中考数学《四边形》综合测试卷及答案

备战中考数学专题30四边形综合测试卷及答案

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2023•河北・统考模拟预测）如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形

图案，设小正五边形边长为1,则大正五边形边长为（）

A.V5B.厘C.2D.0

22

【答案】D

【分析】根据多边形的内角和定理得到乙ME=（5-2）广80。=108。，等量代换得到“BE+"BC=Z.BAC+

乙48c=108。，如图，作乙4cB的平分线CD交于。，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】在正五边形ABEFG中，UBE=（"2）：180。=血。，

•.•将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，

:.乙CBE+N力BC=4BAC+乙ABC=108°,

如图，作乙4cB的平分线CC交AB于。，

'：AB=AC,

J./-ABC=AACB,

^ACB+Z.BAC+/.ABC=108°+乙4cB=180°,

J.^ABC=AACB=72°,

/.BAC=36°,

zXCZ)=4BCD=/.BAC=36°,

；/.BCD=2LBAC,AD=CD=BC,

・△ABCCBD9

.BC_BD

*AB~BC'

：AB=BC+1,

.BD=AB-AD=AB-BC=1,

,BC_1

*BC+1~BC9

故选：D.

【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质

是解题的关键.

2.（3分）（2023•浙江绍兴•校联考模拟预测）如图，将A4BC的4B边与刻度尺的边缘重合，点4D,B分

别对应刻度尺上的整数刻度.已知。厅以。,石尸||48,49=1.8,下列结论不正确的是（）

A.AC=3B.CE=3C.DE=1.8D.EF=4

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性

质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，分别计算出线段2F,CF,DE,EF的长度，对每个选项进行

判断即可得出结论.

【详解】解：由题意得：AD=4,BD=6,AB=10.

DEWAC,EFWAB,

••・四边形4DEF为平行四边形，

AF=DE=1.8,EF=AD=4.

•••EFWAD

CEFCAB,

•.•CF—_EF，

CAAB

-A-C--1-.-8=一4,

AC10

AC=3,

•••A,C,D选项正确，不符合题意；

vCF=AC-AF=3-1.8=1.2,EF=4,

4-1.2<<4+1.2,

.­.2.8<CE<5.2,

••B选项不一定正确，符合题意.

故选：B.

3.（3分）（2023•福建泉州•模拟预测）如图，已知团力BCD的对角线交于点。，下列结论中不一定正确的是

（）

A.当4B=4D时，它是菱形

B.当=时，它是矩形

C.当时，它是菱形

D.当N4BC=90。时，它是正方形

【答案】D

【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定逐一进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，原结论正确，不符合题意，选项错误；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原结论正确，不符合题意，选项错误；

D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原结论不一定正确，符合题意，选项正确，

故选D.

【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题关键.

4.（3分）（2023•陕西榆林•校考三模）如图是一张矩形纸片=4cm,点E为边BC上一点，且EC=2,

连接ZE,若将其沿ZE对折，使得点B落在边4。上的点/处，则40的长为（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【答案】B

【分析】根据对称性得到力Bi=4B=4,再由矩形的判定与性质得到四边形&ECD是矩形，从而可得当D=

EC=2,进而得到答案.

【详解】解：在矩形4BCD中，由对称性质可得=4B=4,乙4/E=48=90。，

Z.C=zD=90°,

四边形是矩形，

・•.B]D=EC=2,

AD=ABr+B]D=4+2=6,

故选：B.

【点睛】本题考查矩形的判定与性质，熟记对称的性质是解决问题的关键.

5.（3分）（2023•重庆大渡口•统考一模）如图，在菱形/BCD中，对角线ZC、80交于点。，若菱形ZBCD的

面积是12,则△A0B的面积为（）

A.3B.6C.24D.48

【答案】A

【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得到。4=0C,0B=0D,再根据等底同高的三角形面积

相等得到S-0B=S^BOC=S^COD—S^AOD，进而得到SMOB=[S菱形/BCD，即可求解，掌握麦形的性质是解

题的关键.

【详解】解：・・•四边形是菱形，

0A=0C,OB=0D,

，△力。。和△COD是等底同高的三角形，

△力。。和△4。8是等底同高的三角形，

△8。。和4C。。是等底同高的三角形，

,•SAAOD=ShC0D,S&AOD=S“OB，SABOC=S^COD，

SA40B—S^BOC-S&COD-SAAOD，

11

,•S^AOB=[S菱形ABCD=4X12=3,

故选：A.

