第三章3 1 2椭圆的简单几何性质第1课时课时作业 高中数学人教A版2019选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质(第一课时)一、复习巩固1．.椭圆4x2+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率分别是 ()A.7,2,357 B.14,4,357C.7,2,572．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(4x2,25)＋eq\f(y2,6)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝13．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)4．(多选题)已知曲线C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与曲线C2：eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(k＜9)，下列说法正确的是()A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆B．焦距相等C．有相同的焦点D．离心率相等5．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2)－1,2)C．2－eq\r(2) D.eq\r(2)－16．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\f(\r(5)－1,2)7．“m＝3”是“椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设e是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是()A．(0,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(16,3)))C．(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0,2)9．(双空题)已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，过F1的直线交椭圆与A，B两点，则该椭圆的离心率是________；△ABF2的周长是________．10．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________．11．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝eq\f(2,3)，则椭圆的标准方程是________．12．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，则C的离心率e＝________.二、综合运用13．如图所示，把椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝()A．35B．30C．25 D．2014．已知F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝eq\f(1,4)|AF|，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)15．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,5)＝1(a为定值，且a＞eq\r(5))的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．16．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.(3)离心率e＝eq\f(3,5)，焦距为12.椭圆的简单几何性质-解析一、复习巩固1．解析：先将椭圆方程化为标准方程为x249+y24=1,则a=7,b=2,c=35,故长轴长为2a=14,短轴长为2b=4,离心率e=答案：B2．解析：eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝eq\r(3)，椭圆C的标准方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：D3．解析：根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2eq\r(2)，所以椭圆C的离心率为e＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案：C4．解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1焦距为2c＝2eq\r(25－9)＝8，曲线C2焦距为2c＝2eq\r(25－k－9－k)＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，曲线C2的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,\r(25－k))，故D不正确．答案：ABC5．解析：由已知|PF2|＝2c，∴|PF1|＝2eq\r(2)c.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，即2eq\r(2)c＋2c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.答案：D6．解析：在Rt△ABF，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0解得e＝eq\f(－1±\r(5),2)，因为0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：D7．解析：椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，当0<m<4时，eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，得m＝3，当m>4时，eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，得m＝eq\f(16,3)，即“m＝3”是“椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)”的充分不必要条件．答案：A8．解析：当k＞4时，c2＝k－4，由条件知eq\f(1,4)＜eq\f(k－4,k)＜1，解得k＞eq\f(16,3)；当0＜k＜4时，c2＝4－k，由条件知eq\f(1,4)＜eq\f(4－k,4)＜1，解得0＜k＜3，综上知选C.答案：C9．解析：由题意得a＝2，c2＝a2－b2＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝4a＝8.答案：eq\f(1,2)810．解析：∵2a＝18,2c＝eq\f(1,3)×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.∴椭圆的方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1.答案：eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝111．解析：因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝eq\f(2,3)，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以eq\f(c,3)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝112．解析：设椭圆的右焦点为F1，坐标原点为O，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝eq\f(5,7).答案：eq\f(5,7)二、综合运用13．解析：设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.答案：A14．解析：由于PF⊥x轴，则令x＝－c，代入椭圆方程，解得y2＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c2,a2)))＝eq\f(b4,a2)，y＝±eq\f(b2,a)，又|PF|＝eq\f(1,4)|AF|，即eq\f(b2,a)＝eq\f(1,4)(a＋c)，即有4(a2－c2)＝a2＋ac，即有(3a－4c)(a＋c)＝0，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,4)，故选B.答案：B15．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，AB与x轴交于点H，则|AF|＝2a－|AF1|，△ABF的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(2a－|AF1|＋|AH|)，∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，仅当|AF1|＝|AH|，即F1与H重合时，△AFB的周长最大，即最大周长为2(|AF|＋|AF1|)＝4a＝12，∴a＝3，而b＝eq\r(5)，∴c＝2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)16．解析：(1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)因为长轴长是短轴长的2倍，所以a＝2b，①因为椭圆过点(2，－6)，所以eq\f(4,a2)＋eq\f(36,b2)＝1，或eq\f(36,a2)＋eq\f(4,b2)＝1,②由①②，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，故所求的方程为eq\f(x2,148)＋eq\f(y2,37)＝1或eq\f(y2,52)＋eq\f(x2,13)＝1.(2)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)因为在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，所以△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，所以c＝b＝3.所以a2＝b2＋c2＝18.故所求椭圆的方