2025新高考数学复习：选填题解题技巧（解析版）

为考送嫔殿解败技巧会玫陪

目录

解法探究...............................................................................1

方法~~直接法..........................................................................1

方法二排除法........................................................................4

方法三特例法........................................................................6

方法四构造法........................................................................8

方法五数形结合法...................................................................11

方法六建系法.......................................................................15

多选题方法攻略.......................................................................19

高考通关..............................................................................28

解法探究

方法一直接法

直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公

式、公理、定理、法则等基础知识,通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后

对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用题

或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果,直接求解.

由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选

择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问

题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.

【典例训练】

一、单选题

1.(24—25高三上•北京•阶段练习)设等比数列｛狐｝的各项均为正数，S。为其前几项和，若如=2,a2a3a4

=。9，则S3=()

A.6B.8C.12D.14

【答案】。

【分析】结合等比数列的性质可计算出公比q,由等比数列前项和的定义即可求得S3.

【详解】设等比数列｛斯｝的公比为q,则Q2a3。4=。9^=。时=CZ-1Q8,

又因为电=2,则8/=2q8,所以q2=4

又等比数列｛Q/的各项均为正数，故q=2,

则$3=。1+。2+。3=。1(1+9+/)=2(1+2+4)=14.

故选：D

2.(24-25高三上•河北沧州•期中)溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,在化学

•••

中，常用PH值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为PH=—lgc（H+）,其中c（H+）表示溶液中氢

离子的浓度，单位是摩尔/升.已知人溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为

（参考数据：lg2a0.301,lg3x0.477）

A.0.268B.0.87C.1.13D.1.87

【答案】B

【分析】由PH的计算公式及对数的基本运算求解即可.

【详解】解：由题意得

F7/=—lgO.135

=-lg(135x10-3)

=-lgl35+3

=—lg(33x5)+3

=-31g3-Ig5+3

——31g3—(1—lg2)+3

=-31g3+lg2+2

心0.87

故选

3.（2024高三・全国・专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日.某高校计划在这一天开展

有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲,则不同

的排法总数为（）

A.540B.120C.90D.60

【答案】。

（分析］先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可.

【详解】将位老师平均分成三组，共有更匪

6种可能,

三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲,每个班级都有老师宣讲,

厂2厂2c2

则有・^=90种排法.

故选：C.

4.（24-25高三上•天津•阶段练习）已知函数/（2）=2cos（℃+

则。的取值范围为（）

C.

A•毋引B•已知D（米知

【答案】。

【分析】xE（0,左），求出0%+9的范围，对应极小值点时，区间的右端点在（3乃,5兀］上，/G7T7T

6

调递增，包含在区间［7,2力上，分别得出3的范围后取交集可得.

式,7T

【详解】力e（0,不）时，⑦力+《e—,COT+—

OO6

/(a;)在(0,万)有且仅有2个极小值点，则3万V3乃+看<5兀，*V0〈笔■,

0）71.71COX.7T717T

+_L—乃EU亍十石'万十石

63,万

/CO7C.7C

7L^——+—厂rr

则<3o57—11

CDX.7U2①、3，

〔三+不<《92万

所以磊<34号,

故选：D.

二、填空题

5.(24—25高三上•江西南昌•阶段练习)已知向量五石的夹角为与，4=(心,1),同=1,则\a-b\=

O

【答案】V7

【分析】利用向量的数量积的定义，求得a-b=一1,再根据区一可=y/a2-2a-b+f，即可求解.

【详解】因为同=1,同=V(V3)2+l2=2,(a,b)=,

所以五•b=同•|b|cos(a,b)=2x1xcos^-=—1,

o

所以同=(a—6)2=Va2-2a-b+6"=A/4—(—2)+1=V7.

故答案为：

6.(24—25高三上•天津•阶段练习)已知抛物线婿=2pMp>0),经过抛物线上一点(1,2)的切线截圆C：

(x-af+婿=4(a>0)的弦长为22，则a的值为.

【答案】1

【分析】由题意可得：靖=4力,设切线方程力=zn(g—2)+1,结合相切可得nz=1,根据垂径定理结合弦长关

系列式求解即可.

