第二十七章 相似 单元测试（含解析）-2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十七章相似单元测试

一、单选题

1.在V/8C中，AB=AC,44=36。，BD平分/ABC,DE〃BC,则与V48c相似的是

（）

A.ADBEB.ABCDC.AABDD.xDEC

2.如图，点£为正方形4BCD边上一点，点RG分别为CD,BC上一点，己知£尸〃

,EG=AE,知道下列哪两个点之间的距离，可以求出四边形/瓦晒的面积（）

A.点4GB.点、D,GC.点尸，GD.点C,G

3.如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折，BC的对应边EC交40于点R过点8作BG1CE

交/C于点与垂足为G,若4B=3,BC=4,则AG的长度为（）

4.如图，与△DCE是以点E为位似中心的位似图形，若/8=4,CD=8,5C=8,

则BE的长为（）

248

A.-B.-C.2D.-

333

5.如图，在VN8C中，AB=AC,NB4c=36°,分别以A,C为圆心，以大于g/C长为

半径画弧，两弧交于点W,N,过点N作直线交于点。，交4c于点E,再连接

以下结论①。；②；④些=@二1.其

CD.4L»C=72KDEsxCDB@S^ESABCD.

CD2

中正确的结论序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

6.下列各组条件中不能使V/BC与9£尸相似的是（）

A.4=/。=40。，NB=NE=60。,AB=DE

B.AA=AD=60°,4=40。，AE=80°

C.Z-A—Z.D=50°,AB=3,AC=5,DE=6,DF=10

D./B=/E=70。，AB:DE=AC:DF

7.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点。（0,0）,8（2,0），点A在第

一象限，已知AOA'B'与△048位似，位似中心是原点O,且AOA'B'的面积是

则点A对应点A'的坐标为（）

B.（273,2）或卜2百,一2）

C.(4,4A/3)D.(2,2⑹或(-2,-273)

8.如图，在正方形48co中，若E为边的中点，尸是3c边上的一动点，则下列条件:

@BP:BC=1:3,②BP:BC=1:2,③BP:BC=2:3,@BP:BC=3:4.其中能推出ANBP

与△EC尸一定相似的条件有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

9.如图，在V48c中，点。，£分别在边48、AC±,下列条件中不能判断△/BC〜

八ADABrDEAE

(=I)=

,AEAC'BCAC

AT2

10.如图，AB//CD//EF,分别截两直线于六点.若一=彳，BD=8,则5/二

CE3

().

40

A.12B.—C.20D.

3T

11.如图，已知4〃/2〃，3，如果45:80=2:3,那么土土等于（）

DF

12.如图所示，直线。〃6〃c,直线机分别交直线。，b,c于点A,B,C,直线〃分别

JR7FF

交直线a,b,c于点。，E,F.若差=彳，则笠的值为（）

BC3Dr

h

二、填空题

13.如图，N5是。。的直径；弦交N8于点厂，BF=20F,弦4ELCO于点G,连接

CE,CE//AB.若CG=4,贝l|FG=,AB=

14.如图，在Rt^4BC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。是NC的中点，点£在3c上,

分别连接、/£交于点尸.若/BFE=45°,贝i」CE=.

15.如图，在矩形ASO中，M是对角线NC与8。的交点，过点M作血WIND,垂足为

16.如图，在V4BC中，点。在C8的延长线上，点尸在/C边上，DF交AB于E,若

AE:BE=3:2,DE:EF=5:4,则AF:FC=

£

DRC

三、解答题

17.如图，在正方形ABCD中，点尸是2c边上一点，连接”，以4F为对角线作正方形AEFG,

连接NC、DG,求证：AAFCS"GD.

（2）如图2,若尸为CD中点，CE=3BE,求不.

AB

⑶如图3,口/BCD中，/DBC=30。,尸为对角线8。上一动点，过尸作直线即使得

ZBPE=120°,分别交直线BC于点F、E,若BD=6,请直接写出加'+DE的最小

值.

19.如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点42的坐标分别为（3,1）,（2,-1）.

（1）以原点O为位似中心，画出（点45的对应点分别为点4、4），△048与

△0/0在位似中心。的异侧，且画与△048的相似比为2:1；

⑵在（1）的条件下，写出点4的坐标.

