2025届海南省高三学业水平诊断（五）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1海南省2025届高三学业水平诊断（五）数学试题一、单选题1．已知集合A=-4,-3,0,2,3,4，B=xx>2，则A∩B=A．3,4 B．2,3,4 C．-3,2,3 D．-4,-3,3,4【答案】A【解析】因为集合A=-4,-3,0,2,3,4，B=xx>2故选：A.2．椭圆x29+A．213 B．25 C．13 D【答案】B【解析】在椭圆x29+y24=1即椭圆x29+故选：B.3．某公司制订了一个为期一年的增产计划，每月产量都比上个月多m箱，已知第3个月的产量为46箱，前7个月的总产量为378箱，则第1个月的产量为（

）A．36箱 B．34箱 C．32箱 D．30箱【答案】D【解析】设第n个月的产量为an箱，因为每月增加的产量为ma3=46,a所以a1=故选：D.4．x3-1A．-28 B．28 C．-56 D．56【答案】B【解析】x3Tk+1由24-4k=0可得k=6，因此，展开式中的常数项为-16故选：B.5．先将函数fx=sin4x+π4的图象向右平移12个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2A．sin2x-3πC．sin2x+3π【答案】A【解析】函数fx=sin将函数fx的图象向右平移12个最小正周期，可得到函数再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx故gx故选：A.6．已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x3A．-2,2 B．-C．-2,0∪1,2 D【答案】C【解析】当x>0时，fx=x3-8，则函数f由于函数fx为R上的增函数，故函数fx在-∞当x>0时，由fx≤0=f2，可得0<x≤2；由f当x<0时，由fx≤0=f-2，可得x≤-2；由f接下来解不等式x-1f当x-1≤0时，即当x≤1时，则fx≥0可得-2≤x≤0或x≥2，可得当x-1≥0时，即当x≥1时，则fx≤0可得0≤x≤2或x≤-2，可得综上所述，不等式x-1fx≤0故选：C.7．已知tanα=2tanβ，sinα+β=A．-78 B．-34 C．【答案】D【解析】由tanα=2tanβ可得sin由题意可得sinαcosβ=2所以sinα-β因此cos2α-2β故选：D.8．若不等式e2x+2t2x≥texA．e2 B．e C．e22【答案】C【解析】由e2x+2t即ex-2tex-tx令fx=exx，其中x≥1即函数fx在1,+考虑当ex2=ex要使得t-ex2当x=2时，则有t-e当1≤x<2时，ex2<exx，由此时t≤e2或当x>2时，ex2>exx，由由于当x→+∞时，ex2→+∞，则t≥综上所述，t≤e2或t=e22故选：C.二、多选题9．已知复数z=2-i，则（

A．z在复平面内对应的点在第二象限 B．zC．z2-4z+5=0 D．1【答案】BC【解析】对于A选项，因为z=2-i，则复数z在复平面内对应的点为2,-1，位于第四象限，A对于B选项，z=2+i，故z=对于C选项，z2-4z+5=z-2对于D选项，1z=12-i=2+i故选：BC.10．已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，且F1F2=2cc>0，过点F2且垂直于xA．CB．E的离心率为3C．若△ABC的面积为12，则E的虚轴长为2D．若4a、b2、c成等差数列，则E的方程为【答案】ACD【解析】如下图所示：因为AB⊥x轴，由双曲线的对称性可知，点A、B关于x轴对称，点A、C关于原点对称，所以，xC=-c，易知点F1-c,0，故对于B选项，将x=c代入双曲线方程可得c2a2-y易知BC=2c，且B、C关于y因为2AB=3BC，即4等式3ac=2c2-2a2因为e>1，解得e=2，B错；对于C选项，因为e=ca=2因为B、C关于y轴对称，则BC⊥AB，且AB=2b故S△ABC=12BC则E的虚轴长为2b=23，C对于D选项，若4a、b2、c成等差数列，即2b2因为a>0，解得a=1，故b=3，则E的方程为x2-y故选：ACD.11．