四边形综合应用题型总结（平行四边形综合应用、菱形综合应用、矩形综合应用、正方形综合应用）解析版

重难点06四边形综合应用题型总结（平行四边形综合应

用、菱形综合应用、矩形综合应用、正方形综合应用）

题型解族।模型杓建I-题强化训练।娄拟通关试缘

模型01平行四边形综合应用）

模型02菱形综合应用

模型03矩形综合应用

模型04正方形综合应用

金题必解徐

本专题主要通过上一专题三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；掌握平行四边

形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）

的特征以及彼此之间的关系。经历从平行四边形到矩形、菱形、正方形的研究过程，体验“从一般到特殊”

的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；在考

试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识。

o摸的建

模型01平行四边形综合应用

WWjSTB...................................

平行四边形的性质与判定该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较

高。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形

（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之间的关系。能用平行四边形的判定定理和性质定理进行几

何证明和计算是考试的重点。

答I题I技I巧

i.认真分析题目，理解题意；

2.根据题意，利用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；

3.注意是否引入其它知识点，例如三角形、平面直角坐标系、函数等；

4.利用相关的性质和判定进行推理和计算。

［题型三例

1.如图，将平行四边形沿对角线8。折叠，使点A落在点E处.若41=56。，42=40。,

则乙4的度数为（）

A.68°B.70°C.110°D.112°

【答案】D

【详解】解：根据折叠可知，^EDB=Z2=40°,乙EBD=LABD,

四边形/BCD为平行四边形，

：.AB\\CD,

:.乙CDB=Z.ABD,

：2EBD=乙CDB=AABD,

VZ1=乙EBD+乙CDB,

：・2乙EBD=56°,

:,乙EBD=28°,

C.Z.ABD=28°,

・,•乙4=180°-乙ABD-Z2=180°—28°-40°=112°,

故选：D.

）支式

1.下列四个命题中，假命题是（）

A.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形

B.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

C.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

【答案】C

【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识.根据相关知识进行逐项判断即可.

【详解】解：A.顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意;

B.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；

C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意；

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；

故选：c

2.如图所示，在平行四边形A3CD中，对角线AC,5。相交于点。，ACLAB,若AB=4,AC=6,则

【答案】A

【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.利用平行四边形

的对角线互相平分得A0=C0=，AC=3,BO=DO,再在中利用勾股定理求出2。，即可求解.

2

【详解】解：回四边形ABCD是平行四边形，AC=6,

0AO=CO=—AC=3,BO=DO,

2

E1AC1AB,AB=4,

^BO=4AB1+A（f=A/42+32=5>

13BD=2BO=10,

故选：A.

3.如图，在平行四边形A3CO中,对角线AC的相交于点。，尸为BC的四等分点，E为。C的中点.若跖=4,

则CD的长是（）

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是

解题关键.先根据平行四边形的性质可得CD=A5,OC^AC,再证出△CEFs^dB,根据相似三角形

的性质可得M=笠=；，求出的长，由此即可得.

ABAC4

【详解】解：回四边形A3CD是平行四边形，

SCD^AB,OC^-AC,

2

回厂为BC的四等分点,

CF1

团---=—

BC4

回石为oc的中点,

^CE=-OC=-AC,

24

CFCE_1

-AC-4

在△CEF和△CAB中,

CFCE\

<CB-C4-4

NECF=ZACB

0ACEFsACAB,

EFCE_1

-AC-4

0AB=4EF=4x4=16,

0CD=AB=16,

故选：D.

4.如图，已知平行四边形AB。.

⑴尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出/ABC的平分线3P.（要求：不写作法，保留作图痕迹）

（2）E为2C上一点，设（1）中NABC的平分线交相）于点R连接EP,若EC=FD,判断四边形AB£F

的形状，并说明理由.

【答案】⑴见解析

（2）菱形，理由见解析

【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图：

（2）先证明四边形"必是平行四边形，然后证明AB=AF,即可证明为菱形.

【详解】（1）解：如图：即为所作：

（2）解：四边形是菱形，理由如下，

证明：如图，回四边形A3CD为平行四边形,

SAD\\BC,AD=BC,

⑦ZAFB=NEBF,

0EC=FD,

0AD—FD=BC—EC,^AF=BE,

El四边形ABEF是平行四边形，

回3尸平分，ABC,

SZABF=ZEBF,

SZAFB=ZEBF,

SZABF=ZAFB,

0Afi=AF,

回四边形AB£F是菱形.