20.如图，在V48c中，D,£分别是边ZB/C的中点.

⑴尺规作图在边BC上找一点凡连接。/，使/EDP=/C.（不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，连接即，求证：EF//AB.

参考答案

题号12345678910

答案BADDBDDCDc

题号1112

答案AD

1.B

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角

形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出ABE。、ACDE、△48。是钝角三角形,

而V4BC是锐角三角形，因此和V4BC不相似，由平行线的性质推出

V/OE和△NC8的两角对应相等，因此VNDE和△NC8相似.

【详解】解：,•・A8=/C,ZA=36°,

/ABC=1x(180°-36°)=72°,

•：DE//BC,

.•./48C+/8ED=180。,

ABED=108°,

・•.△AED是钝角三角形，

■■■\JABC是锐角三角形，

V/8C和ADBE不相似，

故A不符合题意；

,；BD平分NABC,

ZDBC=-ZABC=36°="

2

又,

ABDCS^ABC,故B符合题意；

•；BD平分NABC,

;.NABD=LNABC=36°,

2

:"ADB=180°-一NABD=108°,

.•.△加。是钝角三角形，

■-X/ABC是锐角三角形，

:NABC和AABD不相似，

故C不符合题意；

-DE//BC,

ZCDE+ZBCD=ISO°,

ZCDE=108°,

.•.ACDE是钝角三角形，

MABC和&CDE不相似，

故D不符合题意.

故选：B.

2.A

【分析】连结/G,过点E作EH1.4G于点H,由四边形/BCD为正方形，可得

NB=90。,AD〃BC,再证明A4E"SA/GB.得出/〃・NG=,再证明四边形NE打）

为矩形，得出由等腰三角形三线合一性质得出=最后得出

S四边…=蚀.EF=4E.AB=AH.AG=g4G。.

【详解】解：如图，连结/G,过点E作E"J_/G于点H,

EH1AG,

/AHE=ZB=90°,

又ZEAH=/BAG,

:.^AEH^AAGB.

.AEAH

…就一下’

/.AH•AG=AE•AB,

•：EF//AD.AE//DF,

••・四边形/£尸。为平行四边形,

•・・/£4D=90。，

••・四边形/为矩形,

EF=AD=AB,

•/EG=AE,EH1AG,

AH=-AG,

2

S四皿“EFD=4E.EF=AE.4B=4H.4G=3AG?•

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及等腰三

角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的

判定与性质及等腰三角形的性质.

3.D

【分析】过点2作于点。，根据勾股定理求出AC=dAB/BC、5,

AQ=^AB2-BQ2=证明=得出=证明

5

7CGH3CEA,得出一=——,即GH_《，求出结果即可.

AEAC~3~=~5

【详解】解：过点3作8QJL/C于点Q,如图所示：

•.•四边形/8CL1为矩形，

ZABC=90°,

根据勾股定理得：AC=ylAB2+BC2=5,

■■SVABC=^ABXBC=^ACXBQ,

…ABxBC3x412

・•・BQ=--------=------=—,

AC55

■■■AQ=^AB2-BQ2=32-f=f,

根据折叠可知：4E=4B=3,EC=BC=4,NAEC=/ABC=9。°,ZBAC=ZEAC,

•・•BGICEf

ZBGC=ZE=90°f

・•.BG//AE,

；・NAHB=/EAC,

・・.NAHB=NBAC,

・•・AB=BH,

-BQ1ACf

918

・•.AH=2AQ=2x-=—,

1o7

CH=AC-AH=5——

55

•・.BG//AE,

:NCGH3CEA,

GHCH

,•万一定‘

7

即里_5，

"T-y

21

解得：GH^—.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，

折叠的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

4.D

【分析】本题考查了相似图形的性质，位似图形与相似图形的关系.根据位似图形的性质,

得到A/BESADCE,根据相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：与是以点E为位似中心的位似图形，

・•・AABES公DCE

BEAB

**CE-Bc?

vAB=4,CD=8,BC=8,

BE_4

：8-BE一飞'

Q

解得：BE=-,

故选：D.

5.B

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质,

三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题，解题的关键是

熟练掌握以上性质，并灵活应用.

