向量的数量积及其计算综合（原卷版）-人教A版高一数学下册重难点突破

专题12向量数量积及其计算综合

题型•解读___________________________

模块一数量积重点题型梳理..........................................................1

【题型1】向量数量积的相关概念.................................................2

【题型2】向量数量积计算.......................................................3

【题型3】向量的垂直问题.......................................................5

【题型4】向量的模长............................................................6

【题型5】求向量的夹角..........................................................6

【题型6】求向量的投影向量......................................................7

【题型7】利用向量求线段长，夹角...............................................8

模块二向量数量积中档题...........................................................10

【题型8】极化恒等式求数量积..................................................10

【题型9】拆分向量求数量积.....................................................13

【题型10］投影法求数量积.....................................................15

【题型11］与几何图形结合的向量问题...........................................18

【题型12］隐圆中的数量积问题.................................................18

【题型13］三角形四心的识别及欧拉线问题.......................................20

【题型14］三角形四心的相关计算...............................................24

【课后训练】.......................................................................25

题型汇编知识梳理与常考题型

模块一数量积重点题型梳理

基础知识

知识点01向量的夹角

⑴定义：已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作OA=a,OB=R则ZAOB=夕叫做向

量a与人的夹角.

(2)向量的夹角范围0<8<万.

⑶特殊情况：

①。=0,a与Z;同向；

71

②)e=不,4与人垂直，记作a_LZ?;

2

③。=»，a与匕反向.

知识点02平面向量数量积的概念

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与力，它们的夹角为仇我们把数量|a\\b\cos0叫做向量a与/?的数量积(或内

积).

记作：a-b,即a・B=|a|J|cos。.

规定：零向量与任一向量的数量积为0

„a-ba\a+b\

。与6夹角公式：cos'=「yja与a+匕夹角公式：cos0=^,--------p

模长公式：a-a=LI或a7a・a=，\a+b\=Al(a+b)

特别提醒：

(1)“•”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“X”；

⑵数量积的结果为数量，不再是向量；

⑶向量数量积的正负由两个向量的夹角。决定：当。是锐角时，数量积为正；当9是钝角时，数量积

为负；当。是直角时，数量积等于零.

知识点03平面向量数量积的运算律

(1)a.b=b-a；⑵(2a"=X(a-Z?)=a・(2〃)(人为实数)；(3)^a+b^-c=a-c+b-c；

(4)两个向量°,匕的夹角为锐角=。.〃〉0且°,人不共线；

两个向量a,Z?的夹角为钝角o。＜0且a,不共线.

(5)平面向量数量积运算的常用公式

(a+b^-[a-b^=a-b(a+Z?)=a+2a-b+b=a-la-b+b2

易错注释：a-b-c^a-[b-cj^a-c-b,即三■个向量相乘时不能交换顺序

【题型1】向量数量积的相关概念

典型例题

【例题1】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是()

A.两个向量同向共线，则他们的数量积是正的

B.两个向量反向共线，则他们的数量积是负的

C.两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角

D.两个向量的数量积是0,则他们互相垂直

【例题2】（多选）设都是非零向量，则下列命题中正确的是（）

A.若a,6的夹角为钝角，则小6＜0

B.若可=,+可，则a.Lb

c.若4包＞0,则a,b的夹角为锐角

D.若a=2b，则a+〃与a-3b同向

巩固练习

【巩固练习1］下列说法正确的是（）.

A.单位向量均相等

B.向量入6满足“2=0,则。中至少有一个为零向量

C.零向量与任意向量平行

D.若向量•，b满足同=忖，则。=±6

【巩固练习2】设°,6是两个非零向量，则"“七＜0"是"a与6的夹角为钝角"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【巩固练习3】（多选）下列结论正确的是（）

A.对于任意向量°,都有0//a

B.a//6且口=忖是a=6的充要条件

C.若0必=0，则a与6中至少有一个为0

D.两个非零向量a与方夹角的范围是［0,可

【题型2】向量数量积计算

典型例题

【例题1】已知等边三角形ABC的边长为1,则A8.8C=（）

12

【例题2】已知MBC是边长为1的正三角形，AN=§NC,P是B/V上一点且APnaAB+gAC,则

APAB=（）

212

A.-B.—C.—D.1

993

【例题3】如图，在ABC中，44C=60。，AB=4,AC=2,AB-CA的值为；D是BC

A.2B.8C.-2D.-8

巩固练习

【巩固练习1］已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,

则同=;ab=•

jr1

【巩固练习2】如图，在VABC中，々AC",AD=2D5,尸为CQ上一点，且满足”=见4。+5A8,

若kq=2,|AQ=3,则AP.⑺的值为.

