2023-2024学年山东省青岛市胶州市高二下学期期末学业水平检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市胶州市2023-2024学年高二下学期期末学业水平检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，所以.故选：B.2.口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（）A.20 B.26 C.32 D.36【答案】B【解析】从个球中任取个球的取法共有种，两个球都不是红球的取法有种，所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为.故选：B.3.函数与的图象（）A.关于对称 B.关于对称C.关于对称 D.关于对称【答案】C【解析】设函数与的图象关于直线对称，因为函数图象关于对称图象的函数解析式为，所以，解得.故选：C.4.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，故，又因为的值域为，则需满足，，解得.故选：B.5.函数，则，（）A.是偶函数，且在区间上单调递增 B.是偶函数，且在区间上单调递减C.是奇函数，且在区间上单调递增 D.是奇函数，且在区间上单调递减【答案】A【解析】的定义域为,且，故，即函数是偶函数；因，当时，，则，即函数在区间上单调递增.故选：A.6.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】事件“相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域3只有1种涂色方法，若区域4、区域2颜色相同，则区域3只有2种涂色方法，所以相邻区域颜色不同包含的基本事件有：；事件“区域1和3颜色相同”，先对区域1、区域3涂色有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，有2种涂色方法，区域1和3颜色相同所包含的基本事件有：；故所求概率为.故选：C.7.已知，，，则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因为，，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：C8.函数满足对任意的，均有，且，则（）A.4048 B.4046 C.2024 D.2023【答案】B【解析】对任意，均有，所以当时，，所以，故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】对A，根据指数函数以及，可得，故A错误；对B，根据指数函数性质即可判断；底数大于1时是增函数，底数越大增的越快即越大，故B正确；对C，因为log33.1>log33=1对D，，故D正确.故选：BD10.已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（）A.是的极小值点 B.有2个极大值点C.在区间单调递增 D.【答案】BCD【解析】A：由题意知，当时，，所以不是的极小值点，故A错误；由图知，当时，函数f'(x)-1>-1⇒f'当时，函数，递减，当时，函数，递增，当时，函数，递减，所以当或时，取得极大值，故B正确；且在区间单调递增，故C正确；D：由题意知，由图，得，f'x-1>0⇒所以区间内单位增长率大于1，且，可得f2>2，故D正确；故选：BCD11.假设每次实验只有两种结果“成功”和“失败”，且每次实验的成功概率都是，若进行多次实验，直到失败次，那么成功的次数服从“负二项分布”，记作：，若，则（）A.若，则，B.若，则的数学期望C.，D.若最大，则，【答案】ABD【解析】对于选项AB：若，则即进行次实验，失败1次即结束，可知失败之前均为成功，所以，，因为，因为，所以的数学期望，故AB正确；对于选项CD：若，则进行次实验，第次之前成功次，第次失败，所以，，故C错误；若最大，则，即，解得，所以若最大，则，，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.展开式中的系数为______.【答案】140【解析】由题意可知：只能为1项、3项和3项相乘而得，所以系数为.故答案为：140.13.已知，，，则______.【答案】【解析】根据题意可知，，，所以代入已知条件得，，所以可得.故答案为：14.已知，过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为______；若切点为，，则的取值范围为______.【答案】；【解析】对于第一空：已知，过点可作曲线的两条切线，，若切点为，，则，整理得，同理，所以关于的方程在上有两根，且不是该方程的根，设gx=t若，则，这表明单调递减，故此时最多有一个零点，从而，当时，，当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，设，则当时，，当时，，所以要使关于的方程在上有两根，只需gxmax=g则，当时，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，且注意到，所以满足ht=t2-t-对于第二空：由以上分析可知，，所以，令mt=t2-t+1=即的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若为函数的一个极值点，求曲线的对称中心.