四边形的有关计算与证明解答题题型总结（4大类型）解析版

专题07四边形的有关计算与证明解答题题型总结

捶型蹩诙।模型枸速.」—逢

旗廷幽•读

模型01平行四边形的性质与证明

模型02矩形的有关计算与证明

模型03菱形的有关计算与证明

模型04正方形的有关计算与证明

一、平行四边形的性质与判定

1.平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

3.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

符号语言：：AB〃DC,AD〃BC.•.四边行ABCD是平行四边形.

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：：AB=DC,AD=BC.•.四边行ABCD是平行四边形.

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

符号语言：：AB〃DC,AB=DC.•.四边行ABCD是平行四边形.

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

符号语言：VZABC=ZADC,/DAB=/DCB.•.四边行ABCD是平行四边形.

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

符号语言：：0A=0C,0B=0D.•.四边行ABCD是平行四边形.

A

n------------------D

/X,/

C

二、矩形的性质与判定

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直

线；对称中心是两条对角线的交点.

由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

矩形的判定

3.矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

三、菱形的性质与判定

1.菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

2.菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=对角线乘积的一半

3.菱形的判定方法

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形.

几何语言：：AB=BC=CD=DA，四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形"）.

几何语言：•••ACLBD,四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD是菱形

四、正方形的性质与判定

1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

3.正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

模型01平行四边形的性质与证明

考I向I预I测

平行四边形的考查主要在于它的性质与判定，难度适中，在各类考试中得分率较高.掌握平行四边形定义、

性质和判定，清楚平行四边形的特征以及彼此之间的关系，能用平行四边形的判定定理和性质定理进

行几何证明和计算是考试的重点。

答I题I技I巧

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、

角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分

别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.

运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定

义判定比用其他判定定理还简单.

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和

判定去解决问题.

［题筌行桥T

(2025•河北沧州・模拟预测)已知在△ABC中，AB=AC,点。在BC上，以力2E为腰作等腰三角形ADE,

且乙4DE=^ABC.连接CE,过E作EM||BC交C4延长线于M,连接

ME

BD

⑴求证：ABADmACAE；

(2)求四边形MBDE的形状，并加以证明.

【答案】⑴证明见解析

(2)四边形MBDE的形状是平行四边形，证明见解析

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及平行四边形的判定.掌握全

等三角形的判定和性质是解题关键.

(1)由等边对等角可知乙4BC=N4CB,即得出NB4C=180。一2448。.由题意可得AADE=

Z.AED,即得出NDAE=180°-7./.ADE.由/ADE=乙ABC,可证明NB4C=/.DAE,从而可证明/BAD=

/LCAE,即易证△BXDEAC4E(SAS)；

(2)先证明乙4。8=Z_4CE,再根据两直线平行，内错角相等即可证明乙4CE=NEMC,即得出ME=EC,

从而可得DB=ME,最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明.

【详解】(1)证明：■.-AB^AC,

・♦・乙ABC=乙ACB,

/.^BAC=180°-2z^C,

团以40、4E为腰作等腰三角形4DE,

:.AD=AE,

・•・Z-ADE=Z.AED,

・•・/.DAE=180。-2乙40E,

vZ-ADE=乙ABC,

・•・Z.BAC=Z.DAE,

・•・ABAC-乙CAD=ADAE-/.CAD,

:.乙BAD=Z.CAE,

在484。在4CZE中，

AB=AC

Z.BAD=Z-CAE,

、AD=AE

・•・△BAD=△CAE(SAS)；

(2)解：四边形MBDE的形状是平行四边形，

证明：-LBAD=^CAE,

.・.DB-CE,Z.ABD=Z.ACE,

-AB=AC,

•••乙ABD=Z.ACB,

・•・乙ACB=Z.ACE,

•・・EM||BC,

:.乙EMC=乙ACB,

・•・Z-ACE=乙EMC,

・•.ME=EC,

・・・DB=ME,

又・・・EM||BD,

回四边形MBDE是平行四边形.