【巩固练习3］（2021新高考2卷）已知向量a+6+c=0,|o|=1,|万|二|w|=2,a・5+方+eg=

【题型3】向量的垂直问题

基础知识

若向量Q,人是非零向量，则4_1/?0〃2=0

典型例题

【例题1】已知ci，62为单位向量，a=e\-2ei？b=2e\+ei，若a_Lb，则ei与/的夹角为()

A.90B.60°C.45D.30°

【例题2】(2324高一下•江苏连云港•期中)在VABC中，若BC=a,C4=。,AB=c,且(a-6)_Lc,

则VABC的形状是()

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【例题3】已知忖=1,忖=3,(a+b\b=^.

(1)求的值；

⑵当上为何值时，左与a+2b垂直？

【答案】⑴-1

(2)-17

【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示

【分析】(1)结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果；

(2)利用第(1)问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出左的值.

【详解】(1)因为问=1,忖=3,R+B)%=8,

^VX^a+b^-b-a-b+b2=a-b+32,贝卜/=_1.

(2)若左a-b与£+26垂直，贝1](尉-6)(。+26)=0,

从而％a2+2%a-b—am—2b2=左一2左+1—18=0，解得：k=-I7.

巩固练习

【巩固练习1】已知卜|="W=1.若(a+26)_La,则cos(a,6)=()

A石R上c抠D百

2332

【巩固练习2】已知向量a,b满足麻05,@=-3,且Z?_L(2Q+3Z?),则忖=()

A.1B.2C.3D.4

【巩固练习3】已知忖=忖=1,若(2〃-切,比则向量a与B的夹角的余弦值为.

【题型4】向量的模长

典型例题】

【例题1】已知向量°,6的夹角为:，同=1,忖=应，则国-。卜（）

A.2B.75C.V13D.5

【例题2】（2223高一下•贵州黔西•阶段练习）若。是VABC所在平面内一点，且满足

OB-OC\=\OB+OC-20A|,则7ABe的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【例题3】已知向量满足向=2,|川=1,a_L（a+甸，a-b=-1，则k-研=（）

A.272B.4C.8D.2A/7

巩固练习

【巩固练习1】已知向量。，A的夹角为：兀，且忖=2右，忖=5,则|；+2力卜.

【巩固练习2】已知向量”，6的模分别为2,1,且卜,=若，贝*+@=.

【巩固练习3】已知阿=3,忖=5,|a+b|=7.

⑴求向量。与6的夹角6；

（2）当向量履+6与a-Z,的模相等时，求实数上的值.

【题型5】求向量的夹角

典型例题

【例题1】若向量a,6满足（。+6”=7,且何=若，忖=2,则向量“与匕夹角为.

【例题2】若码a+W=6卜，一+2同，则向量.一6与“的夹角为（）

兀712兀5兀

A.-B.-C.——D.——

6336

【例题3】

巩固练习

【巩固练习11已知卜|=6,忖=1.若(Q+2b)_La,则cos(a,b)=()

B.—BC.

A.BD.—

2332

【巩固练习2】向量Q,6满足4=6,,=1,Q-2A=1,则向量a,b的夹角是()

71712K571

A.-B.-C.—D.—

6336

【巩固练习3】已知a,b为单位向量，且3a-5*7,则a与的夹角为()

712兀兀5兀

A.—B.—C.-D.—

3366

【题型6】求向量的投影向量

_______________________________

投影向量

⑴向量a在匕上的投影向量：疗2=同＜°,夕力，其中j是与匕同方向的单位向量

(2)如图(1)，在平面内任取一点。作0M=a,0N=6,过点对作直线ON的垂线，垂足为M一则

OM；就是向量°在向量b上的投影向量.

(3)如图(2),设a1是两个非零向量，AB=a,CD=b,作如下的变换：过的起点A和终

点、B,分别作co所在直线的垂线，垂足分别为4,用得到44,则称上述变换为向量一在向量匕投

影，44叫做向量3在向量力上的投影向量.

