相交线与平行线、全等三角形、圆、无刻度作图大题综合（解析版）-2025年中考数学冲刺复习（武汉专用）

猜押06相交线与平行线、全等三角形、

圆、无刻度作图大题综合

押题依据

猜押考点3年武汉真题考情分析押题依据难度

2023年第18题（平行以解答题形式考查平行线相交线与平行线是几何基

相交线与线性质与等边三角形判性质、角平分线应用及三础，常与三角形综合考查，

中

平行线定）2022年第18题（平角形形状判定，需结合逻2025年可能会作为基础题型

行线角度计算与证明）辑推理与几何证明考查

综合考查全等三角形的判全等三角形是几何证明核心

全等三角2024年第18题（三角

定定理，平行四边形的判工具，常与其他图形综合，中

形形全等的判定）

定2025年持续考查

2024年第20题（圆的

切线证明与三角函数应

综合考查切线性质、圆周圆是几何重难点，常与三角

用）2023年第20题（圆

圆角定理、勾股定理等，需形、四边形结合，2025年仍中

周角定理与勾股定理）

通过辅助线构建几何关系为重点题型

2022年第20题（圆与

等腰直角三角形综合）

2024年第21题（旋转、

对称与作图）2023年第以网格为背景，考查旋转、

无刻度作图体现几何直观与

无刻度作21题（旋转与相似三角对称、平行四边形等几何中偏

动手能力，武汉中考高频考

图形构造）2022年第21变换的作图能力，需结合难

点，2025年延续命题

题（对称与全等三角形几何性质分析

应用）

题型一相交线与平行线

1.（24-25九年级上•湖北武汉•期末）如图，在△ABC中，NCAB=70°,在同一平面内，将△4BC绕点A旋

转到△/8'C',使得CC'〃AB,求/C4C'的度数.

【答案】40°

【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键.由旋转的性质得出NC=/C'，再结合

CC//AB,可推出结果.

【详解】解：•.•将”2C绕点A旋转到

AC=AC,

NACC'=AACC,

又；CC//AB,

：.AACC=NCAB=70°,

ZAC'C=70°,

.■.ZC4C,=180°-2x70°=40°.

2.（24-25九年级上•湖北武汉・期末）如图，将△4BC绕点A按逆时针方向旋转80。得到连接30.

⑴判断△/5D的形状为；

⑵若AE〃BD,求NC4。的度数.

【答案】（1）等腰三角形

（2）30°

【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，

（1）根据旋转的性质可推出结论；

（2）根据旋转的性质得出/E/C=/CM3=80。，根据平行线的性质得出N£4D=//D8=50。，从而得出结

果；

解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角；旋转前后的图形全等.

【详解】（1）解：••・将△42C绕点A按逆时针方向旋转80。得到

AB=AD,

・・.△4BD的形状为等腰三角形，

故答案为：等腰三角形；

（2）•.•将沙台。绕点A按逆时针方向旋转80。得到,

AB=AD,/BAD=ZCAE=80°,

ZABD=NADB=1(180°-ZBAD)=1x(180°-80°)=50°,

AE//BD,

：.ZEAD=ZADB=50。..

；.NCAD=ZCAE-NEAD=80°-50。=30。，

.•・NC4D的度数为30。.

3.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图，8E是ZUBC的角平分线，点。在上，豆DE〃BC.

(2)在8C上取一点尸，连接所，添加一个条件，使四边形尸为菱形，直接写出这个条件.

【答案】(1)见解析

⑵在8C上取一点尸，使得BF=DE,

【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定方法成

为解题的关键.

(1)根据角平分线的定义和平行线的性质得到NDBE=NDEB,然后根据等角对等边即可证明结论；

(2)根据菱形的判定定理即可解答.

【详解】(1)解：是//3C的角平分线，

ZDBE=ZCBE,

：DE//BC,

NDEB=NCBE,

•••NDBE=/DEB,

DB=DE.

(2)解：如图：在2C上取一点尸，使得班'连接跖，则四边形8。斯为菱形，理由如下：

■.-DE//BC,BF=DE,

••・四边形BDEF为平行四边形,

DB=DE,

••・四边形ADE厂为菱形.

4.（新考向）如图，直线。〃6,直线c〃d,Nl=108。，求/2,/3的度数.

【答案】Z2=108°,Z3=72°

【分析】本题考查了平行线的性质，根据。〃6可求出/2的度数，根据c〃d可求出N3的度数.

【详解】解：6,Zl=108°,

Z2=Z1=1O8°.

