四边形的有关计算与证明解答题题型总结（4大类型）原卷版

专题07四边形的有关计算与证明解答题题型总结

捶型蹩诙।模型枸速.」—逢

旗廷幽•读

模型01平行四边形的性质与证明

模型02矩形的有关计算与证明

模型03菱形的有关计算与证明

模型04正方形的有关计算与证明

一、平行四边形的性质与判定

1.平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

3.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

符号语言：：AB〃DC,AD〃BC.•.四边行ABCD是平行四边形.

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：：AB=DC,AD=BC.•.四边行ABCD是平行四边形.

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

符号语言：：AB〃DC,AB=DC.•.四边行ABCD是平行四边形.

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：VZABC=ZADC,/DAB=/DCB.•.四边行ABCD是平行四边形.

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

符号语言：：0A=0C,0B=0D.•.四边行ABCD是平行四边形.

A

n------------------D

/X,/

C

二、矩形的性质与判定

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直

线；对称中心是两条对角线的交点.

由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

矩形的判定

3.矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

三、菱形的性质与判定

1.菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

2.菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=对角线乘积的一半

3.菱形的判定方法

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：：AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形"）.

几何语言：•••ACLBD,四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD是菱形

四、正方形的性质与判定

1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

3.正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

o模的建

二二二二二二二二二模型01平行四边形的性质与证明

考I向I预I测

平行四边形的考查主要在于它的性质与判定，难度适中，在各类考试中得分率较高.掌握平行四边形定义、

性质和判定，清楚平行四边形的特征以及彼此之间的关系，能用平行四边形的判定定理和性质定理进

行几何证明和计算是考试的重点。

答I题I技I巧

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、

角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分

别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.

运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定

义判定比用其他判定定理还简单.

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和

判定去解决问题.

［题型守停I

（2025•河北沧州・模拟预测）已知在AABC中，AB=4C,点。在BC上，以力£＞、2E为腰作等腰三角形4DE,

且乙4DE=乙ABC.连接CE,过E作EM||BC交C4延长线于M,连接BM.

（2）求四边形MBDE的形状，并加以证明.

＞支式

1.（2024・山东济南•模拟预测）如图，四边形A8CD是平行四边形,

BM||DN,且分别交对角线4C于点N,连接MD,BN.求证:

乙DMN=乙BNM；

C

2.(2025•贵州•一模)如图，在RtAABC中，ABAC=90°,O是边力C上一点，连接BD,E,F分别为BC,

BD的中点，连接力F,EF,DE.有下列条件：

@AC=3AD,②=乙EDF.

⑴请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形4DE尸是平行四边形;

(2)在(1)的结论下，若CD=DE,AB=15,求EF的长.

3.(24-25九年级下•河北保定•阶段练习)已知：互不重合的点B、D、C、F按图中顺序依次在同一条直线

上，且BD=CF,AB=EF,NB=NF=70。，N4为锐角.

⑴求证：4ABCWAEFD；

(2)连接4D、AF,^AB=AD,求证：4F与DE互相平分

4.(2025•江苏南京•中考真题)如图，在RtAABC中，41cB=90。，。是上一点，△DEF和AABC关于

点。对称，连接4凡CD.

(1)求证：四边形4CD尸是平行四边形；

(2)已知AC=4,BC=3,求四边形2CDF是菱形时4。的长.

5.(2024•江苏南京•模拟预测)已知四边形4BCD是平行四边形.

(1)如图(1),对角线AC,BD相交于点。，过点。的直线与边4。，BC分别相交于点E,F.求证OE=OF.

(2)如图(2),过点A作对角线BD的垂线，垂足为交边BC于点N.仅用无刻度的直尺在图中作CH1BD,

垂足为H.(保留作图痕迹，不要求写作法.)

6.(24-25九年级下糊北武汉•开学考试)如图，在四边形4BCD中，力BIICD,乙4=90°,AB=12cm,4。=4cm,

CD=15cm.点P从点A出发，以lcm/秒的速度向点8运动；点。从点C出发，以2cm/秒的速度向点。

运动.规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设。点运动的时间为t秒.