利用线段的垂直平分线的画法和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，

相似三角形的判定和性质，一元二次方程解几何问题等知识点逐项进行判定即可.

【详解】解：①尺规作图的操作可知，直线"N垂直平分线段NC,

/.DA=DC,

.\ZA=ZACD=36°,

ABDC=ZA+ZACD=72°f

故①正确；

@-：AB=AC,ZA=36°,

ZB=NACB=72°,

/BCD=NACB-ZACD=36°

ZBDC=180°-ZS-/BCD=72。，

又,••直线MN垂直平分线段/C,

ZCDE=ZADE=54°,

在RCDE和MDB中只有/BCD=ZDCE=36。,其余两角不相等，所以两个三角形不相似,

故②错误；

③如图：

过点£作E"，CD于点H,过点。作。K13C于点K,

ZEHC=ZDKC=90°,

又•••ZECD=ZDCB=36°

:AECHS^DCK

EC

由RNDCE可知,w1

CD

W1

DK

即EH声DK,

由②得/3=/8。。=72。

BC=CD

・•・在△BCZ）和△Z）CE中，底边相等，底边上的IWJ不相等，所以两个二角形的面积不相等,

・・•ZA=ZACD,ZAED=ZCED=90°,DE=DE

:."DEaCDE(AAS)

A/\BCD的面积和V4Z1E的面积不相等,

故③错误；

（4）•・•4B=/B,/BCD=/Z=36。

LBCDsLBCA

BDBC

5CAB

彳段设AB—1,BD=x,则AD=CD-BC—\—x,

x_1-x

整理得，x2-3x+1=0,

解得，X[=3:,x?3+V5

2

'：x<\,

.3>

3)

BD_2_V5-1

~CD=.3-V5=2

2

故④正确;

故选：B.

6.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则即可得出答案，熟练运

用相似三角形的判定是本题的关键.

【详解】解：A、AA=AD=40°,NB=NE=60。，

；.AABCs^DEF,故选项不符合题意；

B、•.♦/£>=60°,ZE=80°,

=180°-ZD—ZE=180°-60°-80°=40°,

；.NB=NF,

又•；ZA=ZD，

AABCSADFE,故选项不符合题意；

C、-：AB=3,/C=5,DE=6,DF=10

AB3AC5I

"DE~6~DF~10-2,

又ZA=ZD=50°,

AABCS^DEF,故选项不符合题意；

D>■：ABDE=ACDF,

与NC的夹角为DE与。尸的夹角为一。,

而给出的条件为NB=NE=70。,

.•.不能判断故选项符合题意；

故选：D.

7.D

【分析】本题考查坐标与位似，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作/C,08,根据

等边三角形的性质，求出A点坐标，根据两个三角形的面积，求出相似比，进而得到位似比,

根据以原点为位似中心的对应点的坐标特点，进行求解即可.

【详解】解：过点A作

△AOB

•••边三角形OAB的顶点0(0,0),8(2,0),

...OA=OB=1,OC=-OB=\,

2

•1•AC=>JOA2-OC2=也，

.闻1,@,

■■^OA'B'与△048位似，且△04"的面积是△048面积的4倍，

△。4'8'与△048的相似比为2:1,

二位似比为：2:1,

••,位似中心是原点O,

^（2x1,2xV3）^^（-2xl,-2x73）,

即：H（2,2百）或4-2,-2@；

故选D.

8.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的

关键.

根据题意得到/B=8C=CD=/D,N3=NC=9O。，CE=gcD,若A/8尸与△ECP一定相

ADRp

似，则需满足k=而，得到AP=2CP,得出AP:BC=2CP:3cp=2:3,所以符合条件的

只有③AP:8C=2:3,即可得到答案.

【详解】解：•••正方形4BC。，

AB=BC=CD=AD,AB=ZC=90°,

・•・E为CD边的中点，

:.CE^-CD,

2

AT）DD

若A/2尸与尸一定相似，则需满足豆=而，

.里=2,

CP

:.BP=1CP,

BC=BP+CP=3CP,

BP:BC=2CP:3C尸=2:3,

符合条件的只有③AP：8C=2:3,

故选：C.

9.D

【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相

似三角形的判定法则是解题的关键.