）支式

1.（2024・山东济南.模拟预测）如图，四边形2BCD是平行四边形，BM||DN,且分别交对角线4C于点

N,连接MD,8N.求证：乙DMN=4BNM；

A

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质,全等三角形的判定以及性质，平行线的性质，连接8。,

交4c于点。，证明A80M三ADON,推出四边形BMDN为平行四边形，得到BN||DM,即可得证；

【详解】证明：连接BD,交AC于点0,

,/四边形ZBCD是平行四边形,

：.0B=0D,

；BM||DN,

:.乙MBO=4NDO,

又4BOM=/.DON,

：.△BOM=ADON,

：.BM=DN,

：.四边形BMDN为平行四边形，

：.BN||DM,

:.乙DMN=4BNM；

2.（2025•贵州•一模）如图，在RtA4BC中，Z.BAC=90°,。是边AC上一点，连接BD,E,尸分另U为8C,的

中点，连接AF,EF,DE.有下列条件：

@AC=3AD,②乙AFD=LEDF.

(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形4DEF是平行四边形;

（2）在（1）的结论下，若CD=DE,AB=15,求EF的长.

【答案】（1）见解析

⑵恒

【分析】（D选择①，首先得到E尸是ABCD的中位线，得至!JEFIICD,CD=2EF,然后求出CD=22D,得

到=进而证明即可；

选择②，首先得到EF是△BCD的中位线，得到EF||CD,然后由"FD=4EDF得DE||AF到，进而证明即

可；

（2）首先得到BD=2AF,由（1）知，四边形4DEF是平行四边形，CD=2AD,得到DE=AF,AD=EF,然

后得到BD=2AF=2DE=2CD=4AD,然后利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：选择①，

证明：：E,F分别为BC,BD的中点,

.•.EF是△BCD的中位线，

：.EF||CD,CD=2EF.

'：AC=SAD,

：.CD=2AD,

：.AD=EF,

'：AD||EF,

.•.四边形力DEF是平行四边形.

［一题多解］选择②，

证明：尸分别为BC,BD的中点，

是△BCD的中位线，

：.EF||CD.

,//-AFD=乙EDF,

：.DE||AF,

：.四边形2DEF是平行四边形；

（2）解：•.•尸是BD的中点，^BAC=90°,

：.BD=2AF.

由（1）知，四边形4DEF是平行四边形，CD=2AD,

：.DE=AF,AD=EF.

VCD=DE,

：.BD=2AF=2DE=2CD=4AD.

在RtAZBD中，AD2+AB2=BD2,即AD?+152=i64£）2,

解得4。=V15,

EF—AD—V15.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的

性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

3.(24-25九年级下•河北保定•阶段练习)已知：互不重合的点B、D、C、F按图中顺序依次在同一条直线上,

且BD=CF,AB=EF,NB=NF=70。，乙4为锐角.

(1)求证：LABC=AEFD；

(2)连接40、AF,^AB=AD,求证：AF与DE互相平分

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定方法是解题的关

键.

(1)由BD=CF可得BC=DF,再利用S4S即可证得；

(2)连接ZD,AF,AE,只要证得四边形2DFE是平行四边形即可.

【详解】(1)证明：・.・BD=CF,

BD+CD=CF+CD,即BC=DF,

AB=EF,Z.B=Z.F=70°,

.­.AABCmAEFD(SAS)；

(2)证明：如图，连接AD,AF,AE,

AB=AD,

Z.B=Z.ADB,

1•,AB=EF,4B=Z.EFD,

AD=EF,Z.ADB=乙EFD,

AD||EF,

••・四边形4DFE是平行四边形，

与DE互相平分.

4.(2025•江苏南京・中考真题)如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，。是4B上一点，ADEF和AABC关于点

。对称，连接4F,CD.

F.D

B

\/O\

XEJ/

A匕-------------dC

(1)求证：四边形4CDF是平行四边形；

(2)已知AC=4,BC=3,求四边形2CDF是菱形时4。的长.

【答案】(1)见解析

(2)T

【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

(1)由中心对称的性质证明DF=4C,DFII4c即可证明；

(2)利用勾股定理求出4B,再利用面积法求出。C,利用勾股定理求4。即可.

【详解】(1)证明：和A4BC关于点。对称，

ABC=△DEF

・••/-BAG=/-EDF,DF=AC,

：.DF\\AC,

：.四边形4CDF是平行四边形；

(2)解：连接CF,

△DEFffA4BC关于点。对称，四边形4CDF是平行四边形;

：.F,0,C三点共线，

A.ACB=90°,AC=4,BC=3,

.'.AB-yJAC2+BC2=7+32=5,

•.•四边形"DF是菱形，

：.CF1AD,

11

\-AC•CB=-AB-CO,

22

:.AO=-JAC2-oc2=心一用2=当

5.(2024.江苏南京.模拟预测)已知四边形ZBCD是平行四边形.

