高中数学人教A版选修选修4-5第一讲小结与复习导学案

第一讲不等式和绝对值不等式典型例题本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．若a、b是任意实数，且a＞b，则()A．a2＞b2B.eq\f(a,b)＜1C．lg(a－b)＞0D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)1．证明不等式不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥9.若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,c＋a)≥eq\f(9,2).2．求函数的最值在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．已知0＜x＜eq\f(1,3)，求函数y＝x(1－3x)的最大值．当0<x<eq\f(π,2)时，函数f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)的最小值为()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)3．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数y＝x＋eq\f(a,x)的结构，然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．某游泳馆出售冬游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．(1)若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？(2)若使每个同学游4次，每人最少应交多少元钱？1．公式法|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)；|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．2．平方法|f(x)|＞|g(x)|⇔[f(x)]2＞[g(x)]2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．解下列关于x的不等式：(1)|x－x2－2|＞x2－3x－4；(2)|x＋1|＞|x－3|；(3)|x2－2|x|－2|≤1；(4)|x－2|－|2x＋5|＞2x；(5)|2x－1|＜|x|＋1.若不等式对于给定区间内的任意值都成立，我们称它为不等式恒成立问题，常用的解决方法有：(1)实根分布法涉及到指定区间上一元二次不等式的恒成立问题时，应根据“三个二次”的辩证统一关系，按照二次三项式有无实根分类讨论去解决问题．(2)最值法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(3)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(4)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是空集，求a的取值范围．课堂练习一、选择题1．已知y＞x＞0，且x＋y＝1，那么()A．x＜eq\f(x＋y,2)＜y＜2xyB．2xy＜x＜eq\f(x＋y,2)＜yC．x＜eq\f(x＋y,2)＜2xy＜yD．x＜2xy＜eq\f(x＋y,2)＜y2．若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是()A．(－1，3)B．(－3，6)C．(－3，3)D．(1，4)3．下列命题正确的是()A．a＞b⇒ac2>bc2B.eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)⇒a＞bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a3＞b3,ab＞0))⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＞b2,ab＞0))⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)4．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2)，则下列结论：①|α－β|≤|α＋β|；②|α－β|＞|α＋β|；③|α＋β|＞5；④|α＋β|≤5.其中正确的有()A．①②B．①③C．②③D．③④二、填空题5．(陕西高考)设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．6．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则eq\f(y2,xz)的最小值是________．7．(江西高考)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．8．a＞0，b＞0，给出下列四个不等式：①a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)；②(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；③eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b;④a＋eq\f(1,a＋4)≥－2.其中正确的不等式有________(只填序号)．三、解答题9．设a＞0，且a≠1，t＞0，比较eq\f(1,2)loga