【高考模拟】广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题（含解析）

广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题1．已知集合A=x∣x2−6x+8<0，集合A．1,2∪3,+∞C．1,2∪4,+∞2．设i为虚数单位，复数z满足z2+i=6+2i，则A．2 B．22 C．2 D．3．已知a=2,2m−1，b=4,m，且A．4 B．23 C．34 4．已知随机变量X服从正态分布N10,A．PB．当σ=0.1时，DC．ED．随机变量X落在9.9,10.2与落在9.8,10.1的概率相等5．已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，若S5=35，且a2，aA．11 B．13 C．19 D．176．已知函数fx=3sinπωx−cosπωxω>0在0,1A．103,236 B．103,7．设曲线y=en+1xn∈N∗在1,eA．−1 B．−C．log20252024−18．已知抛物线C的方程为y2=4x，直线l与C交于A，B两点，A，B两点分别位于x轴的上下两侧，且OA→⋅OB→=5，其中O为坐标原点．过抛物线C的焦点F向l作垂线交l于点H，动点HA．x−32+y2=4（除去点1,0），23 C．x−32+y2=1，29．某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.810．如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，A．BD⊥B．平面A1BP与平面ABCDC．若A1Q=11，则点D．若点G在直线A1B上，则AG+GP11．我们常用的数是十进制数，如1025=1×103+0×102+2×101+5×100，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数11012=1×A．M5,4=1023 C．M3n,212．x−13x13．已知函数fx=ex−e−x+2sinx，若m>0，14．一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P4,2的跳法共有15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=sinAcosB+1（1）求A；（2）若b+c=2a，△ABC外接圆的半径为2，求△ABC的面积．16．已知数列an的首项为a1=4（1）求证：an（2）求数列an的前n项和S17．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点，当△F118．如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，E，F分别为PB，PD的中点．设平面AEF∩平面ABCD=m．（1）求证：m//BD；（2）求直线PA与平面AEF所成角的正弦值；（3）若平面AEF与棱PC交于点M，求PMPC19．在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C:y=fx上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义K=ΔθΔs为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=limΔs→0Δθ（1）求单位圆上圆心角为45∘（2）求抛物线y2=8x在（3）定义φy=22y″1+y'3为曲线y=fx的“柯西曲率”．已知在曲线fx=xlnx−2x

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵A=x∣B=x∣∴∁B故答案为：C．【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数型函数的单调性，从而得出集合B，再结合补集的运算法则得出集合∁B2．【答案】B【解析】【解答】解：因为z2+i=6+2i，

所以所以z=故答案为：B．【分析】先用复数的除法法则得到z=14−2i3．【答案】B【解析】【解答】解：因为a=2,2m−1，b=所以2×m=4×2m−1，

解得m=故答案为：B.【分析】由向量共线的坐标表示，从而列式求出实数m的值.4．【答案】D【解析】【解答】解：对于A，因为PX<9.9+PX≤10.1对于B，当σ=0.1时，D2X+1对于C，由正态分布密度曲线可知EX对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，

随机变量X落在9.9,10.2与落在9.8,10.1的概率相等，故D正确．故答案为：D．【分析】由正态分布对应的概率密度函数的对称性，则判断出选项A和选项D；由方差的性质判断出选项B；由正态分布的数学期望的表示，则判断出选项C，从而找出结论正确的选项.5．【答案】C【解析】【解答】解：因为S5=52a又因为a2，a4，a9成等比数列，

所以a1+3d2再与a1+2d=7联立可得a1所以an=3n−2，故答案为：C．【分析】利用等差数列的性质和等差数列的求和公式以及等差中项公式，从而可得a1+2d=7，再由等比中项公式可得d=3a1，将两式联立可得a16．【答案】D【解析】【解答】解：因为fx且当0≤x≤1时，−π又因为函数fx在0,1所以5π2≤πω−π6<3π故答案为：D．【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再根据函数fx在0,1内恰有3个最值点和3个零点，则由正弦型函数的图象与性质列出不等式，从而求解不等式得出实数ω7．【答案】A【解析】【解答】解：由y=en+1xn∈N所以曲线y=en+1xn∈N令y=0，得xn=nn+1=log故答案为：A．【分析】先求导，再由导数的几何意义得出切线方程，从而得出xn=n8．【答案】B【解析】【解答】解：由题意，可设Ay124,y1，By224,y设直线l的方程为x=my+n，