■：c//d,

Zl+Z3=Z180°,

Z3=180°-Z1=180°-108°=72°.

5.（新考向）如图，AB//CD,AEFG的顶点尸，G分别落在直线4B,CDGE交AB于点、H,GE平

分/尸GO,若4EFG=NEGF=1。。，求NEEB的度数.

【答案】30°

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质.由角平分线的定义求出

AEGD=70°,由三角形内角和定理求出/E,再由平行线的性质求出"HG=/EGO=70。，利用平角的定

义求出NFHE,最后再根据三角形内角和定理即可求出ZEFB.

【详解】解：；GE平分/尸G。，

.-.ZEGF=ZEGD,

ZEFG=ZEGF=70°,

ZEGD=70°,Z£=180°-ZEFG-ZEGF=40°,

•••AB//CD,

ZFHG=ZEGD=70°,

.-.ZFHE=180°-ZFHG=110°,

NEFB=180°-NE—ZFHE=30°.

题型二全等三角形

1.（2025•湖北武汉•模拟预测）如图，在等边A/3C中过顶点A作4DL3C,E为上任意一点，连BE,

将/E绕点A逆时针旋转60。，点£对应点为点

⑴求证："BE知4CF；

（2）连接EC,请添加一个与线段相关的条件，使四边形2ECF为菱形.（不需要说明理由）

【答案】（1）证明过程见详解

（2）添加条件：AE=EC（答案不唯一）

【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到==运用边角边即可求证;

（2）添加条件：4E=EC,根据菱形的判定和性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：・・•△/BC是等边三角形，

.-.AB=AC,ABAC=60°,

・•・将AE绕点A逆时针旋转60°,

；.NEAF=60°,

•­,NBAC-ADAC=NEAF-ZDAC,即NBAE=ZCAF,

在和A/CF中，

,AB=AC

<NBAE=ZCAF,

AE=AF

出"CF（SAS）；

（2）解：如图所示，

添加条件：AE=EC,

由（1）的证明可得，AE=AF,ZBAE=ZCAF,

•・•△48c是等边三角形，ADLBC,

:./BAD=ACAD,

；.NEAC=NFAC,

■■■AE=EC,

ZEAC=ZECA,

ZFAC=ZECA,

.-.AF\\EC,^.AF=AE=EC,

••・四边形AECF是平行四边形，

・•・平行四边形NEC尸是菱形，

二添加条件：AE=EC（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，

掌握等边三角形的性质，全等的三角形的判定和性质，菱形的判定方法是解题的关键.

2.（2025•湖北武汉一模）如图，在口/BCD中，点E,尸分别在48和DC上，且跖经过对角线NC的中

点。.

（1）求证："EO均CFO；

⑵连接/月和CE,请添加一个条件，使四边形NEC尸是菱形.（不需要说明理由）

【答案】（1）见解析

（2）£尸，/。或/£=后。或/。平分2区4厂（答案不唯一）

【分析】此题考查全等三角形的判定，平行四边和菱形的判定，解题的关键熟练掌握平行四边和菱形的判

定定理；

（1）根据平行四边形的性质得出44£。=/。尸。，ZEAO=Z.FCO.进而利用AAS证明三角形全等即可；

（2）根据平行四边形的判定与性质和菱形的判定解答.

【详解】（1）证明：•••四边形初。是平行四边形，

AB//DC,

AAEO=ZCFO,ZEAO=ZFCO.

・・・。是/C的中点，

：.OA=OC.

,­•AAEO卬CFO.

理由：•・•△//。^△。尸。，

0E=OF,

-OA=OC,

・•・四边形是平行四边形，

-EFVAC,

・•・四边形/£CF是菱形；

添力口AE=EC,

理由：•••△//。^△。尸。，

AE=CF,

在q48cZ）中

AE//FC,

二四边形AECF是平行四边形，

AF=CE,

•••AE=EC,

AE=CF=AF=CE,

・•・四边形尸是菱形；

添加4C平分NE4尸，理由如下:

•・•四边形ABCD是平行四边形，

ABHDC,

ZOAE=ZOCF.

•・•。是4。的中点,

：.OA=OC,.

在AAEO和ACFO中

AOAE=ZOCF

<OA=OC

ZAOE=ZCOF

・..AAEO为CFO,

・•.OE=OF,

-OA=OC,

.•.四边形AECF是平行四边形，

•••AC平分NEAF,

：.NEAC=ZFAC,

vABHDC,

ZEAC=NFCA,

ZFAC=ZFCA,

AF=CF,

.•・四边形NKCF是菱形；

综上所述：添加或=或NC平分ZE4F（答案不唯一）.