6.（3分）（2023•江西吉安・校考三模）数学小组将两块全等的含30。角的三角尺按较长的直角边重合的方

式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究，如图1,其中N4DB=乙CBD=30°,乙ABD=乙BDC=90°,

AB=CD=3,将RtABCD沿射线D8方向平移，得到RtABO,分别连接4夕，DC'（如图2所示），下

列有关四边形切的说法正确的是（）

A.先是平行四边形，平移g个单位长度后是菱形

B.先是平行四边形，平移百个单位长度后是矩形，再平移2g个单位长度后是菱形

C.先是平行四边形，平移g个单位长度后是矩形，再平移3百个单位长度后是正方形

D.在Rtz\BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形

【答案】B

【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可.

【详解】解：由题意可得：平移过程中，

ADWB'C,AD=B'C,CD=CD'=3,

...四边形是平行四边形，

刚开始平移时，乙ADC=4ABC=30°+90°=120°,

如图，当平移至乙4DC=乙48c=90。时，ADCD,

，此时四边形是矩形，且不可能为正方形，^DC'D'=30°,

平移距离为：DD'=染=瓜

即平移B个单位长度后是矩形，

A

继续平移，当与共线时，

此时ABIB'O,即四边形匕，。是菱形,

此时的总平移距离为BD=>/3AD=3V3,

即再平移2百个单位长度后是菱形；

综上可得：平移过程中，四边形AB'C'D先是平行四边形，平移g个单位长度后是矩形，再平移2g个单位

长度后是菱形，

故选B.

【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利

用了特殊四边形的判定和性质.

7.（3分）（2023.贵州铜仁・统考二模）如图，在AABC中，ZACB=9Q°,以△4BC的各边为边分别作正方

形BAHI,正方形8CFG与正方形CAOE,延长8G,FG分别交A。，DE于点、K,J,连接QH,IJ.图中两

块阴影部分面积分别记为S/,s2.若S"S2=l：4,S四边彩边BAHE=2H,则四边形的面积为（）

c

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】先证ACAB丝△ZMH(SAS),得/ADH=90。,则H、D、E三点共线，再证第=土贝九

BC=FC=FG=BG=2GJ,AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ,然后由S«i/8AHE=SAA£)H+S蹒AOEB=27,求出

GJ增,证A丝△EBM(ASA),则FAN=S^EBM,最后由S^CFJE-SmBCFN-S^EBM=S

矩影CFJE-SxABC,即可得出结果.

【详解】解：•••四边形BAH/和四边形CADE都是正方形，

：.AC=AD,AB=AH,ZCAD=ZABI=ZBAH=ZADE=90°,

：.ZCAB+ZBAD=ZDAH+ZBAD,

：.ZCAB=ZDAH,

在4。48和4D4H中，

'AC=AD

/.CAB=4DAH,

、AB=AH

:.LCAB咨ADAH(SAS),

：.ZADH^ZACB=9Q°,

,?ZA£)£=90°,

:.H、D、E三点共线，

:四边形2cPG和四边形C4OE都是正方形，延长BG、FG分别交A。、DE于点K、J,

二四边形AD7F和四边形8EOK都是矩形，MAF=BE,NAFN=NBEM=9Q°,四边形。KGJ是正方形，四边

形CF/E是矩形，

•：Si：S2=l：4,

・GJ1

••—―,

BC2

・•・BC=FC=FG=BG=2GJ,

:四边形CADE是正方形，

ZADE=90°,AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ,

在RtXACB中，由勾股定理得：AB^AC2+BC2=7（3G/）2+（2G/）2=V13GJ,

在放中，由勾股定理得：DH=7AH?一中£）2=J（VHG/）2-（3G/）2=2GJ,

,**S四边形BAHE=SAADH+S梯形ADEB=X1,

：.-AD»DH+-（AD+BE）•DE=-x3GJx2GJ+-（3GJ+GJ）x3GJ=27,

2222

解得：GJ=V3（负值已舍去），

•・•ZABC+ZEBM=180°-ZABI=180°-90°=90°,ZABC+ZCAB=90°,

；・/CAB=/EBM,^ZFAN=ZEBM,

^AFN=4BEM

在和中，AF=BE，

^FAN=乙EBM

:.AFAN空AEBM（ASA）,

.•.SAFAN=SAEBM,

:・SAABC—S四边形BCFN+S>FAN=S四边形BCFN+S△EBM,

S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S^EBM=S矩形CFJE-S&ABC

^FC-CE--AC'BC

2

2

=2GJx3GJ与3GJX2GJ=3GF=3X（V3）=9,

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形

面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明△胆N丝△助M是解题的关键.

