2025中考数学二轮复习：分类讨论思想在压轴题中的应用（原卷版）

专题20分类讨论思想在压轴题中的应用

I厘概述

分类讨论思想是一个非常重要的数学思想，在中考数学压轴题中考查频繁，例如在解决中考压轴题中的

存在性问题时，要用到分类讨论思想：

1.在解决等腰三角形存在性问题时，需要讨论腰和底的多种情况；

2.在解决直角三角形存在性问题时，需要对直角的情况进行讨论；

3.在解决平行四边形和矩形、菱形、正方形的存在性时，需要对邻边或对边的情况进行讨论；

4.在解决相似三角形存在性问题时，需要对对应边和对应角进行分类讨论；

5.压轴题中其他的问题，例如线段的数量和位置关系等，有时也需要进行分类讨论。

真题精析

例早1

（2022•辽宁阜新•统考中考真题）如图，已知二次函数>=-/+云+0的图像交x轴于点A（TO）,3（5,0）,

交》轴于点C.

⑴求这个二次函数的表达式;

（2）如图1,点M从点B出发，以每秒四个单位长度的速度沿线段向点C运动，点N从点。出发，以每

秒1个单位长度的速度沿线段向点B运动，点N同时出发.设运动时间为f秒（0</<5）.当,为何

值时，A&WN的面积最大？最大面积是多少？

(3)已知尸是抛物线上一点，在直线3C上是否存在点。，使以A,C,P,。为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，直接写出点。坐标；若不存在，请说明理由.

哪瓯

(1)用待定系数法可求得二次函数的表达式为；

(2)过点M作MELx轴于点E,设"MN面积为S,由ON=/,BM=^2t，可得BN=5-t,

ME=BMsin45°=y/2t--=t,即得S=:附・腔=((57)J=-+字，由二次函数性质可得当

22222X

f=g秒时，ABMN的面积最大，求得其最大面积；

(3)由3(5,0),C(0,5)得直线8C解析式为y=f+5,设Q(〃z,fi+5),可〃,-/+4〃+5),分三种情况

进行讨论求解.

［答案与解析】

【答案】⑴y=-Y+4尤+5

525

⑵当/=彳时，的面积最大，最大面积是?

28

⑶存在，Q的坐标为(-7,12)或(7,-2)或(1,4)或(2,3)

【详解】(1)将点A(TO),3(5,0)代入、=一1+打+。中，

得［。=一25+5。+。’

仿二4

解这个方程组得<,

［c=5

••・二次函数的表达式为y=-/+4x+5；

(2)过点M作MELx轴于点E,如图：

根据题意得：ON=t,BM=Qt.

/.BN—5—tf

在y=-%2+4x+5中，令％=0得y=5,

/.C(0,5),

/.OC=OB=5f

:.^OBC=45°.

ME=BMsin450=y/2t--=t,

2

:.S=-BN-ME=-(5-tYt=--t2+-t=--(t--)2+—,

22、)22228

\a0<t<5,

525

，当才=彳时，ABAW的面积最大，最大面积是丁

2o

（3）存在点Q,使以A,C,P,。为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

由3（5,0）,C（0,5）得直线BC解析式为y=-x+5,

设。（加，一机+5）,*",一"+4〃+5）,又A（-l,0）,C（0,5）,

①当尸2,AC是对角线，贝”。，AC的中点重合,

Im+n=-1+0

1一机+5-〃2+4〃+5=0+5'

解得根=0（与C重合，舍去）或加=_7,

.••2(-7,12)；

②当QA,PC为对角线，则QA,PC的中点重合,

Im—l=n+0

[-m+5+0=—n2+4〃+5+5'

解得m=0(舍去)或根=7,

.•.2(7,-2)；

③当QC,9为对角线，则QC,必的中点重合,

Jm+0=n-1

I—m+5+5=—n1+4〃+5+0'

解得加=1或m=2,

••01,4）或（2,3）,

综上所述,Q的坐标为（-7,12）或（7,-2）或（1,4）或（2,3）.

总结与点拨

本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是

用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度.

（2022•湖南湘潭•统考中考真题）已知抛物线y=x2+bx+c.

⑴如图①，若抛物线图象与无轴交于点A（3,0）,与y轴交点3（0,-3）.连接AB.

①求该抛物线所表示的二次函数表达式；

②若点尸是抛物线上一动点（与点A不重合），过点尸作尤轴于点与线段A2交于点是否存在

点尸使得点M是线段的三等分点？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）如图②，直线y=gx+〃与y轴交于点C,同时与抛物线y=f+bx+c交于点。（-3,0）,以线段。为边

作菱形CDFE，使点/落在％轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求6的取值范围.

蝇瓯

（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线A5的解析式，设点M（m,叩3）点P（%,7"2_2怯3）若点M

是线段物的三等分点，则嗡=4或罂=；，代入求解即可；

nr5Hr3

（2）先用待定系数法求出”的值，再利用勾股定理求出的长为5,因为四边形CObE是菱形，由此得

出点E的坐标.再根据该抛物线与线段CE没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）

进行讨论，求出。的取值范围.