解：（1），，，因为函数在上单调递增，所以当，恒成立，又二次函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，所以只需，即，故实数的取值范围为；（2）由，函数的一个极值点为，所以，解得，此时，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，所以为函数的极小值点，故满足题意，所以，设曲线的对称中心为，由题意，函数为奇函数，则，由，即对任意恒成立，得，因为，所以，解得，所以曲线的对称中心为.16.某种植物子二代的基因型为，，，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.（1）在子二代中按基因型比例抽取4株，再从这4株中随机抽取2株，求抽取的基因型是的株数的分布列和期望；（2）在子二代中任意选取2株进行杂交实验，求子三代中基因型为的概率.解：（1）在子二代中按基因型比例抽取4株，则基因型为，，的分别为1，2，1株，再随机抽取2枚，基因型是的株数可能取的值为0，1，2所以则分布列为012的期望为（2）子二代基因配型有六种情况，分别记为事件子三代中基因型为记为事件，则事件配型010所以.17.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若的最小值为，求的值.解：（1），当时，，所以在上单调递增当时，由得，由得所以区间单调递减，在区间单调递增（2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值当时，在区间单调递减，在区间单调递增所以，所以令，则，由得，，所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为所以，所以的值为1.18.氨基酸在茶叶中约占1%到4%的含量，为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联，抽取90份样品列表如下：氨基酸春季夏季含量高3020含量低1525（1）根据小概率值的独立性检验，分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响？（2）随机抽取1000份茶叶，氨基酸含量近似服从正态分布，其中恰有23份氨基酸含量不小于0.03.①求；②如果茶叶中氨基酸含量小于1.5%，则该份茶叶为乙等产品，求这批茶叶中的乙等产品约有多少份.附：Ⅰ.参考公式：，其中.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.0.10050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828Ⅱ.对任何一个正态分布服从来说，通过转化为标准正态分布服从，从而查标准正态分布表得到可供查阅的（部分）标准正态分布表：11.21.41.61.822.22.42.60.8410.8850.9190.9450.9640.9770.9860.9920.995解：（1）因为所以，依据的独立性检验，可以认为季节（春夏）对茶叶氨基酸含量有影响.（2）①由题意，所以故因为，所以，.②茶叶中氨基酸含量小于0.015时为乙等产品，而根据标准正态分布的对称性，所以这批茶叶中的乙等产品约有.19.已知函数的一个零点是．（1）求的值；（2）设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方；（3）若关于的方程有两个不相等的实根，求证：．解：（1）由题知，，所以；（2）由题知，，又因为，所以直线：令，，则，因为，又因为在上单调递增，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，故所以，即上的点都不在直线的上方；（3）令，得，当时，，在区间单调递增，当时，，在区间单调递减，又，，所以有两个零点1和，在处的切线为，在处的切线为设与两条切线交点的横坐标分别为，则，由（2）知，所以记，，因为，所以，故在上单调递增，所以，所以．山东省青岛市胶州市2023-2024学年高二下学期期末学业水平检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，所以.故选：B.2.口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（）A.20 B.26 C.32 D.36【答案】B【解析】从个球中任取个球的取法共有种，两个球都不是红球的取法有种，所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为.故选：B.3.函数与的图象（）A.关于对称 B.关于对称C.关于对称 D.关于对称【答案】C【解析】设函数与的图象关于直线对称，因为函数图象关于对称图象的函数解析式为，所以，解得.故选：C.4.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，故，又因为的值域为，则需满足，，解得.故选：B.5.函数，则，（）A.是偶函数，且在区间上单调递增 B.是偶函数，且在区间上单调递减C.是奇函数，且在区间上单调递增 D.是奇函数，且在区间上单调递减【答案】A【解析】的定义域为,且，故，即函数是偶函数；因，当时，，则，即函数在区间上单调递增.故选：A.6.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”，如图所示，用4种不同的颜色给图中5块区域涂色，记事件“相邻区域颜色不同”，事件“区域1和3颜色相同”，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】事件“相邻区域颜色不同”，先对区域1涂色，有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，若区域4、区域2颜色不同，则区域3只有1种涂色方法，若区域4、区域2颜色相同，则区域3只有2种涂色方法，所以相邻区域颜色不同包含的基本事件有：；事件“区域1和3颜色相同”，先对区域1、区域3涂色有4种涂色方法，对区域2涂色，有3种涂色方法，对区域5涂色，有2种涂色方法，对区域4涂色，有2种涂色方法，区域1和3颜色相同所包含的基本事件有：；故所求概率为.