3.（2025・湖北武汉•模拟预测）如图，在口中，点G,〃分别是48,C。的中点，点£,/在对角线NC

上，且4E=CF.

⑴求证：AAGE竺ACHF；

（2）请添加一个条件，使四边形GEHE是菱形（不要求证明）.

【答案】（1）见解析

Q）GE=GF（答案不唯一）

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得NA4C=//C。，根据中点的性质可得/£="，根据全等三角

形的判定方法“边角边”即可求证；

（2）由（1）可知即'（SAS）,可得GE=HF,ZAEG=ZCFH,运用平角的计算可得

ZGEF=ZHFE,可得四边形GWE是平行四边形，再进一步即可求证.

【详解】（1）证明：•••四边形N2C。是平行四边形，

.-.AB//CD,AB=CD,

：.ABAC=AACD,

•••点G,"分别是。的中点，

：.AG=BG=-AB,CH=DH=、CD,

22

：.AG=CH,

在"GE与ACHF中，

AG=CH

<ZGAE=ZHCF,

AE=CF

公AGE^ACHF(SAS).

(2)证明：添加：GE=GF,理由如下：

由(1)可知，△/GE之△CHF(SAS),

GE=HF,ZAEG=ZCFH,

•・•//EG+/GE尸=180°,ZCFH+ZHFE=1SO°,

:"GEF=NHFE,

GE//HF,

四边形EGFH是平行四边形.

VGE=GF,

••・四边形EGF”是菱形.

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识

的综合运用是解题的关键.

4.(新考向)如图，在0/3CO中，对角线NC与8。相交于点。，过点。作一条直线分别交BC于点

⑴求证：OE=OF-

(2)已知。4=连结/尸，CE.求证：四边形4FCE为矩形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)证明AO/E四AOCF(ASA),即可得出结论；

(2)先证明四边形NFCE是平行四边形，再证明/。=斯，然后由矩形的判定即可得出结论.

本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的

判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：•••四边形43。是平行四边形，

AD//BC,OA=OC.

：.ZOAE=ZOCF.

在和△OC尸中，

ZOAE=ZOCF

<OA=OC,

ZAOE=ZCOF

.-.AOAE^OCF(ASA),

OE=OF.

(2)证明：-.OA=OC,OE=OF,

••・四边形AFCE是平行四边形.

又•:OA=OE,

；.AC=EF,

••・四边形NFCE为矩形.

5.(新考向)如图，△4BC中，AD1BC,垂足为。，BEVAC,垂足为E,4D与8E相交于点尸,

BF=AC.

⑴求证："DCaBDF；

(2)若。尸=2,AF=3,求2C的长

【答案】(1)见解析

⑵7

【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AAS证明两个三角形全等”是解本题的关

键.

(1)先证明/AD尸=N4DC,NCAD=NFBD,然后根据AAS,再结合已知条件可得结论；

(2)根据。尸=2,AF=3,得出4。=/尸+。尸=3+2=5,根据A4DC咨AAD尸得出80=40=5,

CD=DF=2,最后根据和差间的关系，得出答案即可.

【详解】(1)证明：•.•4D)3C,

ZBDF=ZADC=90°,

■.-BE1AC,

ZBEC=90°,

ACAD+NACD=NACD+ZDBF=90°,

ACAD=NDBF,

•；BF=AC,

AADC知BDF(AAS)；

(2)解：DF=2,AF=3,

AD=AF+DF=3+2=5,

•••AADCABDF,

/.BD=AD=5,CD=DF=2,

..BC=BD+DC=5+2=7.

6.（新考向）如图，在△NBC中，点E在48边上，且点E不与点A,8重合，点。在/C的延长线上，ED

交BC于点F,过点G作EG///C交3c于点G.

⑴若点尸是的中点，求证：AEGF%DCF；

⑵在（1）的条件下，若BE=DC=CF,40=20。，求//的度数.

【答案】（1）证明见解析；

⑵NN=100。.

【分析】（1）由EG//NC,点尸是ED的中点，则ND=ZFEG,EF=DF,然后根据“AAS”证明AEGFADCF

即可；

（2）由BE=DC=CF,&EGF知DCF,则DC=EG=BE=。尸=GF,再根据等边对等角，对顶角相等,

三角形内角和定理即可求解.

