全等三角形（10个高频考点）原卷版

专题16全等三角形（10个高频考点）（强化训练）

【考点1全等三角形的概念及其性质】

1.（2022,江苏盐城・校考三模）如图，将AABC绕着点C顺时针旋转后得到△ABC.若乙4=40°,^B'=110°,

则N8C4的度数是（）

A.90°B.80°C.50°D.30°

2.（2022•辽宁鞍山,模拟预测）下列说法正确的是（）

A.所有的等边三角形是全等形

B.面积相等的三角形是全等三角形

C.到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点

D.到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点

3.（2022•河南・模拟预测）如图所示，两个三角形全等，则Na等于（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

4.（2022・上海静安•统考二模）下列说法中，不正确的是（）

A.周长相等的两个等边三角形一定能够重合B.面积相等的两个圆一定能够重合

C.面积相等的两个正方形一定能够重合D.周长相等的两个菱形一定能够重合

5.（2022•山东淄博・统考中考真题）如图，若aABCBSAOE,则下列结论中一定成立的是（）

E

BD。

A.AC=DEB.SBAD=^\CAEC.AB=AED.0ABe=0AE£）

【考点2一次证明全等三角形】

6.（2022・四川乐山•统考中考真题）如图，8是线段AC的中点，AD\\BE,BD\\CE,求证：4ABDm4BCE.

7.（2022•浙江衢州•统考中考真题）已知：如图，N1=N2,N3=N4.求证：AB=AD.

8.（2022•江苏无锡•统考中考真题）如图，在口4BC。中，点。为对角线8D的中点，EF过点、。且分别交A8、

0c于点E、F,连接DE、BF.

（ljADOflUABOE；

（2）DE=BF.

9.（2022•山东青岛•山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1,ZB=ZD=90°,E是BD的中点,

4E平分NB4C,求证：CE平分NACD.

（2）如图2,AM||CN,AB力C和"CD的平分线并于点E,过点E作BD1AM,分别交AM、CN于B、D,

请猜想4B、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明.

（3）如图3,AM||CN,NB4C和“CD的平分线交于点E,过点E作不垂直于AM的线段BD,分别交AM、CN

于8、。点，且3、。两点都在4C的同侧，(2)中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说

明理由.

10.(2022•江苏徐州・校考二模)如图1,把等腰直角三角板4MN放在平面直角坐标系xOy中，点4坐标为(0,4)，

乙MAN=90°,AM=AN.三角板4MN绕点4逆时针旋转，AM.AN与x轴分别交于点。、E.Z.AOE,Z.AOD

的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点8、C.点尸为8C的中点.

⑴求证：AB=AC；

(2)如图2,若点。的坐标为(-3,0),求线段的长度;

⑶在旋转过程中，若点D的坐标从(-8,0)变化到(-2,0),则点P的运动路径长为.(直接写出结

果)

【考点3多次证明全等三角形】

11.(2022•辽宁大连•统考二模)如图，ACLBC,AD±BD,AD=BC.AD,8c交于点O.求证：OC=OD.

A

12.（2022•二模）已知：如图，BD为4ABe的角平分线，且8。=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,

过E作EFlAB,F为垂足.求证：

（l）ATlFD=\EBC-,

（2）AE=CE；

（3）BA+BC=2BF.

13.（2022•山东济南•模拟预测）如图，A4BC是等边三角形，点。在边4C上，AH1BD于点H,以为边

在4H右侧作等边△AEH,EH交BC于点、F,求证：点尸是BC的中点.

14.（2022・河南•模拟预测）如图，已知RtEIABCEIRtElADE,0ABC=0ADE=9O°,BC与DE相交于点F,连接CD,

EB.

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；

(2)求证：CF=EF.

A

15.（2022・福建福州•校考模拟预测）如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角

△ABC.

（1）求C点的坐标.

（2）如图2,OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角AAPD,过D作

DEE1X轴于E点，求OP—DE的值.

（3）如图3,点F坐标为（-4,—4）,点G（0,m）在y轴负半轴，点H（n,0）在x轴的正半轴，且FHEIFG,

求m+n的值.

【考点4网格中的全等三角形】

16.（2022•浙江宁波•统考一模）如图，△A8C是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在

图1,图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形.

（1）在图1中，以为边画直角三角形△A3。（。与C不重合），使它与△ABC全等.

（2）在图2中，以A8为边画直角三角形△A8E,使它的一个锐角等于且与△ABC不全等.

17.（2022•河北•模拟预测）如图是一个4X4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于0

A.585°B.540°C.270°D.315°

18.（2022・河北•模拟预测）如图，在5x5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，AABC是格点三角

形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△48C有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）.

A.2B.3C.4D.5

19.（2022•北京海淀•统考一模）如图，在4X4的正方形网格中，A,B,C,D,E是网格线交点.请画出一

个小DEF,使得△DEF与△4BC全等.

BC

20.（2022•北京•北京市第一六一中学校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D均落在

格点上，贝ljEIBAC+E]ACD=°.

