-/(入2)=1-^71

i-2”+12司+1(2为+1](2巧+[

2(2为2当)

因为2'，+1>0,2*+1>0,2』一2*<0,所以<0,

付+1)(2*+1)

即/(%)一/(尤2)<0,所以>0,故选项D不正确;

%一％2

故选：BC

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13.(2022上海)若。>0且则函数y=a㈤+2的图象恒过的定点坐标是.

【答案】(一1,3)

【分析】由x+l=0,求出尤的值，再代入函数解析式即可得出定点坐标.

【详解】由x+l=0,可得X=-1,此时y=o°+2=3,

因此，函数丁=。,+2的图像恒过的定点坐标是(-1,3).

故答案为：(-L3).

14.(2022南京)已知函数"。的值域是R,则实数。的最大值是一

[3-x,x<0

【答案】8

【解析】当X<0时，/(x)=3-x2e(-oo,3).

因为f(x)的值域为R,则当X..0时，3.

当x..0时，y=x2+2%+a=(x+1)2+a—1,

故/(X)在[0,+8)上单调递增，

=f(O)„3,gplog2a,,3,

解得。<6,8,即。的最大值为8.

故答案为：8.

15.(2022・河南)若/。)=山(丈2-2依+1+。)在区间(-*1)上递减，则实数。的取值范围为

【答案】[1,2]

【解析】令g(x)=x2-2ax+l+a,其对称轴方程为x=a

外函数是对数函数且为增函数，

要使函数/(%)=ln(f_2依+1+°)在(-co,1)上递减，

[a>\

则IG=l1-2、a+l+<7>0即：lWaW2

/.实数。的取值范围是工2]

故答案为：口,2]

16.（2022新疆）已知函数/（x）=lg（2'-。）"为常数），若xe[L+»）时，/（同士。恒成立，贝昉的取值范

围是.

【答案】（-8』

【解析】依题意xw[l,y）时，〃上0恒成立，即lg（2,6）N0,2x-b>l,b<2x-l,在时成

立.而在区间[1,y）上，y=2=l为单调递增函数，当》=1时有最小值为2|-1=1，故〉=2*-121,所以8<1.

故答案为（-8』

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）

17.（2022山东）已知指数函数/（x）=a%a>0且的图象经过点（2,；）.

⑴求指数函数”无）的解析式；

（2）求满足不等式川乂）的实数K的取值范围.

【答案】（l）f（x）=（夕,"R⑵{小<-2或x>2}

（2!）a2=—a=-

【解析】（1）因为/（尤）="3>°且的图象经过点’4,所以4,"0,得2,

所以/（x）=（；）*,xeR.

（2）由题可得BP（2）H<（2）2,得岗>2,{小<-2或X>2}

18.（2022山西）已知函数/（x）=k>g3（l+ox）,g（尤）=log3[（2a-l）x2+（3。一2）尤],a&R.

⑴若a=2,求不等式〃2x+l）>〃x）的解集；

（2）若函数〃（x）=/（x）-g（x）有唯一的零点，求实数”的取值范围.

【答案】⑴,3，+°°]；⑵{0}ou[l,+=o）.

【解析】（1）解：若。=2,则有〃x）=log3（l+2x）,函数〃尤）的定义域为1-g+R

2Cx+11〉—1

2

1

易知函数/(无)在定义域内单调递增，则有<x>——,解得

2

2x+1>x

:.不等式得解集为6,+，].

(2)函数/J(x)="x)-g(x)有唯一的零点，可知方程〃尤)=g(x)的解集中恰有一个元素,

即1+办=(2°-1卜2+(3。-2卜的解集中恰有一个元素,

即当1+依>0时，方程(2°-1)*+(24-2卜-1=0的解集中恰有一个元素.

若2«—1=0时，即a时，解得x=T,止匕时1+办=：>0,满足题意.

若(时，方程[(2。-1八一1](尤+1)=0的根为玉=,，x2=-l

22。—1

当。=0时，xl=x2=~l,此时1+ax=1>0,满足题意

当口力0时，由1+依>0时，方程尤一l](x+l)=0恰有一个元素，

1+。---1-->0n+>01]

\2a-l或《1,解得aNl或不工4<7.

1+〃-(-1)40I"

综上所述：实数a的取值范围为｛。｝031，+s)-

19.(2022・全国•高一课时练习)已知函数"x)=log“S-l)(a>0,awl)

(1)当。=；时，求函数的定义域；

(2)当。=2时，存在xe[l,3]使得不等式〃x)-k)g2(l+2，)>机成立，求实数机的取值范围.

7

【答案】(1)(f0)；⑵rn<log2-,.

【解析】⑴当时，小)=呵]，1]，故：，1>。，解得：元<0,故函数的定义域为(-8,0);

(2)由题意知，/(x)=log2(2^-l)(«>1),定义域为xe(O,—),易知〃x)为xe(O,—)上的增函数，

设g(无)=/(x)-log2(l+2x)=log2]|r^]，xe[l,3],^r=|7^-=l-^-^-,%e[l,3],故2*+le[3,9],

2「17'|「17一

r=l一兄不6,因为g(x)=log2/单调递增，贝ljg(x)elog2j,log2-.

%

因为存在Xe［1,3］使得不等式/（x）-log2（l+2）＞m成立故：机＜g（x）11ax，即m＜log，.

20.（2021.全国•高一单元测试）已知/（u）=9：-2x3*+4,xe［0,2］

（1）设f=3",xe［0,2］,求/的最大值与最小值；

（2）求/（X）的最大值与最小值.

【答案】（D最大值为9,最小值为1；（2）最大值为67,最小值3.

2

【解析】（1）设f=3，,XG［0,2］,则度13,即,

即t的最大值为9,最小值为1；

（2）设”3，，》注0,2］,则1和9,

函数Ax）转化为、=〃-2/+4=«-1）2+3,

W9,y=〃-2f+4在［1,9］上单调递增，

.,.当，=1时，y最小为y=3,

当1=9时，y最大为64+3=67,

即Ax）的最大值为67,最小值3.

21.（2021•全国•高一专题练习）已知函数y=log“x过定点（加,〃），函数=+”的定义域为［-U］.

x+m

（I）求定点（根,“）并证明函数“X）的奇偶性；

（II）判断并证明函数/（X）在［-M］上的单调性；

（III）解不等式f（2x-l）+〃x）＜0.

【答案】（I）定点为。,0）,奇函数，证明见解析；（H）/•（%）在［-1,1］上单调递增，证明见解析；（III）

卜104x＜1

【解析】（I）函数产bg0％过定点（"?），.・.定点为。,0）,

=定义域为［-1』，

・••/（-加言=-小）.

，函数”X）为奇函数.

（IDf（x）在［-1,1］上单调递增.

证明：任取当,%e[T』]，且占＜三,

%2_玉(々~+1)_4(占2+1)(占一尤2)(1一占9)

22

X2+1(占2+1)(1+1)(<+1)(X2+1)

%,X]e[—1,1],不<%,

/.x1-x2<0,1-X1X2>0,

；"(%)-/(々)<。，即〃％)<〃务)，

，函数〃尤)在区间[-1,1]上是增函数.

(III)/(2x-l)+/(x)<0,BP/(2x-l)<-/(x),

函数/(尤)为奇函数

.-./(2x-l)</(-%)

在[-1』上为单调递增函数，

-1<2X-1<10<x<l

?.<-1<-x<1-1<^<1,解得：0<x<-.

13

2x—1<-x

X<一

3

故不等式的解集为：｛x|OVx