【详解】因为抛物线y2—2p/(p>0),过点(1,2),则2P=4,得至【Jp=2,所以婿=4/，

显然切线斜率不为0,设切线方程为x=m(y—2)+1=my+1—2m,

，消去力得好—4my+4（2m—1）=0,

则△=16m2—16(2m—1)=0,整理得到m2—2m+1=0,解得m=l,

所以切线方程为力=g—1,即力一g+l=0,

又因为圆。：(/一a)?+y1=4(a>0)的圆心C(a,0),半径7=2,

则圆心C(a,O)到直线/一g+1=0的距离d=,a>0,

由题意可得(血)2=22,整理得到4+20—3=0,解得Q=1或0=一3(舍).

\V2'

故答案为：［

方法二排除法

排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的

选项,找到符合题意的正确结论.也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一

剔除,从而获得正确的结论.具体操作起来,我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比如，

可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数

的范围选项,即：如果有两个选项A(a>1)、B(a>1)，你就可以选取1这个数看是否符合题意,如果1符合

题意，你就排除如果1不符合题意,你就排除A,这样就能快速找到正确选项，当然,选取数据时要考虑

选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数;也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证

再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是否符合题意即可

快速而且正确找到选项,而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项.

而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决

部分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你

己经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取,你就可以代入验证进行排除.所以，我们

要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的

时间！

【典例训练】

7.下面四个命题：

初:命题“VnGN,2"”的否定是F%GN,端W2"”；

「2：向量a=b=(1,—ri),则7n=7i是aJ_b的充分且必要条件；

p3：已知双曲线《一"=l(a>0,6>0)的一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离心率为0;

azbz

P4：在等比数列｛bj中，若“5=2,d=8,则b7=+4.

其中为真命题的是

A.P1，P2B.。2,。3C.P2,PiD.Pl，P3

【答案】8

【解析】方法一,:

对于Pl：命题“VneN,"2>2"'的否定是就42"”，所以Pl是假命题，排除A,。;

对于P3：双曲线-----=l(a>0,6>0)的一条渐近线经过点(1,2),则有a=2,则离心率e=£■=

a2b2aa

=方，所以M是真命题，排除故选B.

4

8.已知S”为数列｛狐｝的前n项和,且log2(S„+1)=n+1,则数列｛an｝的通项公式为

3,72=1

nn-1n+1

A.an=2B.a=C.a=2D.an=2

n2n，心2n

【答案】R

n+1

【解析】由log2(Sn+l)=?i+1,得S九+1=2,

当九=1时，Q1=Si=3;(解题时，到这一步就可以进行排除，得出正确选项，因为Q1=S1=3,4、中

的Q1均不为3,故可排除，选B.)

当71>2时，“=S九一S『1=2n.

3,n=1

所以数列｛。九｝的通项公式为a=.故选

n2n,n>2

9.(24-25高三上•天津•阶段练习)函数/(乃=("+?"也2的大致图象为()

2“2，'

【答案】A

【分析】结合函数的定义域，零点，x>0时函数值的符号，对各个选项进行分析判断，即可求解.

【详解】由/(工)=I，；'2：n2知J(—1)=0,所以选项。不合题意；

又名=0时，丁-2'-2"-2"=0,所以:EWO,故选项B不合题意，

因为x>0时，，>—2,根据指数函数的单调性可知，2X>2~X,

又2弧度是第二象限角，故sin2>0,于是,>0时，/(c)>0,所以选项。不合题意，

故选：A.

10.若不等式aF+2ax-4<2.?+4x对任意实数K均成立，则实数a的取值范围是

A.(-2,2)B.(-00,_-)U(2,+00)

C.(--*2]D.(9-]

【答案】。

【解析】当。=2时，不等式为-4<0，恒成立，符合题意，排除A、B；

当a=-2时，不等式为『++1=(1+2°，不恒成立，不符合题意，排除。，故选C.

IL（2024高三全国•专题练习）设a=3葭22.4,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】。

【分析】设/㈤=e'-x-1，利用导数求得函数单调性，得到=0,得出5>x+i,进而求得

b>c，再利用作商法，将（多丫的商的结果与1进行比较，从而可求得上<1,得到方<a,即可求解.

hr

-=e02t-12-02+1

【详解】由题意，得2,2

令/（x）=e-X-1,K>O,则/'（x）=e'T>0,

所以/（x）在（0,4「上单调递增，

所以/（x）>/（0）-0,即e'>0],

bc

所以则b>c,故排除

所以I口I97.39，所以b,

所以a>方.

故选：。.

方法三特例法

特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条

件，得出特殊结论,再对各选项进行检验,从而做出正确的选择.特别是对于一些比较棘手的高考选择题

或填空题，若能注意到其特殊情况,从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.