⑷向量a在6上的投影向量模长：可

\b\

典型例题

【例题1】已知|。=1,卜|=8,£与。的夹角为120,则向量匕在。方向上的投影向量为（）

B.-4C.4aD.—4〃

【例题2】（2324高一下•江苏常州•期末）已知向量4和6满足同=4,忖=2,向量°-匕在向量4上

的投影向量为ga,贝』&一6|=（）

B.2相

巩固练习

【巩固练习1】已知"，6是两个非零平面向量，a1（3b-2a）,则6在4方向上的投影向量为（）

【巩固练习2】在VABC中，。是BC边上的一点，且满足瓦）=2CD,AD1BC则BA在8C方

向上的投影向量是（用8C表示）

【巩固练习3】已知向量3与匕的夹角为卜卜石忖，设6一a在°上的投影向量为须，则2=（）

1133

A.-B.--C.--D.一

2222

【巩固练习4】若q©是两个相互垂直的单位向量，a=2e^e2,b=3e^4e2,贝跖在6上的投影向

量为（）

6834

2512525152

68,小

C.gqD.6,+84

【题型7】利用向量求线段长，夹角

典型例题

【例题1】（2324高一下•广东深圳•阶段练习）正方形ABCD的边长为。，E是AB的中点，F是BC

边上靠近点8的三等分点，AF与。E交于点则的余弦值为.

【例题2】（高一下•江苏南京,期中）在平行四边形ABCD中，已知E,尸分别是BC,C。上的点,

且满足BE=2EC，CF=3FD,若AC=XAE+〃AF（X,〃eR）,则几+〃的值为；若AE=2,

AF=3,ZEAF=60°,则AC的长为.

巩固练习

【巩固练习1】已知VABC中，44=三，AB=4,若点。在边上，且3D=2DC,AD=—,

33

则AC的长为.

【巩固练习2】（2425高一上•甘肃定西）如图，VABC中，ZC=60°,AC>3C>6,点，£分别

在边AC,BC上，S.BE=AD=6,连接。E,点又是A3的中点，点N是DE的中点，则线段

的长为.

【巩固练习3】（2324高一下•广东茂名•期中）如图，在平行四边形ABCO中，

BE+CE=0,DC=3DF,DE与BF相交于。.若AD=2,AO（3AD-2AB）=-7,则AB的长

为.

【巩固练习4】（2324高一下•广东韶关•期末）数学家波利亚说："为了得到一个方程，我们必须把同

一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系"这就是算两次原理，又

称为富比尼原理.例如：如图甲，在VABC中，。为BC的中点，则在△ABD中，AD=AB+BD，

在，ACD中，AD=AC+CD，两式相加得，2AD=A8+BO+AC+CD.因为。为BC的中点，所

以3。+。=0，于是24£>=A8+AC.如图乙，在四边形ABCD中，E,F分别为AD,BC的中点.

AD

E

D

甲乙

⑴如图乙，请用“算两次〃的方法证明：2EF=AB+DC;

（2）如图乙，若AB=1,DC=2,AB与。C的夹角为60。，求EF与AB的夹角的余弦值.

模块二向量数量积中档题

【题型8】极化恒等式求数量积

二级结论

极化恒等式求数量积

极化恒等式可以将共起点或共终点的两个向量的数量积问题转化为更易处理的形式

在三角形ABC中（M为BC的中点），则有：AB-AC=\AMf-\BMf

证明（基底法）：因为BC=2BM,所以

【即学即用1】正方形ABCZ）的边长是2,E是A8的中点，则后。即=（）

A.45B.3C.2A/5D.5

思路详解：设CD中点为。点，由极化恒等式可得：EC-£D=|EO|2-||DC|2=3,故选：B.

【即学即用2】（北京・高考真题）在ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.p为ABC所在平面内的动

点，且PC=1,则PA.尸3的取值范围是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[—4,6]

思路详解：记AB的中点为M,连接CM,则由极化恒等式可得：

2

PA-PB=|PM|'-^-|AB|=|PM|=\CM\+I=-,：.PA-PB=\PM\--=6

3I|2

\PM\-1=-9:.PAPB=\PM\

【例题1】如图，A3是圆。的直径，P是圆弧A3上的点，〃、N是直径A5上关于O对称的两点,

且AB=6,肱V=4,则尸（）

NB

B.7

【答案】C

【分析】根据向量的加法和减法法则表示PA/、甑，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出

结果.

AMONB

所以PAf/W=(PA+AM).(P3-AM)

ULTuuruiruuuruuuruuruuur2

=PAPB-PAAM+AMPB-AM

=-PAAM+AMPB-AM2

=AM-AB-AM2=1x6-1=5-

【例题2】(2223高一下,浙江杭州,期中)如图，在等边VABC中，BC=4,点P为边BC上的一动

点，则PA.尸C的最小值为()

B.-1C.-2

【例题3】【例题4］如图，在^ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点R4-C4=4,

BFCF=-\,则3E-CE的值是.

