平行线的判定与性质-2024-2025学年七年级数学下学期复习分类汇编

专题02平行线的判定与性质

题型概览

题型01平行线的判定

题型02利用平行线的性质求角度

题型03利用平行线的性质解决三角尺问题

题型04利用平行线的性质进行计算与证明

题型05利用平行线的性质探究角度之间的关系

敏型01平行线的判定

（23-24七年级下•北京•期中）

2.如图，®Zl=Z2；②N3=/4；③N8=/5；④N8CD+NO=180。；以上四个条件中

能判定AD//BC的有

（23-24七年级下•北京•期中）

3.如图，点E在。C的延长线上，请添加一个恰当的条件,使4B〃CD.

试卷第1页，共14页

（23-24七年级下•北京•期中）

4.如图，下列条件中，能判定的是（）

A.N4+NB=180。B./D=/DCE

C./B=/DCED.ZA=/BCD

（23-24七年级下•北京大兴•期中）

5.如图，/BAC=/BCA,/C平分求证：AD//BC.

利用平行线的性质求角度

（23-24七年级下•北京•期中）

6.//的两边分别平行于的两边，且//的度数比"8的度数的2倍少21。，则一工的

度数为.

（23-24七年级下•北京・期中）

7.如图，己知/D〃8C,NBED=132。，DB平分NADE,则为°.

（23-24七年级下•北京•期中）

8.如下图，直线a,6被直线c所截，若a〃b,Nl=45。，贝吐2=

试卷第2页，共14页

⑵-24七年级下•北京•期中）

9.已知：如图，AB//ED,C为ED上一点,CM平分NBCE,MC1CN,Zl=30°,求

（23-24七年级下•北京•期中）

10.光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生改变.如图，两束平

行的光线从烧杯底部斜射入水面，然后折射到空气中，由于折射率相同，射入空气后的两束

则N3=°,Z6=

利用平行线的性质解决三角尺问题

（23-24七年级下•北京首师大附属中学朝阳学校教育集团•期中）

11.一把直尺和一块三角板（含30。，60。角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分

别交于4,。两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E,尸两点，且/CEF=50。，那么

/24D的大小为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

（23-24七年级下•北京第三十五中学•期中）

试卷第3页，共14页

12.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论:

(1)Zl=Z2；(2)/3=/4；(3)/2+/4=90°；(4)Z4+Z5=180°

C.3D.4

（23-24七年级下•北京•期中）

13.如图，将直尺与30。角的三角尺叠放在一起，若/1=44。，贝。/2=_。.

（23-24七年级下•北京•期中）

14.在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线N8,8和一副直角三角尺”开展数学

活动.

图①图②图③

⑴如图①，小明把三角尺60。角的顶点G放在直线CD上，NF=90。.若4=2/2,贝U

Zl=°；

（2）如图②，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点£,G分别放在直线/氏8上，请用

等式表示ZAEF与NFGC之间满足的数量关系（不用证明）；

⑶在图②的基础上，小亮把三角尺60。角的顶点放在点尸处，即/尸尸。=60。.如图③，FM

平分NEEP交直线于点尸N平分NQPG交直线C。于点N.将含60。角的三角尺绕

着点厂转动，且使尸G始终在乙粉。的内部，请问/4MF+/CNF的值是否发生变化？若不

变，求出它的值；若变化，说明理由.

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败蔓04利用平行线的性质进行计算与证明

（23-24七年级下•北京・期中）

15.己知：如图，△4BC中，D,G为8C上的两点（不与3,C重合），连接AD,过点D

作DE〃/C交43于点£,过点G作NFGC=ZADC交NC于点F.

⑴依题意补全图形；

（2）请你判断ZEDA和/G”的数量关系，并加以证明.

（23-24七年级下•北京•期中）

16.完成下面的证明.

B

已知：如图，AC1BD,EFLBD,N/=N1.求证：EF平分NBED.

证明：・••NCIB。，EFLBD,

ZACB=90°,ZEFB=90°().

ZACB=ZEFB.

().

-.ZA=Z2.(两直线平行，同位角相等).

Z3=Z1.().

又；ZA=Z1,

:.EF平分/BED.

（23-24七年级下•北京•期中）

17.如图，已知，BE平分/4BD,DE平分/BDC,且NEBD+NEDB=90°.

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B

⑴求证：AB//CD；

(2)8是直线CD上一动点(不与点。重合)，BI平级NHBD.写出/E以与NAHD的数量

关系，并说明理由.

