材料力学 课件 第5章 弯曲应力

第5章弯曲应力主要内容1、纯弯曲的正应力和正应力强度条件2、横力弯曲的正应力3、弯曲切应力和切应力强度条件4、提高弯曲强度的措施5.1概述纵向对称面FF纯弯曲

————剪力为零 弯矩为常量，

横力弯曲

——既有弯矩， 又有剪力

FFFFBCAD对称弯曲纯弯曲+外力作用在纵向对称面上横截面上只有弯矩FSFF-+MFa＋伽利略：《关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明》，1638.历史回顾FBCA1)开创性建立了“实验观测——假设——分析与推导”的现代科学研究方法2)局限性

静力不平衡无中性轴概念

相关梁应力研究历史1620荷兰I.Beeckman：梁一侧纤维伸长，一侧缩短1678Hooke:梁凸面纤维伸长，凹面缩短1702P.Varignon:纤维拉力沿截面高度发生变化1654-1705Bernoulli:中性轴位置无关紧要1713Parent.A:指出应静力平衡，学说长期埋没……1813Navier:中性轴位置无关紧要1826Navier:正确应用静力平衡方程，中性轴过形心研究思路：

物理关系静力学关系几何关系变形

应变分布

应力分布

应力公式

从几何关系、物理关系和静力学关系这三方面着手，研究等直梁纯弯曲时横截面上的正应力。5.2纯弯曲变形特征1.变形几何关系基本假设变形后仍为平面

纵向纤维之间无正应力

平面假设(a)

变形前为平面的横截面，

纵向纤维无挤压(b)

仍垂直于变形后梁的轴线

横截面上只有轴向正应力1.变形几何关系1.变形几何关系yxz

中性层中性轴b1b2O1O2dx纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比yMMd

O1'O2'yb1'b2'1.变形几何关系2.物理关系等直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正比。即沿截面高度，弯曲正应力呈线性分布。中性轴线弹性变形时:MyzOx应力分布：能否直接用来计算应力？3.静力关系

横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系。

力系向坐标原点O简化，得到三个内力分量。MyzOxyzdA上式表明中性轴通过横截面形心将应力表达式代入第一式，得

将应力表达式代入第二式，得自动满足MyzOx将应力表达式代入第三式，得——纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式公式应用条件：等直梁纯弯曲线弹性MyzOxEIz——抗弯刚度——弯曲截面系数矩形截面实心圆截面空心圆截面zdyzDdyhzby思考

试用弯曲正应力强度条件证明：从圆木锯出的矩形截面梁，高:宽=3:2的尺寸比例接近最佳比值。dhb“凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。”——李诫《营造法式》北宋元符三年（1100年）如何使Wz最大?解:设圆木直径为ddhb在一般载荷作用下：（横截面上既有弯矩又有剪力）平面假设不成立，横截面发生翘曲；纵向线段之间有挤压，单向应力状态不成立；5.3横力弯曲时的正应力跨长与截面高度比大于5，应力公式近似成立；例1：T形截面外伸梁的尺寸如图所示，试求梁内的最大拉应力和最大压应力。2020801202.2m1mq=10kN/m解：①确定中性轴设截面形心到顶边的距离为y，坐标轴如图所示：②求惯性矩，由平行移轴公式：52z140z1yzyC88z2z3③作弯矩图截面D(x=0.87m)有最大正弯矩，MD=3.8kN·m截面B有最大负弯矩，MB=-5kN·m；最大正应力:截面B：截面D：最大拉应力：D截面下边缘，43.8MPa；最大压应力：B截面下边缘，57.6MPa。52z1402.2m1mq=10kN/mADBC3.8kN·m5kN·m-+z压拉z拉压88正应力强度条件等直梁强度条件

对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：

请注意：梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。III.梁的弯曲正应力强度设计

一般情况下，许用弯曲正应力比许用拉(压)应力略高。强度计算的三类问题强度校核截面设计许可载荷因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力外，其余各处应力较小。而轴向拉(压)时，截面上的应力是均匀分布的。例2：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+]=30MPa，许用压应力[σ-]=60MPa,试校核此梁的强度。2020801202.2m1mq=10kN/m解：①确定中性轴②求惯性矩，由平行移轴公式52z140z1yzyC③作弯矩图④求最大正应力最大拉应力：D截面下边缘，43.8MPaADBC3.8kN·m5kN·m-+最大压应力：B截面下边缘，57.6MPa不满足强度要求例3：在强度相同的条件下，用高宽比为2的矩形截面梁取代实心圆截面梁，求矩形梁和圆截面梁的重量比解：dhzby比较两种情况下的重量比：?zyP1PP2hzbbzh(b)(a)例4：

