贵州省黔西南州2023~2024学年 高二下册期末教学监测数学试题有解析

/贵州省黔西南州2023−2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知变量和变量的3对随机观测数据为，则这组样本数据的样本相关系数为（

）A． B． C．1 D．2．五人站成一排拍照，其中甲､乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种3．黔西南州某中学为了了解2022级学生的课外活动情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从男生和女生两层共抽取45名学生．已知该校2022级男生和女生分别有500人和400人，则不同的抽样结果共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种4．的二项展开式中，当时，第项的值是，则（

）A．0 B．1 C．2 D．35．已知，则（

）A． B． C． D．6．已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（

）A． B． C．2 D．7．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球､5个白球，乙箱中有8个红球､2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子中随机摸出1个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为（

）A． B． C． D．8．设随机变量的分布列如下（其中），表示的方差，则当从0增大到1时，（

）012A．有最大值也有最小值 B．无最大值也无最小值C．无最大值但有最小值 D．有最大值但无最小值二、多选题（本大题共4小题）9．针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得，参照附表，则下列结论正确的是（

）附表：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”B．根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”C．根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”D．根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”10．若随机变量且，则下列选项正确的是（

）A． B．C．的最小值为18 D．11．下列判断中正确的是（

）A．一组从小到大排列的数据，若去掉与不去掉，它们的分位数相等，则B．已知两组数据与，设它们的平均数分别为与，将它们合并在一起，则总体的平均数为C．已知离散型随机变量，则D．在线性回归模型中，记样本相关系数为，当的值越接近1时，这两个变量的线性相关性越强12．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（

）（参考数据：若，则）A．B．C．D．取得最大值时，的估计值为53三、填空题（本大题共4小题）13．已知随机变量，其中，若，则．14．一个袋中装有4个小球，编号为，从中任取2个，用表示取出的2个球编号之和，则．15．已知多项式，则．16．泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则抽到的次品的个数小于2的概率约为．（参考数据：）四、解答题（本大题共6小题）17．2024年5月1日至5日，“康养胜地·人文兴义”黔西南州群众文化展演在万峰林举行，共举行了8场精彩的布依族刺绣节目，前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如下表所示：场次编号12345观众人数0.70.811.21.3(1)求与的相关系数（结果保留3位小数）；(2)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程．参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，，相关系数．18．每个国家对退休年龄的规定不尽相同，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：年龄段（单位：岁）被调查的人数101520255赞成的人数61213122已知从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在的概率为．(1)求出表格中的值；(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行按比例分配的分层随机抽样，从中抽取10人参与某项调查，再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．19．观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即．已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)请利用上述杨辉三角的性质求数列的前项和．20．今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如图所示的样本频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；(2)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立，记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求分布列及期望.21．已知函数（为自然对数的底数）.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围.22．已知为抛物线的焦点，过点作抛物线的两条相互垂直的弦．(1)求的值；(2)过定点任意作抛物线的一条弦，均有，求的值．