【详解】（1）证明：・•・EG//ZC,点尸是的中点，

ZD=ZFEG,EF=DF,

在AEGF与ADCF中，

ZD=ZFEG

<NEFG=ZCFD,

EF=DF

.-.^EGF^DCF（AAS）,

（2）解：*xEGF^xDCF,

：.DC=EG,CF=GF,

-：BE=DC=CF,

:.DC=EG=BE=CF=GF,

:.ND=NCFD,NB=NEGB,4FEG=4EFG,

•；ND=20°,

:"D=ZCFD=NEFG=20°,ZEFG=NFEG=20°,

:ZB=ZEGB=40°,ZACF=40°,

ZA^180°-ZB-ZACF^100°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，对顶角相等，三角形内角和

定理，掌握知识点的应用是解题的关键.

题型三圆

1.(2025・湖北武汉•模拟预测)如图，在。。中半径。4,02,连接48,C为平面内一点，连接/C、BC,

ZOAC=30°,ZOCA=30°,连接CO并延长交48于点D

⑴求证：OC为。。的半径；

(2)若。5=1+6，CD=3+g,求。2的长度.

【答案】(1)见解析

⑵④

【分析】(1)根据等角对等边即可证明结论；

(2)过点。作于点£,则证明/8。。=30。，求出。。=CD—OC=2,则

DE=^OD=\,得到。£=百，求出BE=OB-OE=1,勾股定理即可求出。3即可.

【详解】(1)证明：•・•/CMC=30。，ZOCA=30°,

ZOAC=ZOCA,

：.AO=CO,

・；。/是。。的半径，

・•.OC为。。的半径；

(2)解：过点。作。08于点E,则/OED=/BED=90。，

•..在。O中半径O/_LO8,OA=0B,

：.ZBOA=90°,

.-.ZACB=-ZAOB=45°,NOAB=ZOBA=45°

2

ZOCB=ZACB-NACO=15°

­.OC=OB=AO,

NOCB=ZOBC=15°,

ZBOD=ZOCB+ZOBC=30°,

•••00=08=1+5CD=3+5

：.OD=CD-OC=2,

■.DE=-OD=1,

2

•••OE=yl0D2-DE2=V3，

:.BE=OB-OE=1,

•••DB=y/DE2+BE2=Vl2+12=V2

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、含30。角直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练

掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键.

2.（2025•湖北武汉•一模）如图，P4是。。的切线，A为切点，是直径，8c是弦，连接OP,PC,

BC//OP.

⑴求证：PC是。。的切线；

（2）连接/C,交0P于。点，连接AD,若BD〃CP,PD=2.

①求的长；

②直接写出的长.

【答案】（1）证明见解析

⑵①1②亚

【分析】（1）连接OC,由切线的性质定理可得乙期。=90。，由两直线平行同位角相等可得

NAOP=NOBC,由两直线平行内错角相等可得/COP=/。匿，由等边对等角可得/08C=/0C5,进而

可得N4OP=NCOP,再结合O/=OC,OP=OP,利用SAS可证得△CMP0AOCP,于是可得

ZPCO=ZPAO=9Q°,即。C,尸C,然后由切线的判定定理即可得出结论；

（2）①由8C〃OP,3D〃。尸可得四边形ADPC是平行四边形，于是可得8c=OP=2,由切线长定理可

得尸/=PC,再结合。4=OC,可得O尸垂直平分NC,则D4=OC,再结合。/=@,可知OD是△/BC

的中位线，由三角形的中位线定理可得由此即可求出的长；②由OP垂直平分/C可得

ZPDA=ZADO=90°,由直角三角形的两个锐角互余可得/尸/。+乙4尸。=90。，由（1）得/尸/。=90。,

则/尸4D+/CMZ）=90。，进而可得ZAPD=NCMD,由此可证得“P。SA。/。，于是可得上=上，即

AD2=ODPD,进而可得57而，由此即可求出的长.