［答案与解析】

【答案】⑴①广炉-2尤-3,②存在，点尸坐标为（2,-3）或（；，-二）,理由见解析

24

313

⑵方V-］或方

【详解】（1）①解：把A（3,0）,3（0,-3）代入股/+旅+0,得

0=32+3Z;+C

'—3=c

仿=—2

解得：Q，

［c=-3

/.y=x2-2x-3

②解：存在，理由如下,

设直线A5的解析式为广质+儿把A（3,0）,8（0,-3）代入，得

3k+b=0

b=—3

k=l

解得

b=-3

工直线AB的解析式为y=x-3,

设点M（m,m-3）＞点尸（机，m2-2m-3）

若点M是线段尸H的三等分点，

,HM1-HM2

则nt前=3或前0

m-3=1m-3=2

m2-2m-33m2-2m-33

解得：帆=2或或帆=3,

经检验，m=3是原方程的增根，故舍去,

:.m=2或m-y

・••点P坐标为(2,・3)或(!，・?■)

4

(2)解：把点。(-3,0)代入直线y=—x+n,解得n=4,

4

直线y=耳力+4,

当x=0时，j=4,即点C(0,4)

CD—J32+42=5，

V四边形CDFE是菱形，

：.CE=EF=DF=CD=59

・••点E(5,4)

•・・点0(-3,0)在抛物线y=Y+版+°上，

:.(-3)2-3ft+c=0,

:.c=3b-9,

2

/.y=X+bx+3b-99

V该抛物线与线段CE没有交点，

分情况讨论

当CE在抛物线内时

52+5b+3b-9<4

3

解得：ft<~—

当在抛物线右侧时，

3加9>4

解得：唉13

综上所述，；3或13

皿与翻

此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论.

精题

1.(2023•安徽宿州・统考一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe的顶点3的坐标为(8,4),OA,OC

分别落在X轴和y轴上，将AQAB绕点。逆时针旋转，使点8落在y轴上，得到AODE,OD与CB相交于

k

点尸，反比例函数y=-(%>0)的图象经过点尸，交A3于点G.

X

⑴求上的值.

(2)连接FG,则图中是否存在与△EBG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行

证明；若不存在，请说明理由.

⑶点M在直线0D上，N是平面内一点，当四边形GR0N是正方形时，请直接写出点N的坐标.

2.(2022•河南郑州・河南省实验中学校考模拟)在AABC中，AB=AC,E为边AC上一点，D为直线8C上

一点，连AD、BE,交于点F.

(2)如图2,若ZBAC=ZBFD,且BF=3AF,求一的值；

BC

(3)如图3,若440=60。.若BD=3CD,将线段AD绕点A逆时针旋转到AH,并且使得,

连接交AC于尸，直接写出正=.

3.(2022・吉林长春.模拟)如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6.点P从点B出发,沿以每秒2

个单位长度的速度向终点C运动，同时点。从点C出发，沿折线。1-AS以每秒5个单位长度的速度运动,

到达点A时，点。停止1秒，然后继续运动.分别连接PQ、BQ.设点尸的运动时间为f秒.

A

⑴求点A与BC之间的距离；

(2)当BP=34。时，求r的值；

(3)当AP。为钝角三角形时，求t的取值范围；

(4)点P关于直线AB的对称点是点。，连接。。，当线段。。与AABC的某条边平行时，直接写出f的值.

4.(2022•浙江金华.一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形042c的顶点A在x轴的正半轴上，点C

的坐标为(3,4),点。从原点。出发沿。fAf8匀速运动,到达点B时停止，点E从点A出发沿A-8-C

随。运动，且始终保持/CDE=/CQ4.设运动时间为

(1)当£>E〃OB时，求证：△OCD四△3CE.

⑵若点E在2C边上，当△CDE为等腰三角形时，求BE的长.

(3)若点。的运动速度为每秒1个单位，是否存在这样的3使得以点C,D,E为顶点的三角形与AOCD相

似?若存在，京堪与出所有符合条件的六若不存在，请说明理由.

5.(2022・重庆・模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-，+6x+c交x轴于点A和C(1,0),交y

轴于点8(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点R

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段0E绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段OE',旋转角为a(0。＜仁＜90。)，连接AE'.BE',求

BE'+gAE'的最小值；

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为矩形？

若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2022.广东佛山•校考三模)已知抛物线》=以2-2融-3a(a＜0)交x轴于点A,8(A在B的左侧)，交》轴

于点C.

⑴求点A的坐标；

(2)若经过点A的直线y=kx+k交抛物线于点D.

①当左＞0且。=-1时AQ交线段8C于E,交》轴于点/，求-SACE尸的最大值；

②当左＜0且