【详解】解：・・•/%=//,ZADE=ZB,

/\ABC〜ZxADE,故A选项不符合题意;

,・•//=Z.A,Z.AED=ZC,

MABCyADE,故B选项不符合题意；

ADAB

Z-A—/A，——=——，

AEAC

MABC~AADE,故C选项不符合题意；

DE_AE^

BC~AC'

••.无法证明△48Cs故D选项不符合题意；

故选：D.

10.C

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得

黑=笑=据此求出。尸的长即可得到答案.

DFCE33,

【详解】解AB"CD"EF,

BDAC_2

••而一百一

•；BD=8,

・・・。尸=12,

：.BF=BD+DF=20,

故选：C.

11.A

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质，灵活运用定理、找准对应关系

是解题的关键.根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而计算判断即可.

【详解】解：・・・45:50=2:3,

.AB_AB_2

''^C~AB+BC~~5'

III/2II/3，

.DEAB_2

*DF-IC-5?

故选：A

12.D

【分析】本题考查了平行线分线段成比例和比例的性质，掌握相关的知识是解题的关键.根

QF4R7FF

据平行线分线段成比例可得笑=会=彳，利用比例的性质求黑的值即可.

EFBC3DF

【详解】解..•：allbllc,

DEAB_2

••丽一茄—“

DE+EF2+3DF5

A------------=-------,即Rn——=-,

EF3EF3

EF_3

=一，

DF5

故选：D.

13.81273

【分析】如图所示，连接5E,/C,可证GFII2E,“GFSAABE,当=空=空，由

AEABBE

AQ

BF=20F,设。尸=x,则5分=2x,则——=2,由。£||4S得4/G/S^EGC,贝！J

GE

4GGF

三=鼻=2,可得G/=8,根据平行四边形的判定可得四边形89CE是平行四边形，

GACG

BE=CF=CG+GF=4+8=12fBE=AC=12,在中，

222222222

AG=AC-CG=12-4=128,在用中，AG=AF-GF-Sf列式得

（4X）2-82=128,由此即可求解.

【详解】解：如图所示，连接8瓦4C,

・：AB是直径，

・・・/AEB=90。,

•・•AE1CD9

・・・/AGD=900=/AEB,

：.GF\\BE,

；.AAGFS小4BE,

AG_AFGF

••白一方一茄’

•・・BF=20F,

设。尸=x,则AF=2x,

；.0A=0B=0F+FB=3x,

：,AB=6x,AF=4x,

AF4x2AGGF

AB6x3AEBE

­：CE\\AB

AAGFSAEGC,

AGGFc

~GE~~CG~'

・・・G尸=2CG=2x4=8,

•.­BF\\CE,CF\\BEf

••・四边形BFCE是平行四边形,

■，BE=CF=CG+GF=4+^=n,

■.■AB\\CE,

ZBAE=ZAEC,

■■■ZADC=NAEC,

ZBAE=ZADC,

；.BE=AC=12,

在RMACG中，AG2=AC2-CG2=122-42=128,

在R/A/FG中，AG2=AF2-GF2=（4x）2-82,

•••（4X）2-82=128,

解得，x=2\/3（负值舍去）,

；.AB=6x=12班;

故答案为：①8；@12G.

【点睛】本题考查了圆周角定理及推论，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性

质，勾股定理的综合运用，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质是关键.

30c8

14.—/2—

1111

【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等

三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直

角模型是解题关键.以NC、C8为邻边作矩形NC8K,过点A作//〃。8交8K于点

过点Af作ACVJ.4W交4E的延长线于点N,再过点N作5c的平行线交NC、KB的延长

线于点〃、Q,则四边形是矩形，结合矩形的性质，证明四边形3M是平行四边

形，AZMV是等腰直角三角形，从而推出A4O/%MQN（AAS）,求出CH=5,HN=5,

再证明“CESA/HV,即可求出CE的长.