5.如图，VABC与ADEF的边3C,EF在同一条直线上，AB//DE,AC〃加'且=,求证：四边

形ABED是平行四边形.

【答案】见解析

【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质.根据平行线的性质推出

NB=NBEF,ZACB=NF,再证出3C=EF,由ASA即可得出△ABC/△DEF,由全等三角形的性质得出

AB=DE,结合AB〃/)E,即可得出结论.

【详解】证明：QAB//DE,AC//DF,

0ZB=NBEF,ZACB=NF,

•：BE=CF,

BE+EC—CF+EC,

:.BC=EFf

在VA3c和ADEF中，

NB=/DEF

<BC=EF

ZACB=ZF

.".△ABC^ADEF(ASA)；

/.AB=DE,

\'AB\\DE,

四边形ABED是平行四边形.

6.如图，在DABCD中，点G,H分别是AB,CD的中点，且GELAC于E,诙，AC于歹.

AD

BC

求证：

⑴AAGE经△CHF；

⑵四边形EGFH是平行四边形.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本

题的关键.

(1)根据平行四边形的性质得到AR/CD,AB=CD,由平行线的性质得到/G4E=/HCF,根据全等三

角形的判定定理即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到GE=HF,再根据GELAC,HF工AC得到GE〃HF,即可得证.

【详解】(1)证明：•.・四边形A3CD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

:.ZGAE=ZHCF,

,・,点G,H分别是AB,CD的中点，

11

AG^-AB,CH=-CD,

22

:.AG=CH,

■.■GEA.AC,HFVAC,

:.ZAEG=ZCFH=90°,

在△46£和和人。卯中，

ZAEG=ZCFH

-NGAE=ZHCF,

AG=CH

:.AAGE9ACHF(AAS)；

(2)因为ZXAGE丝△<?*,

所以GE=HF,

因为GE_LAC,HFVAC(或因为NAEG=NCFH,所以/GEF=NHFE),

所以GE//HF,

，四边形EGFH是平行四边形.

模型02菱形综合应用

考I向I预I测

菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用

相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。掌握菱形的性质与判定，菱形的面积公式，

及一些特殊的菱形是解答本题的关键。注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别，

利用数形结合及方程的思想解题。

答|题|技|巧

1.理解题意；

2.根据题意，利用菱形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；

3.注意菱形面积的求解，菱形与动点问题、圆及平面直角坐标系的结合；

4,利用相关的性质和判定进行推理和计算。

|题型三例

1.（2023•湖南）如图，菱形A3CD中，连接AC,BD,若4=20。，则N2的度数为（）

A.20°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【详解】解：•・・四边形A3co是菱形

:.BDLAC.AB//CD,

：.Zl=ZACD,ZACD+N2=90°,

•・・Zl=20°,

・•・Z2=90°-20°=70°,

故选：C.

＞委K

1.如图，在菱形A5CD中，AELBC于点E,BE=EC,AC=2,则菱形A5CD的周长是（）

AD

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，连接OE,根据题意可得△AEC

是直角三角形，结合菱形的性质可得。点是AC的中点，求出OE=；AC=1,由3E=EC,易得E点是BC

的中点，易证OE是"1BC的中位线，推出4?=2OE=2,再根据菱形的性质即可求解.

【详解】解：连接OE,

B1AE1BC,

0ZAEC=90°

回44EC是直角三角形，

团四边形ABC。为菱形，

回。点是AC的中点，AC=2,

B1OE=-AC=1,

2

团BE=EC,

团E点是5c的中点，

国OE是AABC的中位线，

ElAB=2OE=2,

团菱形A5CD的周长是2x4=8.

故选：B.

2.如图，AC,3。是四边形A3CD的对角线，点£尸分别是A2BC的中点，点N分别是AC,3。的中点.下

列说法中不正确的是（）

BFC

A.四边形一定是平行四边形

B.若ACSBD,则四边形口胸是矩形

C.若AS=CD,则四边形项ffW是菱形

D.若NAfiC+NDCB=90。，则四边形项如V是矩形

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及三角形中位线定理；根据中位线的

性质得出EN〃M/〃==EM〃FN〃CD,EM=FN=；CD,即可判断A,C,根据平行

线的性质以及三角形的外角的性质得出N£7VF=90。，即可判断D选项，B选项条件不能得出四边形现是

矩形，即可求解.