(23-24七年级下•北京东城•期中)

18.已知：AB//CD,E、G是N8上的点，F、〃是CD上的点，Zl=Z2.

(1)如图1,求证：EF//GH；

(2)如图2,过尸点作FMLG/7交G”延长线于点作NBM、ND7的•的角平分线交于点

N,EN交GH于点、P,求/N的度数.

(23-24七年级下•北京•期中)

19.已知/月。丫=21(0°＜々＜45。)，点人在射线0/上，点P在4。¥外部，PA//0Y,以

(1)如图1,当点〃与点。位于R4所在直线异侧时，ZA0Y的平分线与射线P4的交点为点

N.补全图形并直接写出直线ON与直线尸新的位置关系；

(2)当点〃与点。位于所在直线同侧时，射线尸赫与射线OY交于点3,点C在线段A4

的延长线上.

①如图2,若/尸平分/CMC,求证：BP平分NOBC；

②当时，直接写出a的度数并画出符合题意的图形.

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殿瑛04利用平行线的性质探究角度之间的关系

（23-24七年级下•北京•期中）

20.已知，直线48〃CD,点E为直线上一定点，直线EK交CD于点尸，FG平分

⑵点尸为射线即上一点，点/为直线4B上的一动点，连接过点P作尸NJ.PM交

直线8于点N.

①如图2,点尸在线段所上，若点M在点£左侧，求/BMP与/PNC的数量关系；

②点尸在线段E尸的延长线上，当点M在直线N8上运动时，的一边恰好与射线尸G

平行，直接写出此时/PNF的度数（用含a的式子表示）.

（23-24七年级下•北京•期中）

21.已知：直线"V，P0被线段A4截于48两点，且儿W〃尸。，点C是线段43上一定

点，。是直线上一动点，连接CD，过点C作CELCD交直线尸。于点£.

图1备用图

⑴若点。在射线NN上时，如图1所示.

①依题意，补全图形；

②请写出NNOC和/CE8的数量关系，并证明.

⑵若点。在射线上运动时，直接写出/NDC和/CE3的数量关系，不必证明.

（23-24七年级下•北京西城•期中）

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22.如图，已知a?_LCF,FB平分NDFE,AB//EF,CD//EF,有下列结论：①

2Z1-Z3=18O°；@2Z4-Z2=90°；③/I+2/2=180。；④2N1+N2=270。，结论正确的

有()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

(23-24七年级下,北京•期中)

23.如图，由线段/民AM,CM,CD组成的图形像Z，称为形R4MCD”.

(1)如图1,£形中，若AB〃CD,ZAMC=60°,则44+/C=°；

(2)如图2,连接Z形A4MCD中2,。两点，若/48O+/8DC=160。，ZAMC=a,试

猜想/.BAM与ZMCD的数量关系

(23-24七年级下•北京•期中)

24.已知直线。〃6,点8、C是直线6上的两个定点，点M、N是直线。上的两个动点,

备用图

(1)如图1,求证：ZCGN=ZNBC+NMCB；

(2)如图2,点/在直线a上，满足/48C=/ZC3=45。.4c马BN交于点、D,48与CM

交于点E,若N/EG-//DG=10°,且/CGN://EG=2:3,贝I|/2VBC=_。；

(3)射线BN、CM同时从如图2所示的位置开始转动，射线8N绕点B以5度/秒的速度逆时

试卷第8页，共14页

针转动，射线CM绕点C以3度/秒的速度顺时针转动.设转动时间为，秒（0</<32）.

①当/=_秒时，BN//CM；

②我们称“两条相交直线所成的四个角中，小于等于90度的角为两条直线的夹角”.设直线

与直线CM的夹角为々度，直线/C与直线3N的夹角为4度，当|a-q=5时，直接写

出转动时间t的值.

优选提升题

（23-24七年级下•北京•期中）

25.如图，直线a〃直线6,与N1相等的角是（）

Z5C.Z7D.N8

（23-24七年级下•北京西城区第四十四中学•期中）

26.如图，先在纸上画两条直线a,b,使。〃6,再将一块直角三角板平放在纸上，使其直

角顶点落在直线6上，若/2=50。，则N1的度数是（）

40°C.50°D.60°

（23-24七年级下•北京汇文中学•期中）

27.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角44=110。，第二次拐角

48=140。，第三次拐的角是/C,这时的道路CF恰好和第一次拐弯之前的道路/£平行,

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A.170°B.160°C.150°D.140°

（23-24七年级下•北京市中关村中学•期中）

28.如图，AB//CD,NDCE=130。，则的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

二、填空题

（23-24七年级下•北京•期中）

29.如图，点B,£在同一条直线上，添加一个条件,即可证明

AD//BC.