常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例法是解答

选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度,题中的一般情况必须满足我们取值的特殊

情况,从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列

的情形;某个三角形,可以考虑直角三角形或等边三角形;椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但

考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.

近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右,所以要想快速准确地

赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！

【典例训练】

12.若\'2x+l为偶函数，则。=().

A.-1B.0C.~~D.1

【答案】B

…f（l）=/（-I）...（l+a）ln-=（-l+a）ln3人

【详解】J（x）为偶函数，则3，得。=0

13.已知曲线C：靖+靖=16（夕>0）,从。上任意一点P向立轴作垂线段PP',P'为垂足，则线段PP,的中

点7的轨迹方程为（）

A-^■+^=1（y>0）B$+（=IG/>O）

C.力1=1（夕>0）D.^-+^=l（y>0）

【答案】A

【详解】曲线。上取一点（0,4）,向多轴作垂线段，中点坐标为（0,2）,代入ABCD知，只有A符合

14.（2024•河南•模拟预测）若a>0,b>0,则使a+6W4成立的一个充分不必要条件为（）

A.-+-^<1B.上+单>4C.+D.2+华>4

ababab

【答案】。

【分析】利用特殊值法代入可知4B、。均错误，再利用基本不等式计算可得。正确.

【详解】对于A,易知当a=4）=4时满足工+《41,但此时不成立，可知A错误：

a0

对于B,当。=4力=4,可知之+芈>4成立，但a+?W4不成立，可知8错误；

ab

对于。，由a：+b：48可得片里《口2+〃&8,即可得a+bW4,即充分性成立；

当a=3,b=l时，满足a+A«4,但此时a2+〃W8不成立，即必要性不成立，可得。正确；

对于。，当a=4/=1时，易知之+f>4成立，此时a+b44不成立，可得。错误.

ab

故选：C

15.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）下列函数，满足”对于定义域内任意两个实数力1，电（为#e2），都

有/口）+/日匿2"2&”的是（）

A./（.r）=.v+sin.vB./（X）-4X-X'C./（x）-21n（.x+l）D./（r）=x|r|

【答案】c

【分析】利用赋值法可判断ABD,令g（X）=?1n（K+1）-2x,利用导数可得=21n31）4,可判断C.

【详解】对于A,令工.一兀，工.二兀，贝”力11+力匚1=-3兀，h+r・-6兀，不满足条件，故A错误；

对于B,令'尸0,凡=1,则口=3,卜+卜：=?,不满足条件，故3错误；对于。，因为

g（x）=21n（x+l）-2Kx>-l）,求导得《'（加密・2.高,

当-1<x<0时，g'E>°,函数g⑺在（-L0）单调递增，

当x>0时,g'l、i<°,函数g（、）在（。，+8）单调递减，•••

所以g(r»g(O),即加(x+l)-2x4加0+l)-2x0=0万/ln(x+l)«2x

即/3・21n(x+l)Sh,所以〃.\;)+/h)424+2工满足条件，故0正确；

对于。，令占=0,•%=3，则/(i)+“I」-，八+2v；-6,不满足条件，故。错误.

故选：C.

16.(24—25高三上•四川•期中)已知(X』TAJ」是函数-log.'图象上不同的两点，则()

r.+.x.+r,j\+r2.r.+x,

ATiCog：—B—

A.__-D•__

,x.+x,Vi+r>l,or.+r.

cJ'i+J'2<iog：-4H-D---s

【答案】A

【分析】设o<*<工，利用对数的运算、对数函数的单调性以及基本不等式，特殊值法逐项判断即可.

【详解】由题意不妨设0c<0，因为是增函数，所以log.T<1叫\.，即「<二.

lo&r.+log.r^log-lx.r,)<log,代习

zm+LJ|+J'2.X.+X,

r.+j\<21og-------~—<log——"八

则2,即22,A正确，B错误；

3x+x

取-2,则儿■o，匕=1卢+心.1-ioB：2>iog：-108：,°错误.

x.=—x,=—、,y.+j,=-3=log—<log.-=log,TJ+T2

取4,-2,则J：=-26=T,"-8S-2,D错误.