【详解】解：回点及尸分别是A02C的中点，点MN分别是的中点

皂EN〃MF〃AB,EN=MF=LAB,EM//FN//CD,EM=FN=-CD

22

国四边形一定是平行四边形，故A正确；

若AC，不能得出四边形£?则是矩形，故B不正确；

若AB=C£>,挺EN=NF=FM=ME,则四边形EWFN是菱形，故C正确；

SNF//CD

RZNFB=NBCD,

0EN〃AB,

田NEND=NABD,

又回ZDNF=ZDBC+ZNFB

若ZABC+NDCB=90°,

0ZEND+ZDNF=ZABD+ZDBC+ZBCD=ZABC+ZDCB=90°,

即/EZVF=90。，则四边形是矩形，故D正确；

故选:B.

3.如图，四边形A3。是菱形，4(3,0),8(0,4),则点C的坐标为()

【答案】C

【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得AB=J。©+032=5,结合菱

形的性质可得3C=AB=5,BC//AD,即可得解.

【详解】解：回4(3,0),以0,4),

0OA=3,OB=4,

0AB=VOA2+OB2=5-

团四边形ABC。为菱形，

SBC=AB=5,BC//AD,

回点C的坐标为(-5,4),

故选：C.

4.如图，在VABC中，E是BC的中点，E是线段A8的延长线上一动点，连接所，过点C作CZ)〃AB,

与线段ER的延长线交于点D,连接B2CE.

⑴求证：四边形BDCE是平行四边形.

(2)若ZABC=120°,BC=4,则在点E的运动过程中，

①当8E为何值时，四边形3DCE是矩形；

②当的为何值时，四边形9CE是菱形.

【答案】⑴见解析

(2)①2；②4

【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形

的判定和性质，掌握相关判定方法和性质是解题的关键：

(1)证明ADCF/AE昉(AAS),得到即可得证；

(2)①根据四边形3DCE是矩形，推出々CE=30。，根据含30度角的直角三角形即可得出结果；②根

据菱形的性质，推出△CBE是等边三角形，即可得出结果.

【详解】(1)证明：^\AB//CD,

回ZCDF=ZBEF,ZDCF=NEBF.

团尸是3C的中点，

SCF=BF.

在A£>CP和△£BF中，

ZCDF=NBEF

<ZDCF=ZEBF,

CF=BF

0ADCF^A£BF（AAS）.

国CD=BE.

又CD〃AB,即CD〃跳;，

团四边形5DCE是平行四边形.

(2)解：①当四边形5DCE是矩形时，/CEB=90。.

HZABC=120°,

回NCBE=60。.

团ZBCE=90°-ZCBE=30°.

^\BE=-BC=2；

2

②当四边形&X石是菱形时，BE=CE.

^\ZABC=120°,

0ZCBE=6O°.

0△CBE是等边三角形.

0BE=BC=4.

5.(1)【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1,在等腰RtZ\ABC中，N54C=90。，点£在BC边

上，以CE为边作正方形CEFD,点尸在AC边上，连接班'，点尸为线段M的中点，连接AP,EP.以点尸

为对称中心，画出！PEF关于点尸对称的图形，并直接写出AP与PE的位置及大小关系；

(2)【类比探究】在等边VABC中，D、E分别是AC、边上一点，且CD=CE,以CE、CD为邻边作菱

形CEFD,再将菱形CEFD绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形CERD如图2,连接3「，点P为

线段3广的中点，连接AP、PE，判断AP与PE'的位置及大小关系，并证明你的结论；

(3)【迁移运用】在(2)的条件下，若AC=4,CE=l,菱形CEFD在旋转过程中，当AP最小时，直接写

出SMBP的值_________.

图1图2

【答案】(1)AP1PE,AP=PE；(2)APLPE',AP=6PE'；见解析；(3)空

2

【分析】(])延长EP至G,使PG=PE,连接BG,利用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"，可

得PE=BP=PF,AP=BP=PF,得出AP=PE,再证得NAPE=90。，即可得出答案；

(2)作△小曾'关于点P成中心对称的△尸QB,连接A。、AE,延长AE'、3。交于点T,则PQ=PE',

PB=PF',NBPQ=NF'PE',进而可得8。〃E广，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的

判定和性质即可求得答案；

(3)过点A作于点”，连接PH、CF',CF'交DE于点L,利用三角形中位线定理可得

PH=-CF'=^-,又点H是定点、,得出点尸在以〃为圆心，P"为半径的圆上运动，可求得AP的最小值,

22

再利用三角形面积公式即可求得答案.

【详解】解：(1)如图1,延长至G,使PG=PE,连接2G,

图1

则△PGB与！PEF关于点P对称，APGB即为所求作的图形.

