第五章 一元一次方程（易错题归纳）解析版-2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章一元一次方程（易错题归纳）

易错点一：方程的解

技巧点拨：方程的解，掌握代入计算法

1.小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x-3）-U=x+］中的一个常数污染了，在询问老师后，老师

告诉她方程的解是x=9,请问这个被污染的常数■是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据方程的解是x=9,把x=9代入2（x-3）-■=%+1,解出方程即可.

【解答】解：把x=9代入2（x-3）-■=x+l,得

2X（9-3）-B=9+l,

解得・=2；

故选：C.

【点评】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键.

易错点二：等式的性质

技巧点拨：等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；

性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.

2.下列等式变形错误的是（）

A.若a=b,则---=~--

1+x21+x2

B.若a=b,则3a=3Z?

C.若a=b,则〃冗=云

D.若a=b,则包上

mm

【答案】D

【分析】根据等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；

性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.即可判断.

【解答】解：根据等式的性质可知：

A.若a=b,则一=—^―.正确；

22

Rxl+x

B.若〃=/?,则3〃=3。，正确；

C.右ci=bj则cix=bxf正确；

D.若a=b,则旦（m#0）,所以原式错误.

mm

故选：D.

【点评】本题考查了等式的性质,解决本题的关键是掌握等式的性质.

3.下列方程的变形，正确的是（）

A.由3+x=5,得x=5+3B.由7x=-4,得苫=一L

4

C.由工y=0,得y=2D.由x+3=-2,得尤=-2-3

2'

【答案】D

【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案.

【解答】解：A、由3+x=5,得x=5-3,因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意;

B、由7x=-4,得x=-4,原变形错误，故此选项不符合题意；

7

C、由上y=0,得y=0,原变形错误，故此选项不符合题意；

。、由x+3=-2,得x=-2-3,原变形正确，故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查等式的性质.解题的关键是明确方程的变形一般包括去分母，去括号，移项，合并同

类项，系数化为1等.移项时注意变号.

4.下列利用等式的基本性质变形错误的是（）

A.如果尤-3=7,那么x=7+3

B.如果包=_k,那么q=-b

C-C

C.如果x+3=y-4,那么x-y=-4-3

D.如果--kr=4,那么尤=-2

2

【答案】D

【分析】等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，

结果仍得等式.

【解答】解：如果x-3=7,那么x=7+3,故A选项正确；

如果旦=_邑，那么a=-b,故B选项正确；

C-C

如果尤+3=y-4,那么x-y=-4-3,故C选项正确；

如果-2x=4,那么x=-8,故£）选项错误；

2

故选：D.

【点评】本题主要考查了等式的性质，解题时注意：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果

仍得等式.

使天平处于平衡状态，则物体。与物体c的重量关系是（）

A.2〃=3cB.4。=9。D.a=~c

【答案】B

【分析】根据图形得出2a=3b,2b=3c,根据等式性质得出4a=66,6b=9c,推出4a=66=9c,即可求

出答案.

【解答】解：：由图可知:2a=3b,2b=3c,

4a=6b,6b=9c,

♦.4a=:66^9c,

即4a=9c,

故选：B.

【点评】本题考查了对等式的性质的应用，关键是能根据等式的性质得出4a=66,6b=9c,题目比较好，

但是一道比较容易出错的题目.

易错点三：一元一次方程的定义

技巧点拨：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一

般形式是ax+A=O（a,6是常数且a=0）,高于一次的项系数是0

6.若关于尤的方程，n/「2-,"+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（）

A.x=0B.x=3C.x=-3D.x=2

【答案】A

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般

形式是ax+6=0（a,。是常数且aWO）,高于一次的项系数是0.

【解答】解：由一元一次方程的特点得〃z-2=l,即m=3,

则这个方程是3x=0,

解得：x=0.

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1,一次项系

数不是0,这是这类题目考查的重点.

易错点四：解一元一次方程

技巧点拨：熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1

7.小明在解方程&去分母时，方程右边的-1没有乘3,因而求得的解为x=2,则原方程的

33

解为（）

A.x=0B.x=-1C.x—2D.x=-2

【答案】A

【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的-1这个项没有乘3,则所得的式子是：2x-l=x+a

-1,把x=2代入方程即可得到一个关于。的方程，求得。的值，然后把。的值代入原方程，解这个方

程即可求得方程的解.