⑴⑵

⑴如图(1),对角线AC,BD相交于点0,过点。的直线与边4。，BC分别相交于点E,F.求证0E=。F.

(2)如图(2),过点A作对角线8。的垂线，垂足为M,交边BC于点N.仅用无刻度的直尺在图中作CH1BD,

垂足为H.(保留作图痕迹，不要求写作法.)

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键.

(1)根据平行四边形性质得4。IIBC,0A=0C,得=^ACB,可得△AOESACOF(AAS),即得。E=

OF；

(2)根据平行四边形性质得。4=OC,ON=0G,可得△AONdCOG(SAS),得乙CAN=乙4CG,得CG||AC,

根据力N1BD,得CG1BD.

【详解】(1)解：•••四边形4BCD是平行四边形,

：.AD||BC,0A=0C,

：.^DAC=^ACB,

•.ZOE=ACOF,

：.△AOESACOF(AAS),

OE=OF

(2)解：连接AC交BD于点。，作射线N。交力。于点G,连接CG交BD于点“，点//即为所求作.

6.(24-25九年级下•湖北武汉・开学考试)如图，在四边形4BCD中,4B||CD,4=90。,4B=12cm,AD=4cm,

CD=15cm.点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；点。从点C出发，以2cm/秒的速度向点。

运动.规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设。点运动的时间为f秒.

(1)若尸，。两点同时出发.

①0<t<7.5时，用/分别表示出4P和DQ的长：AP=_,DQ=_；

②若运动过程中，当PQIIBC时，求/的值；

(2)若P点先运动2秒后停止运动.止匕时。点从C点出发，到达。点后运动立即停止，则f为一时(直接写出

结果)ADPQ为直角三角形.

【答案】(1)①tcm,(15-2t)cm；②4

【分析】(1)①由题意可得出答案；②由平行四边形的性质得出12-t=2t,则可得出答案；

(2)当t=2时，AP=2cm,NPDQ不可能为直角；分两种情况，当NDQP为直角时，当NOPQ为直角时,

由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案.

【详解】(1)解：①当0<t<7.5时，点尸在上运动，点。在CD上运动，

由题意得，AP—tcm,DQ-(15—2t)cm,

故答案为：tcm,(15-2t)cm；

②当「QIIBC时，

'：PB\\CQ,

四边形PQCB是平行四边形，

：.BP=CQ,

12—t—21,

：.t=4；

(2)解：当t=2时，AP=2cm,

由题意知NPDQ不可能为直角，

当ADQP为直角时，四边形2PQC是矩形，

则CQ=CD-DQ=15-2=13(cm),

.•"+=_万13；

当ADPQ为直角时，如图，过点P作PM1CD于点

则四边形4PMD是矩形，

.\DM=2cm,MP=DA=4cm,

图2

：.DP=>JDM2+PM2=2佩cm）,

设MQ=%,

〈MP?+MQ2=PQ2,DQ2-PD2=PQ2,

/.42+%2=（2+%）2—（2V5）,

解得：%=8,

ACQ=C。一。Q=15-10=5cm,

：.t=

2

综上，”葭或I时，AOPQ为直角三角形，

故答案为：葭或|.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的定义，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩

形的性质和判定等知识，构造出直角三角形是解本题的关键.

模型02矩形的有关计算与证明

考I向I预I测

矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数

较大。矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，

准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关

知识点进行解题。

答I题I技I巧

L关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究

其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.

2.证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等.题

设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.

）哀创

（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，在回48CD中，E为BC的中点，连接2E并延长交DC的延长线于点?

D

⑴求证：AB=CF；

⑵请添加一个条件，使四边形力BFC是矩形(不需要说明理由)

【答案】⑴见解析

⑵添加条件：AD=AF(答案不唯一)

【分析】此题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识.

(1)四边形4BCD是平行四边形，贝U4BIICD,AB=CD,运用E为BC的中点及平行线的性质，证明△

ABESAFCE(AAS),从而证得4B=CF.

(2)添加条件：AD-AF,证明四边形4BFC是平行四边形，再证明BC=AF,即可证明四边形4BFC是矩

形.

【详解】(1)证明：回四边形2BCD是平行四边形，

EL4B||CD,AB=CD,

回乙BAE=Z.CFE,Z.ABE=乙FCE,

团E为BC的中点，

田EB=EC.