【详解】（1）证明：如图，连接OC,

尸.•尸/是。。的切线,

ZPAO=90°,

•/BC//OP,

ZAOP=ZOBC,NCOP=ZOCB,

OB=OC,

NOBC=ZOCB,

AAOP=ZCOP,

又\Q=OC,OP=OP,

.•.△CMP经AOCP(SAS),

ZPCO=ZPAO=90°,

OCLPC,

••,oc是。。的半径，

；.PC是。。的切线；

(2)解：BC//DP,BD//CP,

，四边形BOPC是平行四边形，

.­.BC=DP=2,

■.■PA,PC是。。的切线，

PA=PC,

又•.•o/=oc,

•••。尸垂直平分/C,

DA=DC,

又•.Q=O3,

是△48C的中位线，

:.OD=-BC=-x2=l-

22

②垂直平分/C,

ZPDA=ZADO=90°,

:.ZPAD+ZAPD=9Q°,

由(1)得：/PAO=90°,

:.ZPAD+ZOAD=90°,

NAPD=ZOAD,

:.^APDS^OAD,

.PDAD

\4D~0D'

AD2=ODPD,

AD=yJOD-PD=VU2=V2.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质,

切线长定理，三角形的中位线定理，切线的判定定理，切线的性质定理，等边对等角，线段垂直平分线的

判定，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握

相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

3.(24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习)如图，。。是△ABC的外接圆，是。。的直径，点D为AB延

长线上的一点，连接C。，若NBCD=NA,

(1)求证：直线CD是。。的切线；

(2)^AC=2BC,AD=6,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析

⑵2

4

【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识,

熟练掌握圆的切线的判定是解题关键.

(1)连接0C,先根据圆周角定理可得N/C3=90。，从而可得乙4c。+/5。9=90。，再根据等腰三角形的

性质可得4co=4,则4。+/8co=90。，然后根据圆的切线的判定即可得证；

(2)先证出△2COSAC4。，根据相似三角形的性质可得05=3,8。=：,再根据线段的和差可得N2的

长，由此即可得.

【详解】(1)证明：如图，连接。C,

A

O

\\\

\\I

\\I//

CD

•••/5是oo的直径，

：.ZACB=90°f

：,ZACO+ZBCO=90°,

-OA=OC,

.•.NACO二/A,

：.ZA+ZBCO=90°,

"BCD=/A,

：.ZBCD+ZBCO=90°f

・・・NOCZ)=90。，即OC_LCQ,

又一。。是O。的半径，

・•・直线。。是O。的切线.

(2)解：在△5CQ和△C4。中,

JZBCD=ZA

[ZD=ZD'

・•・/\BCDs/\CAD,

BC_BDCD

'AC~CD~ADf

AC=2BC,AD=6,

BDCD

13

：.CD=3,BD=—CD=—,

22

39

/.AB=AD-BD=6——=—,

22

19

.•.0。的半径为彳/5=了.

24

4.（24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习）如图，45是OO的直径，点C、。在OO上，AD、BC交于点E,

且OD1BC,。过点E作即，于点?

【答案】（1）见解析

⑵

2

【分析】（1）连接NC,根据垂径定理可得而=6，利用圆周角定理得到/C/E=/E4E,再由A8是的

直径，可得到N/CB=90。，最后由角平分线的性质可得出结论；

（2）连接C。，设8coD交于点G,可设斯==2a，则代=JEF。+BF°=石a，可得8C=a+氐,

则CG=g2C=g（a+V5a），再求得

GE=也二l■a.再证明ANECsA。EG,最后由相似三角形的性质可得出结论.

2

【详解】（1）证明：连接/C,

BD=CD，

NCAE=ZFAE,

是的直径，

NAC,

•••EF±AB,

CE=EF；

(2)解：如图，连接CO,设8。,。〃交于点G,

根据BF=2E尸，可设EF=a,BF=2a,

则BE=y/EF2+BF2=y/5a-

结合(1)知CE=EF=a,

BC=a+45a,

则CG=ggC=g(a+W),

GE=CG—CE=；(a+\[5a)—a=~~a.

ZACB=900=ZCGD,

:.AC//OD,

:必AECSADEG,

.DEGE_V5-1

"14E~~CE~2

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟

知圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

5.(24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习)如图ZUBC中，ABC=90°,C。平分//C8交N8于点。，以

点。为圆心，为半径作。O.

A

⑴求证：。。与/C相切；

(2)若3C=6,/C=10,求。。的半径.

【答案】(1)证明过程见详解

(2)3

【分析】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，角平分线的性质定理，圆的切线的定义，过圆心作直线

的垂线是解决此类问题常添加的辅助线.

(1)过点。作。尸，。于点尸，，利用圆的切线的性质定理和角平分线的性质得到。尸=08,再利用圆的

切线的定义解答即可；

(2)利用切线长定理和勾股定理解答即可得出结论.

【详解】(1)证明：过点。作。尸，C4于点尸，如图,

ZABC=90°,08为半径作。。.