故选：C.7.已知，，，则的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因为，，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，故选：C8.函数满足对任意的，均有，且，则（）A.4048 B.4046 C.2024 D.2023【答案】B【解析】对任意，均有，所以当时，，所以，故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】对A，根据指数函数以及，可得，故A错误；对B，根据指数函数性质即可判断；底数大于1时是增函数，底数越大增的越快即越大，故B正确；对C，因为log33.1>log33=1对D，，故D正确.故选：BD10.已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（）A.是的极小值点 B.有2个极大值点C.在区间单调递增 D.【答案】BCD【解析】A：由题意知，当时，，所以不是的极小值点，故A错误；由图知，当时，函数f'(x)-1>-1⇒f'当时，函数，递减，当时，函数，递增，当时，函数，递减，所以当或时，取得极大值，故B正确；且在区间单调递增，故C正确；D：由题意知，由图，得，f'x-1>0⇒所以区间内单位增长率大于1，且，可得f2>2，故D正确；故选：BCD11.假设每次实验只有两种结果“成功”和“失败”，且每次实验的成功概率都是，若进行多次实验，直到失败次，那么成功的次数服从“负二项分布”，记作：，若，则（）A.若，则，B.若，则的数学期望C.，D.若最大，则，【答案】ABD【解析】对于选项AB：若，则即进行次实验，失败1次即结束，可知失败之前均为成功，所以，，因为，因为，所以的数学期望，故AB正确；对于选项CD：若，则进行次实验，第次之前成功次，第次失败，所以，，故C错误；若最大，则，即，解得，所以若最大，则，，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.展开式中的系数为______.【答案】140【解析】由题意可知：只能为1项、3项和3项相乘而得，所以系数为.故答案为：140.13.已知，，，则______.【答案】【解析】根据题意可知，，，所以代入已知条件得，，所以可得.故答案为：14.已知，过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为______；若切点为，，则的取值范围为______.【答案】；【解析】对于第一空：已知，过点可作曲线的两条切线，，若切点为，，则，整理得，同理，所以关于的方程在上有两根，且不是该方程的根，设gx=t若，则，这表明单调递减，故此时最多有一个零点，从而，当时，，当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，设，则当时，，当时，，所以要使关于的方程在上有两根，只需gxmax=g则，当时，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，且注意到，所以满足ht=t2-t-对于第二空：由以上分析可知，，所以，令mt=t2-t+1=即的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若为函数的一个极值点，求曲线的对称中心.解：（1），，，因为函数在上单调递增，所以当，恒成立，又二次函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，所以只需，即，故实数的取值范围为；（2）由，函数的一个极值点为，所以，解得，此时，当时，，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，所以为函数的极小值点，故满足题意，所以，设曲线的对称中心为，由题意，函数为奇函数，则，由，即对任意恒成立，得，因为，所以，解得，所以曲线的对称中心为.16.某种植物子二代的基因型为，，，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.（1）在子二代中按基因型比例抽取4株，再从这4株中随机抽取2株，求抽取的基因型是的株数的分布列和期望；（2）在子二代中任意选取2株进行杂交实验，求子三代中基因型为的概率.解：（1）在子二代中按基因型比例抽取4株，则基因型为，，的分别为1，2，1株，再随机抽取2枚，基因型是的株数可能取的值为0，1，2所以则分布列为012的期望为（2）子二代基因配型有六种情况，分别记为事件子三代中基因型为记为事件，则事件配型010所以.17.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若的最小值为，求的值.解：（1），当时，，所以在上单调递增当时，由得，由得所以区间单调递减，在区间单调递增（2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值当时，在区间单调递减，在区间单调递增所以，所以令，则，由得，，所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为所以，所以的值为1.18.氨基酸