在和中，

/.ABE=乙FCE

^Z.AEB=乙FEC,

、EB=EC

0AABE=AFCE(AAS),

团48=CF.

(2)解：添加条件：AD=AF(答案不唯一)，理由如下：

由(1)可知，AB=CF,

团四边形是平行四边形，

BAB||CD,AD=BC,

・•・四边形4BFC是平行四边形，

BAD=AF,AD=BC

WC=AF,

二平行四边形ZBFC是矩形.

1支式

1.（23-24九年级下•湖南湘西•阶段练习）矩形ABC。中，E是4B上一点，已知NDC4=乙BCE,AB=6,2。=4,

求△C4E的面积.

【答案】SASE=g

【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.根据矩形的性质和题目中的条件，可以判断ADCa-ABCE,然后相似三角形的性质，即可求得

BE的长，最后求出△”!£1的面积.

【详解】解：矩形4BCD中，4。=NB=90。，Z.DCA=乙BCE,BC=AD=4,AB=CD=6,

•••△DCABCE,

.CD_AD

,,=,

BCBE

.6_4

——9

4BE

BE=

3

AEBC-BE6--^—,

33

C14L110d20

*'•SXCAE=一/E,BC=-x—x4=一

△L”2233

2.（24-25九年级下•北京•开学考试）如图1,在矩形4BCD中，BD为对角线，BD的垂直平分线分别交

（2）如图2,连接CO,若4E=2,AD=6,求cos乙BC。的值.

【答案】（1）证明见解析

（2）y

【分析】对于（1）,先根据线段垂直平分线的性质得8。==再根据“角边角”证明△

BOFSADOE,可得BF=DE,然后根据"四边相等的四边形是菱形"得出答案；

对于(2),根据直角三角形的性质得乙4BE=30°,进而得出NBDE=30°,及乙CDO=60°,然后说明^CDO

等边三角形，可得ABCO=30。，最后根据特殊角的三角函数值得出答案.

【详解】(1)证明：SEF是BD的垂直平分线，

丽。=DO,BE=DE,BF=DF.

回四边形/BCD是矩形，

BAD||BC,

国乙OBF=乙ODE.

国BO=DO/BOF=乙DOE,

团ABOF小DOE,

团BF=DE,

团BE=DE=DF=BF,

团四边形BEDF是菱形；

(2)解：回四边形4BCD是矩形，

团乙4=Z.ABC=乙40c=4BCD=90°.

^\AE=2,AD=6,

团DE=4.

团四边形BED尸是菱形，

团BE=DE=4.

在Rt/MBE中，AE=2,BE=4,

^Z.ABE=30°,

^Z.AEB=60°.

BBE=DE,

BAEBD=乙EDB=30°,

小(DO=60°,Z.CBD=30°.

在RtABCD中，CD=-BD=DO,

2

0ACO。是等边三角形，

如LOCD=60°,

团NBC。=30°,

团cos乙BCO=cos30°=—.

2

【点睛】本题主要考查了菱形的判定，含30。直角三角形的性质定理及其逆定理，等边三角形的性质和判定，

特殊角的三角函数值等，灵活选择判定定理是解题的关键.

3.(24-25九年级上•湖南长沙•期末)如图，在矩形/BCD中，E为4)的中点，EFLEC,垂足为E,并与交

于点R连接FC(AB>AE).

DC

-------------------'B

（1）若力B=6,AD=4,求4F的长；

⑵求证：FE平分"FC.

【答案】⑴|

⑵证明见解析

【分析】（1）由矩形的性质可得ZCDE=^EAF=90。，DC=4B=6,由直角三角形的两个锐角互余可得

4DEC+乙DCE=90°,进而可得ZDCE=乙4EF,于是可证得AEAF-ACDE,由相似三角形的性质可得竺=

DE

若，由E为4。的中点可得AE=DE=；4D=2,于是可得与=；,由此即可求出力F的长；

DC226

（2）设AE=m,CD=n,由E为4D的中点可得DE=AE=m,由（1）可得△EAF-△CDE,于是可得竺=—,

DEDC

进而可得4尸="竺="，由勾股定理可得CE='DE?+CD2=7m2+泞,=^JAE2+AF2=

DCnEF

-y/m2+n2,由（1）可得NE4F=NCEF=90。，且丝=生=工即丝=竺，于是可证得△E4F，△CEF,

nAFEFmCEEF

由相似三角形的性质可得NE凡4=乙CFE,于是结论得证.