(1)若P,。两点同时出发.

①0<t<7.5时，用r分别表示出AP和DQ的长：AP=_,DQ=_；

②若运动过程中，当PQIIBC时，求f的值；

(2)若尸点先运动2秒后停止运动.此时。点从C点出发，到达。点后运动立即停止，则］为一时(直接写

出结果)ADPQ为直角三角形.

模型02矩形的有关计算与证明

考I向I预I测

矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数

较大。矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，

准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关

知识点进行解题。

答I题I技I巧

1.关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究

其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.

2.证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等.题

设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.

（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，在回48CD中，E为BC的中点，连接2E并延长交DC的延长线于点?

⑴求证：AB=CF；

（2）请添加一个条件，使四边形4BFC是矩形（不需要说明理由）

）支式

1.（23-24九年级下•湖南湘西•阶段练习）矩形力BCD中,E是4B上一点，已知ADC4=乙BCE,AB=6,AD=4,

求△CAE的面积.

2.（24-25九年级下•北京•开学考试）如图1,在矩形4BCD中，BD为对角线，BD的垂直平分线分别交

AD,BD,BC于点E,O,F,连接BE,DF.

⑴求证：四边形BED尸是菱形.

（2）如图2,连接C。，若AE=2,AD=6,求cosABCO的值.

3.（24-25九年级上•湖南长沙•期末）如图，在矩形力BCD中，E为4。的中点，EF1EC,垂足为E,并与交

于点R连接FCQAB>AE）.

⑴若力B=6,AD=4,求4F的长;

（2）求证：FE平分乙4FC.

4.（2025•山东威海•模拟预测）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点。,P是线段0C上一个动点（不

与点。、点C重合），过点尸分别作2D、CD的平行线，交CD于点E,交BC、BD于点F、G,连接EG.

⑴如图1,如果PC=2OP,求证：EG||AC；

⑵如图2,如果乙4BC=90。，整=|，且ADGE与APCF相似，请补全图形，并求言的值;

（3）如图3,如果B4=BG=BC,且射线EG过点4.请补全图形，并求乙4BC的度数.

5.（2025•河南郑州•一模）如图，菱形2BCD的对角线AC,BD相交于点0,E是4D的中点，点F,G在4B上,

EFLAB,0G||EF.

⑴求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若2D=10,EF=4,求。E和8G的长.

6.（2025,云南•模拟预测）如图，在回4BCD中，对角线力C,BD相交于点。，ADLBD,E是CD的中点，过

点E作EFIIBD,交BC于点F.

（1）求证：四边形。EFB是矩形；

（2）若4D=8,DC=12,求四边形。EFB的面积.

模型03菱形的有关计算与证明

考I向I预I测

菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况考查较多的是证明一个四边形是

菱形、利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度.掌握菱形的性质与判定，菱形的面

积公式，及一些特殊的菱形是解答本题的关键.注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别,

利用数形结合及方程的思想解题。

答I题I技I巧

1.菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是

“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.

2.菱形判定方法的选择：若四地形（或可证）为平行四也形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直

若相等的边也较多（或容易证出），则可证四条边相零

,哀创

如图，平行四边形4BCD,E,尸为BD上的点，AE=CE.

⑴求证：四边形4BCD为菱形；

(2)若=AE2AG-AD,求证：BF-FG=AF-DG；

⑶延长AE交BC于点P,若尸为BC中点，AB=5,AE=3,求BD的长

＞麦K

1.如图，在RtAABC中，AACB=90°,。是4B上一点，△DEF和△4BC关于点。对称，连接4F,CD.

kD

⑴求证：四边形力CDF是平行四边形；

(2)已知AC=4,BC=3,求四边形4CDF是菱形时4。的长.

2.如图，在菱形4BCD中，E是CD的中点，连接4E并延长，交8c的延长线于点F.

⑴求证：BC=CF-,

(2)连接2C,若力B=2,AE1AB,求4C的长.

3.如图，在菱形2BCD中，E是CD的中点，连接4E并延长，交8C的延长线于点F.

(2)连接力C,若4B=2,AE1AB,求力C的长.