2C是。。的切线，

•;CO平分/4CB,OB1CB,OF1CA,

OF=OB,

•.•05是。。的半径，

尸为。。的半径，

圆心到直线AC的距离等于。。的半径，

.1/C是。。的切线；

(2)解：；8C、/C是。。的切线，BC=6,

CB=CF=6,

■.■AC=10,

AF=AC-CF=4,

Rt"8C中，4B=ylAC2-BC2=7102-62=8，

•.•RtA/O尸中，AO2=AF2+OF2,

即(8-OB)?=032+42,

:.OB=3,即。。的半径为3.

6.(新考向)如图，在△N8C中，AB=AC,。是的中点，N48C的平分线交/。于点£.点。在

的延长线上，以。为圆心，OE为半径的。。经过点3,C.

(2)设。。与的延长线交于点尸，M是CF的中点，的延长线与交于点N.求证：BN=BD.

【答案】(1)2

(2)见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相

关知识点是解题的关键.

(1)因为4B=/C,。是8C的中点，所以4D垂直平分3c.又AB=2杷,BD=5所以/区4。=30。,

ZABD=60,由于8E是2的平分线，所以NABE=NDBE=30。.从而NBED=60°,又OB=OE,得

到/08E=ZBED=60。，得出//8。=//8£1+/。2片=30。+60。=90。.设。。的半径为「，则08=r,

OA=2r,所以(26『+r=(24，解得厂=2.故G>O的半径为2.

(2)在Rtz\CD9中，M是CF的中点，所以MD=MC=ME.从而NMDC=NMCD,

ZMDF=ZMFD.由于NMFD=ZD8E,ZMDF=ZADN,所以NDBE=NADN,ZADN+ZBDN=90°,

ZDBE+ZBDN=90°,即2E_LND,又BE是的平分线，所以NBND=NBDN,故BN=BD.

【详解】(1)解：如图，连接。£,

AB=AC,。是8C的中点，

4D垂直平分8c.

AB=2^3，BD=5/3,

.BD_y/3_1

sin/5/Z)-——十——,

AD2百2

A/BAD=30。，

/ABD=90°-/BAD=60°,

•・•BE是的平分线，

ZABE=ZDBE=30°.

/BED=60°,

•・,OB=OE,

/./OBE=/BED=60°,

ZABO=/ABE+/OBE=300+60°=90°,

设OO的半径为乙则08=，OA=2rf

•・•AB2+OB2=AO2

.-.（2V3）2+r2=（2r）2,

解得r=2.

故OO的半径为2.

5

一

(2)证明：在Rt^CD厂中，〃是C尸的中点,

：.MD=MC=MF.

ZMDC=ZMCD,ZMDF=AMFD.

,/ZMFD=NDBE,ZMDF=ZADN,

/./DBE=NADN,

ZADN+ZBDN=90°,

:.NDBE+NBDN=90。,

BELND,

BE是的平分线,

4BND=/BDN,

BN=BD.

7.(新考向)如图，△/BC内接于OO,连结/。交CB于点。，交OO于点已知Nl+N2=90。.

(1)求证：tanZ1=——；

AC

⑵若CO=3,/C=4,求的长；

(3)若C/=C8,设。。的半径为心求△NBC的面积(用含:•的代数式表示).

【答案】(1)见解析

7

⑶(3+W

2

【分析】(1)先根据圆周角定理可得乙4匿=90。，再由同角的余角可得N/EC=N2,则Q)=CE,最后由

三角函数定义即可得结论；

12

(2)如图2,过点C作于根据勾股定理可得/£=5,由面积法得CM=M，由勾股定理得

915

EM=~,由等腰三角形的三线合一的性质得：DE=2EM=—最后由圆周角定理，对顶角相等，等角对

5o

等边即可解答；

(3)如图3,连接C。并延长交Z5于R连接08,先根据垂径定理得：ZAFO=ZBFO=90°,AF=BF,

根据三角形的内角和定理得：/DCE=/ACB,则筋=靛，ZUOB是等腰直角三角形，设4尸=%则

OF=a,由勾股定理和三角形的面积即可解答.