30.如图，4。=90。，AB//DE,则N1与N2满足.

31.如图，直线23〃CD,E为直线N2上一点，EH,EN分别交直线。于点

F,M,EH平分NAEM,MN1AB,垂足为点N,/CFH=a.

（填“>”或“=”或"V"），理由是

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（2）ZEMN=（用含a的式子表不）.

（23-24七年级下•北京•期中）

32.如图，AB//CD//EF,PSLGH于点、P,Zl=120°,则/2=

三、解答题

（23-24七年级下•北京•期中）

33.如图，AB1BD,CDLBD,NA=NCEF,以下是小明同学证明的推

理过程及理由，请你在横线上补充完整其推理过程或理由.

证明：vABLBD,CDLBD(已知)

ZABD=ZCDB=90°()

;.ZABD+NCDB=180°

ABH()()

•••NA=NCEF(已知)

AB//EF()

:.CD//EF()

(23-24七年级下•北京・期中)

34.请将下列证明过程补充完整：

如图，点、E、F、M、N分别在线段/3、AC.2c上，Zl+Z2=180°,N3=NB.

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c

求证：ACEB=ZNFB.

证明：vZ3=Z5（已知）

（_）（填推理的依据）

=ZBCE（_）（填推理的依据）

•••N1+22=180。（已知）

又•.•ZBJVF+22=180。（_）

Zl=ABNF（_）

ABCE=ZBNF（_）

.-.CE//NF（同位角相等，两直线平行）

ACEB=ZNFB（_）.

（23-24七年级下•北京•期中）

35.已知，如图，射线尸E分别与直线8相交于£,尸两点，乙用叫的平分

线与直线相交于点初,射线尸初交于点N,ZPFM=ZEMF,ZFMN=a.

⑴判断直线与CD的位置关系，并说明理由；

⑵在射线£4上取点G,线段"F上取点〃，使得NMGH=NPNF,依题意补全图

形并求NG即的度数（用含〃的式子表示）.

（23-24七年级下•北京•期中）

36.如图，AB//EF,CF平分//CD,ZFCD=35°,44=110。，求证：

EF||CD.

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AB

(23-24七年级下•北京朝阳•期中)

37.已知点M、N分别是/3、CD上的两点，点G在/3、CD之

间，连接MG、NG.

(1)如图①，若点P是。。下方一点，MG平分ZBMP,ND平分/GNP,已知

ZBMG=30°,求ZMGN+NMPN的度数；

(2)如图②，若点£是N3上方一点，连接EN、EN,且GW的延长线叔平分

NAME,NE平分NCNG,2AMEN+AMGN=105°,求N/Affi'的度数.

(23-24七年级下•北京•期中)

38.如图，AB//CD,AF交BD于点、F,NCDE=ZBAF.

(1)求证：DE//AF；

⑵若448尸=100。，ZADB=50°,NCDE=1Q。,求乙必尸的度数.

(23-24七年级下•北京•期中)

39.已知，ZABC=/BCD=65°,点£在直线8C的右侧，NBEC=75°.

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(1)如图①，若NOCE=10。，则/C8E=_。；

(2)如图②，若/CBE=65°,点尸为平面内一点，且NDCF=n/ECF,点G在/ABE

内部，使得/7左，设NCBG=m。.

①当点尸在/DCE内部，且〃=1时，请在图②中补全图形，并求机的值；

②若〃，机都为正整数且1<*<24,直接写出他的所有可能取值.

试卷第14页，共14页

1.ZABD=ND（答案不唯一）

【分析】本题主要考查平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

根据平行线的判定定理可直接进行求解.

【详解】若添力口442。=可由“内错角相等，两直线平行''判定/3〃的）;

若添加/48E+N8即=180。，可由“同旁内角互补，两直线平行”判定AB〃矶）；

若添加乙45£=/DEC,可由“同位角相等，两直线平行”判定/3〃包》.

•••可以添加的条件为ZABD=ND或NABE+ABED=180。或NABE=NDEC.

故答案为：NABD=ND（答案不唯一）.

