一元一次不等式组（知识解读+达标检测）解析版

第03讲一元一次不等式组

题型归纳__________________________________________

【题型1一元一次不等式组的定义】

【题型2解一元一次不等式组】

【题型3一元一次不等式组的整数解】

【题型4一元一次不等式组的应用-盈不足问题】

【题型5一元一次不等式组的应用-方案问题】

基础知识知识梳理理清教材

考点1:一元一次不等式组的定义

一般地，由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。

题型分类深度剖析,

【题型1一元一次不等式组的定义】

【典例11（2022•丰顺县校级开学）下列不等式组为一元一次不等式组的是（）

A.卜>一3B」X+1>0^x-2>0口/3x-2>0

x<2[y-2<0(x-2)(x+3)>0,x+l>y+l

【答案】4

【解答】解：A.是一元一次不等式组，故本选项符合题意；

B.是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；

C.是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；

D.是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；

故选:A.

【变式1-11（2022春•高新区校级月考）下列不等式组是一元一次不等式组的是（）

A{x-y>0xg>.xC（3x-2>0f3x+2y=0

.x+y<0SxWdx-l[（x-2）（x+3）>0[x>-y

【答案】B

【解答】解：A、是二元一次不等式组，故本选项不符合题意；

8、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；

C、是一元二次不等式组，故本选项不符合题意；

D,是二元一次不等式组，故本选项不符合题意；

故选：B.

【变式1-2]（2022春•磁县期末）下列选项中是一元一次不等式组的是（)

2

A（x-y>0[x-x>0rfy+2>0

A.<D.<L.<U.

.y+z>0x+l<0x+y<0

【答案】D

【解答】解：A、含有三个未知数，不符合题意；

B、未知数的最高次数是2,不符合题意；

C、含有两个未知数，不符合题意；

D,符合•元一次不等式组的定义，符合题意；

故选：。

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考点2：一元一次不等式组的解集

不等式组在数轴上表示解集口诀

（0<Q<b）

x>a

)x>b大大取大

x>b0ab

x<a

x<a小小取小

x<b0a

<

r

x>a

a<x<b大小小大，取中间

x<b0ab

k

x<a

_LX无解大大小小，取不到

<0ab

x>b

<

考点3：解一元一次不等式组的步骤:

（1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解;

（2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分;

（3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。

题型分类深度剖析

【题型2解一元一次不等式组】

【典例2】（2023秋•鹿城区校级期中）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集.

।।।।：।__।।।>

-4-3-2-101234

【答案】数轴见解答.

r3x-l>2(x-1)①

【解答】解:

x-1〈等②

解不等式①得：X>-1,

解不等式②得：X<3,

.•.原不等式组的解集为：

.♦.该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:

-1——1——1-d_*~1——1-6—

-4-3-2-101234

2x-3<x+2

【变式2-1］（2023秋•大兴区期中）解不等式组：2X+3、5

2-1>7

【答案】1C尤W5.

【解答】解：，

由①得：尤W5,

由②得：尤>1,

则不等式组的解集为l<x<5.

‘2x+l>3x-l①

【变式2-2］（2023秋•海曙区期中）解不等式组及并将其解集表示在数轴

号-l<x②

上.

।।।।।।।।।।।.

-5-4-3-2-1012345

【答案】-4<x<2,数轴见解答.

【解答】解：解不等式①得：x<2,

解不等式②得：彳>-4,

.•.原不等式组的解集为：-4〈尤<2,

...该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

-5-4-3-2-]

【变式2-3](2023春•兴义市校级期末)求下列不等式组的解集:

3x>x+6(2x-l<5-2(x-1)

【答案】(1)3<X<12.;

3

(2)0Vx<2.

【解答】解：(1)由3x>x+6得：x>3,

由Ax<-x+5得：

23

则不等式组的解集为3Vx<世；

3

(2)由2x-1<5-2(x-1)得：x<2,

由,3+5x.〉i得:%>。，

3

则不等式组的解集为0<x<2.

【题型3一元一次不等式组的整数解】

'2x+3>0

【典例3】(2022秋•北海期末)解不等式组x+5x->，把它的解集在是数轴上表示出

~32

来，并写出不等式组的非负整数解.

【答案】-34X<4,在数轴上表示见解析，0,1,2,3.

12x+3》0①

【解答】解：,x+5x

〉1②‘

32

由①解得：x〉-|，

由②解得：x<4,

所以，不等式组的解集为-/4xV4,

将解集在数轴上表示出来如下：

—I---1-----1—1_I--1----1---1----!-----Q-1------1->

-4-3-2-10123456

故不等式组的非负整数解为：0,1,2,3.

【变式3-1］（2022秋•来宾期末）解不等式组：,并指出它的所有的非

2x+5>-(x+1)

负整数解.