【考点5尺规作图与全等三角形】

21.（2022•吉林白山•统考二模）仔细观察用直尺和圆规作一个角乙4'0'夕等于已知角乙的示意图，请你

根据图形全等的知识，说明画出NAO'B，=N40B的依据是（）

D.AAS

22.（2022•甘肃武威•校考二模）已知：AC是13ABe。的对角线.

（1）用直尺和圆规作出线段4C的垂直平分线，与4D相交于点E,连接CE.（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）的条件下，若力B=3,BC=5,求△£）£■£1的周长.

23.（2022•广东广州•校考二模）如图，四边形A8CO是正方形，E是8C上一点，。匹ME于点尸.

⑴过点2作AE的垂线交AE于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）中作图，若BP=3,PF=1,求A8的长.

24.（2022•江西吉安•校考一模）尺规作图之旅

下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造

出许多带有美感的图形.

尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题.

【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔

细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画V,不能实现的画X.

（1）过一点作一条直线.（）

（2）过两点作一条直线.（）

（3）画一条长为3cm的线段.（）

（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆.（）

【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是"作一条线段等于已知线段"，接着，我们

学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都

与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程.

已知：BAOB.

求作:乙4'。'8'使乙4'。'8'=AAOB

作法：（1）如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C,D；

（2）画一条射线。7T,以点。，为圆心，OC长为半径画弧，交04于点C，；

（3）以点C'为圆心，；

（4）过点0'画射线O'B',则NAO'B'=40B.

求证：Z.A'0'B'=/.AOB

0C=O'C

证明：0D=O'D'

CD=CD'

：.AOCD=AO'C'D'()

所以N40®="0B()

【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线.

已知：直线/与直线外一点A.

求作：过点A的直线1,使得

可以联想到平行线的

有关判定，也可以想到

平行四边形相关性

【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图.假设你拥

有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案.要求保留作图痕迹，并写出你的

设计意图.

这里的设计图还用到了“黄金分

”增加设计美

你也可以使用刻度尺辐菽设计

图中元素的比例关系/

25.(2022・河北唐山•统考一模)【提出问题】课间，一位同学拿着方格本遇人便问："如图所示，在边长为1

的小正方形组成的网格中，点A、8、C都是格点，如何证明点A、2、C在同一直线上呢？"

【分析问题】一时间，大家议论开了.同学甲说："可以利用代数方法，建立平面直角坐标系，利用函数的

知识解决”，同学乙说："也可以利用几何方法「同学丙说：“我还有其他的几何证法”……

【解决问题】请你用两种方法解决问题

方法一（用代数方法）：

方法二（用几何方法）:

【考点6利用倍长中线模型证明全等三角形】

26.（2022•浙江绍兴•模拟预测）如图，AABC中，AB=8,AC=6,力。是边上的中线，则力。的取值范

围是•

27.（2022•安徽•模拟预测）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图，0ABe中，若AB=8,AC=6,求8C边上的中线的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点E,使。连结BE.请根

据小明的方法思考:

A

F.

（1）由已知和作图能得到△力DC三AEDB的理由是（）.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

（2）4。的取值范围是（）.

A.6<AD<8B.12<AD<16C.1<AD<7D.2<AD<14

⑶【感悟】解题时，条件中若出现"中点"、"中线"字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知

条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】如图，是0ABe的中线，BE交AC于点E,交AD于尸，且AE=EF.求证：AC=BF.

28.（2022・山西•统考一模）阅读材料，解答下列问题.

如图1,已知B42C中,AD为中线.延长AD至点E,使DE=AD.在0AOC和回即B中,AD=DE,^ADC=^EDB,

BD=CD,所以，SACD^iEBD,进一步可得到AC=BE,等结论.

7芯

图1图2

在已知三角形的中线时，我们经常用"倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在0ABe中，AD是三角形的中线，点/为上一点，MBF=AC,连结并延长8尸交

AC于点E,求证：AE=EF.

29.(2022•浙江宁波•统考模拟预测)如图，平行四边形ABCD中，M,N分别为边BC,CD的中点，且EIMAN

30.(2022・广东深圳•统考三模)如图，矩形ABC。中，AE=^AD,将0A8E沿BE折叠后得到回G8E,延长8G

交于尸点，若CF=FD=3,则BC的长为.

3L(2022•贵州黔东南•校考一模)如图，在平面直角坐标系中4(0,4)、C(6,0),BClx轴，存在第一象限的

一点P(a,2a-5)使得APTIB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标().

A.(3,1)或(3,3)B.(5,5)C.(3,1)或(5,5)D.(3,3)

32.(2022,浙江湖州•统考二模)如图，在平面直角坐标系无。》四边形0ABe为正方形，若点8(1,4),

33.(2022•浙江温州•校考一模)如图，在AABC中以AC,为边向外作正方形ACPG与正方形BCDE,连

结。凡并过C点作CHEL4B于〃并交FD于若0ACB=12O。，AC=3,BC=2,则Af。的长为（)

34.（2022•辽宁沈阳•统考二模）如图，点P、。落在正方形ABC。边AB的两侧，连接B4、PD、PB.AP=

3,PB=5,0Ap3=45°,则尸。的长为.