与抛物线方程联立得y2所以y1y2=−4n=−20，

则n=5，

所以直线所以直线l过定点D5,0又因为FH⊥HD，

由圆的定义可知动点H的轨迹是以FD为直径的圆，因为F1,0,FD所以H点的轨迹方程为L:x−32+过原点的直线和L在第一象限内相切时，斜率最大，所以直线OH斜率的最大值为232−22=255．

故答案为：B.

【分析】先由题意，设Ay124,y1，9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，

满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，

满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确；对于C，若平均数为2，且出现6点，

则方差S2>1对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，

满足中位数为3，平均数为：x=15×1+2+3+3+6=3，故答案为：ABD.【分析】根据题意举例，再结合中位数公式、众数公式、平均数公式和方差公式，从而逐项判断找出判断可能出现点数6的选项.10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：如图1，连接AC，

由菱形ABCD，可得AC⊥BD，再由直棱柱ABCD−A1B1C1D又因为BD⊂底面ABCD，

所以CC又因为CC1∩AC=C,CC1,AC⊂平面ACC又因为A1P⊂平面ACC1A因为A1B=22，BP=5，A1P=13其在底面投影的三角形ABC的面积为S∆ABC由投影面积法可得平面A1BP和平面ABCD所成角的余弦值为cosθ=S如图2，动点Q在侧面DCC1D1内（包含边界），过A1在直棱柱ABCD−A平面A1B1C1D1⊥平面CC1D1D，平面A1B1因为NQ⊂侧面DCC1D1，

所以A1N⊥NQ，

由菱形ABCD边长为2，由勾股定理得：NQ=11−3=22，

则点Q以22为半径的圆弧（如图3中EF），

则由侧面正方形DCC1D1，可知ND1=1，NQ=22，

可得由∆A1BP将∆A1AB与∆A1由余弦定理得：AP则AP=9+210，

所以AG+GP的最小值为故答案为：ABC.【分析】利用直棱柱的结构特征和菱形的结构特征，则由线面垂直得出线线垂直，则判断出选项A；利用投影面积法求出二面角的余弦直，则判断出选项B；先弄清点Q的轨迹，再求其长度，则可判断出选项C；利用表面展开转化为两点之间，直线段最短，从而求出AG+GP的最小值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，

因为M5,4对于B，由M4,2M2,4=334=3×对于C，因为M3M3n,2又因为3n>3n，可得23n−1>对于D，

因为M===n+1又因为M===n+2而函数fx=lnxx,x>e，可得f'当n∈N∗时，e<n+2<n+3，

则fn+2>fn+3因此n+3lnn+2>n+2ln则Mn+3,n+2故答案为：ACD．

【分析】根据题意得出M5,4=333334=45−1=1023，可判断出选项A；由M4,2=15，M2,4=15可判断出选项B；由M3n,2=23n12．【答案】5【解析】【解答】解：因为x−13x令6−32r=0，得r=4，

故答案为：527【分析】先由二项式定理求出二项式展开式的通项，再赋值得出r的直，从而得出x−113．【答案】4【解析】【解答】解：因为fx所以f−x又因为f'所以函数fx为奇函数且为增函数，f由f2m+fn−2=0，

可得2m+n−2=0，因为m,n>0，

所以1m+2n=12故答案为：4.【分析】先利用已知条件判断出函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质可得m,n的关系式，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出1m14．【答案】9450【解析】【解答】解：依题意，则质点第10秒末到达点P4,2第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有C10第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有C10第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有C10根据分类计数原理得，共有3150+5040+1260=9450（种）．故答案为：9450.【分析】结合题意先分三类，每类由分步乘法计数原理结合组合数公式，再由分类加法计数原理得出此质点在第10秒末到达点P4,215．【答案】（1）解：因为sinC=sinAcosB+12sinB所以sinC=sin所以cosAsinB=1又因为B∈0,π，所以sinB>0，