A

【例题5】（2324高一下•广东佛山・期末）已知VABC是边长为2的正三角形，点。在平面ABC内且

DA-DB=。，则D4.OC的最大值为，最小值为.

【例题6】如图,边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点。，点尸在线段B0上运动，若.AO=1,

则PAPB的最小值为.

「飞巩固练习/

【巩固练习1】已知点C在以为直径的圆上，点D为BC的中点，若A3=8,AC=4,则

的值为.

【巩固练习2】已知平行四边形ABCD中，Afi.AD=3,点尸满足尸APC=4,则尸3/。=.

【巩固练习3】如图，已知正方形ABCD的边长为4,若动点尸在以A8为直径的半圆上（正方形ABCD

D.[0,4]

【巩固练习4】已知.ABC是边长为2的等边三角形，P为平面A8C内一点，则尸A.（P8+PC）的最小

值是（）

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

【巩固练习5】在直角梯形ABC。中，AD//BC,ZABC=90°,AD=2AB=2BC=2,点P为梯形

ABC。四条边上的一个动点，则的取值范围是（）

A.-p4B.,2C.[-1,4]D.一;,4

【巩固练习6】（2324高一下•广东深圳•阶段练习）已知向量均为单位向量，且向量Z满

足卜卜豆，则（c_a）（c/的最大值为.

【巩固练习7】四边形ABCD中，点及P分别是AB,CO的中点，AB=2,8=20,即=1,点尸满

足PA•尸8=0,则尸。PD的最大值为.

【题型9]拆分向量求数量积

解题技巧

拆分向量求数量积

把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动点在圆

上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点

典型例题

■7T

【例题1】（2324高一下•江苏徐州•期中）如图，在AABC中，ZBAC=~,AD=2DB，P为C。上

4

一点，且满足=+若AC=3,AB=20,则AP-C£>的值为（）.

【例题2】（2324高一下•江苏徐州,期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个

顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形在如图所示的勒洛三角形中，

已知AB=2,点尸在AC上，且NPBC=45°,则AC-RPCP=（）

A

P

A.272-2B.2-2A/2C.4-20D.2V2-4

【例题3】如图，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,AB=4,4MB=60。，E为BC边上一点，且满

_4_uUUUULU

足BE=2CE,右A£hAB=4，则AE-8O=（）

C.4D.8

【例题4】（2324高一下,广东广州,期末）已知。为VABC的外接圆圆心，OA=2,4BAC=45。，则

A80C的最大值为（）

A.2B.4C.72D.2&

【例题5］如图，ABC中，/C=f,AC=2,8C=后+夜.在—ABC所在的平面内，有一个边

长为1的正方形绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周），则短.30的取值范围是（）

巩固练习

【巩固练习1】已知菱形A5CD的边长为2,ZBAD=120°,点E,尸分别在边BC、DC±,

BC=3BE,DC=WF.若AE.AF=1，则；I的值为.

【巩固练习2】在11ABe中，AC=3,BC=4,C4-C8=8，则A8边上中线CD的长为.

【巩固练习3】如图，在VABC中，。为AB的中点，AB=4,CD=3,E户是圆心为C、半径为1

的圆的动直径，则BEA尸的取值范围是（）

D.[1,9]

【巩固练习4】（2324高一下•广东深圳•期末）已知圆。为VABC的外接圆，A='BC=6,则

AO-（AB+AC）的最大值为.

【巩固练习5］骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图

中的圆A（前轮），圆。（后轮）的半径均为后，ABE,BEC,ECO均是边长为4的等边三角

形.设点下为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AOAP的最大值为.

【巩固练习6】（2324高一下•江苏宿迁,期末）记VA3C的三个内角A3,C,且AB=4,AC=6,若

。是VABC的外心，AD是角A的平分线，。在线段BC上，则.