故选：4

方法四构造法

构造法是一种创造性思维,是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把

问题作适当的加工处理,构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法

【典例训练】

一、单选题

17.(2024・广东•二模)函数的定义域为RJ(>=3,若▼代艮/")>1,则〃0>2；+1的解集为

()

A.(-2,2)B.(->'w0)C.I-00，？)D.(-°o--wo)

【答案】B

【分析】构造函数/(%)=%-1,解不等式即可得出答案.

【详解】构造函数/(、)=八；1,满足力1=3,/'(•"=]>1,

•M

则由/(x)>x+l可得2x_l>x+l,解得：\>2.

故选：B.

18.(2024•广东广州•模拟预测)已知定义在R上的函数/Q)的导函数为/(土)，且/俳)+/(-T)=0.对于

r(x)

任意的实数:V,均有成立，若〃一3'=-16,则不等式力#>)的解集为()

A.(-8,-3)B.(Y°，3)c.(-3,+8)D.(&*00)

【答案】。

g")=3g(r)=^

【分析】构造函数s，2,，然后由已知可得s’，丁的单调性，最后将不等式转化为

g|X)>g(3),即可得到答案.

,,__/(x)<^--^-c=>/,(x)-/(x)ln2>0人g(x)=〃"

【详解】八/ln2J<J八，，令,

r(x)-2*-2V(x)ln2/(xj-Zlx)ln2

g㈤=.......---------=-----~~->0

则13)-，则g(K)在(Y°,")上单调递增.

/(3)

由/(-3)=-16J(T)为奇函数，得/(3)=16,则泰3)=丁=?,

/(X)/(X)/(3)

从而原不等式,可化为T'-，即T>2',此即为giii>g13).

由于g(2)在I)上单调递增，故这等价于\>3,所以不等式的解集为！3'*°].

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.

19.(2024,辽宁•模拟预测)已知a,加R,若24as则b的可能值为()

A.2.5B.3.5C.4.5D.6

【答案】B

【分析】构造函数",s二T,求导确定其单调性，结合/C)=/(4)可得答案.

InaIndInx

，设〃则・

【详解】由a"得ab/(a)/(b),

又/‘⑶1-lnx

当。<x<e时,/(re)>0,/(')单调递增,

当一\>e时，r(as)<o,y(x)单调递减.

In，，IniIn4

---“4)

因为八,244，所以24a<e<b44.

结合选项可知B正确，ACO错误.

故选：B.

20.（2023・河北•三模）已知函数/（x）=e+x-r-ah】x在区间（l,e：）上恰有2个零点，则实数a的取值范

围是（）

D.(O.e)

【答案】A

【分析】根据题意，令。⑴“e'+r,转化为g（x）=g（alnx）在区间（l,e;）上恰有2个实根，进而转化为

K=aln工即”一记'在区间（1,e’）上恰有2个实根，得到‘""=『与J=a的图象在区间（L屋）上恰有2

个交点，利用导数求得函数，”△：的单调区间和极值，进而得到答案.

【详解】由函数/（、）-C+r-r"-aln、.在区间（l,e：）上恰有2个零点，

令/（x）=0,可得e'+x=x"+alnx=+alnx,

令夕®・e'+J,则g（r）=g（alnx）在区间（l,e2）上恰有2个实根，

_r

因为g（T）在R上单调递增，所以r=alnx即“一菽在区间（1,e：）上恰有2个实根，

/KK）=——、

所以函数''Inx与的图象在区间Z（11，匕）上恰有2个交点,

力3hix-1

又由lln\「，当X€(1,e)时，力'(x)<0；当K€(e,d)时，力'(、)>0,

所以函数人△:在区间（Le）上单调递减，在区间（e,e-）上单调递增,

当一1，时且才⑻=eg）=T,所以e<a<亍，

所以实数a的取值范围是

故选：4

21.（23—24高三上•山西运城•阶段练习）已知a・l+sinO［，b=l+lnl」，c=LOr°,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】根据二项式展开式，得到C〉L1,设g（X）=X-即X,利用导数得到gm在（0,+8）上单调递增,根据

g（K）>g（0）-0j”ja<cg/（x）rinr-ln（l+x），x€（（M）j”［a>6，即可求解.