回四边形CDEE是正方形，

0ZCEF=90°,

回NBEF=180°-90°=90°,

回点P为线段即的中点，N54c=90。，

SPE=BP=PF=AP,

SZPAB=ZPBA,ZPEB=ZPBE,

0ZAPF=NPAB+NPBA=2NPBA,

团ZEPF=ZPEB+ZPBE=2APBE,

国VABC是等腰直角三角形，

0ZABC=45°,

0ZAPE=ZAPF+NEPF=2ZPBA+2NPBE=2(Z.PBA+NPBE)=2ZABC=90°,

APS.PE,

故答案为：APIPE,AP=PE；

(2)结论：APYPE',AP=^PE'；证明如下：

如图2,作/E尸关于点尸成中心对称的APQB，连接AQ、W,延长AE\BQ交于点7,则APQB'PE'F',

图2

贝|JP°=P£,PB=PF',BQ=F'E',ZPBQ=ZPF'E',

0BQ〃E'F',

由题意可知：四边形CE户。是菱形，ZZ),C£,=ZACB=60°,

BiCD'//E'F',CD!=E'F'=CE',

SCD'//BQ,

SZT=ZD'CE'=60°,

0ZTBC+ZTCB=120°,即ZABQ+ZABC+ZTCB=120°,

IBVABC是等边三角形，

SAB=AC,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

0ZABC+ZTCB+NACE'=120。，

^ZABQ=ZACE',

团AABQ丝AAC£(SAS),

^\AQ=AE',ZBAQ=ZCAE',

回ZQAE'=ZBAQ+ZBAE'=ZCAE'+NBAE'=ABAC=60°,

团△AQE'是等边三角形，

^\AE'=QE'=2PE',

⑦PQ=PE，,

SAP1PE',

在Rt/XAPE中，AP=1AE。-PE。=yl2PE'2-PE'2=上PE；

(3)如图3,过点A作⑷于点”，连接尸H、CF',CF交DE于点、L,

图3

由旋转得CD'=CD=1，CE'=CE=l,

回四边形CD'F'E是菱形，ZD'CE'=60°,

回AD'CE'是等边三角形，EZ=g,CL=ylcE-E'l}=^-

22

0CF'=2CL=6,

回VABC是等边三角形，AC=4,AH1BC,

El同理可知："是BC的中点，AH=2^/3,

又回点P为线段BF'的中点，

是ABCF的中位线，

^PH=-CF'=—,

22

回点”是定点，

团点尸在以H为圆心，PH为半径的圆上运动，

设AH交。”于点P,当点P与点P'重合时，

4尸=4尸，=4//一2五=2小一且=孑叵为最小值,

22

止匕时，SABP=-AP,-BH=-x^x2=—,

.2222

故答案为：史.

2

模型03矩形综合应用

.................................................................................................

矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数

较大。矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，

准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关

知识点进行解题。

答I题I技I巧

1.确定试题考点方向，折叠、旋转、判定等；

2.应用矩形相关的性质与判定进行解题；

3.注意矩形的折叠、旋转、矩形与坐标系结合等题型的解法;

4.进行相关计算解决问题.

|题型三停I

1.（2023•安徽）如图，在矩形/式》中，BEVAC,DFY.AC,垂足分别为区F.求证：AF=CE.

AD

【答案】过程见详解；

【详解】证明：・・•四边形/四是矩形,

：.AB=CD,AB//CD,

：.ABAE=/DCF.

又BE_LAC,DFLAC,

:・/AEB=/CFD=9G°.

在△/庞与△口加中，

(/-AEB=4CFD

\^BAE=乙DCF,

\AB=CD

：.XAB恒XCDF(A4S),

:,AE=CF,

:・AE+EF=CREF,

即AF=CE.

＞之K

1.如图，矩形ABC。中，E为AB中点,连接CE.点F为点B关于CE的对称点，连接AF,BF,

4

tanZBAF=-.设A3=尤，AABF的面积为V,则y与x的函数图象大致为（）

EB

八y/产12/

12/

A./\B.6-------C./!D.6----------i

■QIs-o\5^

【答案】D

【分析】设3尸，（石交于点G,根据对称性得到CE垂直平分即，进而得到EG为△AFB的中位线，得到

ZAFB=90°,解RtAAFB,求出A尸,3尸，利用面积公式求出了关于x的表达式，进行判断即可.