2.①④##④①

【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：®vZl=Z2；

AD//BC

@v/3=/4；

AB//CD

（3）vNB=N5；

AB//CD

（4）vN8CD+ND=180°

AD//BC

能判定的有①④

故答案为：①④.

3./3=N4（答案不唯一）

【分析】本题考查了平行线的判定.熟练掌握平行线的判定是解题的关键.

根据平行线的判定求解作答即可.

【详解】解：由题意知，•・•/3=/4,

.-.AB//CD,

故答案为：/3=/4（答案不唯一）.

4.C

【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直

线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键.

【详解】解：A、由4+4=180。，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到4D〃8C,不

答案第1页，共32页

能得到不符合题意；

B、由/D=NDCE,可以根据内错角相等，两直线平行得到4D〃8C,不能得到

AB//CD,不符合题意；

C、由4=可以由同位角相等，两直线平行得到符合题意；

D、由=不能得到不符合题意；

故选：C.

5.证明见解析

【分析】本题考查了平行线的判定，根据角平分线的定义，证明/。/。=/2已，即可解答,

熟知“内错角相等，两直线平行”，是解题的关键.

【详解】证明：•・•/C平分

ABAC=ADAC.

■：ABAC=ZBCA,

ZDAC=NBCA,

.-.AD//BC.

6.21。或113。

【分析】本题考查平行线的性质，分两种情况，画出图形，根据平行线的性质结合//的度

数比的度数的2倍少21。，列出方程进行求解即可.

【详解】解：如图①，AC//BE,AD//BF,

N4=ZDGE,NB=NDGE,

：■NA=NB,

设NA=NB=x°,

■■x=2龙-21,

二x=21,

■■■ZA=2l°；

如图②，AK//BM,AH//BL,

AB=AAKL,N4+ZAKL=180°,

.-.ZA+ZB=180°,

设4B=y。，

ZA=2y°-21°,

.1.y+2y-21=180,

答案第2页，共32页

Q=67。，

.,.//=2x67°-21°=113°,

.■.^4的度数是21。或113。.

故答案为：21。或113。.

①②

7.24

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质得出乙=48。,

根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解.

【详解】解：AD//BC,NBED=132。,

ZADE=180°-/BED=180°-132°=48°,

•:DB平分NADE,

；.NADB=LNADE=24°,

2

•••AD//BC,

■■■ZB=ZADB=24°,

故答案为：24.

8.45

【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等，两条交叉直线的对顶角相等，先根据图形得

到对顶角相等，再根据两直线平行内错角相等，可得到结果，掌握对顶角相等是解题的关键.

【详解】解：由图可得4的对顶角和N2的对顶角互为内错角，

a//b,

・••/I的对顶角和N2的对顶角互为内错角，并且相等，

・对顶角相等，

贝ijZ2=Z1=45°,

故答案为：45.

9.60°

【分析】本题考查利用平行线的性质求角度，与角平分线有关的运算.熟练掌握两直线平行，

答案第3页，共32页

内错角相等是解题的关键.

首先求出/2=90。-/1=60。，然后根据角平分线的概念得到NBCE=2/2=120。，进而利

用平行线的性质求解即可.

【详解】解：如图所示，

-MC1CN

.-.Zl+Z2=90°

vZl=30°

・・・/2=90。-/1=60。

■:CM斗分乙BCE

ZSCE=2Z2=120°

ZBCD=60°

•・•AB//ED

："B=/BCD=60°.

10.4558

【分析】本题考查了平行线的判定与性质、同位角以及同旁内角，解题的关键是：①能够

找出一个角的同位角以及同旁内角；②熟悉各平行线的性质.

根据平行线的性质即可求解.

【详解】解：如图，

)空气小五o/T

AC//BD,ZA=A5°,

Z3=Z1=45°,

■■CD//EF,

答案第4页，共32页

.•22+45=180°,

.­.Z5=180°-122°=58°,

■：CE//DF,

.­.Z6=Z5=58°,

故答案为：45；58.

11.A

【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平行线的性质得出=b=50。,

然后再求出结果即可.

【详解】解：：EF//AD,ZCEF=50°,

.-.ZDAE=ZCEF=50°,

ABAC=60°,

ZBAD=ABAC-ADAC=60°-50°=10°.

故选：A.

12.D

【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于180。，邻补角的定义，熟记性质与概念并准

确识图是解题的关键.

根据平行线的性质，平角等于180。对各小题进行验证即可得解.