［详解］由c=l0严=（1+°」厂=1+Cj001+C；,00F+…+C：001">1+C；O001+.=1.1

设g（x）=i-，n'可得g'3=l-cos\20恒成立，函数gE在（0,+8）上单调递增，

所以gI、gm=°,所以K>SinK在在（O.M）上恒成立，

所以a=l+smO1<1+0」=1」，所以a<c,•M

设•x）=cosx-l+mEx€（0,l）,可得夕”上一曲r+K>0

所以©（X）>夕⑼=0,所以8$X>1-卡

设/(X)-sinx-ln(l+x),x€(0.1)

:

/'(x)=cosx--L>i-Lr__L-x(r+2Xx-l)>0

可得1+r21+r-2(1^)~

所以/（①）在（0,1）上单调递增，所以力°11>力°）・°,可得sin（M即a>b,

所以％<a<c.

故选：B.

方法五数形结合法

数形结合法:对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件,作出符合题意的图形，并通过对图

形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和

截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等.

【典例训练】

一、单选题

22.（24—25高三上•北京•期中）已知定点430,80,4），若点。在圆。：产+厂=4上运动，则

的最小值为（）

A.2MB.6C.2+2^5D.2+2713

【答案】A

【分析】设点。0力，且卜子「回，由此可求得0（°，1）,利用三角形两边之和大于第三边的性质可确定当

AC,0三点共线时取得最小值.

【详解】设点门二JL则|。8卜Jx'+（J-4）’=2y/5-2y

设点Dw）,且口卜3叫=*+…，-乒F,

解得」・1,；.存在点“的）,使得印卜#"L

•••

y

R\

O]JA

・••2阳+”"(倒+；网=2(倒+即归平q(当且仅当月co

三点共线时取等号)，

.-.(2|C4|+1明L=：!|明=2^(3-0)'+(0-1)'=2M

故选：4

【点睛】关键点点睛：本题考查圆的问题中的线段长度和最值的求解问题，解题关键是能够根据阿波罗尼斯

圆的性质，将所求线段进行长度转化，进而利用几何关系来进行求解.

23.(23—24高三上•江西南昌•开学考试)已知函数J■e'和J的图象与直线J-2-X交点的横坐标

分别为4,。，则()

A.a>bB.a+b<2C.ai>>1D.a:+b:>2

【答案】。

【分析】作出函数J=e和J=lin-的图象以及直线J=2-x的图象，即可判断a,b大小没判断A；利用反函

数的性质可判断B；利用基本不等式可判断C,。.

【详解】作出函数J=e和J=3的图象以及直线j=1的图象，如图，

由函数J=e'和『=Im"的图象与直线J=2-K交点的横坐标分别为a,b,

结合图象可知0<a<b,4错误；

由题意知4(a,e"),5(b,lnb),也即4(a,2-a)网瓦2-匕),

由于函数J=e'和J=lnr互为反函数，

二者图象关于直线『='对称，而AB为J=e'和j=Inx的图象与直线J=2-x的交点,

故4B关于J=、对称，故a=?-瓦a+b=2,B错误；

,q+b、」，

由0<。<。。+。=2,故2',C错误；

因为0<a<b,故。：+分’>?而，:式优+武）>（。+万）’，

结合。+5=2,即得a：+5：>2正确，

故选：。

24.（24—25高三上•湖南•阶段练习）已知己是单位向量，向量后满足卜一7,则W的最大值为（）

A.2B.4C.3D.1

【答案】B

【分析】设。力=IQB=b,由*卜3

，可得点k在以A为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意

义，可得W的最大值.

【详解】

设火■包仍“，因为卜”卜3,

即同例平卜3,即囤=3,

所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，

又N是单位向量，则|°月卜1,

故冏最大值为同+网=1+③=4,即目的最大值为生

故选：B.

/（X）■2»iw（<vx+^>）［d>>0,|^>|<上

25.（2024•广东•模拟预测）已知"I"，其中相邻的两条对称轴的距离为3,且

/（X）经过点则关于x的方程/（x）=sE在［0,刈上的不同解的个数为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案.

兀—兀=—T=-2-兀-

【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为可得32?啊|,又（y>0,可得/=3,

1

由函数.门Vl经过点।1I则支可=-1,即g”F,

同」<p---/（r）=2an［3x-^|

又阳2，可得6，所以I6九

•••

因为函数J'-anx的最小正周期为7=

/（x）=2sinf3x-^T=—

所以函数I6）的最小正周期为3,

所以在［°-兀］函数”*-皿1"-力有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点,

故选：4

26.（24—25高三上•辽宁沈阳•期中）已知。＞0,bwR，若关于X的不等式⑷,受丁+永一i泗在

,6

1°，+8）上恒成立，则.+£的最小值是（）

A.4B.4。C.8D.S邪

【答案】。

【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点a，由此得a是方程

x：+以-8=0的根，可得。力的关系，消b再利用基本不等式求解最值可得.

