余弦定理、正弦定理应用举例+高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4

平面向量的应用课时6

余弦定理、正弦定理应用举例1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.（数学抽象）2.提高提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.（数学运算）1.在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向.阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的.[答案]

用方向角和方位角.2.方位角与方向角是如何定义的？

3.仰角和俯角是如何定义的？[答案]

仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角________________________________________俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角_________________________________________4.如何不登月测量地月之间的大致距离？[答案]

可以在地球上选两点，与月亮（看成一点）构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月之间的大致距离.1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）

仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.(

)

√（2）

两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.(

)

√（3）

两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.(

)

√（4）

高度问题大多通过正（余）弦定理构造直角三角形来解决.(

)

√

A

B

探究1

测量距离问题

1.基线的概念与选择原则（1）定义:在测量上，根据测量需要适当确定的______叫作基线.（2）性质:在测量过程中，要根据实际需要选取合适的__________，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越____.2.测量不可到达的两点间的距离，若其中一点可以到达，则利用一个三角形即可解决，一般用正弦定理；若两点均不可到达，则需用3个三角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到.线段基线长度高

方法总结

测量距离的基本类型及方案类型图形方案不可通或不可视的两点间的距离____________________________________类型图形方案两点可视,其中一点不可到达的两点间的距离_______________________________两个不可到达的点之间的距离_________________________________续表

探究2

测量高度问题

1.仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫______，目标视线在水平视线下方时叫______（如图所示）.仰角俯角

夹角

A

本例是底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题.常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题.本例解题的关键是正确画出示意图.

方法总结

此类问题的特点:底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”.解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.

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探究3

测量角度问题

请结合下图，探究下面的问题.问题:

你能用方向角表述图中的角吗？

目标

顺时针

[解析]

如图所示.

方法总结

运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤

（1）分析:理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）.

（2）建模:根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.

（3）求解:利用正弦定理、