【题型10］投影法求数量积

解题技巧

投影法求数量积

如图，PAPB=PAPH

要点注释：对于尸4•尸3=PAPBcos0,荏RtAPBH中PBcos6=PH,故PA-PB=PAPH

考虑到cos。可能为钝角，故写叔PA.PB=PA-PH

【即学即用】如图，已知ABCD为矩形，AB=1,AD=2,AE±BD,则AB-AE=；BA-BE

■;若M是BC中点则BM-BD=；若F是0C上一动点，BCBF=

【答案】==d;BABE=BE1=-；BM-BD^~BC2=2■,BCBF=BC~=4

552

归纳：在直角三角形中，斜边所对的向量和任一直角边所对的向量的数量积为直角边的平方

典型例题

【例题1】已知边长为2的正方形ABCD中，点E为AB的中点，F是3C上一动点，则”.AE=（）

A.1B.2C.3D.4

【例题2】在VABC中，已知钻=4,点。是VABC的外心，则（）

A.16B.8C.4D.-8

【例题3］如图，已知等腰VABC中，|AB|=|AC|=3,忸C|=4,点尸是边BC上的动点，则AP-（AB+AC）

的值（）

A.为定值6B.不为定值，有最大值6

C.为定值10D.不为定值，有最小值10

【例题4】已知尸为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则AP48的取值范围

是.

【例题5】（2324高一下•江苏连云港•期末）已知点A,B,C均位于单位圆（圆心为。，半径为1）

上，且48=0,48.4（7的最大值为（）

A.品B.6C.72+1D.73+1

【例题6】（2324高一下•广东深圳•期中）如图，在VABC中，BC=245=4,。,E分别为3cAe的

中点，歹为AD上一点，且满足=则=.

c

巩固练习

【巩固练习1】已知A,8两点在圆C上运动，且42=应，则A0AC的值（

C.72D.与点A3的具体位置有关

12

【巩固练习2】（2324高一下•浙江宁波•期末）已知圆。的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C,D

分别在上、下半圆上（都不与4B点重合）若AC=2,AD=1,则A8.£）C=.

【巩固练习3】已知圆O半径为2,弦Afi=2,点C为圆O上任意一点，则A—AC的最大值是一

【巩固练习4】RE分别是等边VABC的边AB,AC的中点，。e=1,点尸在线段DE上的移动（含端

点），则BP-8C一定不可能是（）

842

A.B.2C.-D.一

333

【巩固练习5］如图，ABCD是边长2的正方形，尸为半圆弧8C上的动点（含端点）则ARA尸的取

值范围为.

【巩固练习6】（2324高一下•江苏连云港•期末）在梯形中，为钝角，且

AB=AD=2DC=2,若E为线段3。上一点，AE=BE,则8E-AC=（）

【巩固练习7】已知C。的半径为1,直线以与。相切于点A,直线网与。交于8,C两点，D

为BC的中点，若|PO|=应，则P4P。的最大值为（）

口1+20

A,巫

22

C.1+72D.2+72

【题型11］与几何图形结合的向量问题

典型例题

【例题1】（2324高一下•广东广州•期末）在VABC中，已知,8+囱平台-囱=力/，则向量a4

在向量CB上的投影向量为.

【例题2】（2324高一下・四川•期末）设夕为两个非零向量a/的夹角，且。=?TT,已知对任意实数

6

小+回的最小值为2,则卜卜.

【巩固练习1】已知单位向量a,6满足|a-b|+2岛和=0,贝”S+6QeR）的最小值为（）

A.2B.走C.巫D.克

3232

【巩固练习2】已知。，人是两个夹角为g的单位向量，则|幼一3的最小值为（）

11°3"

A.—B.-C.-D.----

4242

【巩固练习3】已知向量a,b的夹角为?，g|=1,且对于任意的t《R,都,+勿上卜-b|,

贝力。1=.

【题型12］隐圆中的数量积问题

解题技巧

向量中的隐圆问题

角度一、定值圆（由模长是构造圆）

记A,B,C为定点，若出现AP=X,AP+AC=2,AP-AB-AC=2,都可以得出隐圆

有时也会出现c-a—人=九这种形式，我们可以设a=OA，b=OB，c=OC＞也能转化成上面

第三种形式

角度二、直径圆

圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点

在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上.在向量问题中，向量a,b的垂直条件体现为，

（a,b）=90a±b=O,a-b=O等.

角度三、外接圆（定边定角）

a±Z?,<a,Z?>均为定值时，可以构造圆

在三南形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题.同

样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形（如a,b,ab）,且给出边一对

角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题.

角度四、四点共圆（对角互补）

圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°,则该四边形的四个顶点共圆.在向

量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边

形满足上述条件，可以构造"隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸.

典型例题

【例题1】平面内非零向量。，b,c,有同=3,网=4,a.b=0S.\c-a-b\=2,则同的最大值

为.