8.（3分）（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，在四边形A3C0中，E,尸分别是AO,8C的中点，G,

〃分别是对角线3D,AC的中点，依次连接E,G,F,H,连接ERGH,8。与相交于P,若A3=CD,

ZABD=20°,ZBDC=70°f则NGE尸二（）度.

B

A.25B.30C.45D.35

【答案】A

【分析】先证四边形EGF77是平行四边形，再证四边形EG尸H是菱形即可，由EG||AB,GF||C。，可求NEGD=

4ABD=20°,4BGF=4BDC=70。利用平角定义可求ADGF=180°-4BGF=110°,于是NEGF=130°,

利用菱形性质求NGEH=180°-乙EGF=50°,从而求出NGEF=25°.

【详解】解：M、G分别是AO、BD的中点，尸”分别是BC、AC的中点，

•••EGIIAB,HF||AB,GE=^AB,

：.EG||HF,

■\

同理：EH||GF,GF=：CD,

・•・四边形EG切是平行四边形，

-AB=CD,

:.GE=GF,

・•・四边形EG/7/是菱形

-ZABD=20°,ZBDC=70°,EG||AB,GF||CD,

・•・乙EGD=4ABD=20°,乙BGF=乙BDC=70°,

・•.Z.DGF=180°-乙BGF=110°,

・•・（EGF=乙EGD+ADGF=20°+110°=130°,

・•・乙GEH=180°-乙EGF=50°,

,；FE平分乙GEH,

・•・^GEF=乙GEH=ix50°=25°

2

故选:：A.

【点睛】本题考查菱形判断与性质，求菱形内角，掌握菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题

关键.

9.（3分）（2023•广东深圳•深圳中学校考一模）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,将△BCD沿射

线BD平移a个单位长度（a>0）得到△B'C'D',连接4次，则当△是直角三角形时，a的值为（）

D'_______________C

A.\B.yC.（或£D.（或3

【答案】C

【分析】分两种情况：①当/。4笈=90。时，分别过点打、。作D'N±AB,先证明

于是可设B'M=3Z,MB=4k,则BB'=a=5k,再判定四边形COMW为矩形，然后再利用RtAD'AN^Rt^AB'M,

得到关于左的方程，求解即可；

②当/。氏4=90。时，根据勾股定理求出BD的长，再证明△ABB"ADBA得到变=吧,即:=吧,由此可

DBBA54

求出59的长，从而可得答案.

【详解】：①当N。幺9=90。时，如图所示：分别过点夕、。作夕M_LA3,UNLAB,

：AB=4,BC=3,且B'MII/O,

，,AB，MBsADAB,

・B，M_DA_3

*MB~AB-4f

••设夕M=3Z,MB=4k,贝US夕=〃=5Z,

\AM=AB-BM=4-4k,

,

：ZN=ZBMA=ZC=90°f

••四边形CDWM为矩形，

\D'N=C'M=CB'+B'M=3+3k,MN=CfDf=4,

\NA=NM-AM=4-(4-4k)=4kf

：NDAB=90。,

\ZBfAM+ZDfAN=ZDfAN+ZADrN=90°,

•・/B，AM=/ADN

\RtLDANsRtAAB，M,

・ANB，M

•—,

D，NAM

—(fc0),解得k=4

3+314-4fckJ25

7

•••BB'=a=5k=g；

在RtAABD中，BD=y/AB2+AD2=V42+32=5,

'：AB'±BD,

：.AABB'sADBA,

,AB_BBr

••一,

DBBA

・4BBf

54

BB'—a—当，

•.•在平移过程中，ZAD'B'^00,

二综上所述，当△AB7T为直角三角形时，。的长为：：或当，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平移的性质，勾股定理，掌握分类讨论方

法和构造合适的相似三角形是解题的关键.

10.（3分）（2023•湖北襄阳•统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸

板4BCD中，BD为对角线，E,F分别为BC,CD的中点，山31后尸分别交8。，EF于0,P两点，M,N分别

为BO,。。的中点，连接MP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下

列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形EFNB的面积占正

方形力BCD面积的"正确的有（）

O

A.①③B.①②C.只有①D.②③

【答案】C

【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题；

②利用①中结论可以证明。M丰MP,可以解决问题；

③利用①③中的结论，确定四边形EFNB的面积与AOMP的面积比，正方形4BCD面积与AOMP的面积比,

可以解决问题.

