湖南省娄底市部分学校联考2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（含解析）

湖南省娄底市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若，，则（

）A． B．C． D．2．若（为虚数单位），则复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，则（

）A． B．1 C．2 D．44．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（

）A．63 B．72 C．81 D．905．设为锐角，若，则（

）A． B． C． D．6．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切7．已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列命题中，正确的命题为（

）A．已知随机变量服从二项分布，若，，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变C．设随机变量服从正态分布，若，则D．对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好10．已知函数，则下列选项正确的有（

）A．不是的周期B．成立的充要条件是，C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到D．在区间上单调递减11．已知定义在上的函数满足，若时，，则下列选项正确的有（

）A．的最小正周期B．的图象关于对称C．D．函数在区间上所有的零点之和为2三、填空题12．展开式中的常数项为．13．如图，在中，，，为的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为．14．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为，该次品来自乙机床的概率为．四、解答题15．在中，角，，对应的边分别为，，，满足．(1)求；(2)若，求的取值范围．16．已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积．17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，．

(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18．慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示．(1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）；(2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率；(3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望．19．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且．

湖南省娄底市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题参考答案题号12345678910答案BADCCDABADBCD题号11答案BC1．B【详解】，解得，，又，.故选：B.2．A【详解】由已知得，化简得.故选：A.3．D【详解】由已知得：，，所以，解得.故选：D4．C【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得，即，解得，代入，故.故选：C.5．C【详解】.故选：C6．D【详解】由题意，直线可化为：，直线过定点，代入圆中，易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切.故选：D.7．A【详解】当时，单调递减，此时，若当时，单调递减，则，此时，因为在上单调递减，所以，解得，又，所以.故选：A.8．B【详解】设，则，因为，所以，又，所以恒成立，所以在定义域上单调递增．故原不等式可转化为，又，所以，所以，所以，故不等式的解集为．故选：B9．AD【详解】A选项：，，，正确；B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误；C选项：随机变量服从正态分布，则，若，则，则，错误；D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确.故选：AD10．BCD【详解】A：是的最小正周期，故是的周期，错．B：当时，，，则，，正确．C：把的图象上所有点向左平移个单位长度得到，正确．D：，则，在区间上单调递减，正确．故选：BCD11．BC【详解】因为，所以是奇函数；因为，所以的图象关于对称，所以，则，因而，所以的最小正周期，故A错误；由，则的一个对称中心为，故B正确；，故C正确；当时，单调递增且值域为，因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为，又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为，所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为-2，故D错误.故选：BC.12．【详解】二项式展开式的通项为（且），令，解得，所以，即展开式中的常数项为.故答案为：13．【详解】在中，，，为的中点，则，平面平面，平面平面，平面，且，平面，又，取的中点，连接，则，过作，则平面，设三棱锥的外接球球心为，则球心必位于上，如图：设其半径为，则，，，解得，三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：14．0.1/0.3/【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，则，，，B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得：，由贝叶斯公式得：.故答案为：0.1；0.3.15．(1)(2)【详解】（1），，在中，由正弦定理得，因为，则,，则．因为，所以．（2）由（1）知，又，则由正弦定理，，，，又在中，,则，，，，故.16．(1)(2)【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点、，依题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，设点、，由得，，可得，由韦达定理可得， ，已知，则，同理可得，所以.17．(1)证明见解析(2)【详解】（1）底面为直角梯形，，为直角，，，，，得，所以，又平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，，又侧面为等腰直角三角形，，，又，平面，又平面，所以，．（2）平面平面，平面平面，可过点作垂足为，由题意知为等腰直角三角形，故点为线段的中点，且，分别以过点与直线，平行的直线为轴，轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，，所以，设平面的一个法向量为，则，即，取，，，则，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)，56.7(2)(3)分布列见解析，【详解】（1）根据题意可得，解得；因为前3组的频率依次为0.1，0.2，0.3，，所以中位数在50和60之间，设中位数为，则，解得，所以该市群众每天慢跑时长的中位数约为56.7.（2）慢跑时长在分钟内有人，因为男生数与女生数之比为，所以其中男生6人，女生4人，记“随机抽取2人进行采访，2人均为男生”为事件，所以.（3）因为用样本估计总体，所以任取1人时长在的概率为，随机变量服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列如下表：X0123P.19．（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．【详解】（1）函数的定义域为．当时，，所以