答案1．【正确答案】C【分析】作出散点图，结合图形即可得解.【详解】作出散点图，如图：观察图形，得点在一条直线上，所以这组样本数据的样本相关系数为1.故选C.2．【正确答案】B【分析】相邻问题利用捆绑法，首先将甲、乙两人捆绑，再将捆绑后的甲、乙安排到中间2个位置中的一个，最后将其余人全排列.【详解】由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法，其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法，最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有种.故选B.3．【正确答案】B【分析】由分层抽样求得男生和女生分别抽取的人数，然后由组合知识及乘法原理计算．【详解】设男生抽取人，则女生抽取人，由题意得，解得，，所以不同的抽样结果数为，故选B.4．【正确答案】D【分析】由二项展开式通项公式写出第项，再由已知条件求解．【详解】由题意第项为，且，所以，显然为奇数，则或，当时，；当时，；综上，.故选D．5．【正确答案】A【分析】根据条件概率公式式计算．【详解】由得，.故选A．6．【正确答案】C【分析】利用分布列的性质求出，再利用期望的定义及性质求解即得.【详解】由，得，由，得，于是，所以.故选C.7．【正确答案】A【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可得解.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，因此从甲箱中摸到红球的概率为；从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，因此从乙箱中摸到红球的概率为，所以摸到红球的概率为.故选A.8．【正确答案】D【分析】根据给定的分布列求出期望，再由方差定义求出，结合二次函数性质判断得解.【详解】由分布列，得随机变量的期望，则，由，得当时，取得最大值，无最小值.故选D.9．【正确答案】AD【分析】利用的观测值，结合独立性检验的思想判断得解.【详解】依题意，，根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”，A正确，B错误；根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”，C错误，D正确.故选AD.10．【正确答案】ACD【分析】利用正态分布的对称性判断AB；由对称性求出，再求出最小值判断C；利用期望的性质计算判断D.【详解】随机变量，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，由，得，即，则，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，则，D正确.故选ACD.11．【正确答案】CD【分析】求出分位数判断A；计算总体平均数判断B；利用二项分布期望公式计算判断C；利用线性相关系数的意义判断D.【详解】对于A，由，得原数据的分位数为，由，得去掉后的数据的分位数为10，因此，A错误；对于B，依题意，，则总体的平均数为，B错误；对于C，由，得，则，C正确；对于D，当的值越接近1时，这两个变量的线性相关性越强，D正确.故选CD.12．【正确答案】ACD【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确；对于B，由，得，又，于是，即，因此，即，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，，设，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值时，的估计值为53，D正确.故选ACD.【方法总结】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记，，的值;②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.13．【正确答案】【分析】由二项分布的方差公式求得，再由期望公式计算．【详解】由题意，又，故解得，所以．故．14．【正确答案】5【分析】确定的可能值为，依次求出各概率，再由期望公式得期望值．【详解】由题意的可能值分别为，从4个球中任取2个的总方法为，和分别为的方法数依次为，，，，，，所以，故5.15．【正确答案】【分析】用赋值法求解：分别令和代入后可得．【详解】令即得（1），令即得（2），（1）（2）得，所以，故．16．【正确答案】0.74/【分析】根据给定公式计算．【详解】由已知，，，所以抽到的次品的个数小于2的概率为，故0.74/.17．【正确答案】(1)0.993(2)【分析】（1）根据相关系数公式计算；（2）由已知公式求出回归方程中的系数得回归方程．【详解】（1）由已知，，，，，所以；（2）由已知，，所以回归直线方程为.18．【正确答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）的值等于总人数减去其余各组人数的和，利用的概率为求出的值；（2）利用分层抽样的比例可以求出10人中，赞成的有8人，不赞成的有2人，而表示从10人中抽取的4人中赞成“延迟退休”的人数，所以的可能取值为2，3，4，然后求出其对应的概率，就可完成的分布列.【详解】（1）由抽取的总人数为100人，得，由从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，解得，所以.（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4，则，，，所以的分布列为：234数学期望.19．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项.（2）利用杨辉三角的性质可得，再结合裂项相消法求和即得.【详解】（1）数列中，由，得，因此数列是常数列，而，则，解得，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，而，即当时，，令数列的前项和为，则，显然当时，满足上式，所以数列的前项和.20．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）计算出成绩落在各组的频率，得到该校学生测试成绩的中位数落在，设出中位数，得到方程，求出答案；（2）先得到甲乙分别能进行复赛的概率，进而得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）成绩落在内的频率为，成绩落在内的频率为，成绩落在内的频率为，由于，，故该校学生测试成绩的中位数落在内，设中位数为，则，解得，故估计该校学生测试成绩的中位数为（2）从6道题中选4道共有种选择，因为甲能答对其中的4道，故甲能进行复赛的情况有种，故甲能进行复赛的概率为，不能进复赛的概率为，因为乙能答对其中的3道，故乙能进行复赛的情况有种，故乙能进行复赛的概率为，不能进复赛的概率为，的可能取值为，，，，故分布列如下：012数学期望为.21．【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）由导数的几何意义求切线方程；（2）由有解得出的范围，并验证此解为极小值点，求出极小值，再判断出极小值不小于0时的参数范围.【详解】（1），则，，显然是增函数，又，所以，，切线方程为，即；（2）由已知，有极小值，则有解，由，得，设的解为，时，，递减，时，，递增，因此为的极小值，由得，极小值，记，易知函数是减函数，，当时，，当时，，所以当时，，当时，，当时，，而的极小值不小于0，所以的取值范围是.22．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）求出抛物线焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，