【详解】解：如图，以NC、C8为邻边作矩形NC8K,过点A作//〃。8交8K于点M,

过点Af作ACVJ.4W交4E的延长线于点N,再过点N作5c的平行线交NC、KB的延长

线于点"、Q,则四边形8C8。是矩形，

AC//BK,AC=BK=6,4K=BC=HQ=8,

BQ=CH,

•・・。是NC的中点，

;.AD=CD=-AC=3,

2

•••AM//DB,AD//BM,

四边形NO8M是平行四边形,

:.BM=AD=3,

:.KM=BK-BM=3,

vAM//DB,ZBFE=45°,

AMAN=45°,

•••MN1.AM,

.•.△MW是等腰直角三角形，

AM=MN,

ZKAM+ZAMK=90°,ZAMK+ZNMQ=90°,

ZKAM=ZNMQ,

「.△/KM丝△M0N（AAS）,

:.AK=MQ=8,KM=NQ=3,

..CH=BQ=MQ-BM=5,HN=HQ-NQ=5,

BC//HQ,

:AACES八AHN,

.ACCE

••初一丽’

.6_CE

"6+55’

【分析】此题主要考查矩形的性质和相似三角形的性质和判定，证明△/m，根据

相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：,.・M是矩形Z5C。对角线/C与的交点，

・•.M是AD的中点，即黑=；，

DD2

-MN1AD,

ZDNM=90°,

•・•四边形45CQ是矩形，

/./DAB=90。,

AB//MN,

：.ANMDsAABD,

故答案为：;.

16.7:18

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造平行线得到相似三角形是解题的关键;

过点E作EG||NC交DC于点G,则△OEGs△。尸c,YBEGsYBAC,仄而有EG:FC=5:9,

95

EG:AC=2:5,得FC=—EG,AC=-EG,即可求得结果.

52

【详解】解：如图，过点E作£G||4c交DC于点、G,

则△Z)£Gs△。尸。，YBEG3BAC,

：・EG:FC=DE:DF=5:9,BE:AB=EG:AC=2:5,

95

BPFC=-EG,AC=-EG

52

7

・•.AF=AC-FC=—EG,

10

79

・•・AF:FC=—EG:—EG=7:18,

105

故答案为：7:18.

17.见解析

【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，

先根据正方形的性质得和&4G尸都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性

质得=/=45。，—=—=然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角

ACAF2

形相似.

【详解】证明：•:AC,AF分别是正方形ABCD和正方形AEFC的对角线，

LADC和44G尸都是等腰直角三角形，

ADAC=ZGAF=45°,—=—=

ACAF2

:.NDAG+ZCAG=NCAF+ACAG,

ADAG=NCAF,

：.MAFC^JAGD.

18.⑴48=2

(3)6

ATiRF

【分析】(1)证明△”吐公£皿则法二而代入数值即可得到答案;

(2)延长EF交4D的延长线于点Q,设BE=a,则CE=3a,则3C=4a,由四边形4BC。

是平行四边形得到40〃3C,AD=BC=4a,证明AC斯义AD”(AAS),则

DQ=CE=3aEF=FQ=^EQ得到NQ=4D+D0=7a,证明A/EQSAEB/,得到

BEAEAB器求出3。,求出啧T，设EQ"，则爪*

~AE~AQ,~EQ

则的=/。=^£0=3工，即可得到答案；

(3)先证明四边形0匹丛＞是平行四边形，得BP=PE,结合四边形/BCD是平行四边形，

以及等角对等边得。。=斯=8。=6,证明是等边三角形，再结合三角形的三边关系

列式计算，即可作答.

【详角军】(1)解：VuABCD,^AEF=ZABC=90°,

・・・四边形456是矩形，

ZABE=ZECD=90°,AB=CD,

•・•AAEB+ZCED=ZAEB+/BAE=90°,

・•.ZCED=/BAE,

・•・/\ABE^/\ECD,

ABBE

''~EC~~CD'

AB_1

••丁一布’

解得：AB=2(负值不合题意，舍去)；

(2)解：延长斯交的延长线于点0,设BE=a,则CE=3〃，则5C=4a,

图2

・・,四边形ABCD是平行四边形,

AD//BC,AD=BC=Aa,

,・"Q=/CEQ,ZEAQ=ZAEB,ZCDQ=ZECF,

•.F为CQ中点，

CF=DF,

.•.ACE尸绦。。尸(AAS),

,-.DQ=CE=3a,EF=FQ=^EQ,

：.AQ—AD+DQ-7〃,

•・•ZAEF=/ABC