【详解】解：设2RCE交于点G,

回点F为点B关于CE的对称点，

团CE垂直平分防，

BG=FG,ZEGB=90°f

团E为AB中点，

团EG为△AFB的中位线，

回石G||AF,

团NAFB=90。，

BF4

manZBAF=——=—,

AF3

回设BF=4m,AF=3m,

则：AB=5m=x,

X

rvn\m=—,

43

^]BF=—x,AF=—x,

55

0y=^-BF•AF=»当x=5时，y=6,

团y与％的函数图象大致为：

nrFFr-

2-如图'矩形.8中,E是2C边上一动点，至F四,加…。。，若BE”那么5的长

度为（）

A.近B.73C.2D.行

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是

ACAft

解题的关键.连接AC,可得AMCS△用,得到公=益,4相=到,进而得△公八△跳,即得

:啜，据此解答即可求解.

【详解】解：连接AC,如下图,

BCEFr-

团一=—=V2,

ABAE

BCAB

团---=----,

EFAE

又团ZABC=ZAEF=90°,

团&ABCs公AEF，

ACAB

团----=----9ZBAC=ZEAF,

AFAE

ACAF

团----=----/BAE=/CAF,

ABAE

0AACFQABE,

CFAC

团一=

BE~AB

BCr-

团----=A/2,

AB

回可设3c=&x，AB=x,

0AC=A/A52+BC2=

向CFAC岛r-

BEABx

国BE=L

SCF=y/3,

故选：B.

3.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=13,点E,歹分别在边AD,BC上，将矩形ABC。沿EF折叠，得

到四边形NM砂，且点A恰好为边NP的中点，则ED的长为（）

M

N

---------------'C

F

A.7.2B.7.5C.8D.8.4

【答案】C

【分析】本题考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.

设/C=2x,则A尸=4V=!NF=[FC=尤，进而得出3尸=13—2尤，进而在RSAB/中，AF2=BF2+AB2,

22

根据勾股定理建立方程解方程，得出AF=5,进而根据折叠的性质以及平行线的性质得出=则

AE=AF=5,进而即可求解.

【详解】解：回四边形A38是矩形，

团？B90?,AD//BC,AD=BC,

依题意，FN=FC,

设FC=2x,则4尸=3=」版=1p。=尤，

22

SBF=BC-FC^\3-2x,

在RtAABP中，AF2=BF2+AB2,

BPX2=(13-2X)2+42,

解得：x=5,

0AF=5,

团折叠，

国/AFE=NCFE

^\AD//BC

国NAEF=NCFE,

^\ZAFE=ZAEF

0AE=AF=5,

DE=AD-AE=13-5=8

故选：C.

4.已知，矩形ABC。中，点£为5。边上一点.

图1图2图3

(1)如图1,将AABE沿直线AE翻折，点B落在点歹处，当NA4E=33。，且CE=CF时，求NFCE的度数;

(2)如图2,将AABE沿直线AE翻折，点8落在点F处，连接CP,DF,若AB=^BE,且CF平分/ECD,

判断△£>/(的形状，并证明；

(3)如图3,P点为A3上一点，将△BEF沿直线EP翻折，点B落在点尸处，若AB=8,AD=12,且EB=3,

直接写出尸。的最短距离.

【答案】(1)48。

⑵△DPC是等腰直角三角形，见解析

⑶PD的最短距离是10

【分析】(1)首先由矩形得到？B90?,求出44£»=90。-33。=57。，然后由折叠得到NAEF=NAEB=57。，

进而求解即可；

(2)延长跖交AD于M,过/作_LCD于N,首先由矩形得到ZB=Zfi4£)=ZBCD=ZADC=90。，然后

得至IJtan/2AE=^=立，求出/4£8=/£4£>=90。-30。=60。，由折叠的性质得到ZAEB=ZA£F=6O。，

AB3

ZAFE=ZB=90°,得到是等边三角形，进而求解即可；

(3)如图，连接。歹，勾股定理求出FD=JA尸+AZJ2=13,由折叠的性质得到：PF=BF=3,进而求解即可.