【详解】(1)证明：如图1,

图1

•・・力£是OO的直径,

.-.ZACE=90°f

Z1+ZAEC=90°f

vZl+Z2=90°,

/.ZAEC=Z2,

；,CD=CE,

CF

tanZl=—,

AC

八CD

•，.tan=--；

AC

(2)解：如图2,过点。作于

图2

•；CD=CE=3,AC=4fN4CE=90。,

AE=J32+4?=5，

••4.ASli匕=-2x3x4=-2x5CM，,

9

由勾股定理得：EM=

5

•；CD=CE,CMVDE,

/.DE=2EM=—

8

VAADB=Z2,NB=/E,Z2=Z£,

ZADB=ZB,

7

AB=AD=—；

(3)解：如图3,连接。。并延长交于R连接08,

B

图3

•；CA=CB,

'-CA=CB,/CAB=/CBA,

：.CFVAB,

/.ZAFO=ZBFO=90°,AF=BF,

由（2）知：/2=/E=/ADB=/CBA,

・•.ZDCE=ZACB,

-AB=BE^

："AOB=NEOB=9。。,

•；OA=OB,

.•・△408是等腰直角三角形，

NOAB=NOBA=45。,

在中，AF=BF,

：.OF=-AB=AF=BF,

设/尸=a,贝!JOF=a,

'-OA2=AF2+OF2,

•••r=a+a,

SABC=_4B-CF,

S^ABC=；X2Q(Q+〃)=Q2+即

了.(收+1产

-T22

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形

的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键.

8.(新考向)如图，尸为圆。外一点，PA、PB分别切圆。于A、B.连接尸O,交圆。于点。，延长尸

交圆。于点C.连接NC,BC.连接NO并延长，交BC于点E.

(1)证明：点。是9的中点.

(2)若点£是2C的中点，求/APC的度数.

【答案】(1)见解析

(2)30度

【分析】本题考查了圆的切线性质，垂径定理以及相关角度计算，解题的关键是熟练运用圆的切线性质和

垂径定理等知识进行推理和计算.

(1)利用切线长定理证明△4PC四△APC,从而得出4cp=48。尸，得到筋=而即可得结果；

(2)通过点£是BC中点推出/E_LBC,AB=AC,由(1)得△4PC之48尸C,AC=BC,ZUBC是等边

三角形，得到乙4c8=60。，再结合圆的性质和平行线性质，求出//PC的度数.

【详解】(1)证明：；尸工、尸8分别切圆。于A、B,

PA=PB,NAPC=NBPC.

又；PC=PC,

AAPC/BPC,

ZACP=NBCP

■■AD=BD^即点。是蕊的中点.

(2)•••点E是BC的中点

AELBC,

.：4&垂直平分8。，连接48,则=

:.AC=BC

，△/5C是等边三角形，

/.ZACB=60°

・..NBCP=NACP=上NACB=30。

2

VP4是圆。的切线，

・..PA±AE,

：.PA//BC

/./APC=/BCP=30。

9.（新考向）如图，点5在以4c为直径的OO上，点。在4C的延长线上，连接45、BC、BD,

ZCBD=/BAD.

FF4

⑵点尸是。8延长线上一点，过点尸作也，ND于点£,若寸=二，CD=2,求。。的半径.

DF5

【答案】（1）见解析

（2）8

【分析】（1）通过圆周角定理的推论得448c=90。，推得Z84D+NO8C=90。，结合题意即可求证；

ORFF4

（2）证得△DOgs△。尸£,可得£==设。。的半径为r,代入，解一元一次方程即可求解.

ODFD5

【详解】（1）证明：如图，连接08,

FBD

/.AABC=90°,/BAD+/OCB=90。，

：OC=OB,

ZOBC=ZOCB,

ZBAD+ZOBC=90°.

•・•ZCBD=ABAD,

:.ZCBD+ZOBC=90°f即NOB。=90。，

.♦.D5是。。的切线.

（2）解：•;EF上AD,

:"DEF=90。.

•・•由（1）得NOBD=/DEF=90。,ZD=ZD

ADOBsADFE,

.OBOP

••诟一而‘

.OB_FE_4

一历一耘—

/.5OB=40。.

设OO的半径为,，

：.OB=OC=r,OD=OC+CD=r+2,

5r=4（r+2）,

解得升=8,

AOO的半径为8.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质,

熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

题型四无刻度作图

1.（24-25九年级下•湖北武汉•阶段练习）如图是由小正方形组成的（7x7网格，每个小正方形的顶点叫做格

点.48C三点是格点，点尸在8c上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.（每个任务画线不超过3

条）

"I

⑴在图1中，0aABCD,再在40上画点E,使得。E=8P；

（2）在图2中，在线段月8上画点尸，使cos—8c尸=与；在线段NC上画点G,^AB2=AG-AC.