【详解】（［）解：•・,四边形4BCD为矩形，且EF1EC,

・•・乙CDE=AEAF=90°,DC=AB=6,乙CEF=90°,

••・乙DEC+乙DCE=90°,

乙DEC+Z-AEF=180°-乙CEF=180°-90°=90°,

•••Z-DCE=Z-AEFf

EAF^△CDE,

.AF_AE

"DE~DC9

•••E为40的中点，

1

・•.AE=DE=-AD=2,

2

AF_2

,,——9

26

・•・AF=-；

3

（2）证明：设/E=TH,CD=n,

・・•E为4□的中点，

DE=AE=m,

由（1）可得：＞EAF~ACDE,

AF_AE

,,—,

DEDC

2

A.Fl=-D-E-A-E=—m,

DCn

•••CE=y/DE24-CD2=Vm2+n2,

EF=\!AE2+AF2=Jm2+(~^~)2=^Vm2+n2,

由(1)可得：/-EAF=/.CEF=90°,

又...必.m_nCE_s/m2+n2_n

,AF正一mEF—y/m2+n2m'

nn

EACE一n,

AFEFm

即：gAF

~EF"

•••△EAF-^△CEF,

Z.EFA=Z.CFE,

即：FE平分NHFC.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，线段中点

的有关计算，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

4.(2025•山东威海•模拟预测)在平行四边形4BCD中，对角线BD交于点。,P是线段OC上一个动点(不

与点。、点C重合)，过点P分别作40、CD的平行线，交CD于点E,交BC、BD于点F、G,连接EG.

(1)如图1,如果PC=2OP,求证：EG||AC；

⑵如图2,如果乙4BC=90。，黎=|,且ADGE与APCF相似，请补全图形，并求言的值；

(3)如图3,如果B2=BG=BC,且射线EG过点4.请补全图形，并求乙4BC的度数.

【答案】⑴见解析；

⑵见解析，

rCO

⑶见解析，72。

【分析】⑴根据平行四边形的性质得到芸=的=3则第=段由此即可求解；

0x1乙LUoC/LJL)

(2)根据题意可证ADGESAPFCsAABC,设CE=4k,那么PE=6k,PG=9k,由案=*=卷即可求

解；

(3)根据题意作图，可证平行四边形48CD为菱形，设FB=FG=a,PF=FC=CE=b,得到蓝=早(负

根已舍)，则竺=-=更匚，可证△DGA八DAB,^DAG=^DBA=AADB=a,那么/BAG=4BGA=2a,

GBa2

求出a=36。即可求解.

【详解】(1)证明：0PC=2P0,PG||CD,

喘吟二%

在平行四边形4BCD中，。4=0。,

咨=8上

CA2CO3

又EIPE||AD,

胫=些=工

CACD3

「OGCE

0—=—,

ODCD

SEG||0C；

(2)解：如图2,

图2

0ZX5C=90°,

回平行四边形4BCD为矩形.

0OC=OD,

回NGDE=乙PCE=ACPF,

又EINCFP=乙ABC=90°,S.Z.DEG<90°,

团只能4OGE=90°,Z.DEG=Z.PGE=乙PCF,

团此时有：ADGEPFCABC；

设CE=4fc,那么PE=6k,PG=9k,

0£G=y/PE2+PG2=3Ak,DE=13k,

「OPPG9

0--=--=--9

OCCD17

mOP9

0—=-；

PC8

(3)解：补全图形如下，

回平行四边形4BCD为菱形,

设FB=FG=a,PF=FC=CE=b,

0GP=a-b,

0GP||CE,

胖=丝=些，

CEACBC

团U=j

ba+b

0a2—ab—b2=0,

2_a

—1=0,

啕b

市+

映=1(负根已舍).

2

_b_

0—=

GBa2，

「OG_BG

0-=

GB~BD'~2'

又ElzSOG=Z.BDA,

0ADGAS^DAB,

El设NDAG=乙DBA=AADB=a,可B么NBAG=Z.BGA=2a,

05a=180°,

Oct=36°,

0ZX5C=72°.

【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和

性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合是解题的关键.

5.(2025•河南郑州,一模)如图，菱形4BCD的对角线北，BD相交于点。，E是AD的中点，点F,G在4B上，

EFLAB,0G||EF.

⑴求证：四边形0EFG是矩形；

(2)若4。=10,EF=4,求。E和BG的长.