4.如图，在菱形ZBCD中，连结对角线力C,点E在边力B上，过点E作EFIIBC交力C于点F,连结DE交4C于点

(1)若=DE,乙B=105°,求NCDE的度数.

(2)若4C=15,AE=2BE,求GF的长.

⑶求证：GA2=GF-GC.

5.如图，在平行四边形力BCD中，点。是对角线4C中点，过点。作EF14C交BC于点于点F,连接力E,

⑴求证：四边形AECF是菱形；

(2)若2E=8,4C+£尸=20,求四边形4ECF的面积.

6.如图，矩形4BCD中，对角线2C、8。交于点。，点F、E分别在边4。和BC上，0在线段EF上，连接4£、

CF,2E交BD于点G.

⑴求证：AE=CF；

(2)若G是B。的中点，且乙4cB=30。，判断四边形2ECF的形状，并说明理由.

模型04正方形的有关计算与证明

考I向I预I测

正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正方形

与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型。结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题

和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

答I题I技I巧

正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质

有关正形性质的问题，一般注意以下知识的应用：

(1)四条边相等、四个角都是直角

(2)对角线相等且互相垂直平分，对角线平分一组对角得到45°角

(3)边长与对角线的长度之比为1：3

正方形的五种判定方法：

(1)平行四地形+一组邻边相等+一个角为直角

(2)矩形+一组邻边相等，矩形+对角线互相垂直

(3)菱形+一个角为直角，菱形+对角线相等

［题筌行桥T

如图，正方形BCEF的中心为OQCB。的外接圆上有一点A(点A,。在BC同侧，点A,C在B。异侧)，且

AB=242,A0=4.

⑴求NC4。的值.

(2)求tan乙4cB的值.

⑶求正方形BCEF的面积.

,支式

1.如图，£是正方形ABCD的边DC上的一点，过4作4F14E,交CB延长线于点F,AE的延长线交BC的延

长线于点G.

⑴求证：AE=AF；

(2)若力F=2V10,DE=2,求EG的长.

2.如图，在△ABC中，点尸是边AC上的一个动点，过点尸作直线MN||BC,设MN交NBC力的平分线于点E,

交NBC4的外角平分线于点F.

⑴求证：PE=PF；

(2)若在AC边上存在点P,使四边形2ECF是正方形，且第=日.求此时N4的大小.

3.如图，E为正方形4BCD外一点，连接4E,DE,AE^AB,4F平分NB4E交DE于点F,连接CF.

⑴求“FD的度数;

⑵求证：AF1CF.

4.正方形ABCD的边长为4,E、尸分别是AB,BC边上的点，且NEDF=45°,将小绕点。逆时针旋转90。,

得到ADCM.

(1)求证：ADEF三ADMF；

(2)若4E=1,求EF的长.

5.已知：如图1,点E、F分别是正方形4BCD的边2D、DC上点，S.AE=DF,连接力F、BE交于点G.

⑴求证：BE1AF；

(2)如图2,连接对角线2C、BD交于点。，且4C、8。与BE、”分别交于点M、点N,连接0G,若力尸平分4AC,

-1

求证：OG=；BM；

⑶在(2)的条件下，若。G=1,请直接写出正方形2BCD的面积.

◎真题遨炼

一、解答题

1.(2023•四川绵阳•中考真题)如图，固4BCD的对角线AC,BD相交于点。，点E,尸在力C上，且4E=CF.

⑴求证:BE||DF；

(2)过点。作。Ml8D,垂足为0,交。尸于点M,若ABFM的周长为12,求四边形BEDF的周长.

2.（2024•山东德州•中考真题）如图，固4BCD中，对角线4C平分NB4D.

⑴求证：EL48CD是菱形；

（2）若2C=8,ZDCB=74°,求菱形ABCD的边长.（参考数据：sin37°~0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75）

3.（2024•山东青岛・中考真题）如图，在四边形2BCD中，对角线2C与相交于点。，乙ABD=ACDB,BE1AC

于点E,DF_L4C于点尸，5.BE=DF.