【解答】解：根据题意，得：2x-l=x+。-1,

把尤=2代入这个方程，得：3=2+a-1,

解得：a=2,

代入原方程，得：2x7

33

去分母，得：2x-1=x+2-3,

移项、合并同类项，得：尤=0,

故选：A.

【点评】此题考查了一元一次方程的解法以及方程的解的定义.熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤

是解题的关键.

8.方程生旦殳+1去分母得(

23

A.3(2x+3)-x=2(9x-5)+6

B.3(2x+3)-6x=2(9x-5)+1

C.3(2x+3)-x=2(9x-5)+1

D.3(2x+3)-6x=2(9x-5)+6

【答案】D

【分析】利用等式的性质乘以分母的最小公倍数，注意x和1不要漏乘，就可以得到去分母的式子.

【解答】解：方程的两边都乘以6可得：

3（2x+3）-6x=2（9x-5）+6.

故选：D.

【点评】本题考查一元一次方程去分母的知识，去分母乘以分母各项的最小公倍数，关键不要漏乘.

02-bab

9.现定义运算“*”，对于任意有理数a与b,满足,譬如5*3=3X5-3=12,

a-3b,a〈b

^-*1=1-3X1=--|>若有理数x满足x*3=12,则x的值为（）

A.4B.5C.21D.5或21

【答案】B

【分析】根据“*”的定义，分别当x23和x<3时写出对应的方程并求解即可.

【解答】解：若x23,3x-3=12,解得x=5；

若无<3,x-9=12,解得x=21（不符合题意，舍去）.

综上，x=5,

故选：B.

【点评】本题考查解一元一次方程等，熟练掌握求解一元一次方程的方法是本题的关键.

10.在…中，”…”代表按规律不断求和.设1+-=X,则有£

2/Q3p42o2^<p4

1+A%,角军得x=2,故I+JL+^L+^L+^L_+・••二=2.类似地+心+…的结果是（）

22222324323436

A.AB.9C：.AD.2

385

【答案】B

【分析】仿照题目中的例题进行解答即可.

【解答】解：设i+上4r+-=x,

323436

贝!]1+—+-^-+-^-+―=1+—(1+—

32343632323436

••X1+'1,

32

.".X=1+Ax,

9

•-•Ar=91

8

故选：B.

【点评】本题考查了解一元一次方程，理解题目中的例题解答方法是解题的关键.

11.解方程-2(x-1)-4(x-2)=1,去括号的结果正确的是()

A.-2x+2-4x-8—1B.2x+1-4x+2—1

C.-2x_2_4x_8—1D.2x+2-4x+8—1

【答案】D

【分析】根据去括号法则去掉括号，即可选出选项.

【解答】解：-2(x-1)-4(x-2)=1,

去括号为：-2尤+2-4x+8=1.

故选：D.

【点评】本题考查了去括号法则和解一元一次方程，注意：①括号前是负号，把括号和它前面的负号去

掉，括号内各个项都改变符号，②-2(x-1)=-2x+2,不是-2尤+1.

12.已知关于x的方程2〃a-6=(〃z+2)x有正整数解，则整数刈的值是3,4,5,8.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先求出方程2〃a-6=(〃计2)尤的解，得出用含机的代数式表示x的式子，然后根据尤是正

整数，m是整数，即可得出结果.

【解答】解：解关于尤的方程2mx-6=(m+2)x,

••5为正整数，

上为正整数，

ITT2

又•••根是整数，

二%-2是6的正约数，

・・m-2=1,2,3,6,

.\m=3,4,5,8.

【点评】本题主要考查了字母系数的一元一次方程的解法，有一定难度，要注意不要漏解.

13.解下列一元一次方程

(1)-3x+7=4x+21；

(2)£1-1=女+尤；

52

(3)9y-2(-y+4)=3；

(4)3x-l.5_2x-l=2-4x

0.20.90.5

【答案】见试题解答内容

【分析】首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.

【解答】解：(1)移项得：-3x-4x=21-7,

合并得：-7x=14,

系数化为1得：x=-2；

(2)去分母得：2(尤+4)-10=5(尤-2)+10尤，

去括号得：2x+8-10=5%-10+10%,

移项得：2x-15x=-8,

系数化为1得：

13

(3)去括号得：9y+2y-8=3,

移项合并得：

系数化为1得：y=l；

(4)方程可变形为S°x-15_20x70=4-8x,

29

去分母得：9(30x75)-2(20x70)=18(4-8%)

整理得：Z10x-135-40x+20=72-144x

移项合并得：374x=187

系数化为1得：x=l.