35.（2022•宁夏吴忠•统考一模）如图，在正方形A8C。中，顶点A,B,C,。在坐标轴上，且B（2,0）,以

A8为边构造菱形A8EF（点E在x轴正半轴上），将菱形A8EP与正方形A8CD组成的图形绕点。逆时针旋

转，每次旋转90。，则第27次旋转结束时，点尸27的坐标为.

【考点8利用旋转模型证明全等三角形】

36.（2022•山东济南•统考二模）已知是等边0ABe的高，AC=2,点O为直线上的动点（不与点A重

合），连接80,将线段8。绕点。顺时针旋转60。，得到线段OE,连接CE、BE.

⑴问题发现：

BBEB

图1图2备用图

如图1,当点O在线段AO上时，线段AO与CE的数量关系为.,0ACE的度数是.

（2）问题探究:

如图2,当点。在线段AO的延长线上时，（1）中结论是否还成立？请说明理由.

⑶问题解决:

当0AEC=3O。时，求出线段30的长

37.（2022•河南新乡•模拟预测）问题发现:

如图1,在0ABC中，AB^AC,^BAC=60°,。为BC边上一点（不与点8,C重合），将线段绕点A

逆时针旋转60。得到AE,则:

图2图3

⑴①0ACE的度数是；②线段AC,CD,CE之间的数量关系是.

拓展探究：

（2）如图2,在0ABe中，AB=AC,ABAC=90°,。为8c边上一点（不与点8,C重合），将线段AO绕点A

逆时针旋转90。得到AE,连接EC,请写出MCE的度数及线段A。，BD,CO之间得数量关系，并说明理由；

解决问题：

（3）如图3,在R/OOBC中，DB=3,DC=5,回BOC=90。，若点A满足48=AC,0BAC=90",请直接写出线

段的长度.

38.（2022・重庆•模拟预测）如图1,在等腰RtA4BC中，AB=BC,。是2C的中点，E为边AC上任意一

点，连接。E,将线段QE绕点。逆时针旋转90。得到线段。F,连接EF,交A8于点G.

⑴若=6,AE—V2,求ED的长；

⑵如图2,点G恰好是所的中点，连接3凡求证：CD=42.BF；

(3)如图3,将ABD尸沿。尸翻折，使得点B落在点尸处，连接AP、EP,若力B=6,当AP+DP最小时，直

接写出AAEP的面积.

39.(2022•广东梅州•一模)如图1,在Rt0ABe中，EL4c8=90。，CA=C8,点。为AB边上一动点，连接

CD,并将CD绕点C逆时针旋转90。得到CE,连接8E、。区点/为。E中点，连接8?

(1)求证：^ACD=ABCE；

(2)如图2所示，在点。的运动过程中，当会=九时(n>l),分别延长AC、8尸相交于G：

①当n=|时，求CG与AB的数量关系；

②当些=〃时(«>1),—=

7BDCG-----

(3)当点。运动时，在线段C。上存在一点M,使得AM+BM+CM的值最小，若CM=2,则

备用图

40.(2022,黑龙江佳木斯•统考模拟预测)已知A48C和AOEC都是等腰直角三角形，0ACB=0Z)C£=9O°,

将AABC绕着点C旋转，连接8DAE,M是3。的中点.

（1）如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE,CM的数量关系是

（2）当AABC的位置如图②和图③时，线段AE,CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或

图③其中一种情况进行证明.

【考点9连接两点作辅助线证明全等三角形】

41.（2022・浙江绍兴•模拟预测）如图，在EIABC和EIDBE中,AB=BC,DB=EB,fflABC=fflDBE=50°.若团BDC=25°,

AD=4,DE=V13,则CD的长为（）

A.aB.V3C.等D.2

42.（2022春,江苏南通•模拟预测）如图，在等腰0ABe中，乙4cB=90°,AC=8,尸是48边上的中点，点

D、E分别在AC、边上运动，且保持4D=CE,连接。E、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论:

（l）ADE尸是等腰直角三角形；（2）四边形CDFE不可能为正方形，（3）■长度的最小值为4；（4）连接CR

CP恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，贝UCE=1或g其中正确的结论个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

43.（2022•湖南邵阳•统考模拟预测）如图，BD是国。的直径，AB与相切于点B,点C在上，CD0AO,

求证：AC是回0的切线.

44.(2022秋•河北•模拟预测)如图，已知：AB=AC,BD=CD,zX=60°,ND=140。，贝吐8=()

A.50°B.40°C.40°或70°D.30°

45.（2022春•四川广安•四川省岳池县第一中学校模拟预测）如图：回ACB和团ECD都是等腰直角三角形，CA

=CB,CE=CD,回ACB的顶点A在mECD的斜边DE上，若AE=3,AC=6,则AD的长为（）