以两条异面直线中的一条为轴，另一条绕其旋转一周所得曲面为单叶双曲面，单叶双曲面的轴截面是双曲线．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1绕直线ACA．Ω的高为33（高指上、下底面之间的距离） B．Ω的侧面积小于C．Γ的体积小于103π27 D．【答案】AC【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，AB、AD、则A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、D0,1,0、A1D1AC1=1,1,1，所以，AC1⋅BA1=-1+1=0因为A1B∩BD=B，A1B、BD⊂平面A1同理可证AC1⊥对于A选项，由题意可知，几何体Ω的上、下底面圆由△B1CD1所以Ω的高为33为平面B1CD1和平面A对于B选项，几何体Ω的底面圆半径为r=22sin易知几何体Ω的侧面积大于与其同底且等高的圆柱的侧面积，故几何体Ω的侧面积大于2π×6对于C选项，由题意可知，旋转体Γ上下两个圆锥的高为点A到平面A1即为AB⋅而几何体Ω的体积小于以其共底面圆且高为33故几何体Γ的体积小于2×13π对于D选项，Ω的水平截面圆的最小半径即为异面直线BB1与AC1间的距离（即异面直线不妨取线段AC1的中点G12,GH=12则GH⋅BB1=0，GH所以，异面直线BB1与AC故Ω的水平截面的面积的最小值为π⋅GH2=故选：AC.三、填空题12．已知变量x和y的统计数据如下表若x，y线性相关，且经验回归方程为分y=1.2x+n，则5n-m=【答案】7【解析】易知x=1+2+3+4+55经验回归直线y=1.2x+n过样本点的中心x所以25+m5=1.2×3+n，则故答案为：713．已知函数fx=log17x2【答案】4,5【解析】令u=x2-ax+6，因为外层函数y=log1所以内层函数u=x2-ax+6且对任意的x∈-∞,2所以a2≥2u因此，实数a的取值范围是4,5.故答案为：4,5.14．已知△ABC的外心为O，满足AO⋅BC=3BO⋅【答案】2【解析】依题意作图，取BC的中点D，连接OD，AD，在△ABC中，记a=BC，b=AC，c=AB，因为△ABC的外心为O，则OD⊥BC，因为AO⋅又AD⋅所以AO⋅同理可得BO⋅AC=由AO⋅BC=3即a2在△ABC中，由余弦定理得，cosB=又2a2+c2故答案为：23四、解答题15．记数列an的前n项和为Sn，已知（1）求an（2）求数列2n-3an的前n项和解：（1）因为2Sn=3an-3，当当n≥2时，由2Sn=3上述两个等式作差得2an=3所以，数列an是首项为3，公比也为3的等比数列，故a（2）由（1）可得2n-3a所以Tn则3T上述两个等式作差得-2=-3+18因此，Tn16．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面CDD1C1，（1）证明：D1O⊥平面（2）求平面AB1E（1）证明：如图，连接CD1．因为AA又∠D1DC=60因为O是CD的中点，所以D1因为平面ABCD⊥平面CDD1C1，平面CDD所以D1O⊥平面（2）解：如图，取AB的中点G，连接OG，由已知可得OG,OC,OD以O为原点，OG,OC,OD1所在直线分别为x轴、y轴、设AD=2，则A(2,-2,0),B所以AE=(-1,2,2设平面AB1E则n⋅AE=-x+2y+23z=0易知m=(1,0,0)是平面A设平面AB1E与平面A则cosθ=|即平面AB1E与平面A17．已知函数fx（1）当a=-6时，求fx（2）若fx在区间2,4上有且仅有一个零点，求实数a解：（1）当a=-6时，fx=1则f'由f'x<0可得1<x<4，由f所以函数fx在1,4上单调递减，在4,+所以函数fx的极小值为f4（2）由fx=1设gx=x2-3x+2+a，则函数gx在区间当a≥0时，当x∈2,4时，gx>0，f'x则fx>f2=0，即函数当a+6≤0时，即当a≤-6时，当x∈2,4时，gx<0，f'x则fx<f2=0，即函数当-6<a<0时，g2=a<0，g4=a+6>0，则存在当x∈2,x0时，gx<0，f当x∈x0,4时，gx>0，f因为fx0<f2=0，要使得函数f综上所述，实数a的取值范围是-218．