【详解】•••四边形ABCD是正方形，BD为对角线

.•.乙48。=4ADB=/-CBD=乙BDC=45°,ABAD=乙BCD=90°

ABC。是等腰直角三角形

F分别为BC,CD的中点，

：.EF\\BD,EF=^BD,CE=CF

■:乙ECF=90°,CE=CF

.•.△CEF是等腰直角三角形

'：AP1EF,EFWBD

：.LAOD=^LAOB=90°

又."4B。=4ADB=45°

.♦.△AB。、△力D。是等腰直角三角形

：.AO=BO,AO=DO

：.BO=DO

△AOB=LAOD

：.AO1BD

又・：OP1BD

；.4、。、P三点共线

：.PE=PF=-EF

2

又N分别为B。，D。的中点

OM=MB=ON=ND=PE=PF

连接PC,如图，

"：FD=CF,ON=ND

：.NF^CD。的中位线，

：.NF\\AC

；4DNF=9。。,AFDB=45°

.•.△DNF是等腰直角三角形

：.NF=ND=ON

■:乙ONF=4NOP=/.OPF=90°

/.四边形FNOP是矩形

,:NF=ON

.,•四边形FNOP是正方形

：.OM=OP

...△OMP是等腰直角三角形

...图中的三角形都是等腰直角三角形

故①正确；

是等腰直角三角形

■:乙FDB=45°

：.MP\\BC

：.四边形MPEB是平行四边形，

在RM0MP中，MP>OM

即

YBE力BM

...四边形MPEB不是菱形

故②错误；

1

*.*0M=BM=ON,S团BEPM=BMxOP,SA0Mp=-xOMxOP,S^0NFP=ONxOP

,•S团BEPM=S国ONFP=2s^OMP

,・S四边形EFNB=S团BEPM+S正方形ONFP+^AOMP=5sAOMP

S^A0B=^xOBxOA=^x2xOMx2xOP

即S-OB=4X-XOMXOP=4sAOMP

又•S正方形4BCD=4sA40B

•,S正方形4BCD=16SAOMP

_5

S四边形EFNB=云S正方形4BC。

故③错误；

故选：c.

【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的

判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键.

填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2023•江苏徐州•模拟预测）一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大20。，则这个

正多边形的边数为.

【答案】9

【分析】设正多边形的外角为x度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方

程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数.

【详解】解：设正多边形的外角为x度，则内角为（3x+20）度，

由题意得：x+3x+20=180,

解得：%=40,

则正多边形的边数为：360。+40。=9,

即这个正多边形的边数为9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角.

12.（3分）（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测）在平行四边形4BCD中，48=5,

AC=2遍,8C边上的高为4,则平行四边形4BCD周长等于.

【答案】20或12

【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可.

【详解】解：如图1所示：

图1

••,在平行四边形4BCD中，边上的高为4,AB=5,4C=2有

•••EC=dAC?2_AE2=2,AB=CD=5,

BE=y/AB2-AE22=3,

AD—BC—5,

4BCD的周长等于=2Q4B+4。）=20

如图2所示：

图2

,•,在48CD中，8C边上的高为4,AB-5,AC=24

EC=sjAC22-AE22=2,AB=CD=5,

BE=y/AB2-AE2=3

BC=3-2=1,

4BCD的周长等于：1+1+5+5=12,

则ABC。的周长等于20或12,

故答案为：20或12.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论的方法是解题的关键.

13.（3分）（2023•江苏苏州・统考一模）如图，已知AaBC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将A4BC绕

点A逆时针旋转得当4夕第一次与BC平行时，连接并延长BC，交4C于点。，贝Utan/CBD=

【分析】证明四边形CFLE是矩形，由旋转的性质得NC4C，=Z.BAB'=NC84,求得tan/CAC，=tanzXBC=

4

进一步得出AE=4.8,UE=3.6,从而可求LF=1.2,BF=4.4,最后即可求出tan/CBD

【详解】解：过点C'作C'E14C于点E,C'FLBC于点R则有：

“'EC=AC'FC=乙C'EA=乙C'FB=90°,

又"=90°,

.••四边形CFC'E是矩形，

J.C'E=FC,C'F=CE,

'：AB'\\BC

：.Z.B'AB=AABC,

由旋转得，“AB=/.CAB',AC=AC=6,

C./-CAC'+Z.CAB=/.BAB'+Z.BAC,

：.ACAC=/.BAB'=4ABC,

在AABC中，“=90。，AC=6,BC=8,

/.tamZ.ABC=-=-=

BC84

/.tdimZ-EAC=-=—,

4AE

在Rt/kZC'E中，设C'E=3%,/E=4%,

22

'：C'E+AE=ac，2即(3X)2+(4x)2=62

解得,x=p

：.AE=4.8,C'E=3.6,

C'F=CE=AC-AE=6-4,8=1.2;C'E=CF=3.6,；

：.BF=BC-CF=8-3.6=4.4,

在RtAC'FB中，tan/FBC'="=丫=三，

BF4.411

2

tanzCBD=—,

故答案为：j

li

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的判定与性质以及解直角三角形等知识，正确作出辅

助线构造直角三角形是解答本题的关键.