【详解】解：•.,纸条的两边互相平行，

Zl=Z2,/3=/4.故（1）（2）正确：

华三角板是直角三角板，

.­.Z2+Z4=180°-90°=90°.故（3）正确；

•■•Z3+Z5=180°.

二/4+/5=180。，故（4）正确，

综上所述，正确的个数是4.

故选：D.

13.76

【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，平行线的性质，根据/6吹=60。+/1、

E尸〃C£）即可求解.

【详解】解：如图所示：

答案第5页，共32页

30°

由题意得：ZGHF=60°+Zl=104°

•：EF//CD

Z2=180°-ZGHF=76°

故答案为：76

14.(1)80°

(2)NAEF+NFGC=90。

⑶不变，75。

【分析】本题考查平行线性质与判定，解题关键是熟练掌握并灵活运用平行线的性质.

(1)根据两直线平行，同位角相等证出-2=/EG。，即/1=2NEG。，又因为

ZFGE=60°,得到/l+/EGD=120。，再等量代换，得出NEGD=40。，即可解答；

(2)过点尸作尸〃〃/8,根据两直线平行，内错角相等即可解答，也是平行线+折线(一

个折点)模型问题；

(3)由(2)方法二证明+=设/3=/4=a,再根据共顶点的60。,

90。角，用含。的式子表示出/尸网=60。-&,Z2=15°+6Z,再根据=+

即可解答.

【详解】(1)如图①•••48〃CD,

:.N2=NEGD,

N1=2Z2,

Z1=2ZEGD,

•••ZFGE=60°,

.-.Zl+NEGD=180°-60°=120°,

2ZEGD+ZEGD=120°,即ZEGD=40°,

Zl=2NEGD=80°.

故答案为：80；

(2)过点尸作月

•••ZAEF=Zl,

答案第6页，共32页

AEB

图②

•・•AB//CD,

:.FM〃CD,

・•・/FGC=Z2,

vZl+Z2=90°,

：.AAEF+ZFGC=90°.

故答案为：ZAEF+ZFGC=90°；

（3）不变，ZAMF+ZCNF=15°,

理由如下：

♦・・FN、枚分另Ij平分N。尸G、/EFP,

・・.N0PG=2N3=2N4,/EFP=2/1=2/2,

设N3=N4=a,

•：ZQFP=60°,

ZPFN=60°-a,/P尸G=60。—2a,

•・•ZEFG=90°,

ZEFP=2Z1=/EFG-ZPFG=90°-（60°—2a）=30。+2a,

/l=/2=150+a,

.•.NA/FN=/7W+/2=（60。-°）+（15。+戊）=75。，

由②方法可得ZAMF+ZFNC=ZMFN=75°,

答案第7页，共32页

即乙4MF+/CNF=75°.

15.（1）详见解析

（2）NEDA=NGFC,详见解析

【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定

与性质成为解题的关键.

（1）根据平行线的定义解答即可；

（2）由。£C根据平行线的性质得到=由=可得

AD//FG,则/GFC=/"4C,最后根据等量代换即可解答.

【详解】（1）解：如图即为所求.

证明如下：

•；DE〃AC（已知），

.-.ZEDA=ZDAC（两直线平行，内错角相等），

ZFGC=ZADC（已知），

-.AD//FG（同位角相等，两直线平行），

.-.ZGFC=ZDAC（两直线平行，同位角相等），

；.NEDA=NGFC（等量代换）.

16.垂直的定义；EF〃AC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；

【分析】本题考查了垂直、平行线的判定与性质、角平分线，熟练掌握平行线的判定与性质

是解题关键.先根据垂直的定义可得N/C5=90。，NEFB=9Q°,仄而可得ZACB=NEFB,

再根据平行线的判定可得取〃NC,根据平行线的性质可得44=N2,Z3=Z1,然后根据

等量代换可得/2=/3,最后根据角平分线的定义即可得证.

【详解】证明：•・•/C/AD,EF1BD,

.-.ZACB=90°,ZEFB=90°（垂直的定义）.

；.NACB=NEFB.

答案第8页，共32页

・•.EF〃AC(同位角相等，两直线平行).

・•.N/=N2.(两直线平行，同位角相等).

/3=/1.(两直线平行，内错角相等).

又•••ZA=Zl,

:.EF平分NBED.

故答案为：垂直的定义；EF〃AC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等;

17.⑴见解析

(2)ABHD=2NEBI或ZBHD=180°-2ZEBI,见解析

【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是

解题的关键.

