湖北省部分高中协作体2025届高三下学期联考（三模）数学试题【含答案解析】

湖北省部分高中协作体2025届三统联考高三数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根据题意，做出函数图像，结合图像，即可得到结果.【详解】因为时，单调递增，又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示，由图像可知，若，则或.故选：C2.若，，则A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】结合诱导公式利用三角恒等变换即可求解.【详解】因为，即所以，即，所以.故选：A3.若（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘方运算及三角函数二倍角公式进行化简，得到结果.【详解】故选：B4.如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，设，则，∴动点P到直线的距离为，当时取等号，即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.5.已知公差不为0的等差数列中，，，则（）A. B.5 C.10 D.40【答案】A【解析】【分析】直接用公差和首项表示已知条件，然后求得公差和首项后可得．【详解】设数列公差为，则由已知得，由于，故解得，所以．故选：A．6.已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设，根据的单调性和零点的存在定理得到的实根，构造新函数fx=xex,x>0，得到在上为单调递增函数，结合，可判定C正确，D不正确；再令，结合零点的存在定理，得到A、B不正确.【详解】设，其中，则函数在上为单调递增函数，且当时，函数，且，可得方程的实根，则，又由，可得，即，构造新函数fx=xe所以在上为单调递增函数，可得，因为实数是方程的实根，则，即，其中，所以，即，所以C正确，D不正确.令，可得h′x=2+1由h1e=所以，又由，且，所以，所以A、B不正确.故选：C.7.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.8 B.24 C.48 D.120【答案】C【解析】【详解】解：由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．

故选：C．8.如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（）A.9亿元 B.9.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元【答案】D【解析】【分析】根据线性回归方程即可解出．【详解】因为，所以当时，．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（）A.正三棱台的高为B.点P的轨迹长度为C.高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内D.过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为【答案】CD【解析】【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得，可知点的轨迹为等边的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：利用等体积法求正四面体的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，即可得结果.【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，在等腰梯形中，因为，，，则.即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.对于选项A：设为等边的中心，由正四面体的性质可知：侧面，且，即点到底面的距离为，又因为，，所以正三棱台的高为，故A错误；对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，即，解得，且等边的内切圆半径，可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；对于选项D：设正四面体的内切球半径，由等体积法可得：，解得.因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.又因为，，，则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，所以截面面积为，故D正确.故选：CD.10.已知是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断正确的是（）A.B.E的离心率等于C.的内切圆半径D.若为E上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2【答案】ABD【解析】【分析】根据题意画出对应的图像，A选项根据图像可得，B选项要结合图像以及双曲线的定义，性质进行化简计算，C选项根据内切圆半径的公式计算即可，D选项设点表示斜率，结合双曲线方程进行化简【详解】如上图所示，因为分别是的中点，所以中，，所以轴A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确B选项中，中，，所以，得：，故B正确C选项中，周长为，设内切圆为，根据三角形的等面积法，有，得：，是与有关的式子，所以C错误D选项中，关于原点对称，可设，，根据得：，所以当斜率存在时，，，，因为在双曲线上，所以，即，得：，所以，故D正确故选：ABD【点睛】题目比较综合，涉及到图像特点的应用；通过找到之间的等量关系求解离心率；等面积法计算内切圆半径；设点法证明斜率乘积为定值11.函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.

【详解】，当时,,A选项正确；，，,时,有两个根,且时,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；当时,有两个根,且此时,故B选项正确.故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.已知奇函数在的图像如图所示，则不等式的解集是________.【答案】【解析】【详解】则当时，，结合函数的图象可得：当时，，根据奇函数的图象关于原点对称可得：不等式解集为13.已知圆与圆相交于A，B两点，则______.【答案】【解析】【分析】由题知直线的方程为，进而根据几何法得弦，再在中，利用余弦定理并结合同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为圆与圆相交于A，B两点，所以直线的方程为：，即，所以圆心到弦的距离为，所以弦，所以在中，，由余弦定理得，所以故答案为：14.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________【答案】【解析】【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.∴通项公式，令，解得.∴展开式中含项的系数为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分15.环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：02040600300056009000为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.（1）当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是的国道，后一段是的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶）【答案】（1）选择；当时，；（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为．【解析】【分析】（1）根据，当时，它无意义，，是减函数，不满足，即可得到，从而得到，再解方程组即可.（2）首先得到国道路段所耗电量为，利用二次函数的性质得到当时，；高速路段所耗电量为，利用导数的性质得到，即可得到答案.【详解】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意；对于，它显然是个减函数，这与矛盾；故选择．根据提供的数据，有，解得，当时，．（2）国道路段长为，所用时间为，所耗电量为，因为，当时，；高速路段长为，所用时间为，所耗电量为，因为，当时，，所以在上单调递增，所以；故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为．16.如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，，AB＝AP＝2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点．（1）求证：平面AEG∥平面BDH；（2）求点A到平面BDH的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理和面面平行的判定定理进行证明即可；（2）利用三棱锥的体积等积性进行求解即可.【小问1详解】连接AC，交BD于点O，连接OH，△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG∥BH，又因为平面BDH，平面BDH，所以EG∥平面BDH，同理：AG∥平面BDH，因为AG，平面AEG，，所以平面AEG∥平面BDH．【小问2详解】记点A，H到平面BDH，平面ABD的距离分别为，，，因为PA⊥平面ABCD，PA＝2，，所以，在△PBC中，，在△BCH中，，同理，，又因为O为BD中点，所以OH⊥BD．在△BDH中，，，因，所以．17.已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝.（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程.【答案】（1）x＋y－3＝0（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40【解析】【分析】（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程.【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.所以.则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，所以（a＋1）2＋b2＝40②由①②解得或所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，．（1）求数列的前n项和．（2）若，，求满足条件的的集合．【答案】（1）;（2）【解析】【分析】(1)由三项成等比列式,应用基本量运算,结合通项公式和前项和公式求解即可;(2)裂项求和后解不等式即可.【小问1详解】设等差数列的公差为,因为成等比,所以,即得化简得,又因为,所以.因为,所以,即得解得或者当时,不合题意舍;当时,,则,【小问2详解】因为当时,由题得,化简得,即,解得,又因为,所以,所以19.某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.（1）求该部门招