【答案】⑴见详解

(2)0E=5,BG=2

【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定及斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质、

勾股定理、矩形的判定及斜边中线定理是解题的关键；

(1)由题意易得“1BD/ZMC=NB4C,OE=AE=DE,则有OE||AB,然后可得四边形OEFG是平行

四边形，进而问题可求解；

(2)由题意易得4C1BD,力。=4B=10,则有。E=4E=DE=5,进而根据勾股定理及矩形的性质可进

行求解.

【详解】(1)证明：回四边形力BCD是菱形，

EL4C1BD,Z.DAC=/.BAC,

团E是“。的中点，

WE=AE=DE,

回4EZ。=Z.EOA=Z.BAC,

WE||AB,

回OG||EF,

团四边形。EFG是平行四边形，

0EF1AB,

回四边形。EFG是矩形；

(2)解：团四边形4BCD是菱形，

EL4C1BD.AD=48=10,

BE是4D的中点，

SOE=4E=DE=5,

0FF=4,EF1AB,

EL4F=y/AE2-EF2=3,

回四边形OEFG是矩形，

0OF=FG=5,

0BG=AB-AF-FG=2.

6.(2025•云南•模拟预测)如图，在团4BCD中，对角线AC,BD相交于点。，AD1BD,E是CD的中点，过

点E作EFIIBD,交BC于点F.

⑴求证：四边形0EF8是矩形；

(2)若力D=8,DC=12,求四边形。EFB的面积.

【答案】⑴见解析

(2)875

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识,

熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

（1）证。E是△BCD的中位线，得。EIIBC,则四边形。EFB是平行四边形，再证NCBD=90°,即可得出结论；

（2）根据勾股定理得出DB,进而利用矩形的面积公式解答即可.

【详解】（1）••・四边形ABCD是平行四边形，

•••BO=DO.AD||BC.

・•,点E是的中点，

OE是△BCD的中位线.

OEWBC.

又•••EF||BD,

.•・四边形。EFB是平行四边形.

•••AD1BD.AD||BC,

BCLBD,

•••乙CBD=90°.

.••四边形。项法是矩形.

（2）AD=8,

.：OE=^C=^AD=4,

•••AD1BD,AB=DC=12,

DB=y/AB2-AD2=V122-82=4后

：.OB*BD=25

矩形OEFB的面积=OS-OE=4X2V5=8A/5.

模型03菱形的有关计算与证明

考I向I预I测

菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况考查较多的是证明一个四边形是

菱形、利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度.掌握菱形的性质与判定，菱形的面

积公式,及一些特殊的菱形是解答本题的关键.注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别,

利用数形结合及方程的思想解题。

答I题I技I巧

1.菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是

“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.

2.菱形判定方法的选择：若四地形（或可证）为平行四也形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直

若相等的边也较多（或容易证出），则可证四条边相零

，兵例

如图，平行四边形4BCD,E,尸为BD上的点，AE=CE.

⑴求证：四边形ABCD为菱形；

(2)若BE=DF,AE2=AG-AD,求证：BF-FG=AF-DG；

⑶延长力E交BC于点P,若尸为BC中点，AB=5,AE=3,求BD的长

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)672

【分析】(1)连接4C,交80于。，证明A40E三△COE(SSS),可得乙40E=NCOE,然后利用平角定义即

可解决问题；

(2)根据菱形的性质证明△AFG“△4DF,可得N4FD=N力GF,然后证明△4BFFG。，即可解决问题；

(3)取4P中点M,得至1］。”是AaPC的中位线，OM=-PC,OMWPC,再由△E0MEBP,得至I］丝=竺=

2BPBE

-Cp1

=设。E=x,贝!］08=3x,

,所以。E:OB=1:3,设OE=x,贝U0B=3x,然后利用勾股定理即可解决问题.