【详解】(1)解：如图1,••■四边形是矩形，

:.ZB=90°,

\'ZBAE=33°,

.-.ZA£B=90°-33°=57°,

由折叠的性质得到：ZAEF=ZAEB=57°,

ZCEF=180。—57°-57°=66°,

:CE=CF,

:.ZCFE=ZCEF=66°f

ZFCE=180°-66°-66°=48°；

(2)解：△。尸。是等腰直角三角形，理由如下：

如图所示，延长EF交于过尸作FN_LCD于N,

M

A

|:四边形A3CD是矩形，

BE,

ZB=ZBAD=ZBCD=ZADC=90°,

・；CF平分/BCD,

ZFCD=-ZBCD=45°,

2

・・・AB=迅BE,

/.tanZBAE=—,

AB3

.-.ZBAE=30°,

.•.ZA£B=Z£4D=90°-30°=60°,

由折叠的性质得到：ZAEB=ZAEF=6O°,ZAFE=ZB=90°,

ZAME=180o-60°-60o=60°,

/.ZAEM=ZAME=ZMAE,

二.Z\AA但是等边三角形，

•：AFLME,

：.EF=FM,

♦;FN工CD,ECLCD,MDVCD,

:.MD//FN//ECf

FMDN

团---=----,

EMCN

:.DN=CN,

.••尸N垂直平分CO,

:.FC=FD,

:.ZFCD=ZFDC=45°,

.\ZCFD=90°,

•••团。回C是等腰直角三角形；

(3)解：如图，连接。尸，

.•.AF=8-3=5,

■1-ZA=90°,AD=12,

:.FD=y]AF2+AD2=13，

由折叠的性质得到：PF=BF=3,

•.■PD>FD-PF=13-3=10,

的最短距离是10.

5.如图，在口ABCD中，过点。作。E/Afi于点E,点尸在边CD上，CF=AE,连接AF,BF.

⑴求证：四边形3FDE是矩形；

⑵已知/D4B=60。，AF平分NZMB,若AD=3,求0c的长度.

【答案】⑴见解析

9

【分析】(1)先证四边形MDE是平行四边形，再结合OE1AB证明为矩形；

(2)根据含30度角的直角三角形的性质求出AE,再用勾股定理求出OE,结合矩形的性质可得防=DE,

BF_LAB,再解RtAAB尸求出A3即可.

【详解】(1)证明：回四边形A3co是平行四边形

SDC//AB,DC=AB,

0CF=AE,

EiDF=BE且DF〃BE

0四边形BFDE是平行四边形，

又®DE上AB,

回四边形WZ区是矩形；

(2)解：囱NTMB=60°,DEJ.AB,

0ZADE=3O°,

国AD=3,

13

^AE=-AD=-,

22

SDE=y/AD2-AE2=-y/3,

2

国四边形BEDE是矩形

3

0BF=D£=-73,BFYAB,

2

EIAF是NIMB的平分线，DAB=60°,

[?]ZFAB=-ZDAB=30°,且5尸_LAB,

2

^\AF=2BF=3y/3,

^AB=y/AF2-BF2=-,

2

9

团CD=AB=—.

2

模型04正方形综合应用

考『而i预限厂…

正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正

方形与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型。结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合

经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题

能力。

答I题I技I巧

1.确定正方形所考查知识点；

2.利用正方形的特殊性分析题目信息，根据已知条件得出相关结论;

3.结合各类模型中解题技巧和方法，综合运用；

4.结合其它几何的相关知识点进行解题；

题筌市例

1.（2023•湖南）如图，点E、尸为正方形至8边的点，CELDF,点G、H分别为线

段CE、。尸的中点，连接G",若CF=2,GH=3①,则的长为.

A

E

B

【答案】8

【详解】解：连接S并延长交短于尸，连接尸石，

P

A\D

BFC

・・•四边形ABCD是正方形，

.\ZA=90°fAD//BC9

.\ZDPH=ZFCHf

在APDH和ACM中，

ZDPH=/FCH

<ZDHP=ZFHC

PH=FH

:.^PDH=ACFH(AAS)

：.PD=CF=2,CH=PH,

;点G为线段CE的中点，

:.PE=2HG=6y/2,

・・•DF工CE,

ZBCE+ZCEB=^FCG+ACFD,

:.NCFD=NCEB,

在ABCE与ACD尸中，

ZB=ZDCF

<BC=CD

NBEC=ZCFD

.•.ABCE二ACDF(ASA)

：.BE=CF=29

•：AB=AD,

:.AE=AP=—PE=6

2,

:.AB=AE+BE=8,

故答案为：8.

>衣K

1.如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD,其中

ZAFB=ZBEC=ZAGD=ZCHD=90°,连结A瓦DE,若NAED=NADE,DE=近,则正方形ABC。的边

长是（）

L5广

A.y/5B.2C.—D.J6

【答案】A

【分析】本题主要查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理.根据等

腰三角形的判定可得=再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得△£»取?是等腰直角三角

形，根据勾股定理可得CE=D"=1,再由勾股定理，即可求解.