［详解】设八•n=外一'gm=.r+bx_8,

又。＞0,所以了'"在1O.•「I单调递增，

当℃4时J3＜。；当一：时,/（x）＞0,

由田,।图象开口向上，日°J-3，可知方程X5=。有一正根一负根，

即函数g’□在；0,“有且仅有一个零点，且为异号零点；

由题意知则当。时，gdKO；当时，glCNO,

所以a是方程亡+以-8=。的根，

4勿。

2_+_-8=0b=4a-二

5Ha*a，即a，且a＞0,

,6.26.4”ri'.

o+—=4a——+—=4a+—＞24a-=S

所以。aaa\a,

4g=i

4々■—ik

当且仅当a，即〔。=一时，等号成立,

则a的最小值是8,

故选：C

方法六建系法

建立平面直角或空间直角坐标系,这样相对直观，易把题中条件转化，把代数与几何有机结合.

【典例训练】

一、单选题

27.(2024.广东梅州.模拟预测)直三棱柱45c-44C中，120',AB=AC=9，则异面直线A4,

与月C所成角的余弦值为()

2正立

A.4B.4C.~D.4

【答案】A

【分析】由题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线R4与月°所在直线的方向向量，由空间

向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可.

【详解】以A为原点，在平面月8。中过A作力。的垂线交于D,

以AD所在直线为x轴，AC所在直线为J'轴，月月所在直线为二轴，建立空间直角坐标系，

因为直三棱柱718c中，，

1nl

所以122J)X|0,0,l))4(o.O.O1,^'0.H),

丽_

[22JXC,-(0,l,l)

设异面直线.与月q所成身为8,•••

BAAC3

4

所以异面直线屈4与月。所成角的余弦值为彳.

故选：A.

28.（24-25高二上・贵州贵阳・期中）图，已知圆柱QC的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E为下底面

所成角的正弦值为（）

E

廊后屈

正~

A.~10~B.10c.TD.~~10

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可.

【详解】

因为施=2低，所以乙4QE=60°,所以/°/后=60・，

如图所示，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

^(0,0,0),B(0,2,0),0,(0,1,2),5^,1,0

则I--A

0-1,2)

所以前=

AEBO,.正

-7T

所以异面直线451与80所成角的余弦值为

则异面直线AE与庆\所成角的正弦值为

故选：A.

^BAD■■-^―

29.（23—24高一下.湖北武汉.期末）在平行四边形月87。中，3,43=1/。=2,P是以。为圆

心，石为半径的圆上一动点，且力=4通+"而，则4+4的最大值为（）

ULu.坦

A.2+百B.C.2+"D.~7

【答案】。

【分析】先利用余弦定理求出月C,易得4C18,以。为坐标原点建立平面直角坐标系，设

P（^cosr.^sin^），根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解.

乙4QC-三

【详解】由题意3,

在“CD中，由余弦定理得力。'-DA'+DC'-2DADCcosZADC-3,

所以4c.,

则AC1+CD:=月。：，故4cleD,

如图，以。为坐标原点建立平面直角坐标系，

则仄-1,0）,2（0,73）,5（1,73），设R与（》夕,倔in。）,

故4P=（"8sa。sind-TJ）,瓦=（i,o）,而=（_1,_君），

又赤=而+"屈=贝,0)+"(-1,-质,

gf)|V3cosVising-VII-I"“,一回”

真cos6=入-以(A=1+73cossin5

•«

所以l召sn”旨,所以,

所以4+"-2+"cosO-25ine・2+"cos(6+#)42+3,其中80"—,sin/=•M

当且仅当cos13+夕1=1时，取最大值，且它的最大值为2+".

故选：C.

【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.

二、填空题

30.(24-25高三上•北京•阶段练习)已知正方形力BCD的边长为2,以R为圆心的圆与直线力。相切.若

点p是圆q上的动点，则DBAP的最大值是.

【答案】8

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设,用坐标表示向量的数量积,由F在圆上可求得最大值.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则月(-2,0),--2,2),区0,0),

易知圆B的半径为J5,圆方程为+1--,

设RTJ),则丽・(，-?)万・(什打)，

贝寸赤赤=2(x+2)-2j=4+2(.r-j),

设工-.r-/，贝口,=c-f,代入圆方程并整理