【详解】(1)证明：连接2C,交BD于0,

厂c•.・平行四边形2BCD,

•••AO=CO,

在AAOE和△COE中，

%。=CO

AE=CE,

、E0=EO

团△AOE=△COE(SSS),

•••Z-AOE=Z-COE,

又•・•^AOE+(COE=180°,

・•・乙AOE=乙COE=90°,

・•・AC1BD,

・•・四边形4BCD为菱形；

(2)证明：•・・四边形4BC0为菱形，

・・・/。垂直平分3。，AABD=Z.ADB,OB=OD,BD=20B

BE=DF,

OE=OF,

AC垂直平分EF,

AE=AF,

X-.-AE2^AG-AD,

AF2AG-AD,

•A•F=AD,

AGAF

Z-FAG=Z.DAF,

[?]△AFGADF,

Z.AFD=Z.AGF,

・•・180°-^AFD=180°-乙4GF,

•••Z-AFB=Z.DGF,

•・•乙ABD=Z.ADB,

0AABFFDG,

.BF_AF

••DG~FGf

回BF-FG=AF•DG；

(3)解：取4P中点M,

回。为AC中点，

OOM是AAPC的中位线,

1

回。M="，OM||PC,

・•・P为BC中点、,

国BP=PC,

回。M||PC,

[HAEOMEBP,

,.,0M_—_0E_，

BPBE

.OM_0E_泣_1

"BP-BE一CP-2’

设。E=x,贝UBE=2x,OB=3x,

由(2)得BD=20B=6x,

RtAAOB中，AB=5,OA2=AB2-OB2=52-(3x)2,

RtAAOE中，AE=3,OA2AE2-OE2^32-x2,

团。炉=52—(3x)2=32—x2,

解得x=V2,

BD=6x=6企.

【点睛】此题属于四边形综合题，考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性

质定理是解题的关键.

＞支式

1.如图，在RtAABC中，ZXCB=90°,。是4B上一点，△DEF和△ABC关于点。对称，连接4F,CD.

⑴求证：四边形4CDF是平行四边形；

(2)已知4C=4,BC=3,求四边形4CDF是菱形时4。的长.

【答案】⑴见解析

(2)y

【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

(1)由中心对称的性质证明DF=AC,DFII4C即可证明；

(2)利用勾股定理求出4B,再利用面积法求出。C,利用勾股定理求4。即可.

【详解】(1)证明：EIADEF和AABC关于点。对称，

・•.△ABC=△DEF

・•・乙BAC=£EDF,DF=AC,

^\DF\\AC,

回四边形4CDF是平行四边形；

DEF^WL48c关于点。对称，四边形/CDF是平行四边形；

M,O,C三点共线，

^ACB=90°MC=4,BC=3,

^\AB=y]AC2+BC2=V42+32=5,

团四边形4C0F是菱形，

^\CFLAD,

^-AC-CB=-AB-CO,

22

17

团c。=?

SAO=y]AC2-OC2=[42—（当?=蔡.

2.如图，在菱形力BCD中，E是CD的中点，连接4E并延长，交BC的延长线于点F.

⑴求证：BC=CF；

（2）连接AC,若48=2,AELAB,求4C的长.

【答案】⑴见解析

（2）2

【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，

熟练掌握菱形性质是解决问题的关键.

（1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明；

（2）由菱形性质及（1）中结论得到BF=4,在RtAABF中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代

值求解即可得到答案.

【详解】（1）证明：团在菱形2BCD中，AD-BC,AD||BC,

BIND=乙DCF,NF=Z.DAE,

又EE是CD的中点，

团CE=DE,

ADEFCE(AAS),

BAD=CF,

•・•AD=BC,

国BC=CF；

(2)解：团在菱形/BCD中，AB=BC=2,

由(1)可知CF=BC=2,

团BF=4,

l?L4E1AB,

^BAF=90°,

•••AC是RtAABF斜边BF上的中线，

•••AC=-BF="4=2.

22

3.如图，在菱形力BCD中，E是CD的中点，连接4E并延长，交BC的延长线于点F.

⑴求证：BC=CF；

(2)连接力C,若AB=2,AE1AB,求力C的长.

【答案】⑴见解析

(2)2

【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，

熟练掌握菱形性质是解决问题的关键.

(1)由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明；

(2)由菱形性质及(1)中结论得到BF=4,在RtAABF中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代

值求解即可得到答案.

【详解】(1)证明：团在菱形力BCD中，AD=BC,AD||BC,

0ZD=Z.DCF,Z.F=/.DAE,

又EE是CD的中点，

团CE=DE,

0AADE三△FCE(AAS),

BAD=CF,

•・•AD=BC,

国BC=CF；

(2)解：El在菱形ABC。中，AB=BC=2,

由(1)可知CF=BC=2,

团BF=4,

fZAE1g

团乙BAF=90°,

•・•ZC是Rt/kABF斜边BF上的中线，

.-.AC=-BF=-\4=2.

22

4.如图，在菱形4BCD中，连结对角线AC,点E在边ZB上，过点E作EF||BC交/C于点F,连结DE交AC于点

G.