【答案】-2<x<5,0,1,2,3,4.

【解答】解：俨M：x+1①

2x+5>-（x+1）②

解不等式①，得尤<5,

解不等式②，得x>-2,

所以不等式组的解集是-2Vx<5,

将该不等式组的解集在数轴上表示如图1所示

-3-2-10123456

图1

由数轴可知，它的所有的非负整数解为0,1,2,3,4.

，5x-2>3（x+l）

【变式3-2］（2022秋•鹤城区校级期末）对于不等式组（1

（1）求这个不等式组的解集，并在数轴上表示出来;

（2）写出这个不等式组的整数解.

【答案】（1）王■<xW4.见数轴；（2）3,4.

2

【解答】解：把原不等式组简化为,

由①得

2

由②得xW4,

解得这个不等式组的解集为5〈尤W4.

在数轴上表示：一5一4—3—2—1012345

（2）这个不等式组的整数解是：3,4.

2x<x+2

【变式3-3］（2023秋•朝阳区校级期中）解不等式组|一，并写出其所有整数解.

【答案】一5Wx<2；x=~2,-1,0,1.

2

2x<x+2①

【解答】解：\

x<-|-(1+x)②

由①得：x<2,

由②得：x2-A,

2

故不等式组的解集是-$Wx<2,

2

它的所有整数解有x=-2,-1,0,1.

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考点3：一元一次不等式组的应用

步骤如下：

(1)审：审清题意，找出已知量和未知量；

(2)设：设出适当的未知数(只能设一个未知数)；

(3)找：找出反映题目数量关系的不等关系；

(4)歹！J：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组；

(5)解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集；

(6)写出答案(包括单位名称)。

题型分类深度剖析,

【题型4一元一次不等式组的应用-盈不足问题】

【典例4】(2022春•郸都区期末)一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住,

每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住.

(1)用含x的代数式表示女生人数.

(2)根据题意，列出关于尤的不等式组，并求不等式组的解集.

(3)根据(2)的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1):.一群女生住x间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，

女生人数为(4x+18)(人).

‘4x+18<6x

（2）依题意得:

4x+18>6(x-l)

解得：9<x<12.

（3）由（2）知9<尤<12,

•・”为正整数，

/.x=10或x=ll.

当尤=10时，女生人数为4x+18=58（人）；

当尤=11时，女生人数为4x+18=62（人）.

答：可能有10间宿舍，女生58人；或者有11间宿舍，女生62人.

【变式4-1］（2023春•盐山县期末）安排学生住宿，若每间住4人，则还有17人无房可住;

若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为9或10或11.

【答案】9或10或11.

【解答】解：设共有无间宿舍，则共有（4x+17）个学生，

依题意得：［4X+17>6（X-1）,

L4X+17<6X

解得:1Z-<X<23.

22

又为正整数，

.'.x=9或10或11.

故答案为：9或10或11.

【变式4-2］（2022春•平潭县期末）把一些书分给几名同学，如果每人分4本，那么余9本;

如果前面的每名同学分6本，那么最后一人就分得不超过2本，则这些书有37本.

【答案】37本.

【解答】解：设共有尤名同学分书，则这批书共有（4x+9）本，

依题意，得：e+9>6—1）,

［4x+946（x-l）+2

解得：也W尤〈叵，

22

又「x为正整数，

；.4x+9=37.

.•.这些书有37本.

故答案为：37本.

【变式4-3］（2023春•宜阳县期末）某校有若干女生住校，若每个房间住4人，则还剩20

人未住下；若每个房间住8人，则仅有一间房未住满，求该校女生宿舍的房间数.（提示：

用不等式组求解）

【答案】该校女生宿舍的房间数为6.

【解答】解：设该校有x间女生宿舍，则有女生（4x+20）人，

依题意得：［4X+20>8（X-1）,

4x+20<8x

解这个不等式组得：5Vx<7,

为整数，

•・元=6,

答：该校女生宿舍的房间数为6.

【变式4-4］（2023春•长岭县期中）把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分给3个，则

余下8个；每人分给5个，则最后一个分得的苹果不足5个，问共有多少名小朋友？多

少个苹果？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设共有x名小朋友，根据题意得：

3x+8-5（x-1）<5

：3x+8-5（x-l）>0,

解得：4cx<6.5,

••”只能取整数，

'.x=5,3x+8=15+8=23；

或尤=6,3x+8=18+8=26.

答：共有5名小朋友，23个苹果；或共有6名小朋友，26个苹果.

【题型5一元一次不等式组的应用-方案问题】

【典例5】（2022秋•港北区期末）在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界

人士关注.吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪

容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元.

（1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价.

（2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备

制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利

润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？

【答案】（1）“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元；

（2）有3种制作方案：

①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”；

②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”；

③制作50个“冰墩墩”,50个“雪容融”.