14.（3分）（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，在矩形ABCO中，AD=2AB,AM=CN,点M、N分

别在边力。、BC上，连接BM、DN.若器=|，则四边形MBND的形状是.

【分析】先证明四边形MBND是平行四边形，设4M=3%,则MD=5x,AB=4%,利用勾股定理可得BM=

5%=MD,即可得出结论.

【详解】解：•••四边形48CD是矩形，

AD=BC,ADWBC,AB=CD,NB=90°,

•••AM=CN,

•­.DM=BN,

.•.四边形MBND是平行四边形，

.•.AM=—3，

MD5

工设4M=3%,则MO=5%,

AD=8%,

•・•AD=2AB,

・•.AB=4x,

：.BM=^JAB2+AM2=V（4%）2+（3x）2=5x,

BM=MD,

・•.平行四边形MBND是菱形，

故答案为：菱形.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，证得BM=MD是解题

的关键.

15.（3分）（2023•天津武清・统考一模）如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的

面积记为Si，平行四边形的面积记为52,则的值为—.

【分析】如解图所示：延长EN交BC于点F,过点E作EPLBC于P,过点F作FQLMN于Q,过点A作

ADLBC于D,由图可知，图中两个阴影部分面积相等，证出ABEF为等边三角形，四边形NFGM为菱形,

求出等边三角形的边长、菱形的边长和平行四边形的边长，利用锐角三角函数求出等边三角形的高、菱形

的高和平行四边形的高，即可求出结论.

【详解】解：如下图所示，延长EN交BC于点F,过点E作EPLBC于P,过点F作FQLMN于Q,过点

A作AD_LBC于D,

•••平行四边形内有两个全等的正六边形，设正六边形的边长为a

ZAEN=ZA=ZENM=ZMGC=120°,NM〃BC,AE=EN=NM=MG=a

/.ZB=180°-ZA=60°,ZFNM=180°-ZENM=60°,ZBEF=180°-ZAEN=60°,

ZNFG=ZENM=120°=ZMGC

/B=NBEF=60°,ZEFB=180°-ZNFG=60°,NF〃MG,

ABEF为等边三角形，四边形NFGM为菱形

.".NF=MG=a,

；.BE=BF=EF=EN+NF=2a,AB=AE+BE=3a,BC=BF+FG+GC=4a

.\EP=BE-sinZB=V3a,AD=AB-sinZB-a,FQ=NF-sinZFNM=ya

由图可知，图中两个阴影部分面积相等

菱形）

.*.S1=2（SABEF+SNFGM

=2（|BFEP+NMFQ）

=2（|x2axV3a+a--ya）

=3y[3a2

52=BCAD=4ax（a=6>/3a2

.Si_375a2_1

"S2~675az-2

故答案为：|.

【点睛】此题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定及性质、菱形的判定及性质和锐角三角函数，掌

握正六边形的性质、等边三角形的判定及性质、菱形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键.

16.（3分）（2023•广东东莞•一模）如图，在边长为3的正方形A8CD中，点E是CD边上一点，点歹是CB延长

线上一点，AF=AE,连接EF,交于点K,过点A作2//1EF于H,延长交BC于点G,连接HD,若

BG=2,则4K-DH=.

【分析】可证RtAADEmRtAABF(HL),从而可得/。2E=NBAF,MffiAADH=ACDH(SSS),可得AaEF

为等腰直角三角形，从而可证AaKF，可得竺=竺，可证NBFK=NB4G,可得tan/BFK=

EHDH

tanzBXG,可求2=箸，设BK=2x,BF=3x,贝！|4K=3-2%,可证AAKH=^FGH(ASA),可得3-2x=

2+3x,即可求解.