2

【点评】熟悉解一元一次方程的步骤，尤其是第四小题注意首先对各个分式进行化简整理，小数化为整

数，在进行解方程的步骤：去分母.

14.王聪在解方程主曳-i=2x-l去分母时,方程左边的-1没有乘3,因而求得方程的解为x=2,你能

33

正确求出原先这个方程的解吗？

【答案】见试题解答内容

【分析】去分母时，方程左边的-1没有乘3,即x+a-1=2%-1,此方程的解为尤=2,代入可先求得a.再

把a=2代入已知方程，从而求出原方程的解.

【解答】解：由题意可得：x+a-\=2x-1

把x=2代入得出方程：2+a-l=2X2-l

解得:a=2,

再把a=2代入已知方程

去分母可得：x+2-3—2x~1,

解得尤=0.

【点评】本题考查解一元一次方程的知识，中间结合很多知识点，注意审清题意.

15.设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“㊉”为：若对任意有理数x、y,运算“㊉

满足通尸俄x,则称此运算具有交换律.x㊉y=[2x+3v-7(xjy)

3x+2y-7(x<y)

(1)试求1©(-1)的值；

(2)试判断该运算“㊉”是否具有交换律，说明你的理由；

(3)若2㊉x=0,求x的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据新定义代入算式即可求解；

(2)根据新定义，分情况讨论说明是否具有交换律即可；

(3)根据新定义分情况求x的值即可.

【解答】解:⑴1©(-1)

=2X1+3X(-1)-7

=2-3-7

=-8

答：1㊉(-1)的值为-8.

(2)该运算具有交换律

理由：分三种情况

当尤>y时，x㊉y=2x+3y-7,y㊉x=3y+2x-7,此时x㊉y=y㊉x

当尤二y时，x㊉y=2x+3y-7,y®x=2y+,ix-7,此时x㊉y=y㊉x

当时，x㊉y=3x+2y-7,y㊉x=2y+3x-7,此时x㊉y=y㊉x

所以该运算“㊉”具有交换律

(3)当xW2时，2㊉x=0,

2X2+3x-7=0

解得x=\

当%>2时，2㊉%=0

3X2+2%-7=0

解得尤=工(舍去)

2

答：尤的值为1.

【点评】本题考查了有理数的混合运算、一元一次方程，解决本题的关键是分情况讨论解决问题.

16.用"<8>”规定一种新运算：对于任意有理数。和人,规定4区。="2+206+”.如：103=1X32+2X1

X3+1=16

(1)求3⑤(-1)的值；

(2)若(a+1)02=36,求a的值；

(3)若〃?=2(g)x,n=(Xr)便)3(其中x为有理数)，试比较加、〃的大小.

4

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据“a软=/+2ab+a”,把a=3,b=-1代入计算即可；

(2)根据“4<8)匕=。廿+2"+。"，把a+1,2代入即可得到关于。的一元一次方程，解之即可；

(3)根据"词6=/+2。4+。”,分别求出％和w的值，依据m-〃>0,即可得到答案.

【解答】解：⑴30(-1)

=3X(-1)2+2X3X(-1)+3

=3-6+3

=0；

(2)(a+1)<8)2=36,

(a+1)X22+2(a+1)X2+(tz+1)=36,

4。+4+4〃+4+〃+1=36,

9。+9=36,

9a=27,

，a=3；

(3)由题可得，m=2^+2X2x+2=2?+4x+2,n=l.xX32+2XXcX3+Xx=4x,

444

*.*m-几=2/+2>0,

【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，解题的关键是：(1)正确掌握有理数的混合

运算顺序，(2)正确掌握解一元一次方程，(3)正确掌握整式的加减.

易错点五：同解方程

技巧点拨：解关于X的方程，根据同解的定义建立方程

17.已知关于x的方程：2(x-l)+l=x与3(x+加1有相同的解，求以y为未知数的方程圭三X匹红

32

的解.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据方程1可直接求出x的值，代入方程2可求出m,把所求力和X代入方程3,可得到关于y

的一元一次方程，解答即可.