【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为尤元，“雪容融”的销售单价为〉元，

依题意得:，

解得:卜=吗

ly=60

答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元.

（2）设制作机个“冰墩墩”，则制作（100-m）个“雪容融”，

依题意得:，

解得：48WmW50,

为正整数，

；.小的值为48、49、50,

.,•有3种制作方案：

①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”；

②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”；

③制作50个“冰墩墩”,50个“雪容融”.

【变式5-1］（2022秋•北仑区期末）疫情防控期间，政府为人民提供了充足的物资保障.根

据物资品类不同，可分为A类物资和B类物资.已知1箱A类物资和2箱8类物资价值

280元，2箱A类物资和1箱8类物资价值260元.

（1）求1箱A类物资和1箱B类物资各价值多少元？

（2）某小区共需准备200箱物资，其中B类物资的数量不少于118箱，且不多于A类物

资数量的1.5倍，请问有哪几种准备物资的方案？哪种方案的总价值最少？

【答案】（1）1箱A类物资价值80元，1箱8类物资价值100元；

（2）该小区共有3种准备物资的方案，

方案1：准备80箱A类物资，120箱8类物质；

方案2：准备81箱A类物资，119箱2类物质；

方案3：准备82箱A类物资，118箱B类物质，方案3的总价值最少.

【解答】解：（1）设1箱A类物资价值x元，1箱8类物资价值y元，

根据题意得：（x+2y=280,

l2x+y=260

解得：（x=80.

]y=100

答：1箱A类物资价值80元，1箱2类物资价值100元；

（2）设该小区需准备初箱A类物资，则需准备（200-m）箱2类物质，

根据题意得：，

解得：80W;w<82,

又•・•根为正整数，

可以为80,81,82,

该小区共有3种准备物资的方案，

方案1：准备80箱A类物资，120箱B类物质；

方案2：准备81箱A类物资，H9箱2类物质；

方案3：准备82箱A类物资，H8箱2类物质.

方案1的总价值为80X80+100X120=18400（元），

方案2的总价值为80X81+100X119=18380（元），

方案3的总价值为80X82+100X118=18360（元）.

V18400>18380>18360,

方案3的总价值最少.

【变式5-2]（2022秋•余姚市期末）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批

电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买

2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.

（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于

28万元，该校有几种购买方案？

（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）设每台电脑X万元，每台电子白板y万元，根据题意得：fx+2y=3.5

I2x+y=2.5

解得：卜迅5,

ly=l.5

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元.

（2）设需购进电脑。台，则购进电子白板（30-。）台，

则10.5a+1.5（30~a）430

'10.5a+l.5（30-a）>28）

解得：15WaW17,即a=15、16、17.

故共有三种方案：

方案一：购进电脑15台，电子白板15台；

方案二：购进电脑16台，电子白板14台；

方案三：购进电脑17台，电子白板13台.

（3）方案一：总费用为15X0.5+1.5X15=30（万元）；

方案二：总费用为16X0.5+1.5X14=29（万元），

方案三：17X0.5+1.5X13=28（万元），

V28<29<30,

...选择方案三最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱.需要28万元.

【变式5-3］（2023春•碑林区校级期末）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干

个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）.经洽谈，购买1

个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元.

（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？

（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超

过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？

【答案】（1）每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元；

（2）购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，②购买排球28个，篮球22个，③

购买排球27个，篮球23个.

【解答】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元.

根据题意得：，

解得：1=50

ly=80

所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元.

（2）设购买气排球”个，则购买篮球（50-〃）个.

根据题意得：，

解得26rl"<n<30，

又,：n为正整数，

•••排球的个数可以为27,28,29,

...购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，

②购买排球28个，篮球22个，

③购买排球27个，篮球23个.

【变式5-4）（2023春・曲阜市期末）为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”

演讲比赛.学校计划为比赛购买4、8两种奖品.已知购买1个A种奖品和4个B种奖

品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元.

（1）求48两种奖品的单价.

（2）学校准备购买A,B两种奖品共60个，且8种奖品的数量不少于A种奖品数量的1，

3

购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案.

【答案】（1）A种奖品的单价为20元，2种奖品的单价为25元；

（2）学校有三种购买方案：

方案一、购买A种奖品43个，购买8种奖品17个；

方案二、购买A种奖品44个，购买8种奖品16个；

方案三、购买A种奖品45个，购买8种奖品15个.

【解答】解：（1）设A种奖品的单价为x元，8种奖品的单价为y元，

由题意得:，

解得：卜=20.

|y=25

答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；

（2）设购买A种奖品相个，则购买2种奖品（40-/〃）个，

由题意得：,,

201n+25（60-m）<1285

解得：43W"2<45,

♦m为整数,

，机可取43或44或45,

.•.60-m=17或16或15,

...学校有三种购买方案：

方案一、购买A种奖品43个，购买2种奖品17个;

方案二、购买A种奖品44个，购买B种奖品16个;

方案三、购买A种奖品45个，购买8种奖品15个.