【详解】解：•••四边形48CD为正方形,

AAB=AD,

/.ADE=Z.ABC=乙ABF=/.DAB=90°,

在Rt△ZB尸和Rt△40E中

(AB=AD

UF=AE

Rt△ADE=T<t△ABF(HL),

・•・Z-DAE=Z.BAF,

・•・/,EAF=Z.BAE+Z.BAF=乙BAE+乙DAE=90°,

・•.△4FE为等腰直角三角形，

•・•AH1EF,

,••点〃是EF的中点，

AH=EH=FH=-EF

2f

如图，连接CH,

•••四边形4BCD为正方形，

CD=AD,

•••点H是EF的中点,乙DCB=90°,

1

・・・CH=-EF,

2

・・・AH=CH,

在△4DH和△CD”中

(AH=CH

DH=DH,

AD=CD

ADH=△CDH(SSS),

・・・Z.ADH=UDH=45°,

•・•△4EF为等腰直角三角形,

・・・AAFE=45°,

・•・^AFK=乙EDH=45°,

•・•四边形ZBCD为正方形,

・•・ABWCD,

・•・乙BKF=乙CEH,

・•・乙AKF=2DEH,

.MAKF~AHED,

AK_AF

•t*,--9

EHDH

：.AK-DH=AF-EH,

在等腰直角三角形△4FH中，

AF=V2FH=V2EH,

：.EH=—AF,

2

•・•^BAG+匕AGB=4AGB+乙BFK=90°,

・•・乙BFK=/-BAG.

tanZ.BFK=tanZ-BAG,

BGBK口2BK

/.——=—,即n一=—,

ABBF3BF

设BK=2%,BF=3x,

贝IJZK=3—2%,

在△AKH和中

2BAH=(GFH

AH=FH,

/AHK=乙FHG

：.△AKH=^FGH(ASA),

AK=FG,

•••3—2%=2+3%,

1

•••x=-,

・•.AF2=AB2+BF2

•••AK-DH=AF-EH

V2234117V2

——X---=------.

22525

故答案为：誓.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似

三角形的判定及性质，一般角的三角函数值等，找出2K=FG,从而可得3-2x=2+3x是解题的关键.

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2023•江苏南京•南师附中新城初中校联考二模）如图，在正六边形力BCDEF中，以2D为对角

线作正方形4PDQ，AP.DP与BC分别交于M、N.

（1）ABAM=°；

（2）若力B=4,求MN的长.（参考数据：V3«1.73,结果精确到0.1,可以直接利用（1）的结论.）

【答案】⑴15；（2）1.1

【分析】（1）根据正六边形和正方形的内角及对角线性质求解；

（2）作AO中点O,连接80,连接P。交8c于H,则由题意可以得到OP、OH,从而得到PH、MH,最

后得到的值.

【详解】解：（1）是正六边形A8CDEE和正方形APC。的对角线，

Z.乙BAD=-/.BAF=-x（63180°=60。，/PAD=^5°,

226

:・ZBAM=ZBAD-ZR\D=60°-45°=15°,

故答案为15；

（2）如图，作/。中点。，连接B。,

在正六边形ABCDEF中，CD=BC=AB=4,乙BAF=AABC=ZC=4CDE=120°,

AO.B。平分4BAF、乙ABC,OA=OB,

J.Z.BAO=/.ABO=4CBO=-x120°=60°,

2

C./.ABCZ-BAO=180°,△AB。是等边三角形,

：.BC//AD,AO=BO=AB=4,

：.AD=2AO=8

连接P。交BC于”，

在正方形4PDQ中，AP=DP,ZLAPD=90°,

9：AO=DO,

i1

：.PO=-AD=4,POLAD,AAPO=Z.DPO=-Z-APD=45°,

22

・：AD]IBC,

：.ZMHP=乙4。P=90°,

:•乙BHO=90°,

：.sin/.OBH=—,

OB

♦:乙OBH=60°,BO=4,

.•.OH=4xsin6(T=2百，

,:PH=MH=OP-OH=4—2V3,

：.MN=2MH=8-4V3»1.1.

【点睛】本题考查正方形和正六边形的综合应用，熟练掌握正方形和正六边形的性质、等边三角形和直角三

角形的性质、正弦函数的定义是解题关键.

18.（6分）（2023•浙江•模拟预测）在△ABC中，D,E分别是4B,4c的中点，延长ED至点F,使得DF=DE,

连接8F.

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形.

（2）BG1CE于点G,连接CF,若G是CE的中点，CF=6,tanzBCG=3,

①求CG的长.

②求平行四边形BCEF的周长.

【答案】（1）见解析；

⑵①方；②4b+4&.

【分析】（1）根据三角形中位线定理证明EFIIBC,EF=BC,进而可以解决问题；

（2）①设BG与FC交于点H,设EG=CG=x,贝UFB=EC=2x,证明△FB”CGH,得胃=需=翳=|,

所以FH=4,HC=2,由tan/BCG=券=3,得BG=3CG=3x；证明△GHC是等腰直角三角形，再利用

CG

勾股定理求出尤的值，进而可以解决问题；

②利用①中的结论，求出BF、BG,再利用勾股定理求出BC,最后利用平行四边形的性质即可得出答案.