(1)结合角平分线的定义以及/E8D+/ED8=90。，则N480+N30C=2x90o=180。，故

同旁内角互补，两直线平行，即可作答.

(2)先得出再进行分类讨论，即点”在点。的左边时或点〃在点。的右

边时，以及运用数形结合思想，且结合角的和差运算，进行列式计算，即可作答.

【详解】(1)证明：rBE平分//AD,DE平分/BDC,

ZABD=2ZEBD,ZBDC=2NBDE,

•:NEBD+NEDB=90°,

ZABD+ZBDC=2x90°=180°,

.-.AB//CD；

(2)解：•••BE平分

•••/ABD=2ZEBD,

■■BI平分NHBD.

:"HBD=1A1BD,

如图1,点〃在点。的左边时，

答案第9页，共32页

BB

ZABH=/ABD-/HBD,

•••/ABH=2/EBI,

•・•AB//CD,

・•・/BHD=/ABH,

・•・ABHD=2ZEBI,

如图2,点H在点。的右边时，ZABH=ZABD+ZHBD,

/EBI=ZEBD+ZIBD,

・•・/ABH=2/EBI,

•・•AB//CD,

・•・/BHD=1800—NABH,

：./BHD=18G0—2/EBI,

综上所述，/BHD=2/EBI,或/BHD=\80。-2/EBI.

18.(1)证明见解析

(2)45°

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：

(1)由平行线的性质得N1=N3,再由内错角相等得出斯〃G7/；

(2)过点、N作NK〃CD,则KV〃CQ〃ZB,由平行线的性质得到/AWE=/4,Z6=Z7,

设N4=x,=y,由角平分线的定义得至[]NEAK=N5=N4=x,N6=N8=N7=y,再由平行

线的性质得到/比口=180。-2x；证明得至Ij/£FM=9O。，则180。-2x+2尸90。，可得

x-j7=45°,贝|/瓦\/=/£7\区_/6=%_、=45。.

【详解】(1)证明：・.・/5〃c。，

/.Z2=Z3,

又•:N1=N2,

/./1=/3,

EF//GH；

答案第10页，共32页

(2)解；如图，过点N作语〃CO,

•・.AB//CD,

KN//CD//AB,

ZKNE=Z4,Z6=Z7,

AEGB

设/4=x,N7=y,

•・・EN、FN分别平分/BEF、ZDFM,

:./ENK=N5=/4=x,/6=N8=/7=y,

又♦:AB//CD,

ZEFD=180°-(Z4+Z5)=180°-2x,

又rFM1GH,EF//GH,

・•・FMLEF

ZEFM=90°,

/.180°-2x+2^=90°,

:.x-y=45°,

ZENF=ZENK-Z6=x-y=45°,

19.(1)作图见解析，ON//PM

(2)①证明见解析；②30。，作图见解析

【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及性质，

(1)补全图形如图1所示，此时ON〃尸“，由ON平分zxoy,且NXOy=2a,可得

2NOA=2N0Y=a,由尸4〃。丫，可得NANO=NNOY=a=NP,即可得证；

(2)①由尸4〃。丫，得/O/P=ZXOy=2a,ZOBP=ZAPM=a,ZOBC=ZPAC,由/P

平分/CMC,得NPAC=NO4P=2a=NOBC,再由NPBC=NOBC-NOBP,可得结论；

答案第11页，共32页

②由尸/〃。y,可得/P/M=NXOY=2a,过M点作P/〃肱V,得

ZAMN=ZPAM=2a,ZNMB=ZP=a,然后由ZAMN+NNMB=NBMA,可得出结论;

解题的关键是熟知角平分线的定义和性质.

【详解】（1）解：补全图形如图1所示，此时ON〃尸”，

理由如下：

•••ON平分zxoy,且“oy=2c,

：.ZNOA=ZNOY=a,

■：PA//OY,

ZANO=ZNOY=a,

•••Z.P-a,

："P=/ANO=a,

.-.ON//PM；

X

^ZOAP=ZXOY,ZOBP=ZAPM,ZOBC=APAC,

-ZXOY=2a,ZAPM=a,

・•・Z.OAP=2a,AOBP=a,

•・•/尸平分/CMC,

・•・/PAC=ZOAP=2a,

:.Z.OBC=2a,

・•・4PBe=ZOBC-ZOBP=2a—a=a,

ZPBC=ZOBP,

:・BP平分40BC；

②解：如图2,

-PA//OY,

ZPAM=ZXOY=2a,

答案第12页，共32页

-PMVOX,AP=a,

ZBMA=90°,

过〃点作

.・"AMN=/PAM=2a,ZNMB=AP=a,

-AAMN+ANMB=ZBMA,

2a+a=90°,

图2

20.(1)55

(y(y

⑵①/PNC-/BMP=90。,②一万或万

【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线.熟练掌握平行线的判定与性质、角

平分线，并分类讨论是解题的关键.