⑴求证：四边形力BCD是平行四边形；

（2）若2B=B。，当乙4BE等于多少度时，四边形A8CD是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值.

4.（2023・四川资阳•中考真题）如图，在矩形48C。中，对角线AC、8。交于点0,NADC的平分线DE分别

交AC、BC于点N、M,交4B的延长线于点E,F为EM的中点，连结AF、BF、CF,4F分另I］交8。、BC于点、G、

⑴求证：AE=BC；

⑵探究”与CF的关系，并说明理由;

（3）若2。=8,CD=6,求OG的长.

5.（2024・内蒙古・中考真题）如图，/LACB=/.AED=90°,AC=FE,4B平分/C4E,AB\\DF.

⑴求证：四边形ABDF是平行四边形；

⑵过点B作BG14E于点G,若CB=AF,请皂段写出四边形BGED的形状.

6.(2024・四川资阳•中考真题)(1)【观察发现】如图1,在AABC中，点。在边BC上.若NB4D=NC,

=BD-BC,请证明；

(2)【灵活运用】如图2,在△28C中，^BAC=60°,点。为边BC的中点，CA=CD2,点E在上，

连接4D,DE.若乙4ED=NC4。，求BE的长；

(3)【拓展延伸】如图3,在菱形4BCD中，4B=5,点E,尸分别在边力。，CD上，乙ABC=2LEBF,延

长4D,BF相交于点G.若BE=4,DG=6,求FG的长.

图1图2图3

7.(2024•湖南长沙•中考真题)如图，在团4BCD中，对角线AC,BD相交于点O,^ABC=90°.

⑴求证：AC=BD；

(2)点E在8c边上，满足NCE。=ACOE.若AB=6,BC=8,求CE的长及tanNCE。的值.

8.（2024•吉林长春•中考真题）如图，在△力BC中，AB=AC=5,BC=6.点。是边BC上的一点（点。不

与点B、C重合），作射线力D,在射线4D上取点P,使4P=BD,以AP为边作正方形APMN,使点M和点C在

直线4。同侧.

⑴当点。是边BC的中点时，求4。的长；

（2）当8。=4时，点D到直线4c的距离为；

（3）连结PN,当PN12C时，求正方形4PMN的边长；

⑷若点N到直线2C的距离是点“到直线力C距离的3倍，贝北。的长为.（写出一个即可）

9.（2024•广东广州,中考真题）如图，在菱形ABCD中，NC=120。.点E在射线上运动（不与点8,点C重

合），AZEB关于4E的轴对称图形为ANEF.

⑴当NB4F=30。时，试判断线段4F和线段4D的数量和位置关系，并说明理由；

（2）若4B=6+6%,。。为44石尸的外接圆，设。。的半径为r.

①求r的取值范围；

②连接FD,直线FD能否与。。相切？如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.

10.（2024•湖北武汉•中考真题）问题背景：如图（1）,在矩形4BCD中，点E,F分别是4B,BC的中点,

连接8D,EF,求证：4BCDMFBE.

问题探究：如图（2）,在四边形2BCD中，40|BC,NBC。=90°,点E是48的中点，点F在边BC上,4。=2CF,

EF与8。交于点G,求证：BG=FG.

问题拓展：如图（3）,在“问题探究"的条件下，连接4G,AD=CD,AG=FG,直接写出登的值.

11.（2024•湖北•中考真题）如图，矩形28CD中，分别在上，将四边形48FE沿EF翻折，使4的

对称点尸落在CD上，B的对称点为G,PG交BC于乩

⑴求证：4EDPFPCH.

（2）若P为CD中点，且4B=2,BC=3,求GH长.

（3）连接BG,若P为CD中点，H为BC中点、,探究BG与48大小关系并说明理由.

12.(2024・山东威海•中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=10cm,/-ABC=60°,E为对角线AC上一动

点，以DE为一边作ADEF=60。，EF交射线BC于点F,连接BE,DF.点E从点C出发，沿C4方向以每秒2cm

的速度运动至点4处停止.设ABEF的面积为yen?,点E的运动时间为x秒.

