复数数系扩充问题研究5900字【论文】

复数数系扩充问题研究 2 2 2 32数域的扩张 42.1数的理论扩充 42.2实数域 2.3实数到复数 3复数 93.1复数的四则运算 93.2复数域 4复数的其它表达形式 4.1复数的三角表达式 14.2复数的指数表达式 15复数的应用举例 5.1利用复数简化问题 6四元数 摘要：数的产生方便了我们的生活，古往今来，数不断的在扩经从整数扩充到了复数.本篇文章就关于复数域的扩张进行研究和论述.采用文献综述法与分析法从复数产生的历史背景，数系扩充的条件，从实数域出发阐述复数域是如何从实关键词：数域；域的扩张；复数域复数域的扩充是一个漫长而复杂的过程，起初人类为了记录物体的数量而产生了数，目前数的发展历经了自然数，整数，有理数，实数再到复数这几个过程，而在近代开始慢慢产生数域的理论，目前所学的数域包括有理数域，实数域和复数域.那么本文在参考借鉴他人的经验基础上，以及查阅相关文献资料后详细阐述复数域的扩充.1.1选题背景角度把实数作为一个整体来考虑也没有启用抽象的公里定义它，更没有形成域的概念.域的具体概念在19世纪末开始形成，历史上数域的发展过程对数学这一学科产生了十分重数的产生反驳了万物公比的理论.然而随着时代的进步，产生新的数不单单只是为了服务于人类，比如复数的产生.域是在群和环的基础上提出来的.对于四则运算封闭的数的集合1.2研究的问题本研究以数系的扩充历史以及数域的扩张为前提进行复数域史的扩张分析研究.其中主要研究复数域在实数域上的扩张以下介绍的群、环、域都是满足运算封闭的.定义非空集合G的代数运算。满足以下条件：则称G对这个代数运算作成一个群如果对群G的任意两个元素a,b均有3、乘法对加法满足左右分配律则称R对这两个代数运算作成一个环.如果环的乘法满足交换律，即对任意的元素a,b都有则称该环为交换环.定义设R是一个环，如果|R|>1,又R有单位元且每个非零元都有逆元，则称R是要弄清楚域的扩张首先我们得搞明白数的扩张.纵观历史，我把数系的扩充分为了四有理数数到实数的扩充，引入了无理数，解决了除不尽的问题.第扩充，引入了虚数，解决了在实数域上二次方程没有根的问题41.每算带来了新的生机和挑战.那么下面我们一起来讨论一下数域是怎么扩张的?2.1数的理论扩充后指出新数系的某一个子集与以前的数系是同构的7.从一个数系A扩充到另一个数系B,应当遵循以下原则：(2)在B上建立各种运算，A的元素间所定义的运算在B中是一致的.(3)B结构和A的结构可能有本质不同.也就是说A中不是所有运算都能运行，但在B中却可以进行.(4)在A的具有上述三个性质的所有扩充.在同构意义下的是最小唯一扩.数系的每一次扩充解决了原数系的某些矛盾，从而适用范围扩大了，但每一次扩充也失去了一些性质，如实数域中有顺序性在复数域失去了.2.1.2有理数到实数在今天的教学中，负数的引入就是通过算术的方法来引入的，通常是一个较小的数字减去一个较大的数字，就可以得到一个负数.负数的引入解决了不够减的问题.如今也广泛得应用到人们的生活中比如温度，水位，盈亏等等.2.2实数到复数从实数到复数的扩充并不是一蹴而就的，在初中阶段学习一元二次方程时就会遇到某些方程如：x²+1=0在实数范围内无解，此时符合该方程的判别式小于零.为了解决这类特殊方程无解的情形，由此引入了虚数i,并将实数进行扩充到复数，这也是数集的一次巨大飞跃.上面提到的方程x²+1=0的解可以表示为x=±√-1,而在初中阶段学习二次根式时，被开方数不能为负数，所以√-1在实数内是不符合条件的.此时必须要引入新的数.接下来科学家们就开始考虑有没有一个数是的它的平方等于-1,经过长久的发现，终于找到i,且令i²=-1所以x²+1=0的解就可以表示为x=±i.一些方程的解不能在实数集上表示.就此就引入了虚数单位.把a与i相加就得到a+i,把b与i相乘得到bi,把a和bi相加就得到a+bi,于是所有的复数写成z=a+bi(详细证明过程在下文),把所有复数集中在一起，写作：的解.2.3复数域复数域的定义有异于域的定义.如果能证明实数是复数的一个子集，实数与复数是同构的，就可以说复数对于加法和乘法做成一个域.