2025届福建省龙岩市高三下学期5月教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省龙岩市2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且向量与的夹角为，则（）A1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】因为向量，，且向量与的夹角为，所以，化简所以，则.故选：B.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，由，所以，所以，所以，所以.故选：C3.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件，则，解得.故选：C4.若函数的图像向左平移后得到一个奇函数的图像，则的最小值为（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】函数的图像向左平移后得，为奇函数，所以，又，所以，故选：A．5.已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】在正四棱台中，，，体积为，高为，故，则，，连接、相交于点，、相交于点，设外接球的球心为，若在台体外，设到底面的距离为，则半径为，即，解得，所以球心与点重合，若在台体内，到底面的距离为，则半径为，即，解得，所以球心与点重合，综上所述，，故，所以.故选：C.6.已知，当时，有，则必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】画出的图象：对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误；对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误；对于C，如图，当时，，故C错误；对于D，由图象可知，，所以，又，所以，所以，故D正确故选：D.7.已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，过点作，垂足为，由，知，所以，而，所以，则，由椭圆定义知，，即，所以椭圆的离心率为.故选：A8.已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知分别为的极大值点和极小值点，所以在上单调递减，在上单调递增.，，则当时，，若且时，，与矛盾，不符合题意，故.令，该方程有两个不同的解，则函数图象在R上有两个不同的交点，作出函数图象，如图，设过原点且与曲线相切的直线为，切点为，则，所以，解得，此时切线的斜率为，要使函数图象在R上有两个不同的交点，需，由，解得．故选：B．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.复数的模长为2B.复数在复平面内对应的点在第二象限C.复数是方程在复数集内的解D.若复数满足，则【答案】ACD【解析】对于A，，故A正确；对于B，复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故B错误；对于C，将代入方程，得，故C正确；对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为，由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上，所以，即，故D正确；故选：ACD．10.已知数列的前项和为，则（）A.若是等差数列，则，，成等差数列B.若是等比数列，则，，成等比数列C.若，且，则存在数列，使得D.若，且，则存在，使得【答案】AC【解析】对于选项A：是等差数列，设其公差为d，因为，，则所以，，，成等差数列，故A正确；对于选项B：例如，则，可得，，不成等比数列，故B错误；对于选项C：例如周期数列，满足，且，此时，故C正确；对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾，故D错误；故选：AC11.已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（）A.的值随着的增大而减小 B.双曲线的离心率为C. D.【答案】ABD【解析】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为，在中，由正弦定理可知，显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即，随着的增大分别减小与增大且均为正数，的值随着的增大而减小，故A正确；对于B，由，则，因为左顶点为，右顶点为，即，所以，，故B正确；对于C，显然，且，，故C错误；对于D，可设双曲线，在点处的切线方程为，联立可得，联立可得，点为线段的中点，即，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，各二项式系数的和与含的项系数之比为，则的值为______．【答案】【解析】由题可知各二项式系数的和为，由的展开式中的，根据它们的比为可得：，故答案为：13.在中，，为边上的点，且满足，，则______．【答案】【解析】在中，，由余弦定理得出，在中，，所以，则．故答案为：14.棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______．【答案】【解析】在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图:由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离，其中，，，为正方体棱上的中点，过作于，则即为两平行平面间的距离，因为，所以，所以，即相邻平行平面间的距离为.故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第次2589111210887（1）根据表中的数据，计算相关系数；（2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值．参考公式：相关系数，．参考数据：，，．解：（1）由题意得，，，，，相关系数．（2）由（1）知，，，所求的线性回归方程是．当特征量为12时，可预测特征量．16.已知数列的前项和为，且满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由，，得，又，数列是首项为，公差的等差数列，，即，当时，，且也满足，，则数列的通项公式为；（2）由（1）得，.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．（1）设，且，，，四点共面，求实数的值；（2）若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积．解：（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，又，分别为，的中点，，，，，，共面，存在实数，，使得，即，，解得；方法二：坐标法（利用法向量）在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，，又，分别为，的中点，，，设平面的法向量为，，，令得，，又，，共面，，解得；方法三：几何法：延长交于，连接，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又平面平面，，，又，四边形是平行四边形，，，过作交于，，又，；（2）方法一：由（1）得，又，，设平面的法向量为，，解得，令得，，设平面和平面所成的角为，，整理得，，，即；方法一：利用向量法求三棱锥的高，平面的法向量为，，设点到平面的距离为，，平面，又平面，，又，，、平面，平面，又，分别为，的中点，，，平面，又平面，，又，，，则，所以；方法二：几何法：，分别为，的中点，，平面，平面，平面，，，平面，，.18.已知曲线，点为曲线的焦点，点为曲线上一点，且．（1）求曲线的方程；（2）设曲线，若过点的直线与曲线，从左到右依次相交于点，，，．（i）证明：为定值；（ii）若直线，（为坐标原点）分别交直线于点，，求的最小值．解：（1）因，设，则，即化简得：，解得或（舍），抛物线的方程为．（2）（i）由得，圆心，半径为1，抛物线的焦点与的圆心重合，即为，显然，直线斜率存在，设直线方程为，设点、，联立方程，消去并整理得，，由韦达定理得，．由抛物线的定义可知，，，．，即为定值1；（ii）由（i）可知：．，则直线的方程为，由可得，同理直线的方程为，由可得，，设，，，当，即，即时，的最小值是．19.已知函数，，，…，．