【详解】（1）证明：E分别是AB,AC的中点，

：.DE\\BC,DE=^BC,

1

*：DF=DE=-EF

2f

：.EF\\BCfEF=BC,

・•・四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：①设BG与FC交于点H,

A

BC

•・・G是CE的中点，

：.EC=2EG=2CG,

四边形BCE尸是平行四边形，

：.FB=EC,EF=BC,FB||EC,

设EG=CG=x,贝！JF8=EC=2x,

*：FB||EC,

・•・乙FBH=Z.CGH,(BFH=乙GCH

OFBHfCGH,

.FB_FH_BH_2

•"CG-HC-GH-I

•：FH+HC=CF=6,

：.FH=4,HC=2,

Pf

VtanZ^CG=—=3,

CG

BG=3CG=3xf

・；BH=2GH,BG=BH+GH,

：.BH=2x,GH=x,

：.GH=CG=x,

•；BG1CE,

.•.△GHC是等腰直角三角形，

•：HC=2,

：.GH=CG=x=—HC=V2,

2

②由①知，EG=CG=x=V2,

••BG=3x=3A/2,FB=EC=2x=2A/2

在口△BCG中，根据勾股定理得：

,I22

BC=y/BG2+CG2=J(3V2)+(V2)=2近，

,平行四边形BCEF的周长=2(BC+FB)=2(2有+2&)=4A/5+4位.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三

角形的判定与性质，解决本题的关键是得到4FBHCGH.

19.(8分)(2023•湖北武汉•校考一模)如图是由小正方形组成的7x5的同格，已知△ABC的顶点8,C

均在格点上，顶点A在小正方形的边上(不在格点上)，仅用无刻度的直尺在给定同格中完成面图，画图

过程用虚线表示.

(1)在图1中画出线段AB的中点E,画出平行四边形4BDC；

(2)在图2中过点A作一条直线4P交线段BC边于点P,使4ABP^L4CP面积比为3:4；

(3)在图3中作AZBC的边上的高4，

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)利用网格特征，平行四边形的判定画出图形即可；

(2)利用平行线分线段成比例定理，画出图形即可；

(3)作出点A关于BC的对称点，连接44交BC于点。，线段4。即为所求.

【详解】(1)解：如图1中，取线段与水平格线的交点E,取线段4C与水平格线的交点凡

VEF||BC,

AEFABC,

又b4£尸和4对应高之比为1:2,

tAE_1

,,~A~B=一2,

.・•点£是线段4B的中点,

取线段BC中点M,连接并延长与BC下方第二条水平格线交于点M,

同理，AM=DM,

•••BM=CM,

・•・平行四边形力BDC即为所求;

图1

(2)解：取点A向左两个单位格点R点8向左1个单位再向上1个单位为格点M,并连接FM交格线于点

E,点C向下两个单位取点Q,连接EQ交BC于点P,连接4P,

由题意得：乙FDE=乙MNE=90°,4DEF=4NEM,DF=MN,

FDE=△MNE,

DE=EN=-DN,

2

设每个小正方形边长为1,贝！=1+|=|,CQ=2,

•・•乙PBE=Z.PCQ=90°,(BPE=(CPQ,

BPECPQ,

.BP_BE_I_3

''CP-CQ~2-4’

・••△/52与44。Q面积比为3:4,

图2

・•.ZP即为所求;

(3)解：连接48交格线于点E,取点3上方两个单位格点连接ME并延长交于点。，连接4),

由(1)知ZE==OE,

・•・四边形4MB0是平行四边形，

•・•/,AMB=90°,

四边形4MBD是矩形，

.­.4ADB=90°,

AABC的边BC上的高.

图3

4。即为所求.

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键

是学会利用数形结合的思想解决问题.

20.（8分）（2023•安徽合肥•统考三模）如图，在四边形A8CD中，乙48c=120。，对角线BD平分乙4BC,

BD=BC,E为BD上一点、,SLBA=BE,连接力C交BD于点EG为BC上一点，满足BF=BG,连接EG交AC

于点H,连接

（1）①求证：4EHF=60°；

②若H为EG中点，求证：AF2^2EF-EB-,

（2）若AC平分ND4B,请直接写出NEC4与乙4cB的关系：.