【解答】解：解方程2(x-1)+l=x

得：x=\

将％=1代入3(x+m)—m-1

得：3(1+m)=m-1

解得：m=-2

将x=l,m=_2代入」一呻二11r3x

32

得：J2)y二£

32

解得：v=_21.

y4

【点评】本题解决的关键是能够求解关于尤的方程，根据同解的定义建立方程.

易错点六：由实际问题抽象出一元一次方程

技巧点拨：解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出方程.

18.有机辆客车及“个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1

人不能上车,有下列四个等式:@40m+10=43m-1；②丫、=n+l；③nTO=n-l；④40»i+10=43/"+l,

40434043

其中正确的是()

A.①②B.②④C.②③D.③④

【答案】。

【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到

正确答案.

【解答】解：根据总人数列方程，应是40〃计10=43帆+1,①错误，④正确；

根据客车数列方程，应该为£16②错误，③正确；

4043

所以正确的是③④.

故选：D.

【点评】此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程.

19.某工程要求按期完成，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队

合作，则正好按期完工.问该工程的工期是几天？设该工程的工期为尤天.则方程为()

----H-------=1

4040X50

C.—=iD.4x-4x-4一

404050404050

【答案】D

【分析】关系式为：甲4天的工作量+甲乙合作(x-40)天的工作量=1,把相关数值代入即可求解.

【解答】解：甲4天的工作量为：A；

40

甲乙合作其余天数的工作量为：2二支+三£

4050

二可列方程为：—生+"+£1=1,

404050

故选：D.

【点评】找到工作量之间的等量关系解决本题的关键；易错点是得到甲乙合作的工作时间.

20.为了倡导居民节约用水，自来水公司规定：居民每户用水量在8立方米以内，每立方米收费0.8元;

超过规定用量的部分，每立方米收费1.2元.小明家12月份水费为18元，求小明家12月份的用水量,

设小明家12月份用水量为x立方米，根据题意，可列方程为8X0.8+1.2(x-8)=18.

【答案】见试题解答内容

【分析】先计算8立方米时的水费：8X0.8=64,与18对比，说明小明家12月份的水量x>8,可列方

程即可.

【解答】解：•••8X0.8=6.4<18,

根据题意,可列方程为：8XO.8+1.2(x-8)=18,

故答案为：8XO.8+1.2(%-8)=18.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的问题，解题时首先正确理解题意，然后利用

题目的数量关系列出方程.

易错点七：一元一次方程的应用

技巧点拨：解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题。

21.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=12cm,P点在AO边上以每秒1c机的速度从A向。运动，

点。在BC边上，以每秒4c加的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待尸点到达£（点

为止，在这段时间内，线段尸。有（）次平行于48.

P

__________g

R<—C

A.1B.2C.3D.4

【答案】。

【分析】易得两点运动的时间为12s,PQ//AB,那么四边形ABQP是平行四边形，贝U4尸=2。，列式可

求得一次平行，算出。在BC上往返运动的次数可得平行的次数.

【解答】解：•.•矩形ABC。，AD=12cm,

'.AD—BC—12cm,

'：PQ//AB,AP//BQ,

二四边形ABQP是平行四边形，

：.AP=BQ,

走完BC一次就可以得到一次平行，

•••尸的速度是1c%/秒，

两点运动的时间为12+1=12s,

运动的路程为12X4=48cm,

在BC上运动的次数为48+12=4次，

二线段尸。有4次平行于A3,

故选：D.

【点评】解决本题的关键是理解平行的次数就是。在BC上往返运动的次数.

22.一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”.现购买2件该商品，相当于这2

件商品共打了（）

A.5折B.5.5折C.7折D.7.5折

【答案】D

【分析】根据题意设第一件商品X元，买两件商品共打y折，利用价格列出方程即可求解.

【解答】解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：

x+0.5x=2尤•S-,

10

解得：y=7.5

即相当于这两件商品共打了7.5折.

故选：D.

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键.

23.中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过

100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折.王波两次购物分别付款80

元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（）

A.288元B.332元

C.288元或316元D.332元或363元

【答案】C

【分析】按照优惠条件第一次付80元时，所购买的物品价值不会超过100元，不享受优惠，因而第一次

所购物品的价值就是80元；300元的9折是270元，8折是240元，因而第二次的付款252元所购买的

商品价值可能超过300元，也可能超过100元而不超过300元，因而应分两种情况讨论.计算出两次购

买物品的价值的和，按优惠条件计算出应付款数.

