2025届河南省新乡市高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市2025届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2（）A.16 B. C.32 D.【答案】A【解析】由.故选：A3.曲线的长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧，其中点的横坐标为，则，，故曲线的长度为.4.已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，则或.当时，未必成立；当时，.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，所以，，则曲线在点处曲率，曲率半径，故曲线在点处的向心加速度的大小为.故选：B.6.若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则，即，则，则，故的渐近线方程为.故选：C7.已知随机变量，，则的最大值为（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.由正态分布的对称性，可得.因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即最大值为.故选：D8.设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，，整理得，故.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B.的最小正周期为C.的图象关于点对称 D.的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】依题意可得，因为，故A正确；，故B错误；由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确.故选：ACD10.已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（）A.存在无数个点，使得B.存在无数个点，使得C.存在无数个点，使得D.仅存在一个点，使得且【答案】BC【解析】由，得，得或.是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故曲线上不存在无数个点，使得，是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，联立与，得，或，所以仅存在两个点，使得且，所以A、D错误，B，C正确.故选：BC11.已知函数的定义域为，，，则（）A. B.是增函数C. D.【答案】ACD【解析】令，则，解得，故A正确；令，，则，故B错误；由，可得，令，，则，即，所以，故，则，故C正确；因为，所以，两式相减，可得，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若分别为奇函数、偶函数，，且，则______.【答案】4【解析】依题意得，又，解得，，所以.故答案为：413.已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则______.【答案】【解析】由题意，，所以，因为是等差数列，则的通项是一次函数型，则能整理成完全平方型，所以，化简得，所以，即.故答案为：.14.一个整数的各位数字之和记为，例如.用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数按照从小到大的顺序排列为，则______，的平均数为______.【答案】①.8761②.【解析】用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数的总个数为，其中最大的四位数为8764，所以.四位数含0时，后三位选一位填0有种，再选一位填1（同理填4，6，7，8）有种，最后从余下的4个数字选2个填余下的两位有种，所以1，4，6，7，8出现的次数均为次，四位数不含0时，四位选一位填1（同理填4，6，7，8）有种，从余下的4个数选3个填余下的三位有种，所以1，4，6，7，8出现的次数均为次，综上，1，4，6，7，8出现的次数均为次，所以的平均数为.故答案为：8761，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四面体中，平面，，且，，.（1）证明：四面体为鳖臑；（2）若直线平面，求直线与所成角的余弦值.（1）证明：因为平面，平面，平面，平面，所以，，.又，且，平面，所以平面，又平面，则，所以四面体的四个面都为直角三角形，则四面体为鳖臑.（2）解：以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，得.由，得直线与所成角的余弦值为.16.如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和.积分0100200（1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；（2）求随机变量的分布列及数学期望.解：（1）设事件为“质点移动2次后到达的点所对应的积分为0”，由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右，所以.（2）的所有可能取值为，，0，200，400.，，，，，所以随机变量的分布列为0200400.17.的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求内切圆的半径；（3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.解：（1）因为，所以.由正弦定理得，所以，因为，所以.（2）由（1）知，代入数据得.因为的面积，所以内切圆的半径.（3）如图，设，，则，且.因为，所以.由正弦定理得，所以，所以，其中，故的最大值为.18.已知函数.（1）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：，；（3）若在上有两个极值点，求的取值范围.（1）解：因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.设，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即的取值范围为.（2）证明：若，则.设，则，，则在上单调递减，在上单调递增，则，则在上单调递增，所以，即当时，，所以，不等式得证.（3）解：.当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.当时，令，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，，，由（2）知，则，所以恰有两个零点，，令，得，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点.综上，的取值范围是.19.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍.（1）求椭圆的离心率；（2）若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求；（3）已知，是上两个不同的点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程.（附：椭圆以点为切点的切线方程为）解：（1）设，则，，所以最大值为，最小值为，所以，解得，即椭圆的离心率为.（2）设点，，则，椭圆在点处的切线方程为.令，可得，即，，.，；（3）因为，所以，，，的方程为.设，，，则椭圆在点处的切线方程分别为，，则，，故直线的方程为.联立可得，，，则.因为，所以，解得，化简可得，故动点的轨迹方程为.河南省新乡市2025届高三第二次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故选：A.2（）A.16 B. C.32 D.【答案】A【解析】由.故选：A3.曲线的长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧，其中点的横坐标为，则，，故曲线的长度为.4.已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，则或.当时，未必成立；当时，.故“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，，所以，，则曲线在点处曲率，曲率半径，故曲线在点处的向心加速度的大小为.故选：B.6.若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则，即，则，则，故的渐近线方程为.故选：C7.已知随机变量，，则的最大值为（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.由正态分布的对称性，可得.因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即最大值为.故选：D8.设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，，整理得，故.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B.的最小正周期为C.的图象关于点对称 D.的图象关于直线对称【答案】ACD【解析】依题意可得，因为，故A正确；，故B错误；由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确.故选：ACD10.已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（）A.存在无数个点，使得B.存在无数个点，使得C.存在无数个点，使得D.仅存在一个点，使得且【答案】BC【解析】由，得，得或.是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故曲线上不存在无数个点，使得，是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点，联立与，得，或，所以仅存在两个点，使得且，所以A、D错误，B，C正确.故选：BC11.已知函数的定义域为，，，则（）A. B.是增函数C. D.【答案】ACD【解析】令，则，解得，故A正确；令，，则，故B错误；由，可得，令，，则，即，所以，故，则，故C正确；因为，所以，两式相减，可得，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若分别为奇函数、偶函数，，且，则______.【答案】4【解析】依题意得，又，解得，，所以.故答案为：413.已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则______.【答案】【解析】由题意，，所以，因为是等差数列，则的通项是一次函数型，则能整理成完全平方型，所以，化简得，所以，即.故答案为：.14.一个整数的各位数字之和记为，例如.用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数按照从小到大的顺序排列为，则______，的平均数为______.【答案】①.8761②.【解析】用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数的总个数为，其中最大的四位数为8764，所以.四位数含0时，后三位选一位填0有种，再选一位填1（同理填4，6，7，8）有种，最后从余下的4个数字选2个填余下的两位有种，所以1，4，6，7，8出现的次数均为次，四位数不含0时，四位选一位填1（同理填4，6，7，8）有种，从余下的4个数选3个填余下的三位有种，所以1，4，6，7，8出现的次数均为次，综上，1，4，6，7，8出现的次数均为次，所以的平均数为.故答案为：8761，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四面体中，平面，，且，，.（1）证明：四面体为鳖臑；（2）若直线平面，求直线与所成角的余弦值.（1）证明：因为平面，平面，平面，平面，所以，，.又，且，平面，所以平面，又平面，则，所以四面体的四个面都为直角三角形，则四面体为鳖臑.（2）解：以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，得.由，得直线与所成角的余弦值为.16.如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和.积分0100200（1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；（2）求随机变量的分布列及数学期望.解：（1）设事件为“质点移动2次后到达的点所对应的积分为0”，由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右，所以.（2）的所有可能取值为，，0，200，400.，，，，，所以随机变量的分布列为0200400.17.的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，求内切圆的半径；（3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.解：（1）因为，所以.由正弦定理得，所以，因为，所以.（2）由（1）知，代入数据得.因为