甲公司设计的健身APP可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”，根据统计数据，活跃用户有70%能完成健身计划，普通用户仅20%能完成健身计划．记活跃用户与普通用户的人数比值为kk>0（1）若从所有用户中随机抽取1人，求该用户是活跃用户的概率；（用k表示）（2）若k=2，从未完成健身计划的用户中随机抽取1人，求该用户是普通用户的概率；（3）甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得50元收益，从每个未完成健身计划的用户处可获得10元收益，对每个活跃用户要承担a元维护成本，对每个普通用户要承担b元维护成本，设一个用户给甲公司带来的净利润（净利润=收益-维护成本）为X元，当a,b满足什么关系时，X的数学期望与k无关?解：（1）设活跃用户的比例为p，普通用户的比例为1-p.所以k=p1-p，化简得所以p=k（2）当k=2时，活跃用户的概率为23，普通用户的概率为1活跃用户未完成健身计划的概率为1-70%×普通用户未完成健身计划的概率为1-20%×所以未完成健身计划的用户中普通用户的概率为415（3）一个活跃用户完成健身计划时，给公司带来的净利润为50-a，概率为70%×k一个活跃用户未完成健身计划时，给公司带来的净利润为10-a，概率为30%×k一个普通用户完成健身计划时，给公司带来的净利润为50-b，概率为20%×1一个普通用户未完成健身计划时，给公司带来的净利润为10-b，概率为80%×1所以数学期望为：E(X)=50-a×0.7×化简得：EX=38-a38-a要使得EX与k无关，则a-b-20=0，即a-b=2019．已知抛物线C:y2=2x与圆E:x-m2+y2=4没有公共点，过C（1）求实数m的取值范围．（2）若m=5，求cos∠MAN（3）设直线AM、AN分别交C于另一点P、Q，是否存在实数m，使得当点A在C上运动时，直线PQ总与圆E相切?若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知可得圆E的圆心为m,0，半径为2，当m<-2时，易知曲线C与圆E没有公共点；当m≥-2时，联立得y2=2xx-m2+由Δ=2-2m2因此，实数m的取值范围是-∞（2）当m=5时，圆E:x-52+y2设点Ax0,要使得cos∠MAN最小，只需α最大，即sinsinα=当x0=4时，sinα所以cos∠MAN的最小值为1-2（3）假设存在实数m满足题中条件，则m>5如图，当A与坐标原点重合时，设切线AM、AN的方程分别为y=kx、y=-kxk≠0则圆心E到直线AM的距离为km1+k2=2将y=kx、y=-kx代入抛物线方程y2=2x，得P2k2,2由直线PQ与圆E相切可得2k2-m=2②，由下面证明当m=4时，对于C上任意一点A，直线PQ总与圆E相切，设点Ay022,则直线AP的方程为y-y0y同理可得直线AQ的方程为2x-y所以直线PQ的方程为2x-y因为直线AP与圆E相切，则8+y0y同理由直线AQ与圆E相切得y0则y1、y2为方程则y1+y点E到直线PQ的距离为8+y即直线PQ与圆E相切，综上所述，存在m=4，使得当点A在曲线C上运动时，直线PQ总与圆E相切.海南省2025届高三学业水平诊断（五）数学试题一、单选题1．已知集合A=-4,-3,0,2,3,4，B=xx>2，则A∩B=A．3,4 B．2,3,4 C．-3,2,3 D．-4,-3,3,4【答案】A【解析】因为集合A=-4,-3,0,2,3,4，B=xx>2故选：A.2．椭圆x29+A．213 B．25 C．13 D【答案】B【解析】在椭圆x29+y24=1即椭圆x29+故选：B.3．某公司制订了一个为期一年的增产计划，每月产量都比上个月多m箱，已知第3个月的产量为46箱，前7个月的总产量为378箱，则第1个月的产量为（

