第二十六章 解直角三角形（A卷-中档卷）（解析版）

第二十六章解直角三角形（A卷-中档卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，，则（）A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝【答案】D【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，则cosA＝＝，故A错误；sinB＝＝，故B错误；tanA＝，故C错误；tanB＝＝，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键．2．（2022·上海·九年级专题练习）在中，．下列四个选项，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义判断即可．【详解】解：如图，根据勾股定理得：BC===3，=，=，=，=，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，要注意．4．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）在△ABC中，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义，知，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据三角函数的定义就可以求出的值．【详解】解：在△ABC中，，∵，∴设BC=x，AC=2x，，，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边．5．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）A． B． C． D．h•cosα【答案】B【分析】根据余角性质得∠BCD＝∠CAD＝α，然后利用余弦的定义可得答案．【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，CD＝h，∴BC＝．故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握余弦的定义是解决此题关键．6．（2021·福建·厦门外国语学校海沧附属学校九年级阶段练习）如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°【答案】C【分析】求CE，进而求得∠CAE的正切值即可求得∠CAE的度数；同理可求得∠EAD的正切值，得到∠EAD的度数．【详解】解：过点A作水平线AE，则∠EAD为楼顶望塔基俯角，∠CAE为由楼顶望塔顶仰角．∵AB＝50m∴DE＝50m∴CE＝CD＝﹣50＝(m)∴tan∠CAE＝CE：AE＝CE：BD＝．∴∠CAE＝30°．故C正确，A错误；∵tan∠EAD＝DE：AE＝50：BD＝1，∴∠EAD＝45°．故B、D错误；故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．7．（2022·山东淄博·九年级期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（

）A． B． C． D．以上都有可能【答案】B【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高∵∴∵∴∵∴故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．8．（2021·四川乐山·二模）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为(

)（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4【答案】C【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大楼AB的高度．【详解】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：，∴BH：CH＝1：，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝（6+20）（米），∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．9．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，故可设，则．再根据折叠的性质可知，，，从而可求出．又易证，即得出，即又可设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可．【详解】∵，∴．设，则．由折叠的性质可知，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．设，则．∵，即，∴（舍去负值），∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．10．（2021·安徽亳州·九年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若，则对角线BD长的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，先求出AE，然后根据已知证得△ABE∽△ACD，得出∠BAE＝∠CAD，，从而证得∠BAC＝∠EAD，得出△BAC∽△EAD，求出，代入数据解答即可．【详解】解：如图，过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，则在△ABE中，，，，∵∠ABE＝∠ACD＝90°，∴△ABE∽△ACD，，∴∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，，即，，，即BD的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角形的应用、三角形相似的判定及性质，解题的关键是灵活运用锐角三角函数知识并根据题意正确添加辅助线．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，，则BC＝___．【答案】5【分析】根据，可设BC=5x，则AB=13x，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：∵，，∠C＝90°，∴，设BC=5x，则AB=13x，∵，∴，解得：x=1或-1（舍去），∴BC=5．故答案为：5【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．12．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）计算的值为_____________.【答案】1【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【详解】，故答案为：1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．13．（2022·福建·泉州七中九年级阶段练习）如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则的值为______．【答案】【分析】根据，，，得到，推出是直角三角形，，推出．【详解】如图，∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．14．（2022·湖南娄底·一模）规定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny．据此判断下列等式成立的是________写出所有正确的序号①；②sin；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x-y)=sinx-siny．【答案】②③【分析】利用题中的规定判断即可．【详解】解：①cos（−60°）＝cos60°＝，原等式不成立；②sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°＝，原等式成立；③sin2x＝sin（x＋x）＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx⋅cosx，原等式成立；④sin（x−y）＝sin[x+（−y）]＝sinx⋅cos(−y)＋cosx⋅sin(−y)＝sinx⋅cosy−cosx⋅siny，原等式不成立．故答案为：②③．【点睛】此题考查了三角函数，弄清题中的规定是解本题的关键．15．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区李海务街道办事处中学九年级阶段练习）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形，、为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角，坡长米，背水坡的坡度：（为与的比值），则背水坡的坡长为______米【答案】12【分析】根据题意求得，再根据坡度正切定义求出，进而利用求解即可．【详解】解：由题意，，，∵，米，∴米，则米，∵的坡度，∴，∴，∵，∴米，故答案为：12．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟记特殊角的三角函数值并正确求解是解答的关键．16．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）小红和爸爸绕着小区广场锻炼，在矩形广场边的中点M处有一座雕塑，在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东方向，爸爸在小红的北偏东方向，若小红到雕塑的距离，则小红与爸爸的距离____．（结果保留根号）【答案】【分析】过点作于点，在Rt中，，解得，即可得，在Rt中，，求出的值，即可得出答案．【详解】解：过点作于点，由题意可得，在Rt中，，解得，为的中点，∴，在Rt中，，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，小红与爸爸的距离．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）求下列等式中的锐角：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先将看成整体，解得，再利用特殊角的函数值求解即可；（1）先将看成整体，解得，再利用特殊角的函数值求解即可；【详解】（1）解：∵，∴，∵是锐角，∴，∴（2）∵∴∵是锐角，∴，∴．【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值求解方程，掌握特殊角的函数值是解题的关键．18．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）如图，在中，，，，求、的长．【答案】【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可．【详解】解：过作，交于点，则：，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．19．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，某公路紧邻一个山坡，坡面CD与地平面AB平行，斜坡AC=30米，坡比i=1：，为防止山体滑坡，有关单位准备对斜坡进行改造，将斜坡AC改为AE，坡角为，请求出CE的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）【答案】4.4米【分析】作于，于，则四边形是矩形．根据斜坡的坡比，米，求出米，米，那么米，然后在中，利用正切函数的定义求出，根据即可求解．【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形．设米，斜坡的坡比，米，由勾股定理得，，即，解得，（米），（米），米，，在中，，（米），（米），答：的长约为4.4米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡比的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在四边形中，，，点在延长线上，与交于点．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，，，求和的长．【答案】(1)见解析(2)5，8【分析】（1）先证，再由，即可得出结论；（2）由锐角三角函数定义得，再由平行四边形的性质得，然后证，则，进而证，得．（1）证明：∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形；（2）∵，，，∴，∴，由（1）可知，四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：，，，）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．【答案】(1)14千米(2)40.7千米/小时【分析】（1）根据题意利用特殊角的三角函数值分别求出，即可得解；（2）根据三角函数值求出CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．（1）解：由题意，得，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，由题意，得∴，∴，∴，设该轮船航行的速度是V千米/小时，由题意，得，∴（千米/小时），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．【点睛】本题考查解直角三角形的应用：方向角问题．解题的关键是将实际问题转化为解直角三角形．22．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在点测得点与塔底点的距离为，李华站在斜坡的坡顶处，已知斜坡的坡度，坡面长，李华在坡顶处测得轮毂点的仰角，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；(2)风力发电机塔架的高度．结果精确到，参考数据，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根据解直角三角形进行求解即可；（2）根据求解即可．（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则为坡顶B到所在直线的距离，则，，在中，，∴，∵，∴；（2）由题意得，四边形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三