【详解】解：SZAED=ZADE,

^AD=AE,

团由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCZ）,

^BE=CH=DG,GH=EH=EF=FG,AF±BE,CH±DG,AB=AD=AE,

MBF=EF=EH=DH,

回/是等腰直角三角形，

团DE2=DH2+EH2=近DH，

@DE=血,

^CE=DH=\,BE=2,

^BC=y/BE2+CE2=V5-

故选：A

2.如图，点E是正方形A3co的边。C上一点，把AAOE绕点A顺时针旋转90。到AMP的位置.若四边形

AECb的面积为36,CE=4,则AP的长为（）

C.8D.2屈

【答案】D

【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，勾股定理；正确利用旋转的性质是解题的关键.利

用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股

定理得出答案.

【详解】解：•.,把顺时针旋转△砺的位置，

:.^ADE=^ABF,

,\AE=AF,四边形AEC尸的面积等于正方形ABCD的面积等于36,

AD=DC=6,

・・・CE=4

:.DE=2,

在RMADE中，AEZAD'DE。=2屈

■■■AF=AE=2亚,

故选：D.

3.小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形A3C。，点E、

F、G、X分别在边AB、BC、CD、ZM±,若EG工FH,则EG=切.”为了解决这个问题，经过思考，大

家给出了以下两个方案：

方案一：过点4作川0〃诙交BC于点过点2作3N〃EG交C£）于点N；

方案二：过点A作交BC于点过点A作⑷V〃EG交边CD的延长线于点N....

图⑴图（2）图（3）

⑴对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））.

⑵如果把条件中的"正方形"改为"长方形"，并设A8=2,BC=3（如图（2））,试探究EG、FH之间有怎样的

数量关系，并证明你的结论.

⑶如果把条件中的"EG，F7改为"EG与m的夹角为45。"，并假设正方形ABCD的边长为2,FH的长

为旧（如图（3））,试求EG的长度.

【答案】⑴见解析

⑵F架G=2[,见解析

HF3

⑶巫

3

【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟记相关性质定理

和判定定理，熟练运用它们进行推理证明和计算.

（1）画出辅助线，证明两个三角形全等即可；

（2）画出辅助线，证明两个三角形相似，再根据比例式得出关系即可；

（3）仿照（1）的方法，构建全等三角形，再根据勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：方案一：过点A作4以〃交于点过点、B作BN〃EG交CD于点、N；

由正方形性质可知，AD//BC,BA//CD,AB=BC,ZDAB=ZABC=ZC=90°,

回四边形⑷WFH、3NGE是平行四边形，

SAM=HF,BN=EG,

SEG±FH,

SAMLBN,设交点为P,

0NBAP+ZABP=90°,ZCBM+NABP=90°,

⑦NBAP=NCBM,

0AR4M=^CBN,

^AM=BN,

SEG=FH.

A,HD

BMFC

方案二：过点A作AM〃加'交BC于点M,过点A作AN〃EG交边CD的延长线于点N.

同方案一可知，AM=HF,AN=EG,

由平行可知，ZN=ZCGE,ZHFC=ZAMC,

SEG1FH,

ElZHFC+ZCGE=180°,

ElZAMB+ZAMC=180°,ZHFC=ZAMC,

®ZN=/CGE=ZAMB,

同理可得△A4MR/MN,

回AM=AN，

回EG=FH.

BMFC

EG2

(2)解：—=-；理由如下：过点人作川以〃诙交5c于点M,过点、B作BN〃EG交CD于点、N；

HF3

由(1)可知，四边形AMEH、BNG不是平行四边形，

团AM=HF,BN=EG,

团EGLFH,

^AM±BNf

同理可得ZBAM=/CBM,

团ABAM〜△CBN,

AHD

G

N

BMF

(3)解：过点A作AM〃/7F交5c于点M,过点A作AN〃EG交CO于点N；

团EG与FW的夹角为45。，

0Z1=Z2=Z3=45°,

在8延长线是截取砌"连接VN,

团NB=ZADQ=90。,AB=AD,

回ABAM=^DAQ,

^\AM=AQ,ZBAM=ZDAQ,

团N3=NQAN=ZQDA+ADAN=/BAM+ADAN=45°,

团⑷V=4V,

回△NA"=^NAQ,

出MN=QN=BM+DN,

国AM=HF=^,AB=2,

⑦BM=y/AM2-AB2=1，

设DN=x,贝i]C/V=2—x,MN=x+l,

[?](2-x)2+l2=(x+l)2,

2

解得,x=2f

6EG=AN=JAD2+DN2=冬何.