则cosA=因为A∈0,π，

所以A=（2）解：由正弦定理得asinA=4，

则由余弦定理得cosA=b所以b+c2所以b+c2因为b+c=43，

所以bc=12则∆ABC的面积为S=1【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，则cosAsinB=1（2）由正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，从而计算可得∆ABC的面积.（1）因为sinC=sinAcosB+12sinB所以sinC=sinA+B所以cosAsinB=1又因为B∈0,π，所以sinB>0，故cosA=因为A∈0,π，所以A=（2）由正弦定理得asinA=4，则由余弦定理得cosA=b所以b+c2所以b+c2因为b+c=43，所以bc=12故△ABC的面积S=116．【答案】（1）证明：∵数列an满足an+1+an∴a所以an+1又∵a∴a∴数列an−5n表示首项为（2）解：由（1）知，an∴a∴S当n为偶数时，可得Sn当n为奇数时，可得Sn综上可得，S【解析】【分析】（1）由递推公式变形得an+1−5n+1an−（2）由（1）得an=−1n+5n，再利用分组求和法和等比数列前n（1）证明：∵数列an满足an+1+∴a即an+1又∵a∴a∴数列an−5n表示首项为（2）由（1）知an∴a∴S当n为偶数时，可得Sn当n为奇数时，可得Sn综上可得，S17．【答案】（1）解：因为椭圆C的离心率为ca=32，则c2又因为1,32在椭圆C上，

代入方程得又因为a=2b，可得a=2b=1所以，椭圆C的方程为x2（2）解：由题意，设直线l的方程为x=my+3联立x24+y2设Ax1,则y1+yS当且仅当m2+1=则所求直线l的方程为x+2y−3【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率得出a=2b，将1,32代入椭圆方程得（2）设直线l的方程为x=my+3，将直线l方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得出S△F1AB=1（1）椭圆C的离心率为ca=32，则又因为1,32在椭圆C上，代入方程得又因为a=2b，可得a=2b=1故椭圆C的方程为x2（2）由题意，设直线l的方程为x=my+3联立x24+设Ax1,则y1+yS△当且仅当m2+1=故所求直线l的方程为x+2y−318．【答案】（1）证明：连接EF，在△PBD中，

因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF//BD，

又因为EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EF//平面ABCD，又因为EF⊂平面AEF，平面AEF∩平面ABCD=m，

所以EF//m，又因为EF//BD，

所以m//BD．（2）解：设AC∩BD=O，连接PO，因为P−ABCD为正四棱锥，

所以O为正方形ABCD的中心，所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，A2,0,0，B0,2,0，C−2,0,0，则PA=2,0,−2，设平面AEF的法向量为m=则m⋅AE=0m⋅EF=0，

则−设直线PA与平面AEF所成角为θ，则sinθ=cos所以，直线PA与平面AEF所成角的正弦值为1010（3）解：连接AM，设PMPC=λ0<λ<1，

因为AP=−2,0,2由（2）知平面AEF的法向量为m=所以平面AEMF的法向量为m=由AM⊂平面AEMF，可知m⋅则−2−2λ+22所以PMPC【解析】【分析】（1）先由线线平行证出线面平行，再由线面平行的性质定理和平行的传递性，从而证出m//BD.（2）利用已知条件和正四棱锥的结构特征得出线线垂直和线面垂直，从而建立空间直角坐标系，得出平面AEF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线PA与平面AEF所成角的正弦值.（3）根据向量共线的坐标表示和向量加法的坐标表示，从而得出AP⃗，AM⃗的坐标，由（2）知平面AEF的法向量，从而得出平面AEMF的法向量，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出（1）连接EF，在△PBD中，因为E，F分别为PB，PD的中点，所以EF//BD，又因为EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EF//平面ABCD，又因为EF⊂平面AEF，平面AEF∩平面ABCD=m，所以EF//m，又因为EF//BD，所以m//BD．（2）设AC∩BD=O，连接PO，因为P−ABCD为正四棱锥，所以O为正方形ABCD的中心，所以OA⊥OB，PO⊥平面ABCD．以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，A2,0,0，B0,2,0，C−