⑴求证：BE=EF；

(2)求y与乂的函数表达式，并写出自变量x的取值范围;

⑶求x为何值时，线段DF的长度最短.

13.(2024•安徽•中考真题)如图1,回4BCD的对角线力C与BD交于点。，点M,N分别在边AD,BC上，且

AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.

⑴求证：OE=OF；

(2)连接BM交力C于点"，连接HE,HF.

(0)如图2,若求证：HFWAD；

(0)如图3,若团4BCD为菱形，且MD=2AM,乙EHF=60°,求生的值.

14.(2024•四川南充・中考真题)如图，正方形4BCD边长为6cm,点E为对角线AC上一点，CE=2AE,点

P在4B边上以lcm/s的速度由点A向点B运动，同时点。在BC边上以2cm/s的速度由点C向点8运动，设

运动时间为f秒(0<t<3).

⑴求证：AAEPMCEQ.

(2)当AEPQ是直角三角形时，求f的值.

(3)连接4Q,当tanN4QE=决寸，求AAEQ的面积.

密模电用

一、解答题

1.(2013・江苏扬州•一模)如图，在矩形4BCD中，对角线8。的垂直平分线MN与4。相交于点M,与BC相

交于点N,连接8M,DN.

⑴求证：四边形8MDN是菱形；

(2)若=4,4。=8,求MD的长.

2.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图所示，在回4BCD中，对角线力C与BD相交于点。，过点。任作一条直

线分别交4B,CD于点、E,F.

⑴求证：OE=OF；

(2)连接DE,BF,请添加一个条件，使四边形8EDF是矩形.(不需要说明理由)

3.（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知：在团4BCD中，分别过点8、。作BE1CD于点E,DFLBC于点、F,

如图.请从以下四个关系式中：①DE=BF；②乙FBE=4EDF；③CE=CF；④BE=DF.选择一个合适

的作为已知条件，使团48CD是菱形.

⑴你选择的条件是.

（2）添加了条件后，请证明回48CD为菱形.

4.（2025・贵州•模拟预测）如图，在团48CD中，对角线4C,BD相交于点。，作N8AD和NBCD的平分线,

分别交BD于点G,H,延长4G交于点E,延长CH交4。于点F.

（2）已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号）,判断四边形4ECF的形状，并证明.条件①:

BD平分4CDF；条件②：乙BAE=2ZEXC.

5.（2025•浙江杭州•一模）如图，四边形A8CD是菱形，E是48的中点，AC的垂线EF交4。于点M,交CD的

延长线于点F.

⑴求证：AM=AE；

（2）连接CM,DF=2.

①求菱形4BCD的周长；

②若N2DC=2ZMCF,求ME的长.

6.(2025•广东深圳•一模)在矩形ABCD中，连接4c.

图1图2

(1)如图1,请用尺规在边2D上求作一点P,连接PC,使PD+PC=4D；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)如图2,已知点P在边力。上，S.PD+PC=AD,连接PB,交2C于点Q,若2B=6,AD=8,求4Q的长.

7.(2025•甘肃•模拟预测)【模型建立】

(1)如图1,在正方形4BCD中，点E,尸分别在边DC,BC上，且AE0DF,求证：DE=CF；

【模型应用】

(2)如图2,在矩形ABC。中，AB=3,8C=5,点E在边4D上，点、M,N分别在边4B,CD上，且BE1MN,

求黑的值；

MN

【模型迁移】

(3)如图3,在四边形ABCD中，^BAD=90°,笫=|,48=BC,AD=DC,点E,尸分别在边力8,4。上,

且DE1CF,垂足为G,求生的值.

8.（2025・湖南娄底•一模）如图1,在矩形ABC。中，48=4,BC=6,点E是线段4。上的动点（点E不与

点4。重合），连接CE,过点E作EF1CE,交力B于点F.

备用图

（2）如图2,连接CF,过点B作BG1CF,垂足为G,连接4G,点M是线段BC的中点，连接GM.

①求4G+GM的最小值；

②当4G+GM取最小值时，求线段4尸的长.

9.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）【问题［（1）如图1,四边形是正方形，点£是4D边上的一个

动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连