【解答】解：（1）若第二次购物超过100元，但不超过300元，

设此时所购物品价值为尤元，则90%x=252,解得x=280

两次所购物价值为80+280=360>300

所以享受8折优惠，

因此王波应付360X80%=288（元）.

（2）若第二次购物超过300元，设此时购物价值为〉元，则80%y=252,解得y=315

两次所购物价值为80+315=395,

因此王波应付395X80%=316（元）

故选：C.

【点评】能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键.

24.有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为“，高为/?,其内装蓝色液体若干.若

如图②放置时，测得液面高为工例若如图3放置时，测得液面高为2九则该玻璃密封容器的容积（圆

23

柱体容积=底面积X高）是（)

1

-A

2

图①图②图③

A5兀B.^2hC52D・-|-ah

khaJTrah

66o

【答案】B

【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出

结论.

【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V,

nXa2X—h=V-TtXa2X(〃-,

23

解得v=12£

6

故选：B.

【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思

想解答.

25.如图是某月的日历，在此月历上可以用一个“十”字图出5个数（如3,9,10,H,17）照此方法,

若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38,则这5个数的和为（）

A.50B.85C.95D.100

【答案】C

【分析】可以设中间数为x,根据日历的特征列出其上下左右四个数的式子解题即可.

【解答】解：设中间数为x,则最大的数（下面的数）为：x+7,最小的数（上面的数）为：x-7,左边

的数为：x-1,右边的数为：x+1,

•二总和为：x+x-7+x+7+x-l+x+l—5x,

:最大数与最小数的和为38,

；.x+7+尤-7=38,

解得：元=19,

和为：5X19=95,

故选C.

【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，能够根据日历的特征列代数式是解题关系.

26.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为

2千米/时，则A港和B港相距504千米.

【答案】见试题解答内容

【分析】轮船航行问题中的基本关系为：

(1)船的顺水速度=船的静水速度+水流速度；

(2)船的逆水速度=船的静水速度一水流速度.若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B

港所用时间为.*小时,从B港返回4港用一*小时,根据题意列方程求解.

26+226-2

【解答】解：设A港和B港相距x千米.

根据题意,得_^+3与_

26+226-2

解之得x=504.

故填504.

【点评】本题的相等关系，逆流航行时间-顺流航行时间=3.注意：船的顺水速度、逆水速度、静水速

度、水流速度之间的关系.

27.按下面的程序计算：

输入X—F-计算5X+1的值—输出结果

SI

若开始输入的X值为正整数，最后输出的结果为556,则开始输入的X值为22或111.

【答案】见试题解答内容

【分析】由5x+l=556,解得x=lll,即开始输入的x为111,最后输出的结果为556；当开始输入的x

值满足5x+l=lll,最后输出的结果也为556,可解得x=22；当开始输入的x值满足5x+l=22,最后输

出的结果也为556,但此时解得的x的值为小数，不合题意.

【解答】解：当输入一个正整数，一次输出556时，

5x+1=556,

解得：x=lll；

当输入一个正整数，两次后输出556时，

5x+l=lll,

解得：x=22；

当输入一个正整数，三次后输出556时，

5x+l=22,

解得：尤=4.2(不合题意)

故答案为：22或111.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据程序框图列出方程，求出符合条件的x的

值.

28.一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时.

(1)求无风时飞机的飞行速度；

(2)求两城之间的距离.

【答案】见试题解答内容

(分析］应先设出飞机在无风时的速度为羽从而可知在顺风时的速度为飞机在无风中的速度加上风速，

飞机在逆风中的速度等于飞机在无风中的速度减去风速，又已知了顺风飞行和逆风飞行所用的时间，再

根据路程相等，列出等式，求解即可.

【解答】解：(1)设无风时飞机的速度为x千米每小时，两城之间的距离为S千米.

则顺风飞行时的速度vi=x+24,逆风飞行的速度V2=x-24

顺风飞行时：5=vih

逆风飞行时：S=V2t2

即5=(x+24)X*=(%-24)X3

解得尤=840,

答：无风时飞机的飞行速度为840千米每小时.

(2)两城之间的距离5=(%-24)X3=2448千米

答：两城之间的距离为2448千米.

【点评】此题主要考查一元一次方程的实际运用，关键在于根据飞机在顺风时的速度为风速加上在无风

中的速度，飞机在逆风中的速度等于在无风中的速度减去风速，列出等式.

29.A、8两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米.