②数对的加法(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);③数对的乘法(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).定义1全体有序实数对的集合C。关于上述加法和乘法构成一个域.分析若需证明集合C。关于上述加法和乘法构成一个域.则需证明①加法的结合律；②加法的交换律；⑤乘法的结合律；⑥乘法的交换律；⑦乘法对加法的分配律；⑧乘法有单位元；⑨对C₀的每一个非零元素，都有乘法逆元.证明以上的证明选择一两条证明，证明过程如下：②加法的交换律令α₁=(a,b),α₂=(c,d)……因为a,b,c,d∈R,所以a+c=c+a,b+d=d+b即③加法有零元因为数对证明设φ:R₀→R,φ:(a,0)→a即有φ[(a,O)+(b,O)]=φ(a,O所以有R₀与R同构.设R₀是C₀中所有形如(a,0)的实数对作成的集合.所以φ是R₀到R上的一个同构映射.所以φ是C。到C的——映射.其中所以是具有两种代数运算(加法和乘法)的集合7.集合C关于这样定义的两种运算与域C同构.所以C是一个域.做复数域.在上文我们提到i²=-1,那么到底是证明得来的呢?下面我们进行详细的证明.-i=-(0,1)=(0,-1),按照上述法则(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)有；(-i)²=(-i)(-i)=(0,-1)(所以(-i)²=-1.综上可得在上文提到的方程x²+1=0在C中的解就可以表示为我们C叫做复数域，那C中的数应该怎么表示呢?定理2在复数域C中，任意的一个数α都可以表示为α=a+bi的形式，且a,b∈R证明因为C与C₀同构(CC₀),所以，C₀中的运算法则在C中也同样适用.(a,b)=(a,O)+(0,b),(0,b即(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,所以i为虚数单位且i²=-1.叫做纯虚数.复数x+yi和x-yi称为互为共轭复数，即x+yi是x-yi的共轭复数，或x-yi是x+yi的共轭复数复数z的共轭复数3,常记为z,于是Z₁+Z₂=(a+bi)+(c+di)=(a+cZ₁+Z₂=Z₂+Z₁;(z1+z2)+z3=(Z₁+z₂)+Z3.Z₁-Z₂=(a+bi)-(c+di)=(a-c)乘法类似两个多项式相乘，展开得：ac+adi+bci+bdi商.即复数最基本的表达式是z=a+bi,也叫做复数的代数式.但是除了最基本的表达式以4.1复数的三角表达式对于复数Z=a+bi有：所以我们定义：叫做复数的三角形式.当r=1时，这种复数称为单位复数.4.2复数的指数表达式我们熟知的欧拉公式：而且可以验证利用上一个公式可以改写成z=rei⁰也就是说任意一个非零复数z都可以改写成我们称它为复数的指数形式，这里的argz不必取主值.5复数的应用举例复数理论在数学家们的长期探索下，已经得到了发展.经过许多数学家长期不懈的努力，复数理论得到了深入的探索和发展，从而揭开了虚数的神秘面纱.虚数已经成为数系的一员，因而实数集已经扩展为复数集31.随着时代的进步，复数理论变得重要.它不仅对数学本的发展具有重要意义，而且在简化许多步骤.5.1利用复数简化问题复数的发展已经有着越来越重要的地位，在数学问题，物理问题中都有着十分重要的作用，接下来主要讲述一些关于复数简化数学问题的例子：5.1.1复数在解析几何中的应用复数在解析几何中的应用广泛，在这里仅以高三解析几何试题的复数解法为例.在数学教学中复数和解何都是较为重要的内容，并且是学生学习数学知识过程中必须攻克的学习难点，对高中阶段学生数学学习产生着重要的影响.在数学教学中加强.对复数的应用，能够帮助学生学习和处理解析几何方面的问题，为学生更好的学习高中数学知例1M为抛物线y=x²-2x+3上的一点，连接OM,作矩形OMNP,使|OP|=2|OM|,求动点P的轨迹.解设P,M对应的复数分别为x+yi与x'+y'i,则由向量OM与OP或OP′间接的关系有或或者即为动点P的轨迹方程.