【例题2】（2223高一下•江苏泰州•期末）已知VABC的外接圆的圆心为。，且4=/，BC=24,

则。AC的最大值为（）

3「

A.—B.C.2D.3

2

【例题3］（2324高一下•江苏常州•期中）在平面凸四边形ABCO中，已知3c=2,AC=l,AB1AC,

ZADC=150°,则的最小值为（）

A.--73B.C.—叵D.—巫

2222

【例题4】（广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）期末联考）已知平面向量”,b，e，且『卜1，

卜|=2.已知向量6与工所成的角为60。，且卜-回诽-对任意实数f恒成立，则卜+的最

小值为（）

A.73+1B.273C.V3+V5D.275

巩固练习

【巩固练习1】（2324高一下•广东汕尾•期末）已知在VABC中，AC=4括，4=；,则AB-AC的

最大值为.

【巩固练习2】已知°,。是单位向量，0力=0.若向量c满足-川=1，贝Ulcl的最大值是.

【巩固练习3】已知a,。是单位向量，°力=0.若向量c满足-6|=1,贝”cl的最大值是.

【巩固练习4】设向量a,b,c满足同=忖=1,问•忖=一:，〈a—c,Z?—c)=60°,则|c|的最大

值等于.

【巩固练习5】已知平面内非零向量a也c,满足卜|=2,口=3,a-b=3,若c?—2)-c+8=0，

则\c-a\的取值范围是.

【巩固练习6】已知a,。,c都是平面中的单位向量，且°力=0,则|2c-4+gc-6的最小

值是.

【题型13］三角形四心的识别及欧拉线问题

基础知识

三角形四心的的向量性质

1.若O为AABC重心(三条中线的交点)

(l)^ABOC

,'-'ACOA,"AAOB=1:1:1;

(2)OA+OB+OC=0；

⑶动点P满足OPABC的重心

(4)动点尸满足OPe(0,+oo)，则动点P的轨迹一定通过

ABC的重心

(5)重心坐标为:-%

2.若0为aABC垂心(三条高的交点)

A

Bc

(1)OAOB=OBOC=OCOA

⑵OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB(

ABAC

⑶动点尸满足OP=OA+4|——,-------+,——,—,4e(O,+"),则动点p的轨迹定通过

jABcosBACCOsC

7

ABC的垂心

3.若0为AABC内心(三条角平分线的交点)

A

BC

⑴SBOC•S,COA-SAOB=a:b:c

(2)aOA+bOB+cOC=0

ABAC

⑶动点P满足。尸=OA+Xi----r+।-----r,/Ie[0,-卜co),则p的轨迹一定通过；ABC的内心

UABIlACU

八4ACAB八八BCBA”CACB

(4)OA•।-----1-j—T=OB-।----1-j—I二℃

UMHIUBCI网)、可得「

4.若0为AABC外心(三条中垂线的交点)

A

B人C

(1)OA2=OB2=OCf；

（2）动点P满足。尸=C'+CC+%__AB_+__AC_,Xe（0,+8）,则动点尸的轨

2JAB|COSB|AC|COSC^

迹一定通过ABC的外心；

（3）若（0A+03）•AB=（0B+OC>BC=（OA+0C）•AC=0,则0是ABC的外心.

典型例题

【例题1】已知点P是AABC所在平面内点，有下列四个等式：

甲：PA+PB+PC=0;乙：PA（PA-PB）=PC（PA-PB）；

丙：网=网=国；T：PAPB=PBPC=PCPA.

如果只有一个等式不成立，则该等式为（）

A.甲B.乙C.丙D.T

/、

ARAC

【例题2】点P为VABC所在平面内的动点，满足AP=f=——+|~,——，/<（）,+«））,则点

|AB|cosB|AC|cosC^7

P的轨迹通过VABC的（）

A.外心B.重心C.垂心D.内心

【例题3】已知。，N,P,/在&ASC所在的平面内，则下列说法不正确的是（）

A.若|<9A|=|OB|=|OC|,则。是，ABC的外心

B.^CBIA=ACIB^BAIC=O,则/是ABC的内心

C.若PA•PB=PB•PC=PC•PA,则P是.ABC的垂心

D.若NA+NB+NC=Q，则N是一ABC的重心

【例题4】点0,G,P为」1BC所在平面内的点，且有lod+Wc,od+MTocj+kB、

GA+GB+GC=0,（PA+PB）AB=（PB+PC）BC^（