）A．36箱 B．34箱 C．32箱 D．30箱【答案】D【解析】设第n个月的产量为an箱，因为每月增加的产量为ma3=46,a所以a1=故选：D.4．x3-1A．-28 B．28 C．-56 D．56【答案】B【解析】x3Tk+1由24-4k=0可得k=6，因此，展开式中的常数项为-16故选：B.5．先将函数fx=sin4x+π4的图象向右平移12个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2A．sin2x-3πC．sin2x+3π【答案】A【解析】函数fx=sin将函数fx的图象向右平移12个最小正周期，可得到函数再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx故gx故选：A.6．已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=x3A．-2,2 B．-C．-2,0∪1,2 D【答案】C【解析】当x>0时，fx=x3-8，则函数f由于函数fx为R上的增函数，故函数fx在-∞当x>0时，由fx≤0=f2，可得0<x≤2；由f当x<0时，由fx≤0=f-2，可得x≤-2；由f接下来解不等式x-1f当x-1≤0时，即当x≤1时，则fx≥0可得-2≤x≤0或x≥2，可得当x-1≥0时，即当x≥1时，则fx≤0可得0≤x≤2或x≤-2，可得综上所述，不等式x-1fx≤0故选：C.7．已知tanα=2tanβ，sinα+β=A．-78 B．-34 C．【答案】D【解析】由tanα=2tanβ可得sin由题意可得sinαcosβ=2所以sinα-β因此cos2α-2β故选：D.8．若不等式e2x+2t2x≥texA．e2 B．e C．e22【答案】C【解析】由e2x+2t即ex-2tex-tx令fx=exx，其中x≥1即函数fx在1,+考虑当ex2=ex要使得t-ex2当x=2时，则有t-e当1≤x<2时，ex2<exx，由此时t≤e2或当x>2时，ex2>exx，由由于当x→+∞时，ex2→+∞，则t≥综上所述，t≤e2或t=e22故选：C.二、多选题9．已知复数z=2-i，则（

A．z在复平面内对应的点在第二象限 B．zC．z2-4z+5=0 D．1【答案】BC【解析】对于A选项，因为z=2-i，则复数z在复平面内对应的点为2,-1，位于第四象限，A对于B选项，z=2+i，故z=对于C选项，z2-4z+5=z-2对于D选项，1z=12-i=2+i故选：BC.10．已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，且F1F2=2cc>0，过点F2且垂直于xA．CB．E的离心率为3C．若△ABC的面积为12，则E的虚轴长为2D．若4a、b2、c成等差数列，则E的方程为【答案】ACD【解析】如下图所示：因为AB⊥x轴，由双曲线的对称性可知，点A、B关于x轴对称，点A、C关于原点对称，所以，xC=-c，易知点F1-c,0，故对于B选项，将x=c代入双曲线方程可得c2a2-y易知BC=2c，且B、C关于y因为2AB=3BC，即4等式3ac=2c2-2a2因为e>1，解得e=2，B错；对于C选项，因为e=ca=2因为B、C关于y轴对称，则BC⊥AB，且AB=2b故S△ABC=12BC则E的虚轴长为2b=23，C对于D选项，若4a、b2、c成等差数列，即2b2因为a>0，解得a=1，故b=3，则E的方程为x2-y故选：ACD.11．以两条异面直线中的一条为轴，另一条绕其旋转一周所得曲面为单叶双曲面，单叶双曲面的轴截面是双曲线．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1绕直线ACA．Ω的高为33（高指上、下底面之间的距离） B．Ω的侧面积小于C．Γ的体积小于103π27 D．