以上这题向我们很好的展示了复数在解析几何中求解动点轨迹方程的作用，中学阶段求解动点轨迹类问题都是比较复杂的，属于难点问题，但是在复数中就能使得这类题型得到简捷明了的解决.例2设z₁,Z₂,z₃满足条件z+Z₂+Z₃=0,|z|=|z₂|=|z3|=1试证z,Z₂,z₃时一个内接于单位圆周的|z|=1的正三角形顶点.证明由题意可知，点z,Z2₂,z₃在单位圆|z|=1上，要想证z,Z₂,Z₃是一个内接于单位圆=ZZ₁+Z₂Z₂+Z1Z₂+Z₂Z₁=|21²+|z₂²+(z₁Z₂+Z₂Z=zZ+Z₂Z₂-z₁z₂-Z₂Z₁=|2|²+|就拿这道题来说，把复数类似于向量来解决问题是非常新颖的方法，同时也使得这种证明题有了更多的解题思路.5.1.2共轭思想在解题中的应用高中阶段我们所学的共轭复数是形如a+bi与a-bi这样的，它对于解决复数的部分题型具有十分简洁的作用，使得解题步骤得到简化.以下面这道题为例.证明对于任意的复数z,由|z²=zz可知：z+z₂²+|z-z₂²=(z₁+Z₂)(Z₁+=(Z₁Z+Z₂Z₂+z₁Z₂+z₂Z)+(z₁Z₁从这道题中可以明显看出，共轭思想对于这种题型所起的简化作用是非常明显的，从z+z₂²+|z-z₂l²=2(z₁²+lz₂²)中简化了中间的推导过程，学生只需要记住该公式就可以直接运用它来解决其他问题.四元数是一种新型的数，它是复数的推广.下面介绍四元数的产生与定义.哈密顿认为，复数a+bi视为平面上的一个向量或一个点，那么就可以把复数从二维(平面推广到三维(空间)或更高维空间，并依然具有复数的基本他考虑了形如的数，其中a,b,c为实数，i为复数中的单位虚数，而J为个与i不同的数，但同样有(a₁+b₁i+c₁j)±(a₂+b₂i+c₂j)=(a₁±a₂)使得无法实现除法，即不能确定两个数的商.于是哈密顿放弃了有关“三维复数”的研究，而转为考虑“四维复数”a+bi+cj+dk定义这种数的加法与减法是容易的，与复数或前面三维情况类似接下来定义乘法.要定义乘法，首先就需要对数i,j,k相乘的积作出规定：为了解释四元数的定义，先来解释哈密顿的乘法公式①②在②式的左右两边各乘以一个k,则得到但另一方面于是得到对此两端各乘以J有再对两端各乘以i,可以的得到这是哈密顿为了把复数推广到四维空间而不得不做出的“牺牲”,事实上，如果仍然j=-ji=kjk=-kj=i,ki=-ik=j③这样由①式和②式推导出了③式.现在用乘法法则①式和③式来定义四元数的乘法=aa-bb′-cc'-dd'+(ab'+a'b+cd'-c'd)i+(ac+a'c+b'd-bd'这就是说，两个这样的数相乘的乘积仍然式一个这样的数了规则①式和③式进行转换.四元数加减的定义与向量完全相似=(a₁±a₂)+(b₁±b₂)i+(c₁±c₂)j+可以看出，四元数对加法交换律成立：对加法与乘法成立结合律：四元数满足分配律：在这些规律中，四元数与实数和复数的情况是一致的，但是在乘法中，四元数失去了交换律，在两个四元数相乘时一定要注意左右顺序：一般来说9192,9₂91不相等，两个相等需要满足一定的条件.四元数的发现具有重要意义.四元数是历史上发现的第一个乘法不能交换而除法可以做的数系.在现代数学语言中，四元数在实数域上形成一个四维线性空间的代数，是第一个被发现的非交换可除代数.[5]徐传胜周厚春.《数学史讲义概要》.[6]杨子胥.《近世代数》第三版.[9]韩啸.若干重要定理在复数域中的推广[J].科学大众(科学教育),2016(12):152.[10]胡江，王玉.复数域上微分中值定理新证[J].高等数学研究，2008(04):71-73.[11]张彬.APOS理论下的“数系的扩充与复数的引入”教学研究[D].扬州大学，2019.[12]邹慧群.《把实数扩充到复数以后》的两点补充[J].天津教育，1981(07):24-26.[13]沈伯英.复数域之结构及其扩张[J].中学教研，1989(08):32-36.[14]孙自行.复数以后一一我们能走多远[J].自然杂志，1992(08):615-619.[15]焦俊萍.四元数的发现及其意义[D].山西师