维达标测试

选择题（共8小题）

1.（2024•北流市一模）不等式组1x+2>°的解集是（）

15-x42

A.x23B.-2<x<3C.-2<xW3D.x<-2

【答案】A

【解答】解：卜+2>0①，

l5-x42②

由①得：x>-2,

由②得：-xW2-5,

--3,

・・・不等式组的解集为：工23,

故选：A.

2.（2023秋•衢州期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为600c/

的杯子中倒入420cm3的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满

溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出.根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体

积范围是（）

A.25cm3以上，30cm3以下

B.30。/以上，33。%3以下

C.30cw3以上，36cm3以下

D.33cm3以上，36cMi3以下

【答案】C

【解答】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为xc/,

则有：，

解得：30cx<36,

一颗玻璃球的体积在30cm3以上，36cm3以下，

故选：C.

3.（2024•朝阳区一模）如图表示的是■个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（）

A.l<x<2B.lWx<2C.1«2D.1WXW2

【答案】C

【解答】解：不等式组的解集是1<XW2.

故选：C.

4.（2024春•高州市月考）若不等式组，Xa、u的解集为x<4,则“的取值范围为（）

x-4<0

A.aW_4B.-4C.a>-4D.a=-4

【答案】A

【解答】解：由不等式x+a<0得x<”，由不等式x-4<0得x<4,

•不等式组IXa]U的解集为尤<4,

lx-4<0

-。三4,

解得：a&-4,

故选：A.

5.（2023秋•西湖区期末）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每

满100元可以拿到1张摸彩券.已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5

盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120

元，则x的取值范围是（）

A.56Wx<76B.56Wx<80C.60Wx<76D.60Wx<80

【答案】C

，300<5x<400

【解答】解：由题意得：

40c<5x+120<500'

解得：60«76,

故选：C.

6.（2024春•埔桥区校级期中）不等式组］2X+3>0，的整数解的个数是（）

I-3x+5〉0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：解不等式2x+3>0,得：x>-l,

2

解不等式-3x+520,得：xW巨

3

则不等式组的解集为-3<xw§,

23

...不等式组的整数解有-1、0、1这3个，

故选：C.

7.（2023•眉山）关于x的不等式组Xm的整数解仅有4个，则机的取值范围是

5x-2<4x+l

（）

A.-5^m<-4B.-5<m^-4C.-4^m<-3D.-4<m^-3

【答案】A

【解答】解：解不等式组得：m+3<x<3,

由题意得：-2Wnz+3V-1,

解得：-5Wm<-4,

故选：A.

8.（2023春•仁寿县校级期中）下面是一个运算程序图，若需要经过三次运算才能输出结果

乃则输入的x的取值范围（）

否

A.B.。D.

【答案】D

，3x-l<32

【解答】解：根据题意，得3(3x-l)-l<32

3[3(3x-l)-l]-l>32

fx<U

解得x<4,

则不等式组的解集为立＜x＜4，

3

故选：D.

填空题（共4小题）

9.（2024春•莲湖区期中）不等式组2cx-3W7的解集是5〈尤W10.

【答案】5〈尤W10.

【解答】解：由x-3＞2,得：尤＞5；

由尤-3W7,得：尤W10,

不等式组的解集为：5＜xW10.

故答案为：5VxW10.

10.（2023秋•邵阳县期末）疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若

每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满.若设房间数为x

间，则可列不等式组为：（以+38）-5。-1），1或[（4x+38）＜5x

（（4x+38）-5（x-l）＜5—[（4x+38）＞5（x-1）

案不唯一）.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：若设房间数为了间，

由解上不俎1（（4x+38）-5（x-1）（4x+38）＜5x

由题思可得：或，,或I.

I（4x+38）-5（x-l）＜5[（4x+38）＞5（x-l）

±打如去月中（（4x+38）-5（x-1）（4X+38X5X（较安才傩、

故答案为：或/,或《（答案不唯一）.

（4x+38）-5（x-l）＜5[（4x+38）＞5（x-l）

11.（2024春•青岛期中）若不等式组4有解，则左的取值范围是耳＜4.

x＞k

【答案】k＜4.

【解答】解：•••不等式组F有解，

x>k

：.k<4,

故答案为：k<4.

12.（2024•洛阳模拟）不等式组的所有整数解的和为2.

【答案】2.

【解答】解:，

解不等式①得x>-2,

解不等式②得，

不等式组的解集是_2<x（工，

3

...不等式组所有整数解是：-1,0,1,2,

不等式组所有整数解的和为-1+0+1+2=2.

故答案为：2.

三.解答题（共4小题）

13.（2024•榆次