3

4.点E是正方形ABC。所在平面内一点.

⑴如图1,若E为CD边上一点,E为BC延长线上一点，且CE=CF,判断8E与。P之间的关系，说明理由;

图1

（2）如图2,若点E在边BC下方，当ZBED=90°时,过点A作AE的垂线交ED的延长线于点P,猜想线段EA,

EB,即之间的数量关系，并证明；

图2

⑶在（1）的条件下，连接3£）,延长防交£）产于点G.当DG=2,GV=3时，求VB/m的面积.

【答案】（1）3E，OF,BE=DF,理由见解析；

⑵DE+BE=6AE,理由见解析；

⑶V5DF的面积为15.

【分析】（1）根据正方形的性质可得3C=DC,ZBCD=NDCF=90°,然后利用“边角边"证明.BCE和ADCF

全等，得出BE=DF,延长BE交DF于点H,进而求出+归=90。，从而证明江即可；

（2）设AC,PE交于G,设NCBE=NCDG=a,求得NADG=90。-打，得到乙4£）「=90。+。，求得

ZABE=ZADP,根据全等三角形的性质得到AE=AP,根据等腰直角三角形的性质得到

PE=PD+DE=BE+DE=®AE;

（3）由（1）知3E="=2+3=5,3GLOP,根据相似三角形的性质得到EG=1,求得BG=BE+EG=6,

根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）解：BE1DF,BE=DF,理由：

延长的交。b于点H,如图，

图1

团四边形A8CD是正方形，

国BC=DC,/BCD=ZDCF=90。,

在△5C£和△0CF中，

BC=DC

</BCD=ZDCF=90°,

CE=CF

回ABCE%DCF（SAS）,

@BE=DF,ZCBE=ZCDFf

团NCBE+NCEB=90°,

0NDEH+NEDH=90。

国BELDF,BE=DF；

（2）解：DE+BE=6AE，理由:

设AC,PE交于G,

图2

^ZABC=ZC=ZADC=90°,ZBGE=/CGD,

⑦/CBE=/CDG,

设NCBE=NCDG=a,

贝ijNADG=90。—NCDG=90。—a,

团NADP=180。—NADG=180。-（90°—a）=900+a,

团ZAB石=900+a,

国ZABE=ZADP,

^AEIAP,

团NE4P=90。，

^ZBAE=ZPAD,

团AB=AD,

团AABE^AADP(ASA),

国PD=BE,AE=AP,

团PE=7A£：2+AP2=&AE，

⑦PE=PD+DE=BE+DE=6AE,

即：BE+DE=6AE；

(3)解：如图，由(1)知班1="尸=2+3=5,BG±DF,

由NBGF=NDGE=90。,

国NDEG=NBEC,

团4DGE^BCE,

DGEG

0-----------,

BGFG

图1

SBG=BE+EG=6,

E1VBDF的面积=，OF-8G='x5x6=15.

22

5.已知正方形ABCD中，AD=8,点G是正方形ABC。内动点，且始终保持AG=4A/L

⑴如图1,ZXADG绕A顺时针旋转90。得AABE,请在图中画出AABE并求EG的长；

（2）在（1）的条件下，如图2,当。、G、E三点共线时，求ZAGD的度数及G。的长；

⑶在（1）的条件下，是否存在某时刻使得NDG4=120。，请求出OG的长；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴图见解析，8

⑵ZAG£>=135°,GD=473-4

(3)存在，2瓦-26

【分析】(1)根据旋转的性质画出图形，然后根据勾股定理求解即可；

(2)首先得出NAGE=45。，即可求出44GD的度数；过A作史于M,得到

AM=GM=EM=-DE=4,然后利用勾股定理求出,进而求解即可；

2

(3)作AMLDG,交DG延长线于M,解直角三角形求出AM,GM,然后利用勾股定理求出QM,进

而求解即可.

【详解】(1)如图：

DC

G

E

图1

由题意得：AG=AE,ZGAE=90°

团由勾股定理得EG=^AE2+AG2=8；

(2)如图，过A作40LDE于M

DC

I

/\-.-ZGAE=90°,AG=AE

E

团A4GE是等腰直角三角形

0ZAGE=45°

/.ZAGD=180O-AAGE=180。—45。=135°

0AMIDE,

^