2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：一元函数的导数及其应用章节综合（填空题）

第1页/共1页2024北京重点校高二（下）期末数学汇编一元函数的导数及其应用章节综合（填空题）一、填空题1．（2024北京海淀高二下期末）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：①函数在无数个点处的曲率为1；②函数的曲率恒为；③函数的曲率半径随着变大而变大；④若函数在与（）处的曲率半径相同，则.其中，所有正确结论的序号是.2．（2024北京丰台高二下期末）已知函数（）．给出下列四个结论：①当时，若的图象与直线恰有三个公共点，则的取值范围是；②若在处取得极小值，则的取值范围是；③，曲线总存在两条互相垂直的切线；④若存在最小值，则的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．3．（2024北京房山高二下期末）已知函数，给出下列四个结论：①当时，在定义域上单调递增；②对任意，存在极值；③对任意，存在最值；④设有个零点，则的取值构成的集合是.其中所有正确结论的序号是.4．（2024北京房山高二下期末）若，则.5．（2024北京石景山高二下期末）已知函数的导函数为，则，过点且与曲线相切的直线方程为.6．（2024北京石景山高二下期末）已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：①可能是负数；②；③为定值；④若存在，使得，则.其中所有正确结论的序号是．7．（2024北京西城高二下期末）已知函数，其中．给出下列四个结论：①当时，函数有极大值，无极小值；②若方程存在三个根，则；③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点；④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线．其中所有正确结论的序号是．8．（2024北京大兴高二下期末）已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元/套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元/套时，每日可售出套．（1）实数；（2）若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格元/套时（精确到），日销售该商品所获得的利润最大．9．（2024北京延庆高二下期末）已知函数，则在区间上的最大值为．10．（2024北京石景山高二下期末）已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为．11．（2024北京顺义高二下期末）设函数，①若，则f(x)的最小值为；②若f(x)无最小值，则实数的取值范围是.12．（2024北京延庆高二下期末）已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足，则a=.

参考答案1．①②④【分析】根据给定的定义，求出各个命题中的，由有无数个解判断①；计算判断②；利用导数探讨函数单调性判断③；由有两个不等正根，构造函数结合极值点偏移推理判断④.【详解】对于①，，则，当时，，因此函数在无数个点处的曲率为1，①正确；对于②，，，则，，②正确；对于③，，则函数的曲率半径，令，求导得，由，得，当时，，则函数在上单调递减，函数在上单调递减，③错误；对于④，，则函数的曲率半径，依题意，，令，则方程有两个不等正根，即直线与函数的图象有两个交点，，当时，，当时，，函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，因此当时，方程有两个不等正根，不妨令，令函数，求导得，函数在上单调递增，，即，令，则，，又函数在上单调递增，因此，即，④正确，所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．2．②④【分析】当时，求出的零点判断①；分类讨论函数的极值情况判断②；取，求出任意两点处的导数值乘积与比较判断③；按分类讨论函数在上的取值情况判断④圣母婊得答案.【详解】对于①，当时，，由，解得，则当时，的图象与直线只有两个公共点，而，①错误；对于②，函数的定义域为R，求导得，当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；当时，，函数在R上单调递减，无极值点；当时，，，，，在处取得极小值，符合题意，因此在处取得极小值时，的取值范围是，②正确；对于③，当时，，假定曲线存在两条互相垂直的切线，设两条切线对应的切点分别为，切线斜率分别为，于是与矛盾，③错误；对于④，当时，，，即在上单调递减，此时，而函数在的取值集合为，则在上无最小值，当时，由，得或，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在处取得极大值，在处取得极小值，而当时，，则恒成立，因此在处取得最小值，于是存在最小值时，的取值范围是，所以所有正确结论的序号是②④.故答案为：②④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.3．②③④【分析】取值计算判断①；函数的极值点情况判断②，分别求出两段的最大值判断③；分段探讨零点个数判断④即得答案.【详解】对于①，当时，，，①错误；对于②，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，因此对任意，存在极值，②正确；对于③，当时，，，，当时，，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，此时，因此，，③正确；对于④，当时，函数在上单调递增，，在上无零点，在上单调递增，，，在有一个零点，；当时，，在上单调递增，同理得，当时，，在上单调递增，，；当时，，在上有两个零点，当时，，，当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，即在上有两个零点，；当时，，在上有两个零点，，；当时，，在上有两个零点，，，因此的取值构成的集合是，④正确，所以所有正确结论的序号是②③④.故答案为：②③④【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.4．/【分析】求导代入计算可得结果.【详解】由可得，∴，故答案为：5．4【分析】求出函数的导数，即可求解，设切点，求斜率，写切线方程，即可求解直线方程.【详解】的导数为，，解得，故，即；设过点且与曲线相切，切点为，且，故切线斜率为，即切线方程为，切线方程过点，代入方程可得，解得或，当时，直线方程为；当时，直线方程为.故答案为：4，.6．②③④【分析】对于①，分是否大于0进行讨论；对于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于的不等式有解，进一步等价于关于的不等式有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算.【详解】对于①，，因为函数有两个极值点，所以有两个相异实根，这意味着，否则时，f′x≥0，即若，则当时，f′x>0，当时，，当时，f′x>0即在的条件下，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有两个极值点，故①错误；对于②，是方程的两根，从而，故②正确；对于③，，故③正确；对于④，若存在，使得，即关于的不等式有解，而没有最大值，故原命题等价于关于的不等式有解，令,而函数的最小值为1，所以当且仅当，即满足题意，即若存在，使得，则，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：判断④的关键是将原问题等价转换为关于的不等式有解，由此即可顺利得解.7．②③④【分析】每个命题都画出对应的函数图像，数形结合，即可得出答案．【详解】对于①,第二段的对称轴为，画出函数草图，则函数无极大值，故①错误．

对于②，如图所示．

方程存在三个根，在第一段内显然有一个根，则在第二段内一定有两个根．即在上有两根，即在有两根．必须满足，解得，故②正确.对于③，当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点，等价于第二段函数图像关于原点对称的图像，与原函数的第一段图像有交点，如图所示，显然成立.故③正确.

对于④，当时，，大概画出草图如下.

第一段求导，则在处的切线斜率为第二段求导，则在处的切线斜率为.则存在，使得切线斜率相等.再结合图像，两段存在公切线.故④正确.故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：本题综合考查了函数极值，对称性，切线，零点问题.直接计算有时候比较复杂，可以数形结合，可以简化分析运算.8．【分析】设，，根据求出，设商店日销售该商品所获得的利润为，则，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解.【详解】设，，依题意，解得，则，；设商店日销售该商品所获得的利润为，则由题可得：，.则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值，故当销售价格时，日销售该商品所获得的利润最大.故答案为：；9．/【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值,比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值和最小值.【详解】，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的最大值为.故答案为：.10．【分析】根据函数的单调性和导数之间关系，即可解不等式.【详解】由导函数图象可知当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，因为，，当时，，即不等式的解集为；故答案为：11．【分析】①当时，分，，求出函数得单调区间，从而即可求出函数得最小值；②求导，根