BC

(1)若=DE,Z.B=105°,求NCDE的度数.

(2)若4C=15,AE=2BE,求GF的长.

⑶求证：GA2=GF-GC.

【答案】⑴75。

⑵4

⑶证明见解析

【分析】(1)由菱形性质知NB4D=75。，由DA=DE知乙4ED=NBAD=75。，^ADE=30°,由菱形对角

相等可得乙4DC=105°,即可得出结论；

(2)由EFIIBC,可得竺=些=2,可得力F=24。=10,证明AAEFABC^—=-=由BC=AB=AD

FCBE3BCAB3

得案=黑=|，证明△GEFSAGZM,笠=f1=|,即可得出结论；

(3)由菱形性质证明4E=EF,证明△4GEsCGD,得出比例式粤=竽=竽=啜，由(2)知尖=乌,

ZkGCCDADADGADA

C=J即可得正

【详解】(1)解：团在菱形ZBCO中，ZB=105°,

B^BAD=180°一乙B=75°,^ADC=CB=105°,

M4=DE,

团匕AED=匕BAD=75°,

团乙ADE=180°-AAED-4BAD=180°—75°-75°=30°,

B^CDE=乙ADC-Z,ADE=105°-30°=75°,

团4COE的度数为75。；

(2)^EFWBC,AE=2BE,AC=15,

22

^AF=-AC=-x15=10,

33

团EFIIBC,

^\Z-AEF=Z.ABC,Z-AFE=乙ACB,

0AAEFABC，

「0—EF=—AE="2

BCAB3

团四边形45CD是菱形,

248=BC=AD=CD,ADWBC,

f团-.E一F=E—F=2LEEFI\\ArD\,

ADBC3

BZ-GEF=Z-GDA,Z-GFE=Z.GAD,

[?]△GEF~&GDA,

0L«-GF=-EF2

GADA3

22

^GF=-AF=-xl0=4,

团GF的长为4；

(3)证明：团四边形ZBCO是菱形,

国乙DAC=4BAC,ABWDC,AB=BC=AD=CD,

又回EFIIZD,

团乙DAC=/-AFE,

团NB/C=乙4FE,

团/E=EF,

团4BIIDC,

^1Z-GAE=Z.GCD,Z.GEA=乙GDC,

^AGE八CGD,

胫=丝=些=空

GCCDADAD

由⑵知：詈吟

0—<GA=—GF

GCGA

的42=GF-GC.

【点睛】本题考查菱形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定

和性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题的关键.

5.如图，在平行四边形ZBCD中，点。是对角线AC中点，过点。作EF1/C交于点瓦4。于点F,连接ZE,

CF.

F

AD

/\/9\\/

BL-----7c

EC

⑴求证：四边形2ECF是菱形；

(2)若力E=8,AC+EF=20,求四边形4ECF的面积.

【答案】(1)见解析

(2)36

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，萎形的判定，证得A40FmACOE是关键；

(1)根据线段垂直平分线的性质，可得力F=CF,AE=CE,OA=OC,然后由四边形力BCD是矩形，再证

明△力。尸SACOE,则可得4F=CE,继而证得结论；

(2)根据菱形的性质得力C1EF,AO=CO,EO=FO,再证(4。+EO/=100,利用勾股定理表示402+

EO2=AE2,再结合菱形面积公式即可解答；

【详解】(1)证明：,点。是AC中点，EFLAC,

EF是4C的垂直平分线，

EL4F=CF,AE=CE,OA=OC.

••・四边形4BCD是平行四边形，

•••ADWBC,

NCAF=/LACE,/LAFE=乙CEF.

在△力。尸和4COE中，

\LAFO=乙CEO

/.OAF=乙OCE,

.OA-OC

-.AAOF=△COE(AAS).

•••AF=CE,

•••AF=CF=CE=AE,

••・四边形AECF是菱形.

(2)解：・••四边形4ECF是菱形，

•••AC1EF,AO=CO,EO=FO,

•••AE=8,AC+EF=20,

•••AO+EO(AC+EF)=10,

(2。+EO)2=100,

即4。2+EO2+2AO-EO=100.

在RtAZOE中，AO2+EO2=AE2,

AO2+EO2=64.

••,菱形4EC尸的面积为-EF=24。-E。；

菱形4ECF的面积为100-64=36.

6.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点。，点尸、E分别在边4D和BC上，。在线段EF上，连接AE、