两矩形截面梁，尺寸b、h和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许用载荷之比P1／P2＝？解：hzbbzhP?az1aaz2aP2P1y1y2例5：两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。梁长为l。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载[P]为多少？PbPbPl解：1、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲，两梁都有各自的中性层，各梁承担一半弯矩。2、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。bPz练习：

简支梁AB，在C截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε=6×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，求载荷P的大小。单位：mm解：C截面下边缘的应力C截面的弯矩由得单位：mm引言：问题的提出19世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕木为什么沿纵向中截面开裂？5.4弯曲切应力qFFbhFSyz一、矩形截面梁基本假设:yτ’MPq(x)nmmndxττ

(2)切应力沿截面宽度均匀分布。m-mτndxnmm

(1)横截面上各点的切应力方向都平行于剪力Fs

；

弯曲切应力公式y

—所求正应力的点距中性轴的距离abymnσ'σ"mny’y’ndxnmmdxmnyzabmnabdxmnyzabmnFN1FN2dFSy'τ’mnσ'σ"mnFS

——横截面上剪力Iz——整个横截面对中性轴z的惯性矩b——横截面宽度Sz*

——横截面上距中性轴

y

处横线一侧截面

对中性轴的静矩dxmnyzabFN1FN2dFSy'y切应力沿矩形截面高度的分布ττmaxhzby＋－y二、工字形截面梁FS

——横截面上剪力Iz——整个工字形截面对中性轴z的惯性矩d——腹板宽度Sz*——距z轴y处横线一侧阴影部分截面对z轴的静矩y

zbhd

h1y翼缘腹板zdxbδhdxbFN1FN2dFτmax切应力主要由腹板承受；腹板是一狭长矩形，矩形截面上切应力分布的假设仍然成立。三、薄壁环形截面梁(平均半径r，壁厚δ)沿截面厚度均匀分布与圆周相切

四、圆形截面梁zydAkk’yτmax矩形截面实心圆截面工字形截面τmaxτmax薄壁环形截面横截面上最大切应力的一般公式●弯曲切应力强度条件例6:

圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，试求最小直径dmin。解:作内力图解：由正应力强度条件：由切应力强度条件：例7:简易吊车梁，F=20kN，l=6m，[σ]=100MPa，[τ]=60MPa，选择工字钢型号关于危险截面的讨论关于[σ]与[τ]两个强度条件的讨论讨论：如何确定可能危险截面画剪力图、弯矩图确定剪力、弯矩的最大截面结论：关于正应力的危险截面是梁跨中截面关于切应力的危险截面是梁端截面注意：正应力与切应力危险截面不一定重合。讨论：如何确定可能危险点分析思路：确定截面的应力分布可能正应力危险点：a,d；可能切应力危险点：c可能正应力和切应力联合作用危险点：b,b’（第7章讨论）解：1.内力分析

(确定危险截面）2.危险截面应力分析

(确定危险点）正应力危险点：跨中截面的a或d切应力危险点：端部截面的c正应力的危险截面是梁中截面切应力的危险截面是梁端截面3.设计截面通常按正应力强度条件设计截面，由切应力强度条件校核查附录III型钢表：4.校核梁的剪切强度№22a满足要求选№22a,Wz=309cm3梁的强度条件弯曲正应力强度条件：弯曲切应力强度条件：smax：最大弯曲正应力；[s]

：许用弯曲正应力tmax

：最大弯曲切应力；[t]：材料纯剪切许用应力小结：梁强度条件的选用F细长非薄壁梁：F短粗梁、薄壁梁与M小FS大的梁：控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力因此应使

Mmax

尽可能地小5.5提高弯曲强度的措施应使WZ

尽可能地大荷载约束截面形状·合理安排加载方式一、梁的合理受力（降低弯矩）·尽量分散载荷一、梁的合理受力（降低弯矩）·合理安排约束Q

加配重例：两人带了一块长度超过沟宽的板，但一人在沟中点时的弯矩稍微超过板强度，这两人能想出办法过沟吗？办法：一人作配重MF1(l-2a)/4+MF2a-MF1(l-2a)/4-F2a/2F2a+