【答案】AC【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，AB、AD、则A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、D0,1,0、A1D1AC1=1,1,1，所以，AC1⋅BA1=-1+1=0因为A1B∩BD=B，A1B、BD⊂平面A1同理可证AC1⊥对于A选项，由题意可知，几何体Ω的上、下底面圆由△B1CD1所以Ω的高为33为平面B1CD1和平面A对于B选项，几何体Ω的底面圆半径为r=22sin易知几何体Ω的侧面积大于与其同底且等高的圆柱的侧面积，故几何体Ω的侧面积大于2π×6对于C选项，由题意可知，旋转体Γ上下两个圆锥的高为点A到平面A1即为AB⋅而几何体Ω的体积小于以其共底面圆且高为33故几何体Γ的体积小于2×13π对于D选项，Ω的水平截面圆的最小半径即为异面直线BB1与AC1间的距离（即异面直线不妨取线段AC1的中点G12,GH=12则GH⋅BB1=0，GH所以，异面直线BB1与AC故Ω的水平截面的面积的最小值为π⋅GH2=故选：AC.三、填空题12．已知变量x和y的统计数据如下表若x，y线性相关，且经验回归方程为分y=1.2x+n，则5n-m=【答案】7【解析】易知x=1+2+3+4+55经验回归直线y=1.2x+n过样本点的中心x所以25+m5=1.2×3+n，则故答案为：713．已知函数fx=log17x2【答案】4,5【解析】令u=x2-ax+6，因为外层函数y=log1所以内层函数u=x2-ax+6且对任意的x∈-∞,2所以a2≥2u因此，实数a的取值范围是4,5.故答案为：4,5.14．已知△ABC的外心为O，满足AO⋅BC=3BO⋅【答案】2【解析】依题意作图，取BC的中点D，连接OD，AD，在△ABC中，记a=BC，b=AC，c=AB，因为△ABC的外心为O，则OD⊥BC，因为AO⋅又AD⋅所以AO⋅同理可得BO⋅AC=由AO⋅BC=3即a2在△ABC中，由余弦定理得，cosB=又2a2+c2故答案为：23四、解答题15．记数列an的前n项和为Sn，已知（1）求an（2）求数列2n-3an的前n项和解：（1）因为2Sn=3an-3，当当n≥2时，由2Sn=3上述两个等式作差得2an=3所以，数列an是首项为3，公比也为3的等比数列，故a（2）由（1）可得2n-3a所以Tn则3T上述两个等式作差得-2=-3+18因此，Tn16．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面CDD1C1，（1）证明：D1O⊥平面（2）求平面AB1E（1）证明：如图，连接CD1．因为AA又∠D1DC=60因为O是CD的中点，所以D1因为平面ABCD⊥平面CDD1C1，平面CDD所以D1O⊥平面（2）解：如图，取AB的中点G，连接OG，由已知可得OG,OC,OD以O为原点，OG,OC,OD1所在直线分别为x轴、y轴、设AD=2，则A(2,-2,0),B所以AE=(-1,2,2设平面AB1E则n⋅AE=-x+2y+23z=0易知m=(1,0,0)是平面A设平面AB1E与平面A则cosθ=|即平面AB1E与平面A17．已知函数fx（1）当a=-6时，求fx（2）若fx在区间2,4上有且仅有一个零点，求实数a解：（1）当a=-6时，fx=1则f'由f'x<0可得1<x<4，由f所以函数fx在1,4上单调递减，在4,+所以函数fx的极小值为f4（2）由fx=1设gx=x2-3x+2+a，则函数gx在区间当a≥0时，当x∈2,4时，gx>0，f'x则fx>f2=0，即函数当a+6≤0时，即当a≤-6时，当x∈2,4时，gx<0，f'x则fx<f2=0，即函数当-6<a<0时，g2=a<0，g4=a+6>0，则存在当x∈2,x0时，gx<0，f当x∈x0,4时，gx>0，f因为fx0<f2=0，要使得函数f综上所述，实数a的取值范围是-218．甲公司设计的健身APP可以帮助用户制订健身计划，用户按使用频率可分为“活跃用户”和“普通用户”，根据统计数据，活跃用户有70%能完成健身计划，普通用户仅20%能完成健身计划．记活跃用户与普通用户的人数比值为kk>0（1）若从所有用户中随机抽取1人，求该用户是活跃用户的概率；（用k表示）（2）若k=2，从未完成健身计划的用户中随机抽取1人，求该用户是普通用户的概率；（3）甲公司从每个完成健身计划的用户处可获得50元收益，从每个未完成健身计划的用户处可获得10元收益，对每个活跃用户要承担a元维护成本，对每个普通用户要承担b元维护成本，设一个用户给甲公司带来的净利润（净利润=收益-维护成本）为X元，当a,b满足什么关系时，X的数学期望与k无关?解：（1）设活跃用户的比例为p，普通用户的比例为1-p.所以k=p1-p，化简得所以