(1)若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？

(2)若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？

(3)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)如果两人同时出发相向而行，那么是相遇问题，设两人同时出发相向而行，需经过x小时

两人相遇，即无小时他们共同走完64千米，由此可以列出方程解决问题；

(2)此小题有两种情况：①还没有相遇他们相距16千米；②已经相遇他们相距16千米.但都可以利用

相遇问题解决；

(3)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，此时是追及问题，设z小时后乙超过甲10千米，那么z

小时甲走了14z千米，乙走了18z千米，然后利用已知条件即可列出方程解决问题.

【解答】解：(1)设两人同时出发相向而行，需经过x小时两人相遇，

根据题意得：14x+18x=64,

解方程得：x=2(小时).

答：两人同时出发相向而行，需经过2小时两人相遇；

(2)设两人同时出发相向而行，需y小时两人相距16千米，

①当两人没有相遇他们相距16千米，

根据题意得：14y+18y+16=64,

解方程得：y=1.5(小时)；

②当两人已经相遇他们相距16千米，

依题意得14y+18y=64+16,

：.y=2.5(小时).

答：若两人同时出发相向而行，则需1.5或2.5小时两人相距16千米；

(3)设甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则z小时后乙超过甲10千米，

根据题意得：18z=14z+64+10,

解方程得：z=18.5(小时).

答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则18.5小时后乙超过甲10千米.

【点评】此题是一个比较复杂行程问题，既有相遇问题，也有追及问题.解题的关键是读懂题意，正确

把握已知条件，才能准确列出方程解决问题.

30.已知数轴上点A表示的数为6,8是数轴上在A左侧的一点，且A,2两点间的距离为10.动点尸

从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为/(/>0)秒.

-<—--Q•--B•-------•O----<—---P•---•A---->

06

(1)数轴上点2表示的数是-4；当点尸运动到的中点时，它所表示的数是1.

(2)动点。从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、。同时出发.求：

①当点尸运动多少秒时，点尸追上点Q?

②当点尸运动多少秒时，点尸与点。间的距离为8个单位长度？

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据数轴上点A表示的数为6,8是数轴上在A左侧的一点，且A,8两点间的距离为10.即

可得点2表示的数；进而可得当点尸运动到A2的中点时，它所表示的数；

(2)①根据追及问题的等量关系，利用动点尸的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解；

②根据点尸与点。相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解.

【解答】解：(1)•••数轴上点A表示的数为6,B是数轴上在A左侧的一点，且A,B两点间的距离为

10,

得B点表示的数为-4,

当点尸运动到的中点时，它所表示的数为1.

故答案为-4、1.

(2)①根据题意，得

6t-2f=10

解得t=2.5

答:当尸运动2.5秒时，点P追上点Q.

②根据题意，得

当点P与点。相遇前，距离8个单位长度：

2t+(10-67)=8,

解得t=Q.5；

当点尸与点。相遇后，距离8个单位长度：

(6fTO)-2f=8,

解得Z=4.5.

答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点。间的距离为8个单位长度.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程.

31.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，

现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？

【答案】见试题解答内容

【分析】根据配套问题列一元一次方程即可求解.

【解答】解：设用x张制作盒身，(144-x)张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒.

根据题意，得

2X15x=42(144-x)

解得尤=84,

.\144-x=60(张).

答：用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找等量关系.

32.汽车上坡时每小时走28初2,下坡时每小时走35切1,去时，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍还少

14加3原路返回比去时多用了12分钟.求去时上、下坡路程各多少千米？

【答案】见试题解答内容

【分析】由已知设去时上坡路为x千米，则下坡路为(2x-14)千米，根据已知分别表示出去时和原路

返回的时间，由原路返回比去时多用了12分钟列出方程求解.

【解答】解：设去时上坡路为x千米，则下坡路为(2x-14)千米，根据题意得：

2x-14+x_(x+2x-14)=12

28352835而，

解得：x=42,

则2x-14=2X42-14=70,

答：去时上、下坡路程各为42千米、70千米.

【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键设去时上坡路为x千米，表示出下坡路，

再根据原路返回比去时多用了12分钟列出方程求解.

33.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市民“一户一表”生活用

水阶梯式计费价格表的部分信息：

自来水销售价格污水处理价格

每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨

17吨及以下a0.90

超过17吨但不超过30吨的部分b0.90

超过30吨的部分6.000.90

(说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费)

已知小王家2018年7月用水16吨，交水费43.2元.8月份用水25吨，交水费75.5元.