【答案】（1）①见解析，②见解析

（2）ZFCX=/.ACB,/.ECA4-/.ACB=60°

【分析】（1）①通过证明AABFmAEBGISAS）得出NB4F=NBEG,再证明△EFH4FB,即可求证；②

根据点X为EG中点，得出EH=；EG,根据△EFH-LAFB,得出芸=3进而推出黑=翌，结合EG=4F,

2EFEHEFEG

得出差=若，即可求证；

EFAF

（2）易证ABC。为等边三角形，推出CDII4B,再根据等角对等边得出2。=CD,进一步得出四边形4BCD为

菱形，此时点石与点。重合，贝1」乙£乙4=乙4。8,^ECA+AACB=60°,

【详解】(1)证明：@,：^ABC=120°,对角线80平分

：.^ABF=乙EBG=60°,

•；BA=BE,乙ABF=^EBG=6。。,BF=BG,

：.△ABF三△EBG(SAS),

：.ABAF=乙BEG,

■:乙EFH=/-AFB,

：.△EFHs〉AFB,

:•乙EHF=4ABF=60°；

②・・,点H为EG中点，

i

：.EH=-EG,

2

由①可得：4EFH八AFB,

.AF_AB

**EF-EH'

9：BA=BE,

・・・丝=普，整理得：,

EF匏GEFEG

由①可得4ABFEBG(SAS),

：.EG=AF,

・AF_2BE

**EF~AF'

：.AF2=2EF,EB.

(2)解：9：^ABC=120°,80平分4ABC,

・••匕ABD=乙CBD=60°,

•；BD=BC,

:•△BCD为等边三角形，

・"CDB=60°,CD=BC=BD,

：.CDWAB,

：.^DCA=ABAC.

•・・/C平分448,

J.^LDAC=Z-BAC,

：.^DCA=ADAC,

：.AD=CD,

"：AB=BD,

:4ABD=60°,

...乙4BD为等边三角形，

则AB=AD=BD,

：.AB=BC=CD=AD,

四边形48CD为菱形，

'：BA=BE,

，此时点E与点。重合，

J.A.ECA=^ACB,Z.ECA+乙4cB=60°,

故答案为：/-ECA=Z.ACB,/.ECA+^ACB=60°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，

菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定定理，并灵活运用.

21.(8分)(2023•河南新乡•校考二模)综合与实践

背景阅读

早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那

么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在

本题中，我们把三边的比为3:4:5的三角形称为(3,4,5)型三角形，例如：三边长分别为9,12,15或3企，4位,

5企的三角形就是(3,4,5)型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.

实践操作

如图1,在矩形纸片4BCD中，AD=8cm,AB=12cm.

第一步：如图2,将图1中的矩形纸片4BCD沿过点4的直线折叠，使点。落在力B上的点E处，折痕为2F,

再沿EF折叠，然后把纸片展平.

第二步：如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点尸重合，折痕为GH,然后展平，隐去4F.

第三步：如图4,将图3中的矩形纸片沿4”折叠，得到△AD”，再沿AD'折叠，折痕为力M,AM与折痕EF交

于点N,然后展平.

问题解决

(1)请在图4中判断N尸与N。的数量关系，并加以证明；

(2)请在图4中证明△4EN是(3,4,5)型二角形；

(3)探索发现在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形？请找出并直接写出它们的

名称.

【答案】⑴NF=ND，,证明见解析

(2)证明见解析

(3)AMFN,LMD'H,△MD4是(3,4,5)型三角形

【分析】(1)先证明四边形4EF。是正方形，再连接HN,由折叠的性质得到乙=4。=90°,HF=HD=

HD',根据正方形的性质可得N"D'N=90。，再根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据正方形的性质得到4E=EF=4。=8,由折叠得4〃=4。=8,设NF=K,则ND=乃再根据

勾股定理列方程得到久=2,结合(3,4,5)型三角形的定义即可得证；

(3)根据相似三角形的判定和性质并结合(3,4,5)型三角形的定义即可得到结论.

【详解】(1)数量关系：NF=ND.

证明：：四边形4BCD是矩形，

=乙DAE=90°,

由折叠性质得到：AE^AD,^AEF=4。=90°,

：.^D=Z.DAE=AAEF=90°,

四边形4EFD是矩形，

"：AE=AD,

二四边形2EFD是正方形，

连接HN,由折叠性质得到：/.AD'H=/.D=90°,HF=HD=HD',

•..四边形力EFD是正方形，

:.乙EFD=90°,

"：^AD'H=90°,

：.AHD'N=90°,

在Rt△HNF和Rt△HND'中,

(HN=HN

iHF=HD''

Rt△HNFmRtAHND'(HL),

：.NF=ND'.

(2):四边形