(1)结合题目条件，求出乙D尸K=110。，继而得解；

(2)①过点P作/则〃尸。，由平行线的性质及角的关系得到

/PNC-/BMP=90°；

②分尸N〃尸G和尸M〃尸G两种情况，画图求解即可；

【详解】(1)•••AB//CD

：.ZKFC=ZFEA=a,

■,-a=70°,

/,KFC=70°,

.•^£>7^=180°-70°=110°,

•：FG平分/DFK,

.-.ZGFK=-ZDFK=55°,

2

故答案为:55；

(2)①过点P作如图，

答案第13页，共32页

则AB//CD//PQ

ZAMP+ZMPQ=180°,ZQPM=乙BMP,

-PN1PM,

・•.AMPN=90°,

即NMPQ+/aW=90。，

：.AQPN=90°-ZQPM=90°-/BMP,

•・•ZPNC+ZNPQ=180°f

・•・/PNC+(90°-/BMP)=180°,

"PNC—/BMP=90。，

②当尸N〃尸G时，如图，

•・•AB//CD,

・•・ZCFK=ZAEF=a,

：.ADFK=\^0-a,

♦：FG平分/DFK

ZDFG=-ZDFK=90°--

22

-PN//FG,

ZPNF=ZGFD=90°--,

2

当9〃方G时，如图所示，

答案第14页，共32页

Ri

AB

CN~TVD

KG

•・•AB//CD,

ZCFK=ZAEF=a,

ZNFP=ZDFK=180°-cr,

♦：FG平分NDFK

1a

・•.ZKFG=-ZDFK=90°——

22

-PM//FG

ZKPM=ZKFG=90°--,

2

•:PNIPM,

・•.ZNPF=90°-ZKPM=-

2

ZPNF=180°-ZNPF-ZNFP

=1800---(1800-o<)

217

a

故4NF的度数为90。-葭或

21.(1)①见解析；②NNDC-ZCEB=90°,证明见解析

(2)ZNDC-NCEB=90°或ZNDC+NCEB=90°或ZCEB-ZNDC=90°

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义：

(1)①根据题意作图即可；②过点C作C尸〃则C/〃P。〃肱V,由平行线的性质

得到/1+/3=180。，N2=/4,由垂直的定义得到/DCE=/3+/4=90。，贝U

Zl-Z2=90°,ZNDC-ZCEB=90°；

(2)分解析图中三种情况，根据平行线的性质和垂直的定义讨论求解即可.

【详解】⑴解：①如图所示，即为所求；

答案第15页，共32页

@ZNDC-ZCEB=900,证明如下：

过点。作C尸〃MN.

-MN//CF,MN//PQ,

CF//PQ//MN,

Zl+Z3=180°,/2=/4,

-CDLCE,

ZZ)CE=Z3+Z4=90°,

.•.180°-Zl+Z2=90°,

Zl-Z2=90°,即—/C£B=90。；

(2)解：如图所示，当点£在点5右边时,

同(1)②可得/初C—/C£5=90。

如图所示，当点£在点5左侧时，过点。作C"〃"乂，则C"〃MN〃。尸

:・NNDC=/DCH,ZCEB=ZHCE,

-CEVCD,

:.ZDCE=ZDCH+ZHCE=90°,

；"NDC+/CEB=9。。；

如图所示，当点E在点8右侧时，

同理可得ZDCE=ZNDC+/CBQ=90,

・・・NCEQ=1800-NCEB,

・•.ZNDC+180°-ZCEB=90,

；"CEB—/NDC=9G0.

答案第16页，共32页

DA

PBEQ

综上所述，NNDC-NCEB=90°或ZNDC+NCEB=90°或NCEB-ZNDC=90°.