(1)求a、b的值；

(2)如果小王家9月份上交水费156.1元，则小王家这个月用水多少吨？

(3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用

水超过30吨，一共交水费215.8元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？(滞纳金:

因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”)

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)16吨小于17吨，用16乘以自来水每吨的销售价格与污水处理单价之和，等于432元，

得方程①；25=17+8,按照两段的价格计算，得出方程②，解方程组即可求得。和田

(2)设小王家这个月用水无吨，分17吨以下、17〜30吨、30吨以上三部分相加计算，让其等于156.1,

解方程即可；

(3)设小王家11月份用水y吨，由于两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，则分了/17

和17<y<30,分别列方程求解，再结合问题的实际意义可得本题答案.

【解答】解：⑴由题意得：(16(a+0.9)=43.2①

\17(a+0.9)+8(b+0.9)=75.5②

解①，得〃=1.8,

将〃=1.8代入②，解得0=2.8

0=2.8.

(2)1.8+0.9=2.7,2.8+0.9=3.7,6.00+0.9=6.9

设小王家这个月用水X吨，由题意得：

2.7X17+3.7X13+(%-30)X6.9=156.1

解得：x=39

小王家这个月用水39吨.

(3)设小王家11月份用水y吨，

当yW17时，2.7y+2.7X17+3.7X13+(50-30-y)X6.9=215.8-30

解得y=ll

当17VyV30时,17X2.7+（y-17）X3.7+2.7X17+3.7X13+（50-30-y）X6.9=215,8-30

解得了=9.125（舍去）

，小王家11月份用水11吨.

【点评】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系，并

正确分段是解答本题的关键.

34.某工厂现有15小木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分木料制作桌面，其余木料制作

桌腿.

（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果In?木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿.要

使制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少

（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件，解答下列问题：

①如果加3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配

套？

②如果3祖3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）设用x/木料制作桌面，则用（15-x）立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量

关系建立方程求出其解即可.

（2）①设用劭？木料制作桌面，则用（15-a）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其

解即可.②设用y/木料制作桌面，则用（15-y）/木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其

解即可.

【解答】解：（1）设用X，/木料制作桌面，则用（15-x）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得

40x=20（15-x）,

解得：x=5,

答：制作桌面的木料为5/.

（2）①设用卬/木料制作桌面，则用（15-a）立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得

4X50a=300（15-a）,

解得：＜2=9,

，制作桌腿的木料为：15-9=6（m3）.

答：用9m3木料制作桌面，用6,/木料制作桌腿恰好配套.

②设用y7,木料制作桌面，则用（15-y）/木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，由题意得

4X20Xy.=320X15~y,

33

解得y=12,

.,.15-12=3加3,

答：用12疗木料制作桌面，用3/木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子.

【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，寻找配套问题的等量关系建立方程是解决问题

的关键.

35.从2004年8月1日起，浙江省城乡居民生活用电执行新的电价政策，小聪家今年安装了新的电表,

他了解到安装“一户一表”的居民用户，按用抄见电量(每家用户电表所表示的用电量)实行阶梯式累

进加价，其中低于50千瓦时(含50千瓦时)部分电价不调整；51-200千瓦时部分每千瓦时电价上调

0.03元；超过200千瓦时的部分每千瓦时电价再上调0.10元.已知调整前电价统一为每千瓦时0.53元.

(1)若小聪家10月份的用电量为130千瓦时，则10月份小聪家应付电费多少元？

(2)已知小聪家10月份的用电量为加千瓦时，请完成下列填空：

①若mW50千瓦时，则10月份小聪家应付电费为0.小元;

②若50c%W200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为(0.56加-1.5)元;

③若小＞200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为(0.66?"-21.5)元.

(3)若10月份小聪家应付电费为96.50元，则10月份小聪家的用电量是多少千瓦时？

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)读懂题意，列式计算；

(2)读懂题意，用代数式表示；

(3)设10月份小聪家的用电量是根千瓦时，根据题意得0.56m-1.5=96.5,求解即可.

【解答】解：(1)50X0.53+(130-50)X0.56=26.5+44.8=71.3(元)

答：10月份小聪家应付电费71.3元.

(2)①0.53%,

②0.53X50+0.56(m-50)=(0.56/77-1.5),

@0.