（1）若，，，…，，求的值；（2）若，集合，集合，为的子集，它们各有个元素，且．设，，，，…，，且，，证明：．（1）解：，当时，，当时，在上单调递减，在上单调递增．的最小值为，又设，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，又，，当且仅当时取等号，又，则，，故．（2）证明：，有一个零点，记，而，，则．又，且，故在上还有一个零点，记为，由的单调性知，恰有两个零点，，且，而，为的子集，它们各有个元素，且，则至少有个元素．而的元素只可能在，，，，…，，之中，这表明它们两两不等，且，所以包含个正数，个负数．而，为的子集，它们各有个元素，且，则，．设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数，，，，.，，从而．，．设，则，设，则，单调递增，，又，，所以．由（1）知，在上单调递减，在上单调递增．，即，，.福建省龙岩市2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，且向量与的夹角为，则（）A1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】因为向量，，且向量与的夹角为，所以，化简所以，则.故选：B.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，由，所以，所以，所以，所以.故选：C3.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品．三家公司的市场占有率如图所示，且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为、和．若市场上该产品的次品率为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件，则，解得.故选：C4.若函数的图像向左平移后得到一个奇函数的图像，则的最小值为（）A. B.1 C. D.3【答案】A【解析】函数的图像向左平移后得，为奇函数，所以，又，所以，故选：A．5.已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】在正四棱台中，，，体积为，高为，故，则，，连接、相交于点，、相交于点，设外接球的球心为，若在台体外，设到底面的距离为，则半径为，即，解得，所以球心与点重合，若在台体内，到底面的距离为，则半径为，即，解得，所以球心与点重合，综上所述，，故，所以.故选：C.6.已知，当时，有，则必有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】画出的图象：对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误；对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误；对于C，如图，当时，，故C错误；对于D，由图象可知，，所以，又，所以，所以，故D正确故选：D.7.已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，过点作，垂足为，由，知，所以，而，所以，则，由椭圆定义知，，即，所以椭圆的离心率为.故选：A8.已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知分别为的极大值点和极小值点，所以在上单调递减，在上单调递增.，，则当时，，若且时，，与矛盾，不符合题意，故.令，该方程有两个不同的解，则函数图象在R上有两个不同的交点，作出函数图象，如图，设过原点且与曲线相切的直线为，切点为，则，所以，解得，此时切线的斜率为，要使函数图象在R上有两个不同的交点，需，由，解得．故选：B．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.复数的模长为2B.复数在复平面内对应的点在第二象限C.复数是方程在复数集内的解D.若复数满足，则【答案】ACD【解析】对于A，，故A正确；对于B，复数在复平面内对应的点坐标为，在第四象限，故B错误；对于C，将代入方程，得，故C正确；对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为，由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上，所以，即，故D正确；故选：ACD．10.已知数列的前项和为，则（）A.若是等差数列，则，，成等差数列B.若是等比数列，则，，成等比数列C.若，且，则存在数列，使得D.若，且，则存在，使得【答案】AC【解析】对于选项A：是等差数列，设其公差为d，因为，，则所以，，，成等差数列，故A正确；对于选项B：例如，则，可得，，不成等比数列，故B错误；对于选项C：例如周期数列，满足，且，此时，故C正确；对于选项D：因为，且，所以该数列的项奇偶交替，且为整数，而前项包含个奇数，个偶数，这些项的和为奇数，而为偶数，矛盾，故D错误；故选：AC11.已知双曲线的左，右焦点分别为，，左、右顶点分别为，．为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且．过点作双曲线的切线与双曲线的渐近线交于，两点，则（）A.的值随着的增大而减小 B.双曲线的离心率为C. D.【答案】ABD【解析】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为，在中，由正弦定理可知，显然，均为锐角且随着的增大分别减小与增大，即，随着的增大分别减小与增大且均为正数，的值随着的增大而减小，故A正确；对于B，由，则，因为左顶点为，右顶点为，即，所以，，故B正确；对于C，显然，且，，故C错误；对于D，可设双曲线，在点处的切线方程为，联立可得，联立可得，点为线段的中点，即，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，各二项式系数的和与含的项系数之比为，则的值为______．【答案】【解析】由题可知各二项式系数的和为，由的展开式中的，根据它们的比为可得：，故答案为：13.在中，，为边上的点，且满足，，则______．【答案】【解析】在中，，由余弦定理得出，在中，，所以，则．故答案为：14.棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______．【答案】【解析】在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图:由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离，其中，，，为正方体棱上的中点，过作于，则即为两平行平面间的距离，因为，所以，所以，即相邻平行平面间的距离为.故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第次2589111210887（1）根据表中的数据，计算相关系数；（2）求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值．参考公式：相关系数，．参考数据：，，．解：（1）由题意得，，，，，相关系数．（2）由（1）知，，，所求的线性回归方程是．当特征量为12时，可预测特征量．16.已知数列的前项和为，且满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由，，得，又，数列是首项为，公差的等差数列，，即，当时，，且也满足，，则数列的通项公式为；（2）由（1）得，.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．（1）设，且，，，四点共面，求实数的值；（2）若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积．解：（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，又，分别为，的中点，，，，，，共面，存在实数，，使得，即，，解得；方法二：坐标法（利用法向量）在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，，又，分别为，的中点，，，设平面的法向量为，，，令得，，又，，共面，，解得；方法三：几何法：延长交于，连接，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又平面平面，，，又，四边形是平行四边形，，，过作交于，，又，；（2）方法一：由（1）得，又，，设平面的法向量为，，解得，令得，，设平面和平面所成的角为，，整理得，，