22.B

【分析】本题主要考查了角平分线、垂线、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是

解题关键.延长跖至“，由角平分线的定义可得/4=/5,结合平行线的性质可得

Zl+Z5=180°,/l=/4+/6=N5+N6,Z3=Z6,易得2N1-N3=180°,故结论①正确;

根据田J.ZF可得N2+N3=90。，根据平行线的性质可得/3=180。-2/4,进而证明

2Z4-Z2=90°,故结论②正确；证明易得Nl+/7+N2=180°,结合/2片/7,

可知/1+2/2W180。，故结论③不正确；由/1+/5=180。，Z2+Z3=90°,可得

/1+/5+/2+/3=270。，再结合/l=N8FH=/4+N6=/5+N3,可证明

2Z1+Z2=27O°,故结论④正确.

【详解】解：如下图，延长所至“，

•­•FB平分ZDFE,

Z4=Z5,

•­•AB//EF,

,•.Z1+Z5=18O°,Z1=ZSW=Z4+Z6=Z5+Z6,

,­,Z5=Z1-Z6,

••,Z1+Z1-Z6=2/1-/6=180°,

■.-CD//EF,

Z3=Z6,

••.2/1-/3=180。，故结论①正确；

■：BDX.CF,

.­,Z2+Z3=90°,

答案第17页，共32页

•：CD//EF,

.-.Z3=180°-ZDFE=180°-2/4,

.-.Z2+Z3=Z2+180°-2Z4=90°,

.­,2Z4-Z2=90°,故结论②正确；

vAB//EF,CD//EF,

AB//CD,

.­,Zl+Z7+Z2=180°,

/2w/7,

.•.N1+2/2*180。,故结论③不正确;

•1•Zl+Z5=180o,Z2+Z3=90°,

.­.Z1+Z5+Z2+Z3-27O0,

又Nl=NBFH=N4+N6=/5+N3,

.•,2Z1+Z2=27O°,故结论④正确.

综上所述，结论正确的有①②④.

故选：B.

23.60NBAM+ZMCD=200+a

【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系：

（1）作则MT〃/B〃CD,根据两直线平行、内错角相等，可得乙4=

NC=NCMT,由此可解；

（2）作NK〃CZ）交2。于点K,根据两直线平行、同位角相等，可得NBKA=NBDC,进

而可得/R4K=20。，同（1）oTiiEZKAM+ZMCD=ZAMC=a,再利用角的和差关系即可

得出答案.

【详解】解：（1）如图，作

MT//AB//CD,

NN=ZAMT,ZC=ZCMT,

：.ZA+ZC=ZAMT+ZCMT=AAMC=60°,

答案第18页，共32页

故答案为：60；

（2）如图，作AK〃CD交BD于点K,

ZBKA=ZBDC,

•・•ZABD+ZBDC=160°,

ZBKA+ZBDC=160°,

ZBAK=180°-ZBKA-ZBDC=20°,

同(1)可得/口"+/MCZ)=Z^MC=a,

/./BAK+/KAM+ZMCD=20。+a,

即/BAM+ZMCD=20。+a,

故答案为：ZBAM+ZMCD=200+a.

24.(1)见解析

(2)20°

「、心"30八15f5

(3)①②"彳或％=5

OLL

【分析】（1）作。〃C,可得ZNGH=ZMNG=ZNBC,NHGC=NMCB,根据

NCGN=ZNGH+ZHGC即可求证；

（2）设NCGN=2x,NAEG=3x,可得4DG=3x-10。，根据题意得

3x-10°=ZNBC+45。①3x=45。+NMCB②2x=ZNBC+NMCB③,即可求解；

（3）①根据题意画出对应图形，根据/冲尸+/尸3。+/河'。2+/河。2=180。即可求解；

②根据题意画出对应图形，可得tz=180。-AABC-AMCM'-NMCB=135。-3/-ZMCB,

0=18Q°-N4CB-ZNBN'-ZNBC=135。-5t-ZNBC,据此即可求解；

【详解】（1）证明：作。〃c,如图所示：

•：a//b,

.■.a//c//b

答案第19页，共32页

ANGH=ZMNG=/NBC,ZHGC=/MCB,

•・•ZCGN=ANGH+ZHGC

•••/CGN=ANBC+ZMCB

(2)解："CGN=2x,/AEG=3x,

-ZAEG-ZADG=10°

.--ZADG=3x-10°

由(1)可知：ZADG=ZNBC+ZACB=ZNBC+45°

.•.3x-10°=Z2VSC+45°®

ZAEG=/ABC+AMCB=45°+ZMCB

.-.3x=45°+ZMCB®

ZCGN=/NBC+/MCB

・•.2x=/NB