【答案】（1）图见详解；

（2）图见详解

【分析】（1）根据平行四边形的性质，取格点。，使得CD=4B,连接CD,再连接ND,然后连接3D,

交/C于一点O,连接尸。并延长交40于点E,得口48C。，点E即为所求；

（2）取格点生、耳，连接3鸟、AF2,交于点2,作射线C&交N2于点尸.点尸即为所求；取格点人、

K2,连接4长2,交NC于点G,点G即为所求作的.

【详解】（1）解：取格点。，使得0=48,连接C。，再连接4D,然后连接AD,交NC于一点。，连

接P。并延长交/。于点E,^nABCD,点E即为所求;

图1

理由：AB//CD,AB=CD,

四边形/BCD是平行四边形,

AD//BC,AD=BC,BO=DO,

NEDO=NPBO,

ZEOD=NPOB,

■.^EOD^POB(ASA),

ED=PB-,

（2）解：如图，取格点生、号,连接84、AF2,交于点2,作射线C2交42于点尸.点尸即为所求;

取格点4、4,连接&K2,交/C于点G,点G即为所求作的.

理由：在△4CG2和2^2多中,

BG2=E2F2

</LBF^E^=/CG?B,

BF2=CG2

:ABCG拌AEZBF?(SAS),

ZCBG2=ZBE2F2,

ZBE2F2+ZE2BF,

ZCBG2+ZE2BF2=ZE2BC=90°,

由网格特点可知，四边形45片外是矩形，

I是对角线的中点，即BD2=；BE?,

2222

■,-BE2=71+5=V26,BC=71+5=726-

，*容

CD2=、BD；+BC。=

二，3=£=疹=也

CD2V1305

2

二点尸即为求作的点;

由作法及图可知:

22

在RLHJ2K2中，H2I2=6,772K2=5,12K?=A/5+6=屈,

sinZH2I,K,=-^==,tan=-，

V61616

在RtA/Z^C中，也=6,CL1=5,AC=y]52+62=s/61>

sinABAC=4==,tanABAC=-

V61616

NH212K2=ABAC,

-ZBAC+ZCAI2=90°f

/H212K2+/CA12=90°,

••・△♦GA是直角三角形,

.-.Z^G/2=90°,

sinNHJ,K,=—=

222

AI261

；.AG=M

61

AG-AC=^^-x46l=25，

61

vAB2=52=25,

AB2AG-AC,

•••点G即为求作的点.

【点睛】本题考查格点作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质解直角三角形及勾股定理的应用、全

等三角形的性质和判定.熟知相关性质定理是正确解答此题的关键.

2.(2024・湖北武汉•模拟预测)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△NBC的顶点/,C均落在格

点上，点8在网格线上.

(1)线段NC的长等于；

(2)半圆。以为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图:

①画/A4c的角平分线/£；

②在线段上画点尸，使4P=/C.

【答案】⑴百

(2)见解析

【分析】本题考查勾股定理，无刻度直尺作图，中位线

(1)利用勾股定理求解；

(2)取2c中点。，连接0D与圆相交即为E,此时由中位线可得〃/C,再结合。£=。/即可得到

/E=NEAO=NEAC,即/A4c的角平分线；

(3)取2C与网格线的交点。，连接。。延长交。。于点E,连接ZE交5c于点G,连接BE,延长/C

交BE的延长线于尸，连接尸G延长尸G交于点P,点尸即为所求.

【详解】(1)AC=sll2+22=V5-

故答案为：V5;

(2)①如图，NE即为所求：

②如图，点尸即为所求:

3.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图是由小正方形组成的6x5网格，每个小正方形的顶点叫做格点.nABCD

的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程

用虚线表示.

图1图2

(1)在图1中，先画/尸〃CE交80于点G,交边CD于点F,再在C。上画点X,使得G2平分44GH；

(2)在图2中，先画A/C。的高/P,再分别在边N8和2c上画点M、N,使得跖V〃/C,且的V=/P.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)取边8与网格线的交点尸，连接/尸，即4F〃CE,取格点P,连接0P、GP,易证

A4BD金产区D（SSS）,进而证明△ABG金尸8G（SAS）,则ZAGB=ZPGB,即GP与CD的交点即为点H；

（2）取格点J、K,连接血交/。于点。，则点。是4D中点，连接CO交DK于点厂，由网格可知

4C=CD=5,进而得到COLN。，由因为。KL/C,则点/是A/CO高线的交点，连接力F并延长交CD

于点P,线段4尸即为A/C。的高；由A/CD的面积公式，可得/P=DK=3,取格点0、R,W.T,连接。尺

交延